15.4角的平分线（2课时）
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课件27张PPT。15.4 角的平分线第1课时复习提问1、什么叫角平分线？一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。oBCA复习提问 2、点到直线距离:从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
在半透明的纸上画∠BAC，对折，使角的两条边完全重合，然后用直尺画出折痕OD.
可以看出，角是轴对称图形，对称轴是它的角平分线所在的直线.BCAD情景引入不利用作图工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？探究: 如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？用尺规作图的方法作出角的平分线已知：如图，∠AOB。
求作：∠AOB的平分线。画法： １．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ． ２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．３．作射线ＯＣ．BA.CE D过直线上一点作这条直线的垂线画法： １．以C为圆心，适当长为半径作弧，交ＡB于D,E． ２．分别以D，E为圆心．大于 1/2 DE的长为半径作弧．两弧交于F．３．作直线FＣ．直线FＣ即为所求．
FAD过直线外一点作这条直线的垂线BE.kc画法： １．任意取一点K，使K和 C在ＡB两 旁． 3．分别以D，E为圆心．大于 1/2 DE的长为半径作弧．两弧交于F．4．作直线FＣ。
2．以C为圆心，CK长为半径作弧，交ＡB于D,E．F15.4 角的平分线第2课时角平分线的性质 已知：如下图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。
求证：PD=PE。定理：角平分线上的点到角两边的距离相等∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)。证明：∴OC是∠AOB的平分线(已知)，∴∠1=∠2(角平分线的定义)。 ∵PD⊥OA，PE⊥OB(已知)，∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义)。在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO (已证)，∠1＝∠2(已证)，OP＝OP(公共边)，∴△PDO≌△PEO (AAS)。已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，
点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．证明： PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，在Rt △PDO 与Rt △PEO中∴∠PDO= ∠PEO=Rt ∠PD=PE（已知）｛OP=OP（公共边）∴Rt△PDO≌△PDO∴∠1=∠2 即点P在∠AOB的平分线上 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？
角平分线的判定定理：
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
角平分线的性质定理和角平分线的判定定理
是证明角相等、线段相等的新途径．
例1: 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P在∠BAC的角平分线上ABCMNP 证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）．
同理，PE=PF．
∴PD=PF．
∴AP平分∠BAC
已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F。
求证：点F在∠DAE的平分线上。变式 例2. 已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点P。
求证：（1）点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等；
（2）点P在∠DAE的平分线上。又∵ 点P在∠CBD的角平分线
∴ PM=PK（在角的平分线上的点
到这个角的两边的距离相等）
同理 PN=PK
∴ PM=PK=PN
即，点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等证明：（1）过点P分别作AB，AE，BC所在直线的垂线，垂足分别是点M，N，K.例3. 要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路和铁路距离相等，且离公路和铁路的交叉处500米，该集贸市场应建在何处？（比例尺 1：20 000）解：设要截取的长度为Ｘm,则： 解得：Ｘ＝0.025
0.025 m ＝2.5cm则点Ａ即为所求的点Ａ 例4.如图，已知△ABC的外角∠DAB和 ∠ABE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DCE的平分线上． 证明：过点F作FG⊥AD于G，FH⊥BE于H，FM⊥AB于M， ∵点F在∠DAB的平分线上， FG⊥AD，FM⊥AB，∴FG=FM． 又∵点F在∠ABE的平分线上，FH⊥BE， FM⊥AB，∴FM=FH，∴FG=FH， ∴点F在∠DAE的平分线上． ∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） ∴ = ，BD CD（×）判断：∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ = ，BD CD（×）∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）∴ = ，√不必再证全等1.如图，在△ABC中，D是BC的中点,DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。 求证：AD是△ABC的角平分线。巩固提高 2.在△ABC中， ∠ C=90 ° ，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3.求BD的长。 3.如图，在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB小结:2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．
3、角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。1、画一个已知角的角平分线；
在半透明的纸上画∠BAC，对折，使角的两条边完全重合，然后用直尺画出折痕OD.
可以看出，角是轴对称图形，对称轴是它的角平分线所在的直线.BCAD情景引入不利用作图工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？探究: 如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？用尺规作图的方法作出角的平分线已知：如图，∠AOB。
求作：∠AOB的平分线。画法： １．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ． ２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．３．作射线ＯＣ．BA.CE D过直线上一点作这条直线的垂线画法： １．以C为圆心，适当长为半径作弧，交ＡB于D,E． ２．分别以D，E为圆心．大于 1/2 DE的长为半径作弧．两弧交于F．３．作直线FＣ．直线FＣ即为所求．
FAD过直线外一点作这条直线的垂线BE.kc画法： １．任意取一点K，使K和 C在ＡB两 旁． 3．分别以D，E为圆心．大于 1/2 DE的长为半径作弧．两弧交于F．4．作直线FＣ。
2．以C为圆心，CK长为半径作弧，交ＡB于D,E．F15.4 角的平分线第2课时角平分线的性质 已知：如下图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。
求证：PD=PE。定理：角平分线上的点到角两边的距离相等∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)。证明：∴OC是∠AOB的平分线(已知)，∴∠1=∠2(角平分线的定义)。 ∵PD⊥OA，PE⊥OB(已知)，∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义)。在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO (已证)，∠1＝∠2(已证)，OP＝OP(公共边)，∴△PDO≌△PEO (AAS)。已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，
点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．证明： PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，在Rt △PDO 与Rt △PEO中∴∠PDO= ∠PEO=Rt ∠PD=PE（已知）｛OP=OP（公共边）∴Rt△PDO≌△PDO∴∠1=∠2 即点P在∠AOB的平分线上 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？
角平分线的判定定理：
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
角平分线的性质定理和角平分线的判定定理
是证明角相等、线段相等的新途径．
例1: 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P在∠BAC的角平分线上ABCMNP 证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）．
同理，PE=PF．
∴PD=PF．
∴AP平分∠BAC
已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F。
求证：点F在∠DAE的平分线上。变式 例2. 已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点P。
求证：（1）点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等；
（2）点P在∠DAE的平分线上。又∵ 点P在∠CBD的角平分线
∴ PM=PK（在角的平分线上的点
到这个角的两边的距离相等）
同理 PN=PK
∴ PM=PK=PN
即，点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等证明：（1）过点P分别作AB，AE，BC所在直线的垂线，垂足分别是点M，N，K.例3. 要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路和铁路距离相等，且离公路和铁路的交叉处500米，该集贸市场应建在何处？（比例尺 1：20 000）解：设要截取的长度为Ｘm,则： 解得：Ｘ＝0.025
0.025 m ＝2.5cm则点Ａ即为所求的点Ａ 例4.如图，已知△ABC的外角∠DAB和 ∠ABE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DCE的平分线上． 证明：过点F作FG⊥AD于G，FH⊥BE于H，FM⊥AB于M， ∵点F在∠DAB的平分线上， FG⊥AD，FM⊥AB，∴FG=FM． 又∵点F在∠ABE的平分线上，FH⊥BE， FM⊥AB，∴FM=FH，∴FG=FH， ∴点F在∠DAE的平分线上． ∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） ∴ = ，BD CD（×）判断：∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ = ，BD CD（×）∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）∴ = ，√不必再证全等1.如图，在△ABC中，D是BC的中点,DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。 求证：AD是△ABC的角平分线。巩固提高 2.在△ABC中， ∠ C=90 ° ，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3.求BD的长。 3.如图，在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB小结:2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．
3、角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。1、画一个已知角的角平分线；