人教A版（2019）高中数学必修第二册 6.3.5　平面向量数量积的坐标表示巩固提升（有解析）

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示
课后篇巩固提升
基础巩固
1.向量a=(-1,2),b=(1,3),下列结论正确的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.a∥b B.a⊥b
C.a∥(a-b) D.a⊥(a-b)
2.a,b为平面向量,已知a=(1,2),b=(1,0),则a,b夹角的余弦值等于(　　)
A. B.- C. D.-
3.已知=(2,3),=(3,t),||=1,则= (　　)
A.-3 B.-2 C.2 D.3
=(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2.故选C.
4.在平行四边形ABCD中,=(1,0),=(2,2),则等于(　　)
A.4 B.-4 C.2 D.-2
2=(0,2).
故=(1,2)·(0,2)=0+4=4.
5.在矩形ABCD中,AB=2,AD=2,点E为线段BC的中点,点F为线段CD上的动点,则的取值范围是(　　)
A.[2,14] B.[0,12]
C.[0,6] D.[2,8]
6.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=(　　)
A. B. C.2 D.10
7.已知三点O(0,0),A(2,2),B(5,6),则||=　　　　　.
8.设向量a=(x+1,-x),b=(1,2),且a⊥b,则|a|=　　　　　.
9.已知a=(-1,3),b=(1,y).若a与b的夹角为45°,则y=　　　　.
10.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).
(1)若a∥b,求|a-b|;
(2)若a与b的夹角为锐角,求x的取值范围.
11.已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).
(1)求证:AB⊥AD;
(2)若四边形ABCD为矩形,求点C的坐标及矩形ABCD 两对角线所夹的锐角的余弦值.
能力提升
1.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,梯形所在平面内一点P满足=2,则=(　　)
A.- B.-1
C.-2 D.-2
2.已知a,b,c均为单位向量,且|a+b|=1,则(a-b)·c的取值范围是(　　)
A.[0,1] B.[-1,1]
C.[-] D.[0,]
3.已知向量a=(,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=,则b=　　　　　　　　.
4.如图,在△ABC中,=0,||=8,||=6,l为线段BC的垂直平分线,l与BC交于点D,E为l上异于D的任意一点.
(1)求的值;
(2)判断的值是否为一个常数,并说明理由.
5.已知向量a=(1,2),b=(cos α,sin α),设m=a+tb(t∈R).
(1)若α=,求当|m|取最小值时实数t的值;
(2)若a⊥b,问:是否存在实数t,使得向量a-b与向量m的夹角为 若存在,求出实数t;若不存在,请说明理由.
6.3.5　平面向量数量积的坐标表示
课后篇巩固提升答案
基础巩固
1.向量a=(-1,2),b=(1,3),下列结论正确的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.a∥b B.a⊥b
C.a∥(a-b) D.a⊥(a-b)
答案D
解析由a-b=(-2,-1),易得a·(a-b)=0,
故a⊥(a-b),选D.
2.a,b为平面向量,已知a=(1,2),b=(1,0),则a,b夹角的余弦值等于(　　)
A. B.- C. D.-
答案A
解析根据向量数量积的运算,设a,b向量的夹角为θ,则cos θ=.
3.已知=(2,3),=(3,t),||=1,则= (　　)
A.-3 B.-2 C.2 D.3
答案C
解析由=(1,t-3),||==1,得t=3,则=(1,0).所以=(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2.故选C.
4.在平行四边形ABCD中,=(1,0),=(2,2),则等于(　　)
A.4 B.-4 C.2 D.-2
答案A
解析如图,由向量的加减,可得=(1,2),-2=(0,2).
故=(1,2)·(0,2)=0+4=4.
5.在矩形ABCD中,AB=2,AD=2,点E为线段BC的中点,点F为线段CD上的动点,则的取值范围是(　　)
A.[2,14] B.[0,12]
C.[0,6] D.[2,8]
答案A
解析如图,A(0,0),E(2,1),
设F(x,2)(0≤x≤2),所以=(2,1),=(x,2),因此=2x+2,
设f(x)=2x+2(0≤x≤2),f(x)为增函数,
则f(0)=2,f(2)=14,故2≤f(x)≤14,的取值范围是[2,14].
6.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=(　　)
A. B. C.2 D.10
答案B
解析∵向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则有2x-4=0,-4-2y=0,解得x=2,y=-2,故a+b=(3,-1),故有|a+b|=,故选B.
7.已知三点O(0,0),A(2,2),B(5,6),则||=　　　　　.
答案5
解析由题意得=(3,4),
∴||=||==5.
8.设向量a=(x+1,-x),b=(1,2),且a⊥b,则|a|=　　　　　.
答案
解析因为a⊥b,所以a·b=0,则x+1+(-x)×2=0,解得x=1,则|a|=.
9.已知a=(-1,3),b=(1,y).若a与b的夹角为45°,则y=　　　　.
答案2
解析a·b=-1+3y,|a|=,|b|=,
∵a与b的夹角为45°,
∴cos 45°=.
解得y=2或y=-(舍去).
10.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).
(1)若a∥b,求|a-b|;
(2)若a与b的夹角为锐角,求x的取值范围.
解(1)因为a∥b,所以-x-x(2x+3)=0,
解得x=0或x=-2.
当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),
所以a-b=(-2,0),则|a-b|=2.
当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),
所以a-b=(2,-4),则|a-b|=2.
综上,|a-b|=2或2.
(2)因为a与b的夹角为锐角,
所以a·b>0,即2x+3-x2>0,解得-1又当x=0时a∥b,故x的取值范围是(-1,0)∪(0,3).
11.已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).
(1)求证:AB⊥AD;
(2)若四边形ABCD为矩形,求点C的坐标及矩形ABCD 两对角线所夹的锐角的余弦值.
(1)证明∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),
∴=(1,1),=(-3,3).
又=1×(-3)+1×3=0,
∴,∴AB⊥AD.
(2)解∵,四边形ABCD为矩形,
∴.
设点C的坐标为(x,y),则=(x+1,y-4).
又=(1,1),∴解得
∴点C的坐标为(0,5).
∴=(-2,4),=(-4,2),
∴||=2,||=2=8+8=16.设的夹角为θ,
则cos θ=.故矩形ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为.
能力提升
1.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,梯形所在平面内一点P满足=2,则=(　　)
A.- B.-1
C.-2 D.-2
答案B
解析建立如图所示的平面直角坐标系,因为AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,所以B(0,0),A(0,2),C(2,0),D(1,2),所以=(0,2),=(2,0),因为=2,所以2=(0,2)+(2,0)=(2,2),故=(1,1),故P(1,1),=(0,1),=(1,-1),
所以=0×1+1×(-1)=-1.
2.已知a,b,c均为单位向量,且|a+b|=1,则(a-b)·c的取值范围是(　　)
A.[0,1] B.[-1,1]
C.[-] D.[0,]
答案C
解析由a,b为单位向量和|a+b|=1的几何意义,可知|a-b|=,设a-b与c的夹角为θ,则(a-b)·c=|a-b||c|·cos θ=cos θ,∵cos θ∈[-1,1],
∴(a-b)·c的取值范围为[-].
3.已知向量a=(,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=,则b=　　　　　　　　.
答案
解析设b=(x,y).
∵|b|==1,∴x2+y2=1.
∵a·b=x+y=,∴x2+[(1-x)]2=1.
∴4x2-6x+2=0.∴2x2-3x+1=0.
∴x1=1,x2=,∴y1=0,y2=.
∵(1,0)是与x轴平行的向量,舍去,
∴b=.
4.如图,在△ABC中,=0,||=8,||=6,l为线段BC的垂直平分线,l与BC交于点D,E为l上异于D的任意一点.
(1)求的值;
(2)判断的值是否为一个常数,并说明理由.
解(1)以点D为坐标原点,BC所在直线为x轴,直线l为y轴建立平面直角坐标系,由题意易知|BC|=10,
则D(0,0),B(-5,0),C(5,0),A,
此时=(-10,0),
所以=-×(-10)+×0=14.
(2)是一个常数.理由如下:设点E的坐标为(0,y)(y≠0),此时,
所以=-×(-10)+×0=14,为常数,故的值是一个常数.
5.已知向量a=(1,2),b=(cos α,sin α),设m=a+tb(t∈R).
(1)若α=,求当|m|取最小值时实数t的值;
(2)若a⊥b,问:是否存在实数t,使得向量a-b与向量m的夹角为 若存在,求出实数t;若不存在,请说明理由.
解(1)当α=时,b=,a·b=,
∴|m|=,
∴当t=-时,|m|取得最小值.
(2)假设存在满足条件的实数t.
由条件得cos,
∵a⊥b,∴|a-b|=,
|a+tb|=,
(a-b)·(a+tb)=5-t,∴.
∴t2+5t-5=0,且t<5,得t=.
∴存在t=满足条件.