5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（第1课时）（学案）-高中数学人教A版（2019）必修第一册

第五章 三角函数
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（第1课时）
学案
一、学习目标
1.理解周期函数的概念，能熟练地求出简单三角函数的周期，并能根据定义进行简单的拓展.
2.根据之前所学和图象来研究三角函数的奇偶性，能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性.
二、基础知识
1.终边相同的角的三角函数值有什么关系？
2.正弦曲线具有什么特点？
3.余弦函数是否也具有上述特点？
4.周期函数：
5.最小正周期：
6. 正弦函数是周期函数，____________都是它的周期，最小正周期是___.同理，余弦函数是周期函数，_____________都是它的周期，最小正周期是____.
7. 求下列函数的周期
（1）（2）；（3）.
8. 回顾例2的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？
9. 一般地，函数及（其中，）的周期为_______.
10. 正弦函数是___函数，余弦函数是____函数.（填奇偶性）
11. 知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助？
三、习题检测
1.已知函数的最小正周期为，则（ ）
A.1 B. C.0 D.
2.设函数，，则是( )
A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数
3.下列函数中，周期为π的奇函数是( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则是( )
A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数
5.设,则“”是“为偶函数”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
6.已知函数的图像关于原点对称，且其最小正周期为2，则__________，__________.
7.若函数的最小正周期是，则__________.
答案以及解析
基础知识
1. 相同
2. “周而复始”，每隔2π就重复一次.
3. 是
4. 一般地，对于函数 ，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函
数.非零常数T叫做这个函数的周期.
5. 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期.
6. ；；；
7. 解：（1） 由周期函数的定义可知，的周期为.
（2）令的周期为，即
于是所以，由周期函数的定义知，的周期为.
（3）令，由得，且的周期为，即
，于是，所以
.由周期函数的定义可知，原函数的周期为.
8. 从例2中可以看出，这些函数的周期仅与自变量的系数有关.
本例是利用求周期，并由此观察周期与自变量系数的关系.
在中，是相对于自变量而言的.
9.
10.奇；偶
11. 对于一个周期函数，如果我们把握了它的一个周期内的情况，那么整个函数的情况也就把握了.
同样，对于一个偶函数，如果我们把握了它的对称轴一侧的情况，那么对称轴另一侧的情况也就把握了.
习题检测
1.答案：D
解析：因函数的最小正周期为，则，
，.故选：D.
2.答案：B
解析：的最小正周期为，定义域为R.
，
.
又，
是最小正周期为π的偶函数.
3.答案：B
解析：对于A，，是奇函数，周期，不符合题意；
对于B，，是奇函数，周期，符合题意；
对于C，，是偶函数，不符合题意；
对于D，，是偶函数，不符合题意.故选B.
4.答案：B
解析：，，
，
是最小正周期为π的偶函数，故选B.
5.答案：A
解析：时, 是偶函数，充分性成立；
但为偶函数时，,，推不出，必要性不成立.
故“”是“为偶函数”的充分而不必要条件.故选A.
6.答案：；
解析：由于函数的最小正周期为2，则，则.因为函数的图像关于原点对称，则，所以，又，因此.
7.答案：2
解析：本题考查正弦型函数的图象与性质.根据正弦函数的图象与性质，知函数的最小正周期是，解得.
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