人教A版（2019）高中数学必修第二册 6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示同步练习（2）（解析版）

6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
基础巩固
1．给出下面几种说法：
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应于唯一的一个向量；
④平面上一个点与以原点为起点，该点为终点的向量一一对应.
其中正确说法的个数是　(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列可作为正交分解的基底的是（ ）
A．等边三角形中的和
B．锐角三角形中的和
C．以角A为直角的直角三角形中的和
D．钝角三角形中的和
3．已知向量，将绕原点按逆时针方向旋转得到，则（ ）
A． B． C． D．
4．以原点O及点A（5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB，使A=90°，则的坐标为（　　）
A． B．或 C． D．或
5．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量（即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为各单位）。设开始时点P的坐标为（-10，10），求5秒后点P的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
6．已知向量的方向与x轴的正方向的夹角是30°，且||=4，则的坐标为____.
7．若向量与相等，其中，则=_________.
8．已知是平面内两个相互垂直的单位向量，且，，，求的坐标.
能力提升
9．如上图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量用基底，表示为(　　)
A．＋ B．2－ C．－2＋ D．2＋
10．在平面直角坐标系中，已知，，点在第一象限内，，且，若，则+的值是　　　　　　．
11．在直角坐标系中，向量，的方向如图所示，且，，分别求出它们的坐标．
素养达成
12．已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，是x轴上的单位向量,是y轴上的单位向量，试求和的坐标．
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
基础巩固答案
1．给出下面几种说法：
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应于唯一的一个向量；
④平面上一个点与以原点为起点，该点为终点的向量一一对应.
其中正确说法的个数是　(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】因为向量平移坐标不变，
所以一个坐标可以对应无数个向量，但一个向量对应唯一的坐标，
故③错，①②④均对．
故选C．
2．下列可作为正交分解的基底的是（ ）
A．等边三角形中的和
B．锐角三角形中的和
C．以角A为直角的直角三角形中的和
D．钝角三角形中的和
【答案】C
【解析】选项A中，与的夹角为60°；
选项B中，与的夹角为锐角；
选项D中，与的夹角为锐角或钝角.故选项都不符合题意.
选项C中，与的夹角为90°，故选项C符合题意.
故选：C
3．已知向量，将绕原点按逆时针方向旋转得到，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】向量（5，12），
将绕原点按逆时针方向旋转90°得到，点B的坐标（﹣12，5），如图：
所以．
故选D．
4．以原点O及点A（5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB，使A=90°，则的坐标为（　　）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【解析】设，，因为三角形OAB是等腰直角三角形，且,所以,即,解方程组得
或所以或,故本题选B.
5．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量（即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为各单位）。设开始时点P的坐标为（-10，10），求5秒后点P的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，由于点P在平面上作匀速直线运动，速度向量,那么可知设开始时点P的坐标为（-10，10），则5秒后向右运动了20，-10+20=10，向下运动了15， 10-15=-5那么可知该点的坐标为，故选C.
6．已知向量的方向与x轴的正方向的夹角是30°，且||=4，则的坐标为____.
【答案】(2，2)
【解析】设=(x，y)，则x=4cos30°=2，
y=4sin30°=2，故=(2，2).
故答案为：(2，2)
7．若向量与相等，其中，则=_________.
【答案】-1
【解析】由可得，又，所以=0且=2，解得.
考点:向量的端点坐标与向量坐标间的关系，相等向量坐标间关系.
8．已知是平面内两个相互垂直的单位向量，且，，，求的坐标.
【答案】， ，
【解析】，又是（标准）正交基底，，
即的坐标为，同理的坐标为，的坐标为.
能力提升
9．如上图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量用基底，表示为(　　)
A．＋ B．2－ C．－2＋ D．2＋
【答案】C
【解析】以向量的起点为原点，向量所在直线为x轴建立平面直角坐标系．设正方形的边长为1，则．
设，则，
∴，解得，所以．选C．
10．在平面直角坐标系中，已知，，点在第一象限内，，且，若，则+的值是　　　　　　．
【答案】
【解析】因为，，，所以，因为点在第一象限内，，且，则，，且，，解得，，因此,
故答案为.
11．在直角坐标系中，向量，的方向如图所示，且，，分别求出它们的坐标．
【答案】．
【解析】设点，
∵，且，
∴，．
又，
∴，．
故，．
素养达成
12．已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，是x轴上的单位向量,是y轴上的单位向量，试求和的坐标．
【答案】，
【解析】由题图知，轴，轴．
∵，，∴，
∴．
∵，
∴，∴．
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