人教A版（2019）高中数学必修第二册 6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示练习（1）（解析版）

6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
选择题
1.设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若＝4i＋2j，则的坐标是(　　)
A．(4，－2)　　　　　 B．(4,2)
C．(2,4) D．(-4,8)
2.如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则可以表示为(　　)
A．2i＋3j　　　　　　　 B．4i＋2j
C．2i－j D．－2i＋j
3.已知＝(－2,4)，则下列说法正确的是(　　)
A．A点的坐标是(－2,4)
B．B点的坐标是(－2,4)
C．当B是原点时，A点的坐标是(－2,4)
D．当A是原点时，B点的坐标是(－2,4)
4．若{i，j}为正交基底，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于(　　)
A．第一、二象限　　　 B．第二、三象限
C．第三象限 D．第四象限
（多选题）下列说法正确的是（ ）
相等向量的坐标相同；
平面上一个向量对应平面上唯一的坐标；
一个坐标对应唯一的一个向量；
平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应。
6.（多选题）已知向量，平面内的任意向量，下列结论中错误的是（ ）
A.存在唯一的一对实数x，y，使得。
B.若则。
C.若，且，则的起点是原点O。
D.若，且的终点坐标是，则。
填空题
7.如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j，以{i，j}作为基底，对于平面内的一个向量a，若|a|＝2，θ＝45°，则向量a的坐标为________．
8.若向量与相等，则=_________.
9.如图,在6×6的方格中,已知向量的起点和终点均在格点,且满足向量,那么_______.
10.已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝2，∠xOA＝150°，则点A坐标为 ，向量的坐标为________．
三．解答题
11.已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，试求和的坐标．
12.如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形．
(1)求向量a，b的坐标；
(2)求向量的坐标；
(3)求点B的坐标．
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示答案
选择题
1.设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若＝4i＋2j，则的坐标是(　　)
A．(4，－2)　　　　　 B．(4,2)
C．(2,4) D．(-4,8)
【答案】B　
【解析】因为＝4i＋2j，所以＝(4,2)，故选B。
2.如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则可以表示为(　　)
A．2i＋3j　　　　　　　 B．4i＋2j
C．2i－j D．－2i＋j
【答案】C
【解析】记O为坐标原点，则＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i－j.故选C。
3.已知＝(－2,4)，则下列说法正确的是(　　)
A．A点的坐标是(－2,4)
B．B点的坐标是(－2,4)
C．当B是原点时，A点的坐标是(－2,4)
D．当A是原点时，B点的坐标是(－2,4)
【答案】D　
【解析】当向量起点与原点重合时，向量坐标与向量终点坐标相同．故选D。
4．若{i，j}为正交基底，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于(　　)
A．第一、二象限　　　 B．第二、三象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D　
【解析】x2＋x＋1＝2＋＞0，x2－x＋1＝2＋＞0，所以向量a对应的坐标位于第四象限．故选D。
（多选题）下列说法正确的是（ ）
相等向量的坐标相同；
平面上一个向量对应平面上唯一的坐标；
一个坐标对应唯一的一个向量；
平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应。
【答案】ABD
【解析】由向量坐标的定义得一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误。所以选ABD.
6.（多选题）已知向量，平面内的任意向量，下列结论中错误的是（ ）
A.存在唯一的一对实数x，y，使得。
B.若则。
C.若，且，则的起点是原点O。
D.若，且的终点坐标是，则。
【答案】BCD
【解析】由平面向量基本定理，可知A中结论正确；，但1=1，故B中结论错误；因为向量可以平移，所以向量与向量的起点是不是原点无关，故C中结论错误；当的终点坐标是时，是以的起点是原点为前提的，故D中结论错误。故选BCD。
填空题
7.如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j，以{i，j}作为基底，对于平面内的一个向量a，若|a|＝2，θ＝45°，则向量a的坐标为________．
【答案】(，)　
【解析】由题意知a＝2cos 45°i＋2sin 45°j＝i＋j＝(，)．
8.若向量与相等，则=_________.
【答案】-1
【解析】因为，所以=0且=2，解得.
9.如图,在6×6的方格中,已知向量的起点和终点均在格点,且满足向量,那么_______.
【答案】3
【解析】分别设方向向右和向上的单位向量为则,
又因为,所以,解得所以
答案为3.
10.已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝2，∠xOA＝150°，则点A坐标为 ，向量的坐标为________．
【答案】(－，1)　 (－，1)　
【解析】设A(x，y)，∴x＝||cos 150°＝2×＝－，y＝||sin 150°＝2×＝1，所以点A 的坐标为(－，1)．∴的坐标为(－，1)．
三．解答题
11.已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，试求和的坐标．
【解析】　由长方形ABCD知，CB⊥x轴，CD⊥y轴.
因为AB＝4，AD＝3，所以＝4i＋3j，所以＝(4,3)．又＝＋＝－＋，
所以＝－4i＋3j，所以＝(－4,3)．
12.如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形．
(1)求向量a，b的坐标；
(2)求向量的坐标；
(3)求点B的坐标．
【解析】　(1)作AM⊥x轴于点M，则OM＝OA·cos 45°＝4×＝2，AM＝OA·sin 45°＝4×＝2，
∴A(2，2)，故a＝(2，2)．
∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，∴∠COy＝30°.又OC＝AB＝3，
∴C，∴＝＝，即b＝.
(2)＝－＝.
(3)＝＋＝(2，2)＋
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