13.3.1 等腰三角形的性质 精品课件(共31张PPT)

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名称 13.3.1 等腰三角形的性质 精品课件(共31张PPT)
格式 pptx
文件大小 2.4MB
资源类型 试卷
版本资源 人教版
科目 数学
更新时间 2022-11-25 14:25:11

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文档简介

(共31张PPT)
第十三章 轴对称
13.3 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
学习目标
1.理解并掌握等腰三角形的两条性质.(重点)
2.经历探索等腰三角形的性质的过程,并能运用等腰三角形的性质解决问题.(难点)
新课导入
1. 的三角形叫做等腰三角形.

底边
底角
顶角
两边相等
2. 等腰三角形中,相等的两边叫做 ,另一边叫做 ,两腰的夹角叫做 ,腰和底边的夹角叫做 .

底边
顶角
底角
新课导入
3.等腰三角形具备一般三角形所有的性质,如内角和为 °;
两边之和 第三边,两边之差 第三边.
180
大于
小于
探索新知
探究 如图,把一张长方形的纸按图中虚线对折,并剪去阴影部分,再把它展开,得到的△ABC有什么特点
剪刀剪过的两条边是相等的,即△ABC中AB=AC,所以△ABC是等腰三角形.
A
C
B
D
知识点 等腰三角形的性质
探索新知
探究 把剪出的等腰三角形ABC沿着折痕对折,找出其中重合的线段和角.
重合的线段:AB和AC,BD和CD;
知识点 等腰三角形的性质
A
C
B
D
重合的角:∠BAD=∠CAD,∠B=∠C,∠ADB=∠ADC.
探索新知
重合的线段:AB和AC,BD和CD;
重合的角:∠B=∠C,
∠BAD=∠CAD,
∠ADB=∠ADC.
A
C
B
D
由这些的重合的线段和角,你能发现等腰三角形的性质吗?说一说你的猜想.
猜想AD为△ABC底边BC上的中线.
猜想AD为△ABC顶角的平分线.
猜想AD为△ABC底边BC上的高线.
猜想等腰三角形的两个底角相等.
知识点 等腰三角形的性质
探索新知
A
C
B
D
猜想AD为△ABC底边BC上的中线.
猜想AD为△ABC顶角的平分线.
猜想AD为△ABC底边BC上的高线.
猜想等腰三角形的两个底角相等.
2.猜想AD既是△ABC顶角的平分线,也是底边BC上的中线、高线.
如何验证你的猜想呢?
1.
知识点 等腰三角形的性质
探索新知
验证方法一:折叠法
成立
在一张白纸上任意画一个等腰三角形,把它剪下来,请你试着折一折,你的猜想仍然成立吗?
知识点 等腰三角形的性质
A
C
B
D
探索新知
验证方法二:几何证明
A
B
C
D
如图,在△ABC中,AB=AC,
作底边的中线AD,则BD=CD.
∴ △BAD≌ △CAD (SSS).
∴∠B= ∠C,∠BAD= ∠CAD,∠ADB= ∠ADC.
又AB=AC,AD=AD,
还有其他的证法吗?
∵∠ADB+∠ADC=180°,∴∠ADB= ∠ADC=90°,即AD⊥BC.
猜想1得证
猜想2得证
知识点 等腰三角形的性质
探索新知
D
我作了顶角的平分线AD,则∠BAD=∠CAD.再根据“SAS”即可证得 △BAD≌ △CAD,所以∠B= ∠C,BD=CD,∠ADB= ∠ADC,从而得到AD⊥BC
A
B
C
猜想1得证
猜想2得证
知识点 等腰三角形的性质
探索新知
D
我作了底边BC上的高AD,则∠ADB=∠ADC=90°.再根据“HL”即可证得Rt △BAD≌ Rt △CAD,所以∠B= ∠C,∠BAD=∠CAD,BD=CD
A
B
C
猜想1得证
猜想2得证
知识点 等腰三角形的性质

探索新知
等腰三角形的性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).
该性质定理的几何语言:
如图,在△ABC中,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
A
B
C
知识点 等腰三角形的性质
探索新知
等腰三角形的性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”).
该性质定理的几何语言:
如图,在△ABC中,
①∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴AD⊥BC,BD=CD.
②∵AB=AC,AD⊥BC, ∴AD平分∠BAC,BD=CD.
③∵AB=AC,BD=CD, ∴AD平分∠BAC,AD⊥BC.
A
B
C
知识点 等腰三角形的性质
探索新知
A
B
C
D
例1 如图,在△ABC中 ,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.
解:∵AB=AC,BD=BC=AD,
∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD(等边对等角).
设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x,
于是在△ABC中,有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180° .
解得x=36°.所以,在△ABC中,∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.
知识点 等腰三角形的性质
探索新知
例2 等腰三角形的一个内角为70°,则另外两个内角的度数分别是( )
A.55°, 55° B.70°, 40°或70°, 55°
C.70°, 40° D. 55°,55°或70°, 40°
D
【解析】因为题干中没有说明70°角是顶角还是底角,所以应分情况讨论.当70°的角是底角时,顶角的度数为40°;当70°的角是顶角时,两底角相等,均为55°.故选D.
知识点 等腰三角形的性质
探索新知
【变式】等腰三角形的一个内角为100°,则另外两个内角的度数分别是
.
40°和40°
【解析】题干中没有说明100°角是顶角还是底角,但分析可知,该角只能是顶角.而两底角相等,根据三角形的内角和定理易得底角是40°.
知识点 等腰三角形的性质
在等腰三角形中,若已知角为钝角或直角,则这个角只能是顶角;若已知角是锐角,则这个角可能是顶角,也可能是底角,要分情况讨论.
探索新知
(1)“等边对等角”是证明三角形中两个角相等的常用方法,这种方法比利用三角形全等证明两个角相等更方便.
(2)在等腰三角形中,依据三角形内角和等于180°,可以由顶角求底角,也可以由底角求顶角.
知识点 等腰三角形的性质
探索新知
(2)如果已知一个内角,则这个角可能是底角也可能是顶角,要分两种情况讨论.
(1)应用“等边对等角”的前提条件是在同一个三角形中,不在同一个三角形中不能使用.
知识点 等腰三角形的性质
(3)等腰三角形的顶角可以是直角、钝角、锐角,而底角只能是锐角.
探索新知
【变式】如图,在△ABC中,已知AB=AC,D为BC的中点,若∠BAD=35°,则∠C的度数为( )
A.35° B.45° C.55° D.60°
例3 如图, AD是等腰三角形ABC的顶角平分线, BD=5,则CD等于( )
A.10 B.5 C.4 D.3
B
C
知识点 等腰三角形的性质
探索新知
例4 如图,已知AB=AC,点D,E在△ABC的边BC上,且AD=AE,求证:BD=CE.
证明:过点A作AG⊥BC于点G.
∵AB=AC,AD=AE,
∴BG=CG,DG=EG,
∴BG-DG=CG-EG,
∴BD=CE.
知识点 等腰三角形的性质
G
探索新知
(1)“三线合一”这一性质应用非常广泛,可以用来证明角相等、线段相等或线段垂直,也是等腰三角形中常作的辅助线.
(2)等腰三角形是轴对称图形,对称轴为顶角平分线(或底边上的高或底边上的中线)所在的直线.
应用“三线合一”的前提条件是等腰三角形,且必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线才能互相重合.
知识点 等腰三角形的性质
课堂小结
等腰三角形的性质
性质1
性质2
等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).
内容
注意事项
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”).
该性质是指在同一个三角形中
注意事项
内容
在等腰三角形中,且为顶角的平分线、底边上的高和中线才有这一性质.
课堂练习
1.如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=46°,CD⊥AB于D,则∠DCB等于(  )
A.33° B.30° C.26° D.23°
D
课堂练习
2.如图,AB∥CD,点E在线段BC上,CD=CE .若∠ABC=30°,则∠D的度数为( )
A. 85° B.75° C.65° D.30°
B
课堂练习
3.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,DE=2,则BF的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
B
【解析】∵在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,
∴AD是△ABC的中线.∴S△ABC=2S△ABD.
∵DE⊥AB于点E,DE=2,∴S△ABD= AB DE=AB.
∵BF⊥AC于点F,∴S△ABC= AC BF.∴ AC BF=2AB.
∵AC=AB,∴BF=4.故选B.
课堂练习
4.下列说法正确的有 .(填序号)
①等腰三角形的顶角一定是钝角.
②等腰三角形的底角可能是锐角,也可能是直角或者钝角.
③钝角三角形不可能是等腰三角形.
④等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.
⑤等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.
⑥等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.
④⑥
课堂练习
5.(1)等腰三角形一个底角为65°,则它的另外两个角为 ;
(2)等腰三角形一个角为36°,则它的另外两个角为 ;
(3)等腰三角形一个角为90°,则它的另外两个角为 .
65°, 50°
72°,72°或36°,108°
45°,45°
课堂练习
6.△ABC中,D、E在BC上,且EA=EB,DA=DC,若∠EAD=30°,则∠BAC=   .
【解析】∵∠EAD=30°,
∴∠AED+∠ADE=150°,
∵EA=EB,DA=DC,∴∠B=∠BAE,∠C=∠CAD,
又∠AED+∠ADE=∠B+∠BAE+∠C+∠CAD,
∴∠AED+∠ADE=2∠BAE+2∠CAD,即150°=2(∠BAE+∠CAD),
∴∠BAE+∠CAD=75°,∴∠BAC=75°+30°=105°.
故答案为105°.
105°
课堂练习
7.在△ABC中,AB=AC,∠B的角平分线与AC边所夹的锐角为60°,求∠A的度数.
解:如图2,当∠AEB=60°时,
∵AB=AC,∴∠ABC=∠C= (180°﹣∠A),
∴∠ABE= ∠ABC= (180°﹣∠A),
∵∠ABE+∠A+∠AEB=180°,
∴ (180°﹣∠A)+∠A+60°=180°,
∴∠A=100°,
综上所述,∠A的度数为20°或100°.
谢谢
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