人教A版（2019）高中数学必修第二册 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 导学案（含答案）

6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；
2．通过学习平面向量的正交分解及其坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.
1.数学抽象：平面向量的坐标表示；
2.逻辑推理：根据正交分解和平面向量共线定理推导出平面向量的坐标表示；
3.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决.
重点：向量的坐标表示；
难点：向量的坐标表示的理解.
预习导入
阅读课本27-29页，填写。
1．平面向量的坐标表示
如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，___________一对实数、，使得
…………
我们把叫做向量的（直角）坐标，记作
…………
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示.与相等的向量的坐标也为___________.
特别地，，，.
如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定.
设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.
1．判断下列命题是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)与x轴平行的向量的纵坐标为0；与y轴平行的向量的横坐标为0.(　　)
(2)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．(　　)
(3)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(　　)
(4)向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化．(　　)
2．已知＝(－2,4)，则下列说法正确的是(　　)
A．A点的坐标是(－2,4)
B．B点的坐标是(－2,4)
C．当B是原点时，A点的坐标是(－2,4)
D．当A是原点时，B点的坐标是(－2,4)
3．设i＝(1,0)，j＝(0,1)，a＝3i＋4j，b＝－i＋j，则a与b的坐标分别为________．
题型一 向量的减法运算
例1 如图，向量a，b，c的坐标分别是________，________，_______________.
例2　如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和与的坐标．
跟踪训练一
1．已知e1＝(1,2)，e2＝(－2,3)，a＝(－1,2)，试以e1，e2为基底，将a分解成λ1e1＋λ2e2的形式为____________．
2. 已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，
(1)求向量的坐标；
(2)若B(，－1)，求的坐标．
1．如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则可以表示为(　　)
A．2i＋3j　 B．4i＋2j
C．2i－j D．－2i＋j
2．若向量a＝(x－2，3)与向量b＝(1，y＋2)相等，则(　　)
A．x＝1，y＝3 B．x＝3，y＝1
C．x＝1，y＝－5 D．x＝5，y＝－1
3．若A(2，－1)，B(4，2)，C(1，5)，则
4．已知a的方向与x轴的正向所成的角为120°，且|a|=6，则a的坐标为____.
5．如图所示，已知点，将向量绕原点O逆时针旋转得到，求点B的坐标．
答案
小试牛刀
1. (1)√ (2) × (3) √ (4) ×
2．D.
3．(3,4)，(-1,1).
自主探究
例1 【答案】a＝(－4,0)； b＝(0,6)；c＝(－2，－5)．
【解析】将各向量分别向基底i，j所在直线分解，则a＝－4i＋0·j，∴a＝(－4,0)；b＝0·i＋6j，∴b＝(0,6)；c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．
例2　 【答案】B. D.＝，＝.
【解析】由题知B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．设B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函数的定义，得
x1＝cos30°＝，y1＝sin30°＝，∴B.
x2＝cos120°＝－，y2＝sin120°＝，∴D.
∴＝，＝.
跟踪训练一
1．【答案】a＝e1＋e2.
【解析】设a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)，则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2,2λ1＋3λ2)．
∴解得∴a＝e1＋e2.
2. 【答案】（1）＝(2，6)．(2)＝ (，7)．
【解析】(1)设点A(x，y)，则x＝4cos60°＝2，
y＝4sin60°＝6，即A(2，6)，＝(2，6)．
(2)＝(2，6)－(，－1)＝(，7)．
当堂检测
1-2.CB
3.(-1,6)
4.(-3，3)
5.【答案】．
【解析】，设
由题意得：，即，解得：或
由图可知 .
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