人教A版（2019）高中数学必修第二册 6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示_6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示巩固提升（含解析）

6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示
6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示
课后篇巩固提升
基础巩固
1.若a=(6,6),b=(5,7),c=(2,4),则下列结论成立的是 (　　)
　 　　　　　　 　　　　　　 　　　
A.a-c与b共线 B.b+c与a共线
C.a与b-c共线 D.a+b与c共线
2.已知点A(-1,-5),向量a=(-1,0),b=(1,-1),当=a+2b时,点B的坐标为(　　)
A.(2,7) B.(0,-7)
C.(3,-6) D.(-4,5)
3.已知a=(-5,6),b=(-3,2),c=(x,y),若a-3b+2c=0,则c等于(　　)
A.(-2,6) B.(-4,0)
C.(7,6) D.(-2,0)
4.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若a-2b与非零向量ma+nb共线,则等于(　　)
A.-2 B.2 C.- D.
5.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且=2,则顶点D的坐标为(　　)
A. B.
C.(3,2) D.(1,3)
6.已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=　　　　　.
7.已知平面向量a=(2,1),b=(m,2),且a∥b,则3a+2b=　　　　　　　.
8.已知=(-2,m),=(n,1),=(5,-1),若点A,B,C在同一条直线上,且m=2n,则m+n=　　　　　.
9.已知点A(-1,2),B(2,8),及=-,求点C,D和的坐标.
10.已知点A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x).
(1)求实数x的值,使向量共线;
(2)当向量共线时,点A,B,C,D是否在一条直线上
11.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,且=3c,=-2b.
(1)求3a+b-3c;
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;
(3)求M,N的坐标及的坐标.
12.
如图,已知△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),,AD与BC相交于点M,求点M的坐标.
能力提升
1.已知点A(,1),B(0,0),C(,0).设∠BAC的平分线AE与BC相交于点E,设=λ,则λ等于(　　)
A.2 B. C.-3 D.-
2.设向量a=(a1,b1),b=(a2,b2),定义一种运算“ ”,向量a b=(a1,b1) (a2,b2)=(a2b1,a1b2).已知m=,n=,点P(x,y)在y=sin x的图象上运动,点Q在y=f(x)的图象上运动且满足=m +n(其中O为坐标原点),则y=f(x)的最小值为 (　　)
A.-1 B.-2 C.2 D.
3.设向量绕点O逆时针旋转得向量,且2=(7,9),且向量=　　　　　.
4.平面上有A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三点,点C在直线AB上,且,连接DC延长至E,使||=|,则点E的坐标为　　　　　　　 .
5.
如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB的交点P的坐标.
6.已知点O是△ABC内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设=a,=b,=c且|a|=2,|b|=1,|c|=3,求向量的坐标.
6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示
6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示
课后篇巩固提升答案
基础巩固
1.若a=(6,6),b=(5,7),c=(2,4),则下列结论成立的是 (　　)
　 　　　　　　 　　　　　　 　　　
A.a-c与b共线 B.b+c与a共线
C.a与b-c共线 D.a+b与c共线
答案C
解析∵b=(5,7),c=(2,4),∴b-c=(3,3).
∴b-c=a.∴a与b-c共线.
2.已知点A(-1,-5),向量a=(-1,0),b=(1,-1),当=a+2b时,点B的坐标为(　　)
A.(2,7) B.(0,-7)
C.(3,-6) D.(-4,5)
答案B
解析∵a=(-1,0),b=(1,-1),
∴a+2b=(-1,0)+2(1,-1)=(1,-2).
设点B的坐标为(x,y),
则=(x+1,y+5),
∴由已知得(x+1,y+5)=(1,-2),
∴解得
∴点B的坐标为(0,-7).
3.已知a=(-5,6),b=(-3,2),c=(x,y),若a-3b+2c=0,则c等于(　　)
A.(-2,6) B.(-4,0)
C.(7,6) D.(-2,0)
答案D
解析∵a-3b+2c=0,
∴(-5,6)-(-9,6)+(2x,2y)=(0,0),
即
即c=(-2,0).故选D.
4.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若a-2b与非零向量ma+nb共线,则等于(　　)
A.-2 B.2 C.- D.
答案C
解析因为向量a=(2,3),b=(-1,2),
所以a-2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1),ma+nb=(2m-n,3m+2n).
因为a-2b与非零向量ma+nb共线,
所以,解得14m=-7n,=-.
5.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且=2,则顶点D的坐标为(　　)
A. B.
C.(3,2) D.(1,3)
答案A
解析设顶点D的坐标为(x,y),
因为=(4,3),=(x,y-2),且=2,
所以所以所以选A.
6.已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=　　　　　.
答案
解析2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,λ),
由c∥(2a+b),得4λ-2=0,得λ=.
7.已知平面向量a=(2,1),b=(m,2),且a∥b,则3a+2b=　　　　　　　.
答案(14,7)
解析因为向量a=(2,1),b=(m,2),且a∥b,
所以1·m-2×2=0,解得m=4.所以b=(4,2).
故3a+2b=(6,3)+(8,4)=(14,7).
8.已知=(-2,m),=(n,1),=(5,-1),若点A,B,C在同一条直线上,且m=2n,则m+n=　　　　　.
答案9或
解析　=(n,1)-(-2,m)=(n+2,1-m),
=(5,-1)-(n,1)=(5-n,-2).
因为A,B,C共线,所以共线,
所以-2(n+2)=(1-m)(5-n). ①
又m=2n, ②
解①②组成的方程组得
所以m+n=9或m+n=.
9.已知点A(-1,2),B(2,8),及=-,求点C,D和的坐标.
解设点C,D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则=(x1+1,y1-2),=(3,6),=(-1-x2,2-y2),=(-3,-6).
∵=-,∴(x1+1,y1-2)=(3,6),(-1-x2,2-y2)=-(-3,-6),
即(x1+1,y1-2)=(1,2),(-1-x2,2-y2)=(1,2).
∴
∴点C,D的坐标分别为(0,4)和(-2,0).
故=(-2,-4).
10.已知点A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x).
(1)求实数x的值,使向量共线;
(2)当向量共线时,点A,B,C,D是否在一条直线上
解(1)=(x,1),=(4,x).
∵,∴x2=4,x=±2.
(2)由已知得=(2-2x,x-1),
当x=2时,=(-2,1),=(2,1),
∴不平行,此时A,B,C,D不在一条直线上.
当x=-2时,=(6,-3),=(-2,1),
∴,此时A,B,C三点共线.
又,∴A,B,C,D四点在一条直线上.
综上,当x=-2时,A,B,C,D四点在一条直线上.
11.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,且=3c,=-2b.
(1)求3a+b-3c;
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;
(3)求M,N的坐标及的坐标.
解a==(5,-5),b==(-6,-3),c==(1,8).
(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).
(2)∵a=mb+nc,
∴(5,-5)=m(-6,-3)+n(1,8).
∴
(3)设M(x1,y1),由=3c,
得(x1+3,y1+4)=3(1,8),∴
∴x1=0,y1=20.∴M(0,20).
同理,设N(x2,y2),由=-2b,
得(x2+3,y2+4)=-2(-6,-3).
∴解得
∴N(9,2).∴=(9,-18).
12.
如图,已知△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),,AD与BC相交于点M,求点M的坐标.
解因为(0,5)=,所以C.因为(4,3)=,所以D.
设M(x,y),则=(x,y-5),-(0,5)=.因为,所以-x-2(y-5)=0,
即7x+4y=20. ①
因为,
所以x-4=0,即7x-16y=-20. ②
联立①②,解得x=,y=2,故点M的坐标为.
能力提升
1.已知点A(,1),B(0,0),C(,0).设∠BAC的平分线AE与BC相交于点E,设=λ,则λ等于(　　)
A.2 B. C.-3 D.-
答案C
解析如图,由已知得,∠ABC=∠BAE=∠EAC=30°,∠AEC=60°,|AC|=1,
∴|EC|=.
∵=λ,λ<0,
∴|λ|==3.∴λ=-3.
2.设向量a=(a1,b1),b=(a2,b2),定义一种运算“ ”,向量a b=(a1,b1) (a2,b2)=(a2b1,a1b2).已知m=,n=,点P(x,y)在y=sin x的图象上运动,点Q在y=f(x)的图象上运动且满足=m +n(其中O为坐标原点),则y=f(x)的最小值为 (　　)
A.-1 B.-2 C.2 D.
答案B
解析由题意知,点P的坐标为(x,sin x),
则=m +n=.又因为点Q在y=f(x)的图象上运动,所以点Q的坐标满足y=f(x)的解析式,即y=2sin.所以函数y=f(x)的最小值为-2.
3.设向量绕点O逆时针旋转得向量,且2=(7,9),且向量=　　　　　.
答案
解析设=(m,n),则=(-n,m),
所以2=(2m-n,2n+m)=(7,9),即解得因此.
4.平面上有A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三点,点C在直线AB上,且,连接DC延长至E,使||=|,则点E的坐标为　　　　　　　 .
答案
解析设C(x1,y1),依题意有(x1-2,y1+1)=(x1-1,y1-4),解得即C(3,-6).
又依题意可得,
设E(x0,y0),所以(x0-3,y0+6)=(x0-4,y0+3),
解得故点E坐标为.
5.
如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB的交点P的坐标.
解法一由O,P,B三点共线,
可设=λ=(4λ,4λ),
则=(4λ-4,4λ),=(-2,6).
由共线得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,
解得λ=,所以=(3,3),
所以点P的坐标为(3,3).
解法二设P(x,y),则=(x,y),因为=(4,4),
且共线,所以,即x=y.
又=(x-4,y),=(-2,6),且共线,
则得(x-4)×6-y×(-2)=0,解得x=y=3,
所以点P的坐标为(3,3).
6.已知点O是△ABC内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设=a,=b,=c且|a|=2,|b|=1,|c|=3,求向量的坐标.
解如图所示,以点O为原点,所在直线为x轴的非负半轴,建立平面直角坐标系.
∵||=1,∠AOB=150°,
∴B(-cos 30°,sin 30°),
∴B.
∵||=3,
∴C(-3sin 30°,-3cos 30°),
即C.又A(2,0),
∴-(2,0)=.