数学人教A版（2019）必修第一册4.5.1函数的零点与方程的解（共48张ppt）

(共48张PPT)
4.5　函数的应用（二）
4.5.1函数的零点与方程的解
第1课时
教学目标
1、了解函数（结合二次函数）零点的概念（数学抽象、
直观想象）
2、理解函数零点与方程的根以及函数图象与x轴交点的
关系,掌握零点存在性定理的运用；（逻辑推理、数学运算）
3、在认识函数零点的过程中，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养数学数形结合及函数思想. （逻辑推理、直观想象）
你能推广到更一般的情况吗
结论：一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标。若一元二次方程无实数根，则相应的二次函数图像与x轴无交点。
探究 新 知
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0
的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
函数零点的概念：
问2．函数的零点是一个点吗？
提示：函数的零点并不是指一个点，而是一个自变量x的值，它使得函数值y＝f(x)＝0，即方程f(x)＝0的根．
问题3: 试归纳函数零点的等价说法？
方程f (x)＝0有实数根
函数y＝f (x)的图象与x轴有交点
函数y＝f (x)有零点
探究 1：归纳函数零点的等价说法、零点与函数图象的关系怎样？
【评析】
(1)函数y=f(x)的零点、方程f(x)=0的根、函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程f(x)=0根的个数就是函数y=f(x)的零点的个数，亦即函数y=f(x)的图像与x轴交点的个数.
(2)求函数y=f(x)的零点就是求方程f(x)=0的根；反之，求方程f(x)=0的根就是求函数y=f(x)的零点.
探究2： 如何求函数的零点？
判别式 方程 ax2＋bx＋c＝0 的根 函数
y＝ax2＋bx＋c
的零点
＞0
＝0
＜0
二次函数的零点如何判定
对于二次函数y＝ax2＋bx＋c与二次方程
ax2＋bx＋c＝0 ，其判别式 ＝b2－4ac.
两不相等实根
两个零点
两相等实根
一个零点
没有实根
0个零点
例1.求下列函数的零点：
解：
（1）令
则
即
得
故函数 的零点为－1，1，2.
（2）令
则
即
故函数 的零点为4.
跳 起 来 摘 下 丰 收 果
根据函数零点的定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根．因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．
说明：
变式1. 求函数
的零点个数
（易错，你注意了吗）
思考： 现在有两组镜头（如图），哪
一组能说明她的行程一定曾渡河
第1组
第2组
探究3
观察二次函数
f
(
x
)
＝
x
2
―
2
x
―
3
的图象，
如右图，我们发现函数
f
(
x
)
＝
x
2
―
2
x
―
3
在
区间
[
―
2, 1]
上有零点
.
计算
f
(
―
2)
f
(1)
的
乘积
，
你能发现这个乘积有什么
特点？在区间
[2, 4]
上是否
也具有这种特点呢？
x
y
O
1
2
3
4
3
1
2
4
－1
－2
－2
－1
－3
－4
可以发现，
函数
在区间(－2 , 1)
内有零点
它是方程
的一个根.
同样地，
函数
在(2 , 4)
内有零点
它是方程：
的另一个根.
x
y
O
1
2
3
4
3
1
2
4
－1
－2
－2
－1
－3
－4
结 论：
如果函数y＝f(x)在区间[a, b]上的
图象是连续不断的一条曲线，并且有
f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区
间(a, b)内有零点，即存在c∈(a, b)，
使得f(c)＝0, 这个c也就是方程f(x)＝0
的根.
1．在(a，b)上有零点,一定有f(a)·f(b)<0吗？
提示：不一定．这必须根据函数在(a，b)上
的单调变化，如y＝x2在(－1,1)内有零点，但
f(－1)·f(1)>0.
深度学习：
2.连续函数y＝f(x)在区间[a，b]上有
f(a)·f(b)＜0,说明f(x)在(a，b)上有唯
一零点
提示：不一定．如图：
x
y
O
若f(x)的图象在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0，
则f(x)在(a，b)上必有零点；若f(a)·f(b)>0，
则f(x)在(a，b)上不一定没有零点．
函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(　　)
A．(－2，－1)　B．(－1,0)
例2.
C．(0,1) D．(1,2)
解：
∵ f(x)＝2x＋3x在R上为增函数．
且 f(－2)＝2－2－6＜0，
f(－1)＝2－1－3＜0，
f(0)＝20＝1＞0，
f(1)＝2＋3＝5＞0，
f(2)＝22＋6＞0，
∴ f(－1)f(0)＜0，
故函数f(x)在(－1,0)上有零点．
B
【点拨】说明函数的单调性,也就说明了函数零点的
唯一性．
学以致用
用 数 学 的 思 维 思考世界
你能给出这个函数是增函数的证明吗
用 数 学 的 眼 光 观察世界
函数y=lnx+2x-6的零点有___个,并指出零点大致区间为_____.
1
(2,3)
例3 求函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点个数.
解：
∵函数f(x)＝lnx＋2x－6
在定义域
上图象连续不断且单调递增，
且
∴函数f(x)＝lnx＋2x－6在定义域内只有一个零点.
方法二：求函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点个数
即是求方程lnx＋2x－6=0的解的个数，
画图可知这两个函数图象只有1个交点.
∴函数f(x)＝lnx＋2x－6零点只有一个.
即求y=lnx和y=－2x＋6=0图象交点个数.
变式（1）：指出下列函数
零点所在的大致区间.
变式2.2：函数
在(1,2)上有零点，求 的范围
答案(1)(0,1);
(2)
触 类 旁 通 举 一 反 三
触 类 旁 通 举 一 反 三
备选例题
触 类 旁 通 举 一 反 三
备选例题
1、一个概念、一个定理
你会了吗？
四、小结
2、两种思想：函数与方程，数形结合
勤 于 总 结 敢 于 创 新
（1）函数零点的概念
（2）函数零点的等价说法
（3）零点存在性定理及推论
3、掌握零点的三种求法技巧：方程法，零点存在性定理（结合单调性），数形结合
4.三种题型：
求函数的零点；判断零点个数；
求零点所在区间.
课后作业
P114练习T1，T2，
P155习题4.5T1，T2，T3
T7
好 习 惯 受 益 终 身
4.5　函数的应用（二）
4.5.1函数的零点与方程的解
第2课时
教学目标
1.探究函数有零点或方程有解的问题
（直观想象、逻辑推理）
2.本节课结合二次函数的图象，判断一元二次方程根
的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根
的联系；通过图像进一步掌握零点存在的判定定理.
（直观想象、逻辑推理）
3、学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养等价转化、数形结合及函数与方程的思想. （逻辑推理、直观想象）
函数的零点定义：
温故知新
等价关系
方程f (x)＝0有实数根
函数y＝f (x)的图象与x轴有交点
函数y＝f (x)有零点
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
零点存在定理： 如果函数y＝f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a, b)内有零点，即存在c∈(a, b)，使得f(c)＝0, 这个c也就是方程f(x)＝0的根.
一个关系：函数零点与方程根的关系.
一个定理：零点存在性定理.
三种题型：
求函数的零点；
判断零点个数；
求零点所在区间.
两种思想：
函数方程思想；
数形结合思想.
温故知新
函数零点
与方程的解
三种解法：
定义法；
判断零点个数；
求零点所在区间.
探 究 函 数 有 零 点
例2.关于x的方程x2+（m-3)x+m=0 满足下列条件 ，求m的范围
（1）有 两个正的实数根
（2）有两个负的实数根
例2.关于x的方程x2+（m-3)x+m=0 满足下列条件 ，求m的范围
法一：韦达法
法二：
（3）有一正一负实根
例2.关于x的方程x2+（m-3)x+m=0 满足下列条件 ，求m的范围
思考：以上三类可用初中韦达法解
把0变为其它常数,又如何选择方法解决
此问题呢？
法一：韦达法
法二：
x
y
x1
x2
o
k
探究一:一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)两实根均大于K
探究二:一元二次方程实根的分布
用 数 学 的 眼 光 观察世界直观想象
探究二:一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）
一根大于k,另一根小于k
x1f（k）
y
x
o
x1
x2
k
用 数 学 的 眼 光 观察世界直观想象
1
探究三：一元二次方ax2+bx+c=0(a>0) 的一个根在(m,n)，另一根在(p,q)
用 数 学 的 眼 光 观察世界直观想象
1
探究四：一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)两个实数根都在(m,n)
用 数 学 的 眼 光 观察世界直观想象
例3:若关于x的方程x2＋x＋a＝0的一个根大于1，另一个根小于1，求实数a的取值范围．
由题意知(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1<0，
即a＋1＋1<0，
即a的取值范围是a<－2.
法二：设f(x)=x2＋x＋a
y
x
o
x1
x2
1
设f(1)=1＋1＋a<0
解得a<－2.
优选法二:
用 数 学 的 眼 光 观察世界
例4.若方程 =m(x+1)的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,求实数m的取值范围.
用 数 学 的 思 维 思考世界
解:设g(x)=7x2-13x-2-m(x+1)=7x2-(13+m)x-(m+2),
由题意知,函数g(x)在(0,1)内有一个零点,在(1,2)内有一个零点,故需满足
解得-4练习:关于x的方程x2+（m-3)x+m=0 分别求满足下列的m的范围
（1）有一根小于-1,另一根大于-1
（2）两根均大于2
（4）一根大于-1小于2，另一根
大于3小于5
（3）两根均大于-1小于2
触 类 旁 通 举 一 反 三
【例1】 关于x的方程ax2-2(a+1)x+a=1(a≠0),求a为何值时:
(1)方程有一个正根和一个负根;
(2)方程的两个根都大于1.
解令f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1(a≠0).
(1)当原方程有一个正根和一个负根时,f(x)对应的草图可能如图①,②所示.
图①
图②
所以当0(2)当原方程的两个根都大于1时,f(x)对应的草图可能如图③,④所示.
图③
图④
因此原方程的两个根都大于1等价于
所以不存在实数a,使原方程的两个根都大于1.
用 数 学 的 语 言 表达
小结
若关于x的方程ax2+bx+c=0(a>0)实数根的分布问题，构造函数，数形结合（提醒：化a>0）
1.判别式
2.对称轴
3.特殊点对应的函数值
思想方法——化归思想 数形结合
你会了吗？
三看
作业
1、方程5x2-ax-1=0(a∈R)的一个根在区间
（-1，0）上，另一个在区间（1，2）上 ，
求a的取值范围。
2、已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象的零点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围。
3.已知集合A={x|x2－7x+10≤0}, B={x|x2－(2-m)x+5-m≤0},且B　 A,求实数m的取值范围.
好 习 惯 受 益 终 身