人教A版（2019）高中数学必修第二册 6.3.1_平面向量基本定理_导学案（含答案）

6.3.1 平面向量基本定理
1.理解平面向量基本定理及其意义；
2.会用基底表示平面内某一向量；
3.通过学习平面向量基本定理，让学生体验数学的转化思想，培养学生发现问题的能力。
1.教学重点：平面向量基本定理及其意义；
2.教学难点：平面向量基本定理的探究。
1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a， 实数λ1，λ2，使a＝ ．
2．基底：不共线的向量e1，e2，我们把 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
一、探索新知
探究：如图6.3-2（1），设是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与都不共线的向量，如图6.3-2（2），在平面内任取一点O，作将按的方向分解，你有什么发现？
思考1.若向量与共线，还能用表示吗？
思考2.当是零向量时，还能用表示吗？
思考3.设是同一平面内两个不共线的向量，在中，是否唯一？
平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a， 实数λ1，λ2，使a＝ ．
例1.如图，不共线，且，用表示。
思考：观察你有什么发现？
例2.如图，CD是的中线，，用向量方法证明是直角三角形。
2.平面向量基本定理及其补充说明：
如果是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 。
我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。
说明：(1).基底的选择是不唯一的；
(2).同一向量在选定基底后，是唯一存在的。
(3).同一向量在选择不同基底时， 可能相同也可能不同
1．已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是(　　)
A．，　　　 B．，
C．， D．，
2．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是(　　)
A．不共线 B．共线 C．相等 D．不确定
3．如图，在矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，则＝(　　)
A．(5e1＋3e2) B．(5e1－3e2)
C．(3e2－5e1) D．(5e2－3e1)
4．已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有＝＋λ，则λ＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
5．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.
这节课你的收获是什么？
参考答案：
探究：如图，
思考1.当向量与共线时，。
当向量与共线时，。
思考2.
思考3：假设，
即，
所以，所以唯一。
例1.解：因为，所以
思考4.如果三点共线，点O是平面内任意一点，若，则。
例2.证明：设
，所以，
所以.于是是直角三角形.
达标检测
1.【解析】　由于，不共线，所以是一组基底．【答案】　D
2.【解析】　∵a＋b＝3e1－e2，∴c＝2(a＋b)，∴a＋b与c共线．【答案】　B
3.【解析】　＝＝(＋)＝(＋)＝(5e1＋3e2)．【答案】　A
4.【解析】　
∵A，B，D三点共线，∴存在实数t，使＝t，则－＝t(－)，即＝＋t(－)＝(1－t)＋t，∴即λ＝－.【答案】　C
5.【解】　∵a，b不共线，∴可设c＝xa＋yb，则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)
＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.
又∵e1，e2不共线，∴解得∴c＝a－2b.
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