高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.3.2函数的极值与最大（小）值 第二课时（学案）（有答案）

第五章 一元函数的导数及其应用
5.3.2函数的极值与最大（小）值
第二课时 函数的最值
学案
一、学习目标
1.了解函数的最大（小）值的概念，能够区分极值与最值.
2.能利用导数求某些函数给定闭区间上的最大值、最小值.
3.体会导数与最大（小）值的关系，掌握其应用.
二、基础梳理
1.函数最值与极值的关系：
一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
只要把函数的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值.
2.函数最值的求法：
一般地，求函数在区间上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求函数在区间上的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
3.画函数的大致图象的步骤：
（1）求出函数的定义域；
（2）求导数及函数的零点；
（3）用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，并得出的单调性与极值；
（4）确定的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；
（5）画出的大致图象.
三、巩固练习
1.已知函数在区间上的最大值、最小值分别为M，N，则的值为( )
A.2 B.4 C.20 D.18
2.函数有( )
A.最大值为1 B.最小值为1 C.最大值为e D.最小值为e
3.若函数在内有极小值，则b的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.函数在区间上的最大值为( )
A. B.-1 C.-e D.0
5.已知函数，则函数的最小值必在区间( )
A. B. C. D.
6.已知函数，则下列说法不正确的是( )
A.在区间单调递减
B.的最小值是
C.若函数有两个零点，则a的取值范围为
D.若函数有且只有一个零点，则
7.（多选）已知是的导函数，且，则( ).
A.
B.
C.的图象在处的切线的斜率为0
D.在上的最小值为1
8.（多选）已知函数，若函数的图象在处切线的斜率为3e，则下列结论中正确的是( )
A. B.有极大值
C.有最大值 D.有最小值0
答案以及解析
1.答案：C
解析：由题意，得，令，解得，，当时，；当时，，所以函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递增.因为，，，所以最大值，最小值，故.
2.答案：A
解析：，当时，；当时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以有最大值为.
3.答案：A
解析：，因为函数在内有极小值，所以，即，所以，故选A.
4.答案：B
解析：因为，当时，.当时，，所以的单调递增区间是，单调递减区间是.所以当时，取得极大值，也是最大值，为.故选B.
5.答案：B
解析：本题考查导数在研究函数最值上的应用.因为，所以其定义域为，显然在上是增函数.又，所以，使得，即，所以当时单调递减，当时单调递增，所以又在上是减函数，所以，即函数的最小值在区间上.故选B.
6.答案：D
解析：易知，令，得；令，得在处取得最小值，为，故A,B正确；数形结合可知，若函数有两个零点，则a的取值范围为，故C正确；若函数有一个零点，则或，故D错误.故选D.
7.答案：BC
解析：，，令，则，
，故B正确；
，故A错误；
的图象在处的切线的斜率为，故C正确；
，当时，，单调递减，当时，，单调递增，在上的最小值为，故D错误.故选BC.
8.答案：ABD
解析：，则，解得，故A正确；，当且仅当时取等号，则有最小值0，故D正确；，当时，，单调递增，当时，时，单调递减，当时，，单调递增，则当时函数取得极大值，故B正确，但该函数没有最大值，故C错误.故选ABD.
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