人教A版（2019）高中数学必修第二册 6.3.1_平面向量基本定理 教学设计

6.3.1 平面向量基本定理教学设计
本节内容是学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理）之后的又一重点内容，它是引入向量坐标表示，将向量的几何运算转化为代数运算的基础，使向量的工具性得到初步的体现，具有承前启后的作用。
课程目标
1、了解平面向量基本定理；
2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量
解决实际问题的重要思想方法；
3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.
数学学科素养
1.数学抽象：平面向量基底定理理解；
2.逻辑推理：用基底表示向量；
3.数学建模：利用数形结合的思想运用相等向量，比例等知识来进行转换.
重点：平面向量基本定理；
难点：平面向量基本定理的理解与应用.
教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
情景导入
已知平面内一向量是该平面内两个不共线向量b，的和，怎样表达？
问题：如果向量b与ｅ１共线、与ｅ２共线，上面的表达式发生什么变化？
根据作图进行提问、引导、归纳，板书表达式：=
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本25-27页，思考并完成以下问题
1、平面向量基本定理的内容是什么？
2、如何定义平面向量的基底？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
平面向量基本定理：如果ｅ１、ｅ２是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数λ1，λ2使=.
注意：
(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2) 基底不惟一，关键是不共线；
(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被 ，ｅ１、ｅ２唯一确定的数量.
四、典例分析、举一反三
题型一 正确理解向量基底的概念
例1例1　设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：
①与；②与；③与；④与，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是(　　)
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
【答案】B
【解析】①与不共线；②＝－，则与共线；③与不共线；④＝－，则与共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．
解题技巧（基底向量满足什么条件）
考查两个向量能否作为基底，主要看两向量是否为非零向量且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这组基底唯一表示．注意零向量不能作基底．
跟踪训练一
1、设e1，e2是平面内一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是(　　)
A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－2e2和4e2－6e1
C．e1＋2e2和e2＋2e1 D．e2和e2＋e1
【答案】B.
【解析】∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，∴两个向量共线，不能作为基底．
题型二 用基底表示向量
例2　如图，在平行四边形ABCD中，设对角线＝a，＝b，试用基底a，b表示，.
【答案】＝a－b，＝a＋b.
【解析】 由题意知，＝＝＝a，
＝＝＝b.
所以＝＋＝－＝a－b，
＝＋＝a＋b.
解题技巧： (用基底表示向量的方法)
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，一般是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．
跟踪训练二
1、如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分别是DA，BC的中点，且＝k，设＝e1，＝e2，以e1，e2为基底表示向量，，.
【答案】＝ke2.＝e1＋(k－1)e2.＝e2.
【解析】法一：∵＝e2，＝k，∴＝k＝ke2.
∵＋＋＋＝0，
∴＝－－－＝－＋＋＝e1＋(k－1)e2.
又＋＋＋＝0，且＝－，＝，
∴＝－－－＝－＋＋＝e2.
法二：同法一得＝ke2，＝e1＋(k－1)e2.连接MB，MC，
由＝(＋)得＝(＋＋＋)＝(＋)＝e2.
题型三 平面向量基本定理的应用
例3　如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值．
【答案】AP∶PM＝4，BP∶PN＝.
【解析】 设＝e1，＝e2，
则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.
∵A，P，M和B，P，N分别共线，
∴存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2.
故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.
而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，
得解得
∴＝，＝，
∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝.
解题技巧（平面向量基本定理应用时注意事项）
若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量( 一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．　
跟踪训练三
1．在△ABC中，＝，＝，BE与CD交于点P，且＝a，＝b，用a，b表示.
【答案】＝ a＋b．
【解析】如图，取AE的三等分点M，使AM＝AE，连接DM，则DM//BE.
设AM＝t(t＞0)，则ME＝2t.
又AE＝AC，∴AC＝12t，EC＝9t，∴在△DMC中，＝＝，∴CP＝CD，∴DP＝CD，
＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＝＋＝ a＋b．
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
七、作业
课本27页练习，36页习题6.3的1，11题.
教学过程中说到基底问题时，要注重数形结合思想的培养.特别是很多学生总是把他和单位向量分不开，教师需要给学生引导，要注意不共线的两个向量都可以作为基底这个思想.
在进行向量运算时需要进行转化，运用相等向量，比例等知识来进行；学生在解题时很少注意到这个问题，只是纯粹的利用向量知识解题，所以很难找到思路.
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