高中数学2023高考复习综合训练100题（8份打包含解析）

高中数学高考复习综合训练100题（含答案解析）
一、单选题
1．程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数，其中A的各位数中，，（2，3，4，5）出现0的概率为，出现1的概率为，记，当程序运行一次时，ξ的数学期望为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，其部分图象如图所示，则的解析式为
A． B．
C． D．
3．若函数f(x)和g(x)分别由下表给出：
x 1 2 3 4 x 1 2 3 4
f(x) 2 3 4 1 g(x) 2 1 4 3
满足g(f(x))＝1的x值是（ ）．A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知正方体，点是棱的中点，设直线为，直线为.对于下列两个命题：①过点有且只有一条直线与、都相交；②过点有且只有一条直线与、都成角.以下判断正确的是（ ）
A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题
5．若集合，，则
A． B． C． D．
6．双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．的定义域是，其导函数为，，其导数为，若，且（其中是自然对数的底数），则（ ）
A． B． C． D．
8．已知，为虚数单位，复数，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆E交于A，B两点.若四边形面积的最大值为8，则a的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
10．已知,且,则
A．0 B． C． D．1
11．下列各角中与终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
12．某校将5名插班生甲、乙、丙、丁、戊编入3个班级，每班至少1人，则不同的安排方案共有（ ）
A．150种 B．120种 C．240种 D．540种
13．对高三某班级的学生进行体能测试，所得成绩统计如下图所示，则该班级学生体能测试成绩的中位数为（ ）
A．80 B．85 C．82.5 D．83
14．准线方程为的抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
15．已知角终边上一点P的坐标为，则的值是
A． B． C． D．
16．由=4，确定的等差数列，当an=28时，序号等于（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
17．要得到函数的图像,可以将函数的图像沿轴
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
18．福利彩票“双色球”中红色球的号码可从编号为01，02，…，33的33组数中随机选取，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的号码，选取方法是从下列随机数表中第1行第6列的数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的号码为（ ）
A．23 B．09 C．02 D．17
19．用表示投掷一枚均匀的骰子所得的点数，利用的分布列求下列事件的概率，其中错误的是（ ）
A．掷出的点数是偶数的概率为； B．掷出的点数超过1的概率为；
C．掷出的点数大于3而不大于5的概率为； D．的期望为．
20．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
21．已知，则
A． B． C．2 D．
22．若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
23．函数的图像向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数，函数．若关于的方程在内有两个不同的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
24．已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（ ）
A． B．4 C．8 D．或8
25．已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
26．若，，则是的条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
27．在各项为正的递增等比数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
28．已知向量，，满足，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
29．已知实数，，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
30．正三棱柱中，，点在棱上，，则二面角的正切值是（ ）
A． B． C． D．3
31．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，现有如下说法：①至少有一个黑球与都是黑球是互斥而不对立的事件；②至少有一个黑球与至少有一个红球不是互斥事件；③恰好有一个黑球与恰好有两个黑球是互斥而不对立的事件；④至少有一个黑球与都是红球是对立事件.在上述说法中，正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
32．下面问题中，是排列问题的是（ ）
A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数
B．从40人中选5人组成篮球队
C．从100人中选2人抽样调查
D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合
33．有一副去掉了大小王的扑克牌，充分洗牌后，从中随机抽取一张，则抽到的牌为“黑桃”或“”的概率为（ ）
A． B． C． D．
34．在正项等比数列中，若，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
35．下列说法错误的是（ ）
A．回归直线过样本点的中心
B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1
C．在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位
D．对分类变量X与Y，随机变量的观测值越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小
36．下列命题中正确的是（ ）
A．当时，函数的图像是一条直线；
B．幂函数的图像都经过和点；
C．幂函数的定义域为；
D．幂函数的图像不可能出现在第四象限．
37．已知椭圆和双曲线有相同焦点，则（ ）
A． B． C． D．
38．下面诱导公式使用正确的是（ ）
A． B．
C． D．
39．下列四组对象中能构成集合的是（ ）.
A．本校学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点
C．很小的实数 D．倒数等于本身的数
40．已知函数，函数，直线分别与两函数交于、两点，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
41．已知x∈（e﹣1，1），令a＝lnx，b，c＝elnx，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a
42．书架上层放7本不同的语文书，书架下层放5本不同的数学书，从书架上层和下层各取一本书的取法有（ ）
A．12种 B．35种 C．7种 D．66种
43．已知集合，，若，则实数a的值为
A．1 B． C． D．
44．若直线与圆没有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－4，4） B．（－2，2）
C．（－∞，－4）U（4，＋∞） D．
45．在平面直角坐标系中，若双曲线(，)的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值为
A． B． C． D．
46．已知集合，，则为（ ）
A． B． C． D．
47．函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
48．已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率是（ ）
A．1 B．2 C． D．
49．已知，则（ ）
A． B． C． D．
50．某中学共有学生2500人，其中男生1500人，为了解该校学生参加体育锻炼的时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为50的样本，则样本中女生的人数为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
二、填空题
51．若，且，则与2的大小关系是______．
52．已知定义在上的奇函数满足，则______.
53．过点，且与直线垂直的直线方程为______.
54．已知函数的一个极值点为1，则在[-2，2]上的最小值为_____________．
55．已知是平面向量的一组基底，实数x，y满足，则_________.
56．已知，则与方向相同的单位向量________________.
57．函数是定义在上的奇函数，并且满足，当时，，则__________.
58．方程的实数解的个数为__________.
59．已知向量的夹角为，，则_______.
60．在中，，，为的重心，则________．
61．已知函数，则它的单调递增区间是_________
62．已知函数，对定义域内的任意都有，则实数的取值范围是______.
63．已知函数，则的值为______．
64．若的展开式中常数项为________.
65．一个圆锥被平行于底面的平面所截，若截面面积和底面面积之比为，则此圆锥的母线被分成上、下两部分之比为______．
66．函数的定义域为,则的取值范围为______.
67．已知数列是等比数列，，，则___________.
68．函数的定义域为，的定义域为，则__________
69．已知函数，，若，则的取值范围为 ______.
70．中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走里，第一日，第四日，第七日所走之和为里，则该男子的第三日走的里数为__________．
三、解答题
71．已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值与最小值.
72．已知定点，动点到点F的距离比它到y轴的距离大1．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)过的直线，分别与点P的轨迹相交于点M，N（均异于点Q），记直线，的斜率分别为，，若，求证：直线MN的斜率为定值．
73．如图，在平面直角坐标系中，圆交轴于、两点，交直线于、两点．
(1)若，求的值；
(2)设直线、的斜率分别为、，试探究斜率之积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
(3)证明：直线、的交点必然在一条定直线上，并求出该定直线的方程．
74．已知公差不为零的等差数列中，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，求证：.
75．下列情况中哪些适合用全面调查，哪些适合用抽样调查？说明理由
（1）了解某城市居民的食品消费结构；
（2）调查一个县各村的粮食播种面积；
（3）了解某地区小学生中患沙眼的人数；
（4）了解一批玉米种子的发芽率；
（5）调查一条河流的水质；
（6）某企业想了解其产品在市场的占有率.
76．已知sinα，且α为第二象限角．
（1）求sin2α的值；
（2）求tan（α）的值．
77．某大学为调研学生在、两家餐厅用餐的满意度，从在、两家都用过餐的学生中随机抽取了人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为分.整理评分数据，将分数以为组距分为组：、、、、、，得到餐厅分数的频率分布直方图和餐厅分数的频数分布表：
（1）在抽样的人中，求对餐厅评分低于的人数；
（2）从对餐厅评分在范围内的人中随机选出人，求人中恰有人评分在范围内的概率.
（3）如果从、两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由.
78．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，证明：.
79．为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内，，三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位．现通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位，其考评分数如下：
类行业：85，82，77，78，83，87；
类行业：76，67，80，85，79，81；
类行业：87，89，76，86，75，84，90，82．
（Ⅰ）计算该城区这三类行业中每类行业的单位个数；
（Ⅱ）若从抽取的类行业这6个单位中，再随机选取3个单位进行某项调查，求选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率．
80．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在，它的内角所对的边分别为，面积为，且，_____________
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
81．已知函数.
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）求在区间上的最大值.
82．如图，在直径为1的圆中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中．
（1）将十字形的面积表示成的函数；
（2）求十字形的最大面积．
83．已知向量,设函数
（1）求的最小正周期．
（2）求函数的单调递减区间．
（3）求在上的最大值和最小值．
84．已知函数．
(1)设函数，若在其定义域内恒成立，求实数a的最小值：
(2)若方程恰有两个相异的实根，，试求实数a的取值范围，并证明．
85．近日，某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数与空气污染指数的关系为：，其中空气污染指数与时刻（小时）和的算术平均数成反比，且比例系数为，是与气象有关的参数，．
(1)求空气污染指数的解析式和最大值；
(2)若用每天环境综合污染指数的最大值作为当天的综合污染指数，该市规定：每天的综合污染指数最大值不得超过1．试问目前市中心的综合污染指数是否超标？请说明理由．
86．声强级(单位:dB)由公式给出,其中I为声强(单位:).
(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为,能听到的最低声强为.求人听觉的声强级范围.
(2)平时常人交谈时的声强约为,求其声强级.
87．如图所示，在三棱柱中，，，四边形为菱形，，，D为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
88．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求B；
(2)若，，求c.
89．已知椭圆与椭圆有相同的离心率，且椭圆过点
（1）求椭圆的方程.
（2）若直线与椭圆交于、两点，求线段的垂直平分线的方程.
90．已知函数.
（1）当，解不等式；
（2）求证：
91．计算：
（1）
（2）
92．某网站的调查显示，健身操类 跑步类 拉伸运动类等健身项目在大众健康项目中是比较火热的，但是大多数人的健身科学类知识相对缺乏，尤其是在健身指导方面.从某健身房随机抽取200名会员，对其平均每天健身时间进行调查，如下表，健身之前他们的体重情况如柱状图（1）所示，该健身房的教练为他们制订了健身计划，四个月后他们的体重情况如柱状图（2）所示.
平均每天健身时间(分钟)
人数 20 36 44 50 40 10
（1）若这200名会员的平均体重减少不低于，就认为该计划有效，根据上述柱状图，试问：该计划是否有效？(每组数据用该组区间的中点值作代表)
（2）请根据图中数椐填写下面的列联表，试问：是否有99%的把握认为平均每天健身时间与会员健身前的体重有关？
平均每天健身时间低于60分钟 平均每天健身时间不低于60分钟 合计
健身前体重低于
健身前体重不低于 80
合计 200
（3）以这200名会员平均每天健身时间的频率，代替该健身房1名会员平均每天健身时间发生的概率，若在该健身房随机调查12名会员，则其中平均每天的健身时间不低于70分钟的人数最有可能(即概率最大)是多少？
参考公式：，其中.
参考数据：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
93．2020年一场突如其来的疫情让亿万中华儿女的心再一次凝结在一起，为控制疫情，让广大发热患者得到及时有效的治疗，武汉市某社区决定临时修建一个医院.医院设计平面图如图所示：矩形中，米，米，图中区域为诊断区（、分别在和边上），、及区域为治疗区.受诊断区医疗设备的实际尺寸影响，要求的大小为.
(1)若按照米的方案修建医院，问诊断区是否符合要求？
(2)按照疫情现状，病人仍在不断增加，因此需要治疗区的面积尽可能的大，以便于增加床位，请给出具体的修建方案使得治疗区面积最大，并求出最大值.
94．在锐角三角形中，角的对边分别为，且成等差数列
（1）若，求
（2）若为的最大内角，求的取值范围
95．已知函数，其中是自然对数的底数.
(1)当时，求函数的导函数的单调区间；
(2)若函数有两个不同极值点，且；
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：.
96．已知向量，满足，，且．
（1）求向量的坐标；
（2）求向量与的夹角．
97．如图，矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线在x轴上方的曲线上，求矩形面积最大时的边长.
98．设函数（且）的图像经过点.
（1）解关于x的方程；
（2）不等式的解集是，试求实数a的值.
99．如图，四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，，．
(1)求证：平面ABCD；
(2)设点M是BD中点，求二面角的余弦值．
100．2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，此法典被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法.民法典与百姓生活密切相关，某学校有800名学生，为了解学生对民法典的认识程度，选取了100名学生进行测试，制成如图所示频率分布直方图.
（1）求m的值并估计该学校成绩超过80分的人数；
（2）估计抽查学生测试成绩的中位数；（结果用分数形式表示）
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B【解析】由题意知的可能取值是1，2，3，4，5，结合变量对应的事件和独立重复试验公式求出概率（以为例，当时，表示后四个数字中恰好出现了3个，然后算出期望．
【详解】由题意知的可能取值是1，2，3，4，5
当时，表示后四个数字都是0，，
当时，表示后四个数字中有一个1，
同理可得：
，
故选：B
【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查独立重复试验的概率公式，是一个综合题，解题的关键是读懂题意．
2．D【解析】根据图像可得函数周期，最值，则可得，再根据五点作图法求得即可.
【详解】由图可知，解得；
又因为，故可得；
由五点作图法可知，解得，
故.
故选：D.
【点睛】本题考查由正弦型函数的图像求解函数解析式，属基础题.
3．A【分析】从外到内逐步求值．
【详解】解：∵g(f(x))＝1，
∴f(x)＝2，
∴x＝1，
故选：A．
【点睛】本题主要考查函数的表示法——列表法，属于基础题．
4．B【分析】作出过P与两直线相交的直线l判断①；通过平移直线a，b，结合异面直线所成角的概念判断②．
【详解】解：直线AB与A1D1 是两条互相垂直的异面直线，点P不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：
取BB1的中点Q，则PQ∥A1D1，且 PQ＝A1D1，设A1Q与AB交于E，则点A1、D1、Q、E、P共面，
直线EP必与A1D1 相交于某点F，则过P点有且只有一条直线EF与a、b都相交，故①为真命题；
分别平移a，b，使a与b均经过P，则有两条互相垂直的直线与a，b都成45°角，故②为假命题．
∴①为真命题，②为假命题．
故选：B．
【点睛】本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想，是中档题．
5．B【分析】求出集合、，再利用交集的定义可求得集合.
【详解】由题意得集合，
，
因此，.
故选：B.
【点睛】本题考查集合的交集运算，同时也考查了指数不等式与绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.
6．C【分析】由双曲线的离心率可求出的关系，从而可求出椭圆的离心率
【详解】解：因为双曲线的离心率为，
所以，得，
所以椭圆的离心率，
故选：C
7．D【分析】根据得到的单调性，即可判断ABD，由，求出，即可判断C.
【详解】因为，所以由可得，由可得
所以在上单调递增，在上单调递减
所以，，故A、B错误
，所以，即，所以D正确
因为，，所以，解得，故C错误
故选：D
8．B【解析】首先利用复数的运算法则将复数化为的形式，然后根据建立一个不等式进行求解.
【详解】.
由，得，整理得解得，所以实数的取值范围为.
故选：B
【点睛】本题考查复数的运算，考查复数模的运算．掌握除法法则与模的定义是解题基础．
9．C【分析】当直线与x轴垂直，即时，四边形的面积最大，由面积公式及基本不等式求解即可.
【详解】设椭圆E的半焦距为c.直线过原点，
当其与x轴垂直，即时，四边形的面积最大，此时，
所以，
所以，当且仅当时等号成立.
故
故选：C
【点睛】本题考查椭圆的标准方程和几何性质，利用基本不等式求最值，属于中档题.
10．B【解析】首先利用同角三角函数的基本关系求出，再由，利用两角和的余弦公式即可求解.
【详解】由,且,
所以，
所以.
故选：B
【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式，属于基础题.
11．A【解析】根据终边相同的角的概念可得出合适的选项.
【详解】，，，，
因此，只有A选项中的角与终边相同.
故选：A.
12．A【分析】根据题意，分2步分析：先将5名插班生分为3组，有2种分组方法，①分为3、1、1的三组，②分为2、2、1的三组，由组合数公式可得其分组方法数目，由分类计数原理将其相加可得分组的情况数目，第二步，将分好的三组对应3个不同的班级，由排列数公式可得其对应方法数目,由分步计数原理计算可得选项．
【详解】由题意可知，可分以下两种情况讨论，①5名插班生分成：， ，1三组；②5名插班生分成：，，三组，
当5名插班生分成：， ，1三组时，共有种方案；
当5名插班生分成：，，三组时，共有种方案；
所以，共有种不同的安排方案.
故选：A.
【点睛】本题主要考查两个基本原理和排列组合，在对排列、组合的综合问题时，一般先组合再排列，属于中档题.
13．C【分析】由频率确定中位数在80至90之间，然后由比例计算可得．
【详解】解：依题意，成绩不大于80分的概率为，而成绩在区间的概率为0.4，因此中位数在80至90之间，
所求中位数为，
故选：C．
14．D【分析】的准线方程为.
【详解】的准线方程为.
故选：D.
15．A【解析】根据三角函数定义，，即可求解
【详解】由题意，
故选：
【点睛】本题考查三角函数定义，属于基本题.
16．A【分析】首先求出数列的通项公式，再解方程即可；
【详解】解：因为，，所以，所以，解得
故选：A
【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.
17．C【解析】由，根据三角函数的变换规则即可判断.
【详解】解：∵,
∴将函数的图像上的所有点向左平移个单位,可得到函数的图像.
故选：
【点睛】本题考查三角函数的变换，属于基础题.
18．C【解析】根据随机数表的使用规则逐个选出，剔除不符合范围的，即可得解.
【详解】从随机数表第1行第6列的数字开始由左到右依次选取两个数字，因为福利彩票“双色球”中红色球的号码可从编号为01，02，…，33的33组数中随机选取，剔除不符合的，则选出的6个红色球的编号依次为21，32，09，16，17，02，故选出的第6个红色球的编号为02.
故选：C.
【点睛】本题考查了随机数表的用法，属于基础题.
19．C【分析】根据等可能事件的概率计算可判定ABC；列出分布列，利用期望值公式计算从而判定D.
【详解】的值可以为1、2、3、4、5、6，取每一个值的概率都相等，
X的分布列为：
X 1 2 3 4 5 6
P
X为偶数的情况由3种，其概率为，故A正确；
X超过1的有5种，其概率为，故B正确；
X大于3不大于5的有4、5两种，其概率为，故C错误；
X期望值为,
故D正确.
故选：C.
20．C【分析】化简集合B，利用并集概念及运算即可得到结果.
【详解】由题意可得：
又
∴
故选：C
【点睛】本题考查并集的概念及运算，考查分式不等式的解法，属于基础题.
21．D【分析】先求，再利用同角三角函数基本关系化为齐次式求解即可
【详解】∵，∴，
∴．
故选D
【点睛】本题考查同角三角基本关系式，考查诱导公式，准确计算是关键，是基础题
22．A【分析】令，由则，将对数式转化为指数式，统一其指数为常数，比较其底数的大小关系，结合幂函数的性质解答．
【详解】解：设，则，，，，，．
因为，且函数在上是减函数，
所以．
故选
【点睛】本题考查指对数的运算及幂函数的性质．属于中档题．
23．D【分析】利用函数的图象变换规律，利用三角函数的图象和三角恒等变形，可得，即，，从而得到，进而得到的值.
【详解】函数的图像向左平移个单位长度后，可得的图象.
由条件为奇函数，则，即
又，所以，即
关于的方程在内有两个不同的解，
即在内有两个不同的解，
即在内有两个不同的解，
即，其中(为锐角) 在内有两个不同的解，
即方程即在内有两个不同的解，
由，则，
所以，
所以
则，即，
所以，
故选：D
【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，诱导公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
24．D【分析】根据函数的解析式作出函数在时图象，换元解方程可得或，利用图象求出交点对应横坐标，注意利用函数为奇函数图象关于原点对称，分与两种情况讨论，数形结合即可求解.
【详解】作出函数在时的图象，如图所示，
设，
则关于的方程的方程等价于
解得：或，
如图，
当t=1时，即对应一个交点为，方程恰有4个不同的根，可分为两种情况:
（1），即对应3个交点，且 ，
此时4个实数根之和为8；
（2），即对应3个交点，且 ，
此时4个实数根之和为.
故选：D
【点睛】解决此类问题的关键有两点，第一换元后对方程等价转化求解或，
第二结合函数图象处理方程有四个根，即要转化为数形结合，看图象交点的个数及横坐标即可求解.
25．B【解析】首先求出，再根据补集的定义计算可得；
【详解】解：因为，，，所以
所以
故选：B
26．A【分析】利用充分性与必要性定义判断即可.
【详解】由题意可得
∴是的充分不必要条件
故选A
【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“ ”为真，则是的充分条件．
2．等价法：利用 与非 非， 与非 非， 与非 非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若 ，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．
27．B【解析】设其公比为，由等比数列通项公式得，进而得，解得或，再根据数列单调性即可得，进而得
【详解】为等比数列，设其公比为，
，则，
，
，
即，
解得或，
又各项为正且递增，
，
．
故选：B．
【点睛】本题解题的关键是先根据题意得，进而将转化为求，考查运算求解能力，是中档题.
28．B【分析】首先求向量的坐标，再利用坐标运算求模，转化为二次函数求最小值.
【详解】由条件可知，
则
，当时，.
故选：B
29．A【分析】首先求出当时，，再由充分条件、必要条件的定义即可得出选项.
【详解】若，则，
当时，推不出；反之，成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：A
30．B【分析】作出图形，结合题意证明平面，得出平面，推出是二面角所成的平面角，求出的值即可得出结果.
【详解】由题意知，如图，取BC的中点E，的中点，连接AE、，则，，，且所以四边形为矩形，
在上取一点使得，过作，垂足为，则，
且；作，垂足为D，则，，所以且，连接，所以四边形为平行四边形，所以.
所以，又平面ABC，所以平面ABC，所以，
又，，所以平面，又，所以平面，因为，所以平面，故是二面角所成的平面角；
因为，所以，
在中，，
所以.
故选：B
31．C【分析】利用互斥事件和对立事件的定义逐个判断即可
【详解】①“至少有一个 黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故错误.
②“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故正确.
③“恰好有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故正确.
④“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故正确.上述说法中，正确的个数为3.
故选：C
【点睛】此题考查互斥事件和对立事件的判断，属于基础题
32．A【分析】根据排列与排列数的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】根据排列及排列数的定义，可得：
对于A中，由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数，符合排列的定义，是排列问题；
对于B中，从40人中选5人组成篮球队，与顺序无关的问题，不是排列问题；
对于C中， 从100人中选2人抽样调查，与顺序无关的问题，不是排列问题；
对于D中， 从1，2，3，4，5中选2个数组成集合，与顺序无关的问题，不是排列问题.
故选：A.
33．C【分析】计算出抽到的牌为“黑桃”或“”所包含的牌的数量，利用古典概型的概率公式可求得结果.
【详解】由题意可知，该副扑克牌共张，其中“黑桃”共张，“”共张，
则抽到的牌为“黑桃”或“”共张，故所求概率为.
故选：C.
34．C【解析】根据等比数列的性质可得，由题意，解得，再根据等比数列通项公式求得公比，从而得到数列的通项公式.
【详解】在等比数列中，
，解得或
当时，，
，
；
当时，，
，
综上所述：或，
故选：C.
【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．
35．D【分析】利用线性回归的有关知识逐一分析各个选项即可得出答案．
【详解】解：A．回归直线过样本点的中心，正确；
B．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，因此正确；
C．在线性回归方程中，当x每增加1个单位时，预报量平均增加0.2个单位，正确；
D．对分类变量X与Y的随机变量的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”可信程度越大，因此不正确．
综上可知：只有D不正确．
故选：D．
36．D【分析】根据幂函数的性质依次分析各选项即可得答案.
【详解】解：对于A，时，函数的图像是一条直线除去点，故错误；
对于B，幂函数的图像都经过点，当指数大于时，都经过点，当指数小于时，不经过点，故B错误；
对于C，函数，故定义域为，故错误；
对于D，由幂函数的性质，幂函数的图像一定过第一象限，不可能出现在第四象限，故正确.
故选：D.
37．A【分析】求出椭圆和双曲线的半焦距即得解.
【详解】由题得椭圆的半焦距为，
双曲线的半焦距为，
所以.
故选：A
38．C【分析】根据诱导公式的法则“奇变偶不变，符号看象限”，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误.
故选：C
39．D【分析】根据集合中元素具有确定性判断选项即可得到结果.
【详解】集合中的元素具有确定性，对于，学习好、非常近、很小都是模糊的概念，没有明确的标准，不符合确定性；
对于，符合集合的定义，正确.
故选：.
【点睛】本题考查集合的定义，关键是明确集合中的元素具有确定性，属于基础题.
40．A【分析】设，，则可以用表示，利用导数可求的最小值.
【详解】设，，则，，消去得．
所以，其中.
令，，
则，
当时，，当时，．
故在上为减函数，在上为增函数，
所以，所以的最小值为．
故选：A．
【点睛】思路点睛：水平直线截不同曲线所得线段的长度的计算，需结合曲线方程的形式合理选择变量去构建长度的计算公式，而长度的最值的计算可利用导数来处理.
41．A【分析】根据为增函数,可得,根据为递减函数,可得,根据对数恒等式可得.
【详解】因为,且为增函数,所以,
因为且为递减函数,所以,
,
所以.
故选:A
【点睛】本题考查了根据对数函数和指数函数的性质比较大小,关键是找中间值进行比较,属于基础题.
42．B【分析】由分步乘法原理求解即可
【详解】由题意可得，从书架上层取一本书有7种取法，从书架下层取一本书有5种取法，则分步乘法原理可得共有种取法，
故选：B
43．B【分析】根据集合元素的互异性和交集的定义，可得方程组或即可得答案；
【详解】由题意可得或
，
故选：B.
【点睛】本题考查根据交集的结果求参数，考查运算求解能力，求解时注意集合元素的互异性.
44．D【分析】由题设知圆心到直线的距离大于圆的半径，应用点线距离公式列不等式求a的取值范围.
【详解】由题设，圆心为，半径为2，
因为直线与圆没有公共点，
所以，可得或.
故选：D
45．B【解析】利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可.
【详解】双曲线(，)的右焦点到一条渐近线的距离为
可得： 可得 ，即
所以双曲线的离心率为： .
故选:B.
【点睛】本题考查双曲线的简单性质，焦点坐标，渐近线方程，还运用双曲线中焦点到渐近线的距离为以及点到直线的距离公式：.
46．D【解析】化简集合N，根据并集运算即可.
【详解】由，解得
，
，
故选：D
【点睛】本题主要考查了二次不等式，集合的并集，属于容易题.
47．B【分析】在同一直角坐标系中作出函数与的图象，将函数的零点个数转化为函数的交点问题，数形结合可得.
【详解】解：函数的零点个数，即的解得个数，等价于与的交点个数，在同一平面直角坐标系中作出函数图象，由图可知两函数只有一个交点，故函数有一个零点,
故选：
【点睛】本题考查函数的零点问题，数形结合思想，属于基础题.
48．B【分析】利用偶函数求的解析式再求导，根据导数的几何意义即可求处的切线斜率.
【详解】设，则，，又为偶函数，
∴，则对应导函数为，
∴，即所求的切线斜率为2.
故选：B
49．D【解析】先用诱导公式化为，再用二倍角公式计算．
【详解】.
故选：D
50．C【分析】先求得中学中的女生人数，然后根据样本容量，按照比例求解.
【详解】因为共有学生2500人，其中男生1500人，
所以女生有1000人，
所以样本中女生的人数为人
故选：C
【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，属于基础题.
51．【分析】由基本不等式求得，当且仅当是等号成立，根据，所以等号不成立，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，因为且，所以，且，
由基本不等式可得，当且仅当是等号成立，
又由，所以等号不成立，所以.
故答案为.
【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”，以及熟练应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
52．0【分析】由奇函数的性质可得函数f（x）是周期为4的周期函数，再根据对数的运算性质即可求得．
【详解】根据题意，f（x）为奇函数，则有f（﹣x）＝﹣f（x），
又由f（x）＝f（2﹣x），则有f（2﹣x）＝﹣f（﹣x），即f（x+2）＝﹣f（x），
变形可得：f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，
则，
故＝0．
【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，以及对数的运算性质应用．
53．【分析】先由垂直关系求出所求直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程
【详解】解：因为所求直线与直线垂直，
所以所求直线的斜率为，
因为所求直线过点，
所以所求直线方程为，即，
故答案为：
【点睛】此题考查两直线的位置关系，考查直线方程的求法，属于基础题
54．-20【分析】根据，求出，再利用导数判断函数的单调性，从而求出最值.
【详解】因为，所以，得．
因为，
所以在(-2，-)，(1，2)上单调递增，在（-，1）上单调递减．
因为，，所以在[-2，2]上的最小值为-20．
故答案为：-20
55．2【分析】由题意结合基底的概念、平面向量基本定理可得，即可得解.
【详解】是平面向量的一组基底，且，
，解得，
.
故答案为：2.
【点睛】本题考查了基底的概念与性质，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题.
56．【解析】首先设单位向量，由题意列出关于的方程组，求解.
【详解】，
设 ，
由题意可知 ，解得： 或
与的方向相同，
.
故答案为：
【点睛】本题考查根据向量的关于求向量，意在考查基本公式和计算能力，属于基础题型.
57．【分析】根据已知条件，可求函数的周期性，对称性，以及的值，利用函数函数的周期性，奇偶性进行计算即可.
【详解】解：因为，故，则函数的周期是2，
又函数是定义在上的奇函数，则；
则，，
当时，，则，
则.
故答案为：.
58．2【解析】画出两个函数和的图象，观察可得．
【详解】作出函数和的图象，如图，它们有两个交点，
所以方程的两个实数解．
故答案为：2.
【点睛】本题考查函数的零点个数问题，解题方法是转化为函数图象交点个数．
59．【分析】根据计算可得结果.
【详解】
.
故答案为：
60．6【分析】根据三角形重心的性质转化为，以及，再求数量积.
【详解】如图，点是的中点，
为的重心，，，
所以
故答案为：6
【点睛】本题考查向量数量积，重心，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型.
61．【分析】先把函数化简变形成余弦型函数，利用余弦型函数的性质求出结果．
【详解】函数，
令，
整理得：，
所以函数的单调递增区间为：．
故答案为：．
62．【分析】不等式分离变量,等价变形为，构造函数，函数求导，求出单调区间，可得函数最小值.
【详解】∵，∴，，也即在时恒成立.
令，，则，，令.易知在上单调递减，在上单调递增，
故，∴.
故答案为：
【点睛】本题考查数的单调性及不等式恒成立问题转化为函数最值问题.
不等式恒成立问题的求解方法：(1)已知不等式(为实参数)对任意的恒成立，求参数的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法， (2)如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解.
63．3【解析】根据解析式求出，再求出即可.
【详解】，
，
.
故答案为：3
64．28【分析】求出展开式d 通项，令的指数为0即可求出.
【详解】的展开式的通项为，
令，解得，
则展开式的常数项为.
故答案为：28.
65．【分析】根据圆锥的平行于底面的截面的性质计算．
【详解】作轴截面，是圆锥底面直径，是截面圆直径，
由题意，，
由得，
所以．
故答案为：．
66．.【分析】函数的定义域为实数集即的解集为R，即无解，令判别式小于0即可.
【详解】由函数的定义域为，
得无解，
，
解得：.
故答案为：.
【点睛】本题考查等价转化的能力、考查二次方程解的个数取决于判别式，解题时要认真审题，理清条件和要求解的量之间的关系，同时考查了学生分析问题和解决问题的能力，考查了学生化简计算的能力，是基础题.
67．【解析】利用等比数列的性质：若，则，即可求解.
【详解】由数列是等比数列，，，
则，所以.
故答案为：
68．【分析】根据解析式，先分别求出定义域，再求交集，即可得出结果.
【详解】因为，所以，解得，则；
又，所以，解得，则，
因此.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查求集合的交集，考查求具体函数的定义域，属于基础题型.
69．或【分析】讨论和两种情况，代入计算得到答案.
【详解】函数，
当时：
考虑定义域：，故；
当时：
考虑定义域：，故.
综上所述：或
故答案为或
【点睛】本题考查了分段函数不等式，忽略掉定义域是容易发生的错误.
70．120【分析】将题目转化成数学语言，得到等差数列关系，求出首项和公差，再求第三日走的里数，即数列的第三项.
【详解】因为男子善走，日增等里，可知每天走的里数符合等差数列，设这个等差数列为，其公差为，前项和为.
根据题意可知，，
法一：
，
，
.
法二：，
解得所以
【点睛】本题考查文字描述转化数学语言的能力，等差数列求和和通项以及基本性质，属于简单题.
71．（1）；（2）最小值是-3，最大值是.【分析】（1）先将函数化简整理，得到，从而可得出最小正周期；
（2）由得到，根据余弦函数的单调性，即可得出结果.
【详解】（1）
，
所以函数的最小正周期为.
（2）因为，所以，
于是，
所以，
所以在区间上的最小值是-3，最大值是.
【点睛】本题主要考查余弦型函数的周期，以及余弦型函数在给定区间的最值问题，熟记余弦函数的性质即可，属于常考题型.
72．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用两点距离公式可得，整理即可得轨迹方程.
（2）根据题设令、，为，为，联立抛物线方程求的坐标，再应用两点式求即可证结论.
(1)
由题设，，则，又，
∴，故动点P的轨迹方程为.
(2)
由题设，令为，为，
联立抛物线，可得：，若，，
∴，则，同理可得，则，
∴，为定值.
73．(1)；
(2)恒为定值；
(3)证明见解析，交点恒在定直线上.
【分析】（1）利用勾股定理可求得圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，即可求得实数的值；
（2）设点、，将直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可求得的值，即可证得结论成立；
（3）设直线的斜率为，可得出，写出直线、的方程，求出两直线交点的纵坐标，即可证得结论成立.
(1)
解：圆的圆心为，到直线的距离为，
，可得，解得.
(2)
解：将代入圆О方程，并整理得，
则，设点、，
由韦达定理，．
，所以，，同理，
于是（定值）.
(3)
解：注意到，设直线的斜率为，则，即．
直线的方程为，直线的方程为的交点满足，
即，解得，故直线、交点必在定直线上．
74．（1）（2）见解析【分析】（1）直接利用已知条件建立等量关系求出数列的通项公式；
（2）利用累加法和基本不等式的应用，即可求出结果.
【详解】解：（1）设公差为，
则由题设可得：，
解得或（舍去），
所以，
（2）当时，有，，
两式相减得：，
即，
所以
，
当时，左边，右边，不等式也成立，
综上所述，对于任意都有.
【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在求通项公式中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力．
75．见解析【解析】根据抽样调查和全面调查的定义依次判断每个选项得到答案.
【详解】（1）适合抽样调查，因为调查对象较多；
（2）适合全面调查，因为调查对象较少；
（3）适合抽样调查，因为调查对象较多；
（4）适合抽样调查，因为调查具有破坏性；
（5）适合抽样调查，因为调查对象较多；
（6）适合抽样调查，因为调查对象多而且不易操作.
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查，属于简单题.
76．（1）；（2）．【分析】（1）根据题意以及同角基本关系可知，再利用二倍角正弦公式即可求出结果；
（2）根据（1）的结果求出tan，利用两角和正切公式，即可求出结果.
【详解】（1）∵sinα，且α为第二象限角，∴cos，
∴sin2α＝2sinαcosα；
（2）由（1）知tan，
∴tan（α）．
【点睛】本题主要考查了三角函数同角基本关系式、正弦倍角公式和两角和的正切公式，属于基础题目.
77．（1）20人；（2）；（3）选择餐厅用餐，理由见解析.【分析】（1）由餐厅分数的频率分布直方图得频率，从而得人数；
（2）对餐厅评分在范内的有人，记为、，对餐厅评分在范围内的有人，记为、、，用列举法写出任选2人可能，计数后可计算出所求概率；
（3）由（1）（2）比较得分低于30分的人数可得结论．
【详解】（1）由餐厅分数的频率分布直方图，得对餐厅评分低于分的频率为：
，
∴对餐厅评分低于的人数为人，
（2）对餐厅评分在范内的有人，设为、，
对餐厅评分在范围内的有人，设为、、，
从这人中随机选出人的选法为：
、、、、、、、、、，共种，
其中恰有人评分在范围内的选法包括：
、、、、、，共种，
故人中恰有人评分在范围内的概率为，
（3）从两个餐厅得分低于分的人数所占的比例来看，由（1）得，抽样的人中，
餐厅评分低于的人数为，
∴餐厅评分低于分的人数所占的比例为，
餐厅评分低于分的人数为，
∴餐厅得分低于分的人数所占的比例为，
∴会选择餐厅用餐.
78．（1）；（2），在单调递减；，在单调递增，在单调递减；（3）证明见解析.【分析】（1）求得导函数，利用导数的几何意义得到切线的斜率，进而得出切线方程；
（2）分类讨论，函数的定义域，在定义域内研究讨论导数的正负，进而得到单调性；
（3）解法1：等价转化为.先将不等式左边看成以a为自变量的函数，设，利用导数研究其单调性，进而得到
.由（1）可知，当时，，得，然后利用放缩证得；
解法2：（3）不等式等价于.
由（1）可知，当时，，得，先利用，得到，从而为证原不等式，只需证
构造函数，利用导数研究其单调性，进而得证.
【详解】（1），则，
于是点处切线方程为：，即.
（2）若，则定义域，，在单调递减.
若，则定义域为，.
由得，由得，所以在单调递增，在单调递减.
解法1：（3）不等式等价于.
设，.
设，则，所以.
而，所以，在单调递减，所以.
由（1）可知，当时，，得.所以
.
因此当时，.
解法2：（3）不等式等价于.
由（1）可知，当时，，得，从而.
设，在单调递增.
因为，所以当时，，当时，.
所以.因此.
所以当时，.
【点睛】利用，进行放缩是解决同时含有指数对数的不等式证明得常用方法，值得注意体会和掌握.
79．（Ⅰ），，三类行业中每类行业的单位个数分别为60，60，80.（Ⅱ）【分析】第一问利用分层抽样的概念直接计算即可；第二问是古典概率模型，先列出所有的基本事件，然后再找出3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位所包含基本事件的个数，即可求出3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率．
【详解】（Ｉ）由题意，得抽取的，，三类行业单位个数之比为.
由分层抽样的定义，有
类行业的单位个数为，
类行业的单位个数为，
类行业的单位个数为，
故该城区，，三类行业中每类行业的单位个数分别为60，60，80.
（Ⅱ）记选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位为事件.
这3个单位的考核数据情形有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种.
这3个单位都是“星级”环保单位的考核数据情形有，，，，共4种，没有都是“非星级”环保单位的情形，
故这3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共4种，
故所求概率.
【点睛】本题主要考查分层抽样及古典概型问题，属基础题．
80．答案见解析【分析】先根据三角形面积公式以及余弦定理求解出的值；若选①：先用正弦定理求解出的值，然后分析的大小并求的值，然后根据两角和的正弦公式可求的值；若选②：先用正弦定理求解出的值，然后计算的值，最后根据两角和的正弦公式可求的值，注意分类讨论；若选③：先根据正弦定理计算的值，得到，故判断三角形不存在.
【详解】因为，由余弦定理，
可得，
由，得
所以.
选①：由正弦定理得，
代入中得，
又，得是一个锐角，故，
所以.
选②：由得，
代入中得，
则当时，
当，
当时，
当，
选③：由得，所以不存在.
81．（1）
（2）【分析】（1）由恒成立，则分离变量可得恒成立，再设，然后求其最大值即可得解；
（2）由二次型函数的动轴定区间问题，分别讨论当时，当时， 当时，函数在的最大值即可得解.
【详解】解：（1）因为，
又，即，
即，
即，
即恒成立，
令，则 ，
则，
则，
设，
易得在为减函数，在为增函数，
又，，所以，
即，
即的取值范围为；
（2）由，
又，所以，
令，则 ，
则，
①当即时，函数在为增函数，即，
②当即时，函数在为减函数，即，
③当即时，函数在为增函数，在为减函数，即，
综合①②③可得.
【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，主要考查了二次型函数动轴定区间问题，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.
82．（1）；（2）．【分析】（1）设十字形面积为，易知，然后将代入求解.，
（2）由（1）的结论，利用二倍角的正弦和余弦公式，结合辅助角公式得到，再利用正弦函数的性质求解.
【详解】（1）设十字形面积为，
如图所示：
所以，
（2），
（设为锐角且），
当，即时，最大．
即当时，十字形取得最大面积，
．
【点睛】本题主要考查几何图形面积的求法以及数据恒等变换和三角函数性质的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
83．(1)；(2)．(3) 最大值为1,最小值为．【分析】先由题意得到；
（1）根据周期计算公式，即可求出结果；
（2）根据正弦函数的单调区间得到，求解，即可得出结果；
（3）先由题意得到，结合正弦函数的性质，即可得出结果.
【详解】由已知可得：
,
（1）的最小正周期；
（2）由,可得,
的单调递减区间为．
（3）,,
,
的最大值为1,最小值为．
【点睛】本题主要考查求三角函数的周期、单调区间，以及最值等，熟记正弦函数的性质即可求解，属于常考题型.
84．(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）由题在上恒成立，利用导数求函数最值即得；
（2）由题有两个相异的实根，设，利用导数可得，即求实数a的取值范围，然后结合，构造函数 ，利用函数单调性即可求证．
(1)
由，得在上恒成立，
设，则，
∴当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，
∴，即，
∴实数a的最小值为．
(2)
由，得，
令，则，
设，则，
∴函数在上单调递减，又，
∴在上，故单调递增，在上，故单调递减，
∴，
由方程恰有两个相异的实根，，得，
∴，即实数a的取值范围为．
下面证明，
不妨设，则，，
要证，只需证，
由于在上单调递增，故只需证.
由，
得
，
令，则恒成立，
因此在上单调递增，函数，
即，故，即证．
【点睛】导数求参问题常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
85．(1)，，;
(2)没有超标；理由见解析.
【分析】（1）根据题意直接写出函数，利用均值不等式求最值即可；
（2）设，换元后原函数转化为分段函数，利用二次函数的性质求出函数的单调区间，分类讨论可得的最大值，即可求解.
(1)
由题意得，，
即
当且仅当时，．
(2)
由（1）得，，设，
令，，
则
由图像知在和上单调递增，在上单调递减，且，，
所以，
令，解得，
令，解得，
所以
当时，，
当时，，
即，所以，
所以目前市中心的综合污染指数没有超标.
86．(1)(2)【解析】(1)分别代入与求解即可.
(2)代入求解即可.
【详解】解:(1).
.
因此人听觉的声强级范围为.
(2).
【点睛】本题主要考查了对数的实际运用,需要根据题意代入对应的数值进行计算,属于基础题.
87．（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）证明，，则平面即得证；
（2）取中点为E，连结，，证明平面，以E为坐标原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）由，则有，又D为的中点，所以，
由，则有，，
又，
所以，
则可知，
又有，平面，所以平面；
（2）取中点为E，连结，，
由，则有，
又易知，
则有，所以，
又可知，，平面，则平面，
如图，以E为坐标原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
有，，，，，
由，则有平面，
所以，
又，，
所以平面，
所以平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则有，即，
可取，
记二面角为，
则.
故二面角的余弦值为．
88．(1)；
(2)
【分析】（1）由正弦定理化简条件，求得，从而求得角B.
（2）将条件，代入余弦定理求得c.
(1)
因为，所以，
即，
化简得，所以，
又因为，所以.
(2)
因为，
所以，
整理得，解得.
89．（1）；（2）.【解析】（1）已知得，由离心率得，从而得，再计算出后可得椭圆方程；
（2）由韦达定理得中点坐标，由垂直得斜率，然后可得垂直平分线方程．
【详解】（1）由题意，
椭圆的离心率为，∴，∴，∴，
∴椭圆方程为；
（2）设，
由，得，∴，
设中点为，则，∴．
又，∴的垂直平分线方程为，即．
【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交弦中点问题，解题方法是设而不求的思想方法，即设交点为，由直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理求得，，利用中点坐标公式求得中点的横坐标得中点坐标，再结合斜率可和垂直平分线方程．
90．（1）（2）证明见解析【分析】（1）利用零点分段法，对分三种情况讨论，分别解不等式，即可得答案；
（2）当时，不等式显然成立； 当时， ， 再证明左边的最大值小于等于右边的最小值即可.
【详解】（1）当，不等式为，
当时，，不符合题意；
当时，，解得，故此时；
当时，，符合题意，故此时，
综上，原不等式的解集为．
（2）当时，不等式显然成立；
当时，要证 即证，
因为，
当且仅当，等号成立．
而，当且仅当等号成立，
所以成立．
所以．
【点睛】本小题以含绝对值函数为载体，考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式的证明等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力，考查分类与整合的思想，转化与化归的思想，体现基础性与综合性，导向对发展逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养的关注．
91．（1）2；（2）2.【分析】（1）由对数的运算性质，代入运算即可；
（2）由指数的运算性质，代入运算即可.
【详解】（1）解：原式．
（2）解：原式．
【点睛】本题考查了对数的运算及指数幂的运算，重点考查了运算能力，属基础题.
92．（1）该计划有效；（2）列联表答案见解析，有99%的把握认为平均每天健身时间与会员健身前的体重有关；（3）人数最有可能是3人.【分析】（1）根据柱状图，采用中间值对应频率求和的方法计算平均体重，然后作差比较判断是否有效；（2）由题意填表，代入公式计算即可；（3）从柱状图中计算会员平均每天的健身时间不低于70分钟的概率为，设抽取的12人中平均每天的健身时间不低于70分钟的人数为，则，表示当时概率的值，利用概率最大计算出的值即为最有可能的人数.
【详解】（1）柱状图（1）中的体重平均值为.
柱状图（2）中的体重平均值为.
因为，所以该计划有效.
（2）列联表如下：
平均每天健身时间低于60分钟 平均每天健身时间不低于60分钟 合计
健身前体重低于 40 20 60
健身前体重不低于 60 80 140
合计 100 100 200
的观测值为.
所以有99%的把握认为平均每天健身时间与会员健身前的体重有关.
（3）由题意可知，该健身房每名会员平均每天的健身时间不低于70分钟的概率为．
设抽取的12人中平均每天的健身时间不低于70分钟的人数为，则，
，，1，2，…，12．
得
得
化简得，又，所以，
即12名会员中平均每天的健身时间不低于70分钟的人数最有可能是3人．
【点睛】方法点睛：（1）柱状图中均值的计算：每组组距中间值对应频率，然后求和；
（2）概率最大的求法：设时，概率取得最大值，则代入概率公式可计算出概率最大时的值.
93．(1)不符合要求
(2)按照修建，治疗区面积最大，最大值为（平方米）
【分析】(1)依题意求即可判断.
(2)设，用表示诊疗区域的面积即可.
(1)
当时，，
所以
因此诊断区不符合要求
(2)
设，则，
在中，，
在中，，,
所以
，其中，
所以，当且仅当即取等号
故按照修建，治疗区面积最大，最大值为（平方米）.
94．（1）（2）【分析】（1）先计算出的角度，再根据正弦定理计算出的值，最后根据即可计算出的值；
（2）根据条件将用的形式表示出来，将转化为关于的三角函数，再根据的范围即可计算出的取值范围.
【详解】解：（1）成等差数列，所以，
，
（2），
，
令，
，，
.
【点睛】本题考查三角恒等变换与解三角形的综合应用，其中涉及到等差数列知识，属于综合型问题，难度较易.解三角形的问题中注意对隐含条件“”的使用.
95．(1)在单调递减，在单调递增
(2)（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）运用导数的性质进行求解判断即可；
（2）（i）常变量分离，构造函数，利用导数的性质进行求解即可；
（ii）运用构造新函数法，结合导数的性质、对钩函数的单调性进行求解证明即可.
(1)
，设，
，当时，单调递减，
当时，单调递增，
∴在单调递减，单调递增，
(2)
（i）由，则，即∴
设在单调递减，∴在单调递增，单调递减，
且，∴，即，即；
（ii）记，，
在单调递减，在单调递增，
∴
记，
，设，
，当时，单调递减，
当，单调递增，
即在单调递减，在单调递增，
，
使得
在单调递增，在单调递减，在单调递增，
∴∴
∴，，
函数在单调递减，在单调递增，
所以当时，该函数有最小值2，
所以在单调递增，在单调递减，
且，令
记方程两根为，且
则
【点睛】关键点睛：利用构造函数法、常变量分离法、导数的性质是解题的关键.
96．（1）或；（2）.【解析】（1）设，根据向量模的坐标表示以及向量数量积的坐标表示列方程组，解方程组即可求解.
（2）设向量与的夹角为，利用向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】解：（1）设，
因为，则，①
又因为，且，
，
所以，
即，②
由①②解得，或，
所以或．
（2）设向量与的夹角为，
所以或，
因为，所以向量与的夹角．
【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示、向量模的坐标表示，利用向量的数量积求向量的夹角，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
97．当矩形面积最大时，矩形边AB长，BC长【分析】先设出点坐标，进而表示出矩形的面积，通过求导可求出其最大面积.
【详解】设点，
那么矩形面积，.
令解得（负舍）.
所以S在（0，）上单调递增，在（，2）上单调递；..
所以当时，S有最大值.此时
答：当矩形面积最大时，矩形边AB长，BC长.
98．（1）或；（2）.【分析】(1)根据给定条件求出m值，并代入方程，再解方程即得.
(2)由给定解集借助对数函数单调性求出范围，换元借助一元二次不等式即可得解.
【详解】（1）由已知得，即，则，于是得，
方程，
从而得或，即或，或，
所以原方程的根为或；
（2）依题意，函数中，，从而得.
又，令，
即一元二次不等式的解集为，
因此有-1，2是关于的方程的两根，则，
所以实数a的值为2.
99．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过证明来证得平面ABCD.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得二面角的余弦值．
(1)
由于，，所以，
由于，所以平面，
所以平面，.
，
所以，所以，
由于，所以平面ABCD；
(2)
由（1）可知两两相互垂直，
建立如图所示空间直角坐标系，
，
，，
设平面的法向量为，
则，故可设，
同理可求得平面的法向量为，
由图可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
100．（1），320；（2）.【分析】（1）根据频率分布直方图的小矩形面积的和为1求解m.再乘以总人数即可
（2）根据过中位数垂直与x轴的直线平分所有矩形面积求解.
【详解】（1）因为，
解得，又
所以m的值是，超过80分的人数为320
（2）设中位数为a，因为
则，
解得，所以抽查学生测试成绩的中位数是；
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页高中数学高考复习综合训练100题（含答案解析）
一、单选题
1．在各项为正的递增等比数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率是（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．已知函数，函数，直线分别与两函数交于、两点，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
5．已知幂函数的图象过点，则（ ）
A． B． C． D．
6．下面问题中，是排列问题的是（ ）
A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数
B．从40人中选5人组成篮球队
C．从100人中选2人抽样调查
D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合
7．下列四组对象中能构成集合的是（ ）.
A．本校学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点
C．很小的实数 D．倒数等于本身的数
8．下列说法错误的是（ ）
A．回归直线过样本点的中心
B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1
C．在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位
D．对分类变量X与Y，随机变量的观测值越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小
9．已知x∈（e﹣1，1），令a＝lnx，b，c＝elnx，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a
10．若函数f(x)和g(x)分别由下表给出：
x 1 2 3 4 x 1 2 3 4
f(x) 2 3 4 1 g(x) 2 1 4 3
满足g(f(x))＝1的x值是（ ）．A．1 B．2 C．3 D．4
11．已知正方体，点是棱的中点，设直线为，直线为.对于下列两个命题：①过点有且只有一条直线与、都相交；②过点有且只有一条直线与、都成角.以下判断正确的是（ ）
A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题
12．正三棱柱中，，点在棱上，，则二面角的正切值是（ ）
A． B． C． D．3
13．已知向量，，满足，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
14．的定义域是，其导函数为，，其导数为，若，且（其中是自然对数的底数），则（ ）
A． B． C． D．
15．若实数满足约束条件，且最大值为1，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
16．如图，一个底面边长为cm的正四棱柱形状的容器内装有部分水，现将一个底面半径为1cm的铁制实心圆锥放入容器，圆锥放入后完全沉入水中，并使得水面上升了1cm．若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
17．已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（ ）
A． B．4 C．8 D．或8
18．已知，则
A． B． C．2 D．
19．若，，则是的条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
20．已知集合，，则为（ ）
A． B． C． D．
21．准线方程为的抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
22．是坐标原点，已知，，．若点M为直线上一动点，当取得最小值时，此时（ ）
A． B． C． D．
23．某校将5名插班生甲、乙、丙、丁、戊编入3个班级，每班至少1人，则不同的安排方案共有（ ）
A．150种 B．120种 C．240种 D．540种
24．已知，为虚数单位，复数，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
25．若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
26．已知角终边上一点P的坐标为，则的值是
A． B． C． D．
27．函数在区间上的最大值、最小值分别是（ ）
A．， B．，1 C．， D．1，
28．已知实数a，b，c，若a>b，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
29．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，现有如下说法：①至少有一个黑球与都是黑球是互斥而不对立的事件；②至少有一个黑球与至少有一个红球不是互斥事件；③恰好有一个黑球与恰好有两个黑球是互斥而不对立的事件；④至少有一个黑球与都是红球是对立事件.在上述说法中，正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
30．对高三某班级的学生进行体能测试，所得成绩统计如下图所示，则该班级学生体能测试成绩的中位数为（ ）
A．80 B．85 C．82.5 D．83
31．在矩形ABCD中，，则（ ）
A． B． C． D．
32．设是椭圆的左 右焦点，若椭圆上存在一点P，使（O为坐标原点），且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
33．下列命题中正确的是（ ）
A．当时，函数的图像是一条直线；
B．幂函数的图像都经过和点；
C．幂函数的定义域为；
D．幂函数的图像不可能出现在第四象限．
34．要得到函数的图像,可以将函数的图像沿轴
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
35．已知，是双曲线的两条渐近线，直线经过的右焦点，且，交于点，交于点，若，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
36．已知函数，给出下列四个命题：①图象的两条相邻对称轴间的距离为；②的图象关于直线对称；③在区间上是增函数；④将的图象向右平移个单位后，的图像关于y轴对称，其中正确的命题为（）
A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④
37．由=4，确定的等差数列，当an=28时，序号等于（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
38．在正项等比数列中，若，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
39．已知，其部分图象如图所示，则的解析式为
A． B．
C． D．
40．已知实数，，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
41．若直线与圆没有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－4，4） B．（－2，2）
C．（－∞，－4）U（4，＋∞） D．
42．在平面直角坐标系中，若双曲线(，)的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值为
A． B． C． D．
43．如图，正方体的棱长为，是棱的中点，是四边形内一点（包含边界）．若平面，且线段长度的最小值为，则（ ）
A． B．2 C． D．3
44．福利彩票“双色球”中红色球的号码可从编号为01，02，…，33的33组数中随机选取，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的号码，选取方法是从下列随机数表中第1行第6列的数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的号码为（ ）
A．23 B．09 C．02 D．17
45．已知等差数列的前n项和为，，若，且，则m的值是
A．7 B．8 C．9 D．10
46．程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数，其中A的各位数中，，（2，3，4，5）出现0的概率为，出现1的概率为，记，当程序运行一次时，ξ的数学期望为（ ）
A． B． C． D．
47．书架上层放7本不同的语文书，书架下层放5本不同的数学书，从书架上层和下层各取一本书的取法有（ ）
A．12种 B．35种 C．7种 D．66种
48．下列各角中与终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
49．已知椭圆和双曲线有相同焦点，则（ ）
A． B． C． D．
50．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且与，的夹角都等于．若是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
51．直线的倾斜角的取值范围是_______.
52．在等差数列中，若，则该数列的前2021项的和为_______.
53．已知函数，则的值为______．
54．已知函数，则它的单调递增区间是_________
55．一个圆锥被平行于底面的平面所截，若截面面积和底面面积之比为，则此圆锥的母线被分成上、下两部分之比为______．
56．已知集合，，则______．
57．有一批材料可以建成200m长的围墙，若用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形的地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（墙的长度足够用），则围成的整个矩形场地的最大面积是_______________.
58．已知函数，，若，则的取值范围为 ______.
59．函数是定义在上的奇函数，并且满足，当时，，则__________.
60．下列各组中两函数相等的有____.
①
②
③
④
61．函数的定义域为,则的取值范围为______.
62．已知定义域为的函数是奇函数，则函数的值域为___________．
63．已知双曲线C：的一个焦点是，则它的离心率为______．
64．若的展开式中常数项为________.
65．已知等边三角形的边长为6，点P满足，则_________．
66．方程的实数解的个数为__________.
67．中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走里，第一日，第四日，第七日所走之和为里，则该男子的第三日走的里数为__________．
68．已知定义在上的奇函数满足，则______.
69．若f（x），则f（1）+f（8）＝_____.
70．如图，半圆O的半径为1，A为直径所在直线上的一点，且，B为半圆弧上的动点．将线段AB绕点A顺时针旋转得到线段AC，则线段OC长度的最大值是__________．
三、解答题
71．已知，求的值．
72．已知向量,设函数
（1）求的最小正周期．
（2）求函数的单调递减区间．
（3）求在上的最大值和最小值．
73．如图，四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，，．
(1)求证：平面ABCD；
(2)设点M是BD中点，求二面角的余弦值．
74．声强级(单位:dB)由公式给出,其中I为声强(单位:).
(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为,能听到的最低声强为.求人听觉的声强级范围.
(2)平时常人交谈时的声强约为,求其声强级.
75．在锐角三角形中，角的对边分别为，且成等差数列
（1）若，求
（2）若为的最大内角，求的取值范围
76．为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内，，三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位．现通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位，其考评分数如下：
类行业：85，82，77，78，83，87；
类行业：76，67，80，85，79，81；
类行业：87，89，76，86，75，84，90，82．
（Ⅰ）计算该城区这三类行业中每类行业的单位个数；
（Ⅱ）若从抽取的类行业这6个单位中，再随机选取3个单位进行某项调查，求选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率．
77．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2．5标准采用世界卫生组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在3微克/立方米以下的空气质量为一级；在35微克/立方米与75微克/立方米之间的空气质量为二级；在75微克/立方米以上的空气质量为超标．为了解甲、乙两座城市2017年的空气质量情况，从全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取20天的数据作为样本，临测值如以下茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．
（1）在甲、乙两城市共采集的40个样本数据中，从PM2.5日均值在范围内随机取2天的数据，求取到2天的PM2.5均超标的概率；
（2）以这20天的PM2.5日均值数据来估计一年的空气质量情况，则甲、乙两城市一年（按365天计算）中分别约有多少天空气质量达到一级或二级．
78．已知函数.
（1）当时，求曲线上在点处的切线方程；
（2）这下面三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.若___________，求实数m的取值范围.
①在区间上是单调减函数；②在上存在减区间；③在区间上存在极小值.
79．在锐角中，，，分别是角，，所对的边，且.
（1）求角的大小；
（2）若，且，求的面积.
80．2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，此法典被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法.民法典与百姓生活密切相关，某学校有800名学生，为了解学生对民法典的认识程度，选取了100名学生进行测试，制成如图所示频率分布直方图.
（1）求m的值并估计该学校成绩超过80分的人数；
（2）估计抽查学生测试成绩的中位数；（结果用分数形式表示）
81．已知函数．
(1)设函数，若在其定义域内恒成立，求实数a的最小值：
(2)若方程恰有两个相异的实根，，试求实数a的取值范围，并证明．
82．已知，，．
求：（1）的值．
（2）的值．
83．已知，.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）求的值.
84．某大学为调研学生在、两家餐厅用餐的满意度，从在、两家都用过餐的学生中随机抽取了人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为分.整理评分数据，将分数以为组距分为组：、、、、、，得到餐厅分数的频率分布直方图和餐厅分数的频数分布表：
（1）在抽样的人中，求对餐厅评分低于的人数；
（2）从对餐厅评分在范围内的人中随机选出人，求人中恰有人评分在范围内的概率.
（3）如果从、两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由.
85．已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值与最小值.
86．已知为第二象限角，且.
（1）求，的值；
（2）求的值.
87．已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
88．已知函数.
（1）当，解不等式；
（2）求证：
89．某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量P万件满足P＝3﹣（其中0≤x≤2）.现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P万件还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）万元/万件.
（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（2）当促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润.
90．设函数（且）的图像经过点.
（1）解关于x的方程；
（2）不等式的解集是，试求实数a的值.
91．已知sinα，且α为第二象限角．
（1）求sin2α的值；
（2）求tan（α）的值．
92．如图，在平面直角坐标系中，圆交轴于、两点，交直线于、两点．
(1)若，求的值；
(2)设直线、的斜率分别为、，试探究斜率之积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
(3)证明：直线、的交点必然在一条定直线上，并求出该定直线的方程．
93．做出的图象并求出其值域
94．如图，在直径为1的圆中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中．
（1）将十字形的面积表示成的函数；
（2）求十字形的最大面积．
95．已知椭圆与椭圆有相同的离心率，且椭圆过点
（1）求椭圆的方程.
（2）若直线与椭圆交于、两点，求线段的垂直平分线的方程.
96．某网站的调查显示，健身操类 跑步类 拉伸运动类等健身项目在大众健康项目中是比较火热的，但是大多数人的健身科学类知识相对缺乏，尤其是在健身指导方面.从某健身房随机抽取200名会员，对其平均每天健身时间进行调查，如下表，健身之前他们的体重情况如柱状图（1）所示，该健身房的教练为他们制订了健身计划，四个月后他们的体重情况如柱状图（2）所示.
平均每天健身时间(分钟)
人数 20 36 44 50 40 10
（1）若这200名会员的平均体重减少不低于，就认为该计划有效，根据上述柱状图，试问：该计划是否有效？(每组数据用该组区间的中点值作代表)
（2）请根据图中数椐填写下面的列联表，试问：是否有99%的把握认为平均每天健身时间与会员健身前的体重有关？
平均每天健身时间低于60分钟 平均每天健身时间不低于60分钟 合计
健身前体重低于
健身前体重不低于 80
合计 200
（3）以这200名会员平均每天健身时间的频率，代替该健身房1名会员平均每天健身时间发生的概率，若在该健身房随机调查12名会员，则其中平均每天的健身时间不低于70分钟的人数最有可能(即概率最大)是多少？
参考公式：，其中.
参考数据：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
97．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求B；
(2)若，，求c.
98．设为实数，集合，.
(1)若，求，；
(2)若，求实数的取值范围.
99．已知定点，动点到点F的距离比它到y轴的距离大1．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)过的直线，分别与点P的轨迹相交于点M，N（均异于点Q），记直线，的斜率分别为，，若，求证：直线MN的斜率为定值．
100．如图，矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线在x轴上方的曲线上，求矩形面积最大时的边长.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B【解析】设其公比为，由等比数列通项公式得，进而得，解得或，再根据数列单调性即可得，进而得
【详解】为等比数列，设其公比为，
，则，
，
，
即，
解得或，
又各项为正且递增，
，
．
故选：B．
【点睛】本题解题的关键是先根据题意得，进而将转化为求，考查运算求解能力，是中档题.
2．C【分析】根据指数幂的运算性质逐项检验可得正确的选项.
【详解】对于A，，故A错.
对于B，，故B错.
对于C，，故C正确.
对于D，，故D错误.
故选：C.
【点睛】本题考查指数幂的运算，此类问题，熟记运算规则是关键，本题属于基础题.
3．B【分析】利用偶函数求的解析式再求导，根据导数的几何意义即可求处的切线斜率.
【详解】设，则，，又为偶函数，
∴，则对应导函数为，
∴，即所求的切线斜率为2.
故选：B
4．A【分析】设，，则可以用表示，利用导数可求的最小值.
【详解】设，，则，，消去得．
所以，其中.
令，，
则，
当时，，当时，．
故在上为减函数，在上为增函数，
所以，所以的最小值为．
故选：A．
【点睛】思路点睛：水平直线截不同曲线所得线段的长度的计算，需结合曲线方程的形式合理选择变量去构建长度的计算公式，而长度的最值的计算可利用导数来处理.
5．D【分析】先用待定系数法求出幂函数解析式，然后直接求出即可.
【详解】解：设幂函数，代入点，
得，解得，
所以，
则，
故选：D．
【点睛】本题考查利用待定系数法求幂函数解析式，是基础题．
6．A【分析】根据排列与排列数的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】根据排列及排列数的定义，可得：
对于A中，由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数，符合排列的定义，是排列问题；
对于B中，从40人中选5人组成篮球队，与顺序无关的问题，不是排列问题；
对于C中， 从100人中选2人抽样调查，与顺序无关的问题，不是排列问题；
对于D中， 从1，2，3，4，5中选2个数组成集合，与顺序无关的问题，不是排列问题.
故选：A.
7．D【分析】根据集合中元素具有确定性判断选项即可得到结果.
【详解】集合中的元素具有确定性，对于，学习好、非常近、很小都是模糊的概念，没有明确的标准，不符合确定性；
对于，符合集合的定义，正确.
故选：.
【点睛】本题考查集合的定义，关键是明确集合中的元素具有确定性，属于基础题.
8．D【分析】利用线性回归的有关知识逐一分析各个选项即可得出答案．
【详解】解：A．回归直线过样本点的中心，正确；
B．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，因此正确；
C．在线性回归方程中，当x每增加1个单位时，预报量平均增加0.2个单位，正确；
D．对分类变量X与Y的随机变量的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”可信程度越大，因此不正确．
综上可知：只有D不正确．
故选：D．
9．A【分析】根据为增函数,可得,根据为递减函数,可得,根据对数恒等式可得.
【详解】因为,且为增函数,所以,
因为且为递减函数,所以,
,
所以.
故选:A
【点睛】本题考查了根据对数函数和指数函数的性质比较大小,关键是找中间值进行比较,属于基础题.
10．A【分析】从外到内逐步求值．
【详解】解：∵g(f(x))＝1，
∴f(x)＝2，
∴x＝1，
故选：A．
【点睛】本题主要考查函数的表示法——列表法，属于基础题．
11．B【分析】作出过P与两直线相交的直线l判断①；通过平移直线a，b，结合异面直线所成角的概念判断②．
【详解】解：直线AB与A1D1 是两条互相垂直的异面直线，点P不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：
取BB1的中点Q，则PQ∥A1D1，且 PQ＝A1D1，设A1Q与AB交于E，则点A1、D1、Q、E、P共面，
直线EP必与A1D1 相交于某点F，则过P点有且只有一条直线EF与a、b都相交，故①为真命题；
分别平移a，b，使a与b均经过P，则有两条互相垂直的直线与a，b都成45°角，故②为假命题．
∴①为真命题，②为假命题．
故选：B．
【点睛】本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想，是中档题．
12．B【分析】作出图形，结合题意证明平面，得出平面，推出是二面角所成的平面角，求出的值即可得出结果.
【详解】由题意知，如图，取BC的中点E，的中点，连接AE、，则，，，且所以四边形为矩形，
在上取一点使得，过作，垂足为，则，
且；作，垂足为D，则，，所以且，连接，所以四边形为平行四边形，所以.
所以，又平面ABC，所以平面ABC，所以，
又，，所以平面，又，所以平面，因为，所以平面，故是二面角所成的平面角；
因为，所以，
在中，，
所以.
故选：B
13．B【分析】首先求向量的坐标，再利用坐标运算求模，转化为二次函数求最小值.
【详解】由条件可知，
则
，当时，.
故选：B
14．D【分析】根据得到的单调性，即可判断ABD，由，求出，即可判断C.
【详解】因为，所以由可得，由可得
所以在上单调递增，在上单调递减
所以，，故A、B错误
，所以，即，所以D正确
因为，，所以，解得，故C错误
故选：D
15．A【分析】首先画出可行域，根据目标函数的几何意义得到，再利用基本不等式的性质即可得到的最大值.
【详解】由题知不等式组表示的可行域如下图所示：
目标函数转化为，
由图易得，直线在时，轴截距最大.
所以.
因为，即，
当且仅当，即，时，取“”.
故选：A
【点睛】本题主要考查基本不等式求最值问题，同时考查了线性规划，属于中档题.
16．A【分析】由水上升的体积得圆锥体积，然后求得圆锥的高、母线得侧面积．
【详解】依题意可得圆锥的体积，
又（其中h为圆锥的高），则cm，
则圆锥的母线长为cm，故圆锥的侧面积为．
故选：A．
17．D【分析】根据函数的解析式作出函数在时图象，换元解方程可得或，利用图象求出交点对应横坐标，注意利用函数为奇函数图象关于原点对称，分与两种情况讨论，数形结合即可求解.
【详解】作出函数在时的图象，如图所示，
设，
则关于的方程的方程等价于
解得：或，
如图，
当t=1时，即对应一个交点为，方程恰有4个不同的根，可分为两种情况:
（1），即对应3个交点，且 ，
此时4个实数根之和为8；
（2），即对应3个交点，且 ，
此时4个实数根之和为.
故选：D
【点睛】解决此类问题的关键有两点，第一换元后对方程等价转化求解或，
第二结合函数图象处理方程有四个根，即要转化为数形结合，看图象交点的个数及横坐标即可求解.
18．D【分析】先求，再利用同角三角函数基本关系化为齐次式求解即可
【详解】∵，∴，
∴．
故选D
【点睛】本题考查同角三角基本关系式，考查诱导公式，准确计算是关键，是基础题
19．A【分析】利用充分性与必要性定义判断即可.
【详解】由题意可得
∴是的充分不必要条件
故选A
【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“ ”为真，则是的充分条件．
2．等价法：利用 与非 非， 与非 非， 与非 非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若 ，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．
20．D【解析】化简集合N，根据并集运算即可.
【详解】由，解得
，
，
故选：D
【点睛】本题主要考查了二次不等式，集合的并集，属于容易题.
21．D【分析】的准线方程为.
【详解】的准线方程为.
故选：D.
22．A【分析】可设，可得，然后，根据向量数量积的坐标运算得到为二次函数，利用二次函数的性质可求出，进而得到，最后求得
【详解】由已知得，因为点M为直线上一动点，所以，可设，
得到，则，，
则，当且仅当时，取得最小值，此时，可得，所以，，得到.
故选：A
23．A【分析】根据题意，分2步分析：先将5名插班生分为3组，有2种分组方法，①分为3、1、1的三组，②分为2、2、1的三组，由组合数公式可得其分组方法数目，由分类计数原理将其相加可得分组的情况数目，第二步，将分好的三组对应3个不同的班级，由排列数公式可得其对应方法数目,由分步计数原理计算可得选项．
【详解】由题意可知，可分以下两种情况讨论，①5名插班生分成：， ，1三组；②5名插班生分成：，，三组，
当5名插班生分成：， ，1三组时，共有种方案；
当5名插班生分成：，，三组时，共有种方案；
所以，共有种不同的安排方案.
故选：A.
【点睛】本题主要考查两个基本原理和排列组合，在对排列、组合的综合问题时，一般先组合再排列，属于中档题.
24．B【解析】首先利用复数的运算法则将复数化为的形式，然后根据建立一个不等式进行求解.
【详解】.
由，得，整理得解得，所以实数的取值范围为.
故选：B
【点睛】本题考查复数的运算，考查复数模的运算．掌握除法法则与模的定义是解题基础．
25．A【分析】令，由则，将对数式转化为指数式，统一其指数为常数，比较其底数的大小关系，结合幂函数的性质解答．
【详解】解：设，则，，，，，．
因为，且函数在上是减函数，
所以．
故选
【点睛】本题考查指对数的运算及幂函数的性质．属于中档题．
26．A【解析】根据三角函数定义，，即可求解
【详解】由题意，
故选：
【点睛】本题考查三角函数定义，属于基本题.
27．D【分析】根据反比例函数的单调性即可解得最值.
【详解】易知函数在区间是单调递减函数，
因此当时，函数的最大值为，
当时，函数的最小值为.
故选.
【点睛】本题考查函数单调性的应用，对于反比例函数当时为减函数，当时为增函数，是基础题.
28．C【解析】直接利用不等式的基本性质即可.
【详解】由可判断A错误，
由可判断BD错误，
由不等式的性质易知C正确.
故选：C.
【点睛】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题的关键，属于基础题.
29．C【分析】利用互斥事件和对立事件的定义逐个判断即可
【详解】①“至少有一个 黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故错误.
②“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故正确.
③“恰好有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故正确.
④“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故正确.上述说法中，正确的个数为3.
故选：C
【点睛】此题考查互斥事件和对立事件的判断，属于基础题
30．C【分析】由频率确定中位数在80至90之间，然后由比例计算可得．
【详解】解：依题意，成绩不大于80分的概率为，而成绩在区间的概率为0.4，因此中位数在80至90之间，
所求中位数为，
故选：C．
31．C【解析】由平面向量的线性运算可得，再由平面向量数量积的运算法则计算即可得解.
【详解】由题意作出图形，如下图，
所以
.
故选：C.
32．B【分析】由向量的关系可得，由椭圆的定义及，可得，的值，在直角三角形中，由勾股定理可得，的关系，进而求出椭圆的离心率．
【详解】解：设的中点为，由，即，所以，
连接可得，所以，
可得，
又因为，
所以，，
在中，，
即，可得：，
解得，
故选：．
33．D【分析】根据幂函数的性质依次分析各选项即可得答案.
【详解】解：对于A，时，函数的图像是一条直线除去点，故错误；
对于B，幂函数的图像都经过点，当指数大于时，都经过点，当指数小于时，不经过点，故B错误；
对于C，函数，故定义域为，故错误；
对于D，由幂函数的性质，幂函数的图像一定过第一象限，不可能出现在第四象限，故正确.
故选：D.
34．C【解析】由，根据三角函数的变换规则即可判断.
【详解】解：∵,
∴将函数的图像上的所有点向左平移个单位,可得到函数的图像.
故选：
【点睛】本题考查三角函数的变换，属于基础题.
35．B【分析】首先根据直线平行，可设直线的方程，通过联立得点，的横坐标，求出的表达式，从而可解不等式组得到的取值范围.
【详解】由题意可知，，不妨记，，
由且经过的右焦点可得的方程为，
与的方程联立可解得，
与的方程联立得，
所以，
解得，.
故选：B.
【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.
36．C【分析】由条件利用正弦函数的周期性单调性，以及图像的对称性，的图像变换规律，得出结论.
【详解】函数的周期，两个相邻的对称轴之间的距离为，故①错误；
令，可得，因此的图象关于直线对称，故②正确；
当时，，可知为增函数，故③正确；
将的图象向右平移个单位后，可得到的图像不关于轴对称，故④错误.
故选：.
【点睛】本题主要考查的是正弦函数图像和性质，根据三角函数的对称性是解决本题的关键，是中档题.
37．A【分析】首先求出数列的通项公式，再解方程即可；
【详解】解：因为，，所以，所以，解得
故选：A
【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.
38．C【解析】根据等比数列的性质可得，由题意，解得，再根据等比数列通项公式求得公比，从而得到数列的通项公式.
【详解】在等比数列中，
，解得或
当时，，
，
；
当时，，
，
综上所述：或，
故选：C.
【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．
39．D【解析】根据图像可得函数周期，最值，则可得，再根据五点作图法求得即可.
【详解】由图可知，解得；
又因为，故可得；
由五点作图法可知，解得，
故.
故选：D.
【点睛】本题考查由正弦型函数的图像求解函数解析式，属基础题.
40．A【分析】首先求出当时，，再由充分条件、必要条件的定义即可得出选项.
【详解】若，则，
当时，推不出；反之，成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：A
41．D【分析】由题设知圆心到直线的距离大于圆的半径，应用点线距离公式列不等式求a的取值范围.
【详解】由题设，圆心为，半径为2，
因为直线与圆没有公共点，
所以，可得或.
故选：D
42．B【解析】利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可.
【详解】双曲线(，)的右焦点到一条渐近线的距离为
可得： 可得 ，即
所以双曲线的离心率为： .
故选:B.
【点睛】本题考查双曲线的简单性质，焦点坐标，渐近线方程，还运用双曲线中焦点到渐近线的距离为以及点到直线的距离公式：.
43．B【分析】过点作的平行线，交于点，交于点，连接，证明点轨迹是线段，然后根据勾股定理求得后可得最小值，由此求得．
【详解】如图，过点作的平行线，交于点，交于点，则底面，连接，平面，则，所以，
∵平面，/平面，，平面，
∴平面平面，又平面，∴平面．
又平面平面，平面，∴，
为的中点，∴为的中点，则为的中点，即在线段上（包含端点），
∴，∴，∴，，
故选：B．
44．C【解析】根据随机数表的使用规则逐个选出，剔除不符合范围的，即可得解.
【详解】从随机数表第1行第6列的数字开始由左到右依次选取两个数字，因为福利彩票“双色球”中红色球的号码可从编号为01，02，…，33的33组数中随机选取，剔除不符合的，则选出的6个红色球的编号依次为21，32，09，16，17，02，故选出的第6个红色球的编号为02.
故选：C.
【点睛】本题考查了随机数表的用法，属于基础题.
45．C【解析】由等差数列性质求出，由等差数列前n项可求得m．
【详解】∵是等差数列，∴，，
∴，．
故选：C．
【点睛】本题考查等差数列的性质与前n项公式，掌握等差数列的性质是解题基础．
46．B【解析】由题意知的可能取值是1，2，3，4，5，结合变量对应的事件和独立重复试验公式求出概率（以为例，当时，表示后四个数字中恰好出现了3个，然后算出期望．
【详解】由题意知的可能取值是1，2，3，4，5
当时，表示后四个数字都是0，，
当时，表示后四个数字中有一个1，
同理可得：
，
故选：B
【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查独立重复试验的概率公式，是一个综合题，解题的关键是读懂题意．
47．B【分析】由分步乘法原理求解即可
【详解】由题意可得，从书架上层取一本书有7种取法，从书架下层取一本书有5种取法，则分步乘法原理可得共有种取法，
故选：B
48．A【解析】根据终边相同的角的概念可得出合适的选项.
【详解】，，，，
因此，只有A选项中的角与终边相同.
故选：A.
49．A【分析】求出椭圆和双曲线的半焦距即得解.
【详解】由题得椭圆的半焦距为，
双曲线的半焦距为，
所以.
故选：A
50．A【分析】设，，，根据向量的线性运算表示出，平方后利用向量的数量积运算即可求解.
【详解】记，，，
因为，，
所以，．
又因为，，
所以，．
易得，
所以，
所以．
故选：A
【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量的数量积运算及性质，考查了运算能力，属于中档题.
51．【分析】根据直线斜率，可知，结合可求得结果.
【详解】由知：直线斜率，
设直线倾斜角为，则，又，.
故答案为：.
52．【分析】根据等差数列的性质和求和公式，得到，即可求解.
【详解】由题意，等差数列中，，
所以，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数的前项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质和求和公式是解答的关键，着重考查推理能力和计算能力，属于基础题.
53．3【解析】根据解析式求出，再求出即可.
【详解】，
，
.
故答案为：3
54．【分析】先把函数化简变形成余弦型函数，利用余弦型函数的性质求出结果．
【详解】函数，
令，
整理得：，
所以函数的单调递增区间为：．
故答案为：．
55．【分析】根据圆锥的平行于底面的截面的性质计算．
【详解】作轴截面，是圆锥底面直径，是截面圆直径，
由题意，，
由得，
所以．
故答案为：．
56．##{2，0}【分析】先得到集合，然后利用交集的概念进行运算即可.
【详解】由题可知：，
所以
所以
故答案为：
57．【解析】设每个小矩形长为米，宽为米，则依题意可知，代入矩形的面积公式，根据基本不等式求出围成矩形面积的最大值．
【详解】如图所示：
设每个小矩形长为米，宽为米，显然，则依题意可知，
设围成的整个矩形场地的面积为，
所以，当且仅当时取等号，即当时取等号，因此.
故答案为：
58．或【分析】讨论和两种情况，代入计算得到答案.
【详解】函数，
当时：
考虑定义域：，故；
当时：
考虑定义域：，故.
综上所述：或
故答案为或
【点睛】本题考查了分段函数不等式，忽略掉定义域是容易发生的错误.
59．【分析】根据已知条件，可求函数的周期性，对称性，以及的值，利用函数函数的周期性，奇偶性进行计算即可.
【详解】解：因为，故，则函数的周期是2，
又函数是定义在上的奇函数，则；
则，，
当时，，则，
则.
故答案为：.
60．④【解析】分别看的定义域和解析式是否相同即可.
【详解】对于①，的定义域都为，但解析式不一样，故不相等；
对于②，的定义域为，的定义域为，故不相等；
对于③，的定义域为，的定义域为，故不相等；
对于④，的定义域都为，且解析式可化为一样，故相等；
故答案为：④
61．.【分析】函数的定义域为实数集即的解集为R，即无解，令判别式小于0即可.
【详解】由函数的定义域为，
得无解，
，
解得：.
故答案为：.
【点睛】本题考查等价转化的能力、考查二次方程解的个数取决于判别式，解题时要认真审题，理清条件和要求解的量之间的关系，同时考查了学生分析问题和解决问题的能力，考查了学生化简计算的能力，是基础题.
62．【分析】根据，求得的值，即可求出的表达式进而可以求的值域。
【详解】因为函数是奇函数，所以，
所以
因为，所以，所以
故答案为：
【点睛】此题考查奇函数性质，分式函数值域问题，属于简单题目。
63．##【分析】根据题意求出即可得出离心率.
【详解】由题可得，所以，
所以离心率.
故答案为：.
64．28【分析】求出展开式d 通项，令的指数为0即可求出.
【详解】的展开式的通项为，
令，解得，
则展开式的常数项为.
故答案为：28.
65．【解析】以BC所在的边为x轴，垂直平分线为y轴建立坐标系，用坐标表示可求得P点坐标求得答案.
【详解】
建立如图所示坐标系，其中O为BC的中点，所以，
设，则，，，
又因为，所以，
，
即，，所以，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查平面向量模的计算，本题的关键点是建立坐标系，根据已知条件计算出P点坐标，再计算向量的模长，这种几何图形中的向量运算，转换成坐标比较容易得到答案.
66．2【解析】画出两个函数和的图象，观察可得．
【详解】作出函数和的图象，如图，它们有两个交点，
所以方程的两个实数解．
故答案为：2.
【点睛】本题考查函数的零点个数问题，解题方法是转化为函数图象交点个数．
67．120【分析】将题目转化成数学语言，得到等差数列关系，求出首项和公差，再求第三日走的里数，即数列的第三项.
【详解】因为男子善走，日增等里，可知每天走的里数符合等差数列，设这个等差数列为，其公差为，前项和为.
根据题意可知，，
法一：
，
，
.
法二：，
解得所以
【点睛】本题考查文字描述转化数学语言的能力，等差数列求和和通项以及基本性质，属于简单题.
68．0【分析】由奇函数的性质可得函数f（x）是周期为4的周期函数，再根据对数的运算性质即可求得．
【详解】根据题意，f（x）为奇函数，则有f（﹣x）＝﹣f（x），
又由f（x）＝f（2﹣x），则有f（2﹣x）＝﹣f（﹣x），即f（x+2）＝﹣f（x），
变形可得：f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，
则，
故＝0．
【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，以及对数的运算性质应用．
69．5【分析】将和分别代入分段函数的解析式即可求解.
【详解】 f（x），
f（1）+f（8）＝
故答案为：5
【点睛】本题主要考查了求分段函数的函数值，属于基础题.
70．【分析】以点为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，设，则，即可表示出点坐标，从而得到，再根据向量模的坐标计算、三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：如图以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，则，，则，
过点、分别作轴、轴，交轴于点、，显然与全等，所以，，
从而得到，即，
所以
所以当，即时
故答案为：
71．【解析】根据诱导公式和二倍角公式，化简已知为，将所求式中的2，用替换，整理化为齐二次分式，分子、分母同除以，化弦为切，即可求解
【详解】解：因为
，
所以
．
【点睛】本题考查已知三角函数值求值问题，解题的关键是化简，涉及到诱导公式、二倍角公式，以及齐次分式化弦为切的方法，属于中档题.
72．(1)；(2)．(3) 最大值为1,最小值为．【分析】先由题意得到；
（1）根据周期计算公式，即可求出结果；
（2）根据正弦函数的单调区间得到，求解，即可得出结果；
（3）先由题意得到，结合正弦函数的性质，即可得出结果.
【详解】由已知可得：
,
（1）的最小正周期；
（2）由,可得,
的单调递减区间为．
（3）,,
,
的最大值为1,最小值为．
【点睛】本题主要考查求三角函数的周期、单调区间，以及最值等，熟记正弦函数的性质即可求解，属于常考题型.
73．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过证明来证得平面ABCD.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得二面角的余弦值．
(1)
由于，，所以，
由于，所以平面，
所以平面，.
，
所以，所以，
由于，所以平面ABCD；
(2)
由（1）可知两两相互垂直，
建立如图所示空间直角坐标系，
，
，，
设平面的法向量为，
则，故可设，
同理可求得平面的法向量为，
由图可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
74．(1)(2)【解析】(1)分别代入与求解即可.
(2)代入求解即可.
【详解】解:(1).
.
因此人听觉的声强级范围为.
(2).
【点睛】本题主要考查了对数的实际运用,需要根据题意代入对应的数值进行计算,属于基础题.
75．（1）（2）【分析】（1）先计算出的角度，再根据正弦定理计算出的值，最后根据即可计算出的值；
（2）根据条件将用的形式表示出来，将转化为关于的三角函数，再根据的范围即可计算出的取值范围.
【详解】解：（1）成等差数列，所以，
，
（2），
，
令，
，，
.
【点睛】本题考查三角恒等变换与解三角形的综合应用，其中涉及到等差数列知识，属于综合型问题，难度较易.解三角形的问题中注意对隐含条件“”的使用.
76．（Ⅰ），，三类行业中每类行业的单位个数分别为60，60，80.（Ⅱ）【分析】第一问利用分层抽样的概念直接计算即可；第二问是古典概率模型，先列出所有的基本事件，然后再找出3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位所包含基本事件的个数，即可求出3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率．
【详解】（Ｉ）由题意，得抽取的，，三类行业单位个数之比为.
由分层抽样的定义，有
类行业的单位个数为，
类行业的单位个数为，
类行业的单位个数为，
故该城区，，三类行业中每类行业的单位个数分别为60，60，80.
（Ⅱ）记选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位为事件.
这3个单位的考核数据情形有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种.
这3个单位都是“星级”环保单位的考核数据情形有，，，，共4种，没有都是“非星级”环保单位的情形，
故这3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共4种，
故所求概率.
【点睛】本题主要考查分层抽样及古典概型问题，属基础题．
77．（1）；（2）292天.【分析】（1）由茎叶图可知从甲乙两城市所采集的40个数据样本中，PM2.5日均值在范围内共有6天，PM2.5日均值为超标有3天记为A，B，C，不超标为x，y，z，列出所有的情况，进而结合古典概型的概率公式计算即可；
（2）抽取20天样本中，甲城市有15天达到一级或二级，乙城市有16天，，可得到对应的频率，进而由样本估计总体可求出答案.
【详解】（1）PM2.5日均值在范围内共有6天，
PM2.5日均值为超标有3天记为ABC，不超标为xyz
从这6天抽取2天有15种情况
，，，，，，，，，，，，，，
由古典概率可知，取到2天均超标．
（2）抽取20天样本中，甲城市有15天达到一级或二级，乙城市有16天，
∴（天）
（天）
【点睛】本题考查茎叶图、平均数的求法、古典概型概率的计算，考查用样本估计总体，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
78．（1）；
（2）若选①：；若选②： ；若选③：.
【分析】（1）求得和，进而可得切线方程；
（2）若选①，则转化为在区间上恒成立，根据“三个二次”可得结果；
若选②，则转化为在区间上有解，分离变量可得结果；
若选③，求得的极小值点为，解不等式可得结果.
【详解】（1）当时，，所以，
点为切点，，
函数在点处的切线方程为：，即；
（2）∵，
∴若选①：函数在区间上是单调减函数，则有：
在区间上恒成立，即在上恒成立，
∴，解得；
若选②：函数在上存在减区间，则有在区间上有解，
即得在区间上有解，
此时令，显然在区间上单调递减，
所以，故有；
若选③：函数在区间上存在极小值，则函数的极小值点应落在内.
令，求得，，
此时可得，在，上单调递增；在上单调递减；
所以是函数的极小值点，
即得，
当时，不等式恒成立，
当时，，解之可得，
所以.
79．（1）；（2）.【分析】（1）根据正弦定理得到，进而可求得，即可解出；
（2）由余弦定理可得，结合三角形面积公式代入计算即可
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理得，
因为，则
又因为是锐角，故；
（2）由余弦定理，得，
所以
又因为，
所以
则．
【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查三角形面积公式的计算，属于中档题．
80．（1），320；（2）.【分析】（1）根据频率分布直方图的小矩形面积的和为1求解m.再乘以总人数即可
（2）根据过中位数垂直与x轴的直线平分所有矩形面积求解.
【详解】（1）因为，
解得，又
所以m的值是，超过80分的人数为320
（2）设中位数为a，因为
则，
解得，所以抽查学生测试成绩的中位数是；
81．(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）由题在上恒成立，利用导数求函数最值即得；
（2）由题有两个相异的实根，设，利用导数可得，即求实数a的取值范围，然后结合，构造函数 ，利用函数单调性即可求证．
(1)
由，得在上恒成立，
设，则，
∴当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，
∴，即，
∴实数a的最小值为．
(2)
由，得，
令，则，
设，则，
∴函数在上单调递减，又，
∴在上，故单调递增，在上，故单调递减，
∴，
由方程恰有两个相异的实根，，得，
∴，即实数a的取值范围为．
下面证明，
不妨设，则，，
要证，只需证，
由于在上单调递增，故只需证.
由，
得
，
令，则恒成立，
因此在上单调递增，函数，
即，故，即证．
【点睛】导数求参问题常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
82．（1）．（2）．【分析】（1）利用两角差的余弦公式展开可得，平方化简可得，根据，， 求得的值．
（2）利用（1）的结果及倍角公式，即可求得的值．
【详解】（1），，，，
，平方化简可得． 又，，
，，．
（2）
。
【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系的应用，考查转化与化归思想的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力．
83．（1）为奇函数；（2）20【解析】（1）先求得函数的定义域，然后由证得为奇函数.
（2）根据为奇函数，求得，从而得到，由此求得所求表达式的值.
【详解】（1），定义域为，当时，.
因为，所以为奇函数.
（2）由（1）得，于是.
所以
【点睛】本小题主要考查函数奇偶性的判断，考查利用函数的奇偶性进行计算，属于基础题.
84．（1）20人；（2）；（3）选择餐厅用餐，理由见解析.【分析】（1）由餐厅分数的频率分布直方图得频率，从而得人数；
（2）对餐厅评分在范内的有人，记为、，对餐厅评分在范围内的有人，记为、、，用列举法写出任选2人可能，计数后可计算出所求概率；
（3）由（1）（2）比较得分低于30分的人数可得结论．
【详解】（1）由餐厅分数的频率分布直方图，得对餐厅评分低于分的频率为：
，
∴对餐厅评分低于的人数为人，
（2）对餐厅评分在范内的有人，设为、，
对餐厅评分在范围内的有人，设为、、，
从这人中随机选出人的选法为：
、、、、、、、、、，共种，
其中恰有人评分在范围内的选法包括：
、、、、、，共种，
故人中恰有人评分在范围内的概率为，
（3）从两个餐厅得分低于分的人数所占的比例来看，由（1）得，抽样的人中，
餐厅评分低于的人数为，
∴餐厅评分低于分的人数所占的比例为，
餐厅评分低于分的人数为，
∴餐厅得分低于分的人数所占的比例为，
∴会选择餐厅用餐.
85．（1）；（2）最小值是-3，最大值是.【分析】（1）先将函数化简整理，得到，从而可得出最小正周期；
（2）由得到，根据余弦函数的单调性，即可得出结果.
【详解】（1）
，
所以函数的最小正周期为.
（2）因为，所以，
于是，
所以，
所以在区间上的最小值是-3，最大值是.
【点睛】本题主要考查余弦型函数的周期，以及余弦型函数在给定区间的最值问题，熟记余弦函数的性质即可，属于常考题型.
86．（1）,；（2）4.【分析】（1）根据，解出，，求出，根据正切的二倍角公式求出；
（2）化简得到，从而求出答案.
【详解】（1）因为且，
解方程组得到，（舍去）或，
所以
；
（2）=4.
【点睛】主要是考查了三角函数的化简与求值的运用，属于基础题。
87．（1）；（2）.【分析】（1）设等差数列的公差为，依题意得到方程组，解得即可；
（2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和即可；
【详解】解：（1）设等差数列的公差为，
由题意得，
解得
∴．
（2）由（1）得
．
【点睛】本题考查等差数列通项公式的计算以及裂项相消法求和，属于中档题.
88．（1）（2）证明见解析【分析】（1）利用零点分段法，对分三种情况讨论，分别解不等式，即可得答案；
（2）当时，不等式显然成立； 当时， ， 再证明左边的最大值小于等于右边的最小值即可.
【详解】（1）当，不等式为，
当时，，不符合题意；
当时，，解得，故此时；
当时，，符合题意，故此时，
综上，原不等式的解集为．
（2）当时，不等式显然成立；
当时，要证 即证，
因为，
当且仅当，等号成立．
而，当且仅当等号成立，
所以成立．
所以．
【点睛】本小题以含绝对值函数为载体，考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式的证明等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力，考查分类与整合的思想，转化与化归的思想，体现基础性与综合性，导向对发展逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养的关注．
89．（1），0≤x≤2；（2）当促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，最大利润为13万元.【分析】（1）根据题意，结合已知数据，即可列出函数关系式；
（2）根据（1）中所求函数解析式，求函数的最大值即可.
【详解】（1）当促销费用为万元时，
付出的成本是：
销售收入是：，
故
整理可得，0≤x≤2.
（2）根据（1）中所求，
，当且仅当时取得最大值.
故当促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，最大利润为13万元.
【点睛】本题考查分式函数模型的应用，涉及利用基本不等式求和的最小值，属综合基础题.
90．（1）或；（2）.【分析】(1)根据给定条件求出m值，并代入方程，再解方程即得.
(2)由给定解集借助对数函数单调性求出范围，换元借助一元二次不等式即可得解.
【详解】（1）由已知得，即，则，于是得，
方程，
从而得或，即或，或，
所以原方程的根为或；
（2）依题意，函数中，，从而得.
又，令，
即一元二次不等式的解集为，
因此有-1，2是关于的方程的两根，则，
所以实数a的值为2.
91．（1）；（2）．【分析】（1）根据题意以及同角基本关系可知，再利用二倍角正弦公式即可求出结果；
（2）根据（1）的结果求出tan，利用两角和正切公式，即可求出结果.
【详解】（1）∵sinα，且α为第二象限角，∴cos，
∴sin2α＝2sinαcosα；
（2）由（1）知tan，
∴tan（α）．
【点睛】本题主要考查了三角函数同角基本关系式、正弦倍角公式和两角和的正切公式，属于基础题目.
92．(1)；
(2)恒为定值；
(3)证明见解析，交点恒在定直线上.
【分析】（1）利用勾股定理可求得圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，即可求得实数的值；
（2）设点、，将直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可求得的值，即可证得结论成立；
（3）设直线的斜率为，可得出，写出直线、的方程，求出两直线交点的纵坐标，即可证得结论成立.
(1)
解：圆的圆心为，到直线的距离为，
，可得，解得.
(2)
解：将代入圆О方程，并整理得，
则，设点、，
由韦达定理，．
，所以，，同理，
于是（定值）.
(3)
解：注意到，设直线的斜率为，则，即．
直线的方程为，直线的方程为的交点满足，
即，解得，故直线、交点必在定直线上．
93．图象见解析，.【解析】根据函数解析式画出函数图象，结合函数图象求出函数值域；
【详解】解：因为，函数图象如下所示：
由函数图象可知函数的值域为
94．（1）；（2）．【分析】（1）设十字形面积为，易知，然后将代入求解.，
（2）由（1）的结论，利用二倍角的正弦和余弦公式，结合辅助角公式得到，再利用正弦函数的性质求解.
【详解】（1）设十字形面积为，
如图所示：
所以，
（2），
（设为锐角且），
当，即时，最大．
即当时，十字形取得最大面积，
．
【点睛】本题主要考查几何图形面积的求法以及数据恒等变换和三角函数性质的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
95．（1）；（2）.【解析】（1）已知得，由离心率得，从而得，再计算出后可得椭圆方程；
（2）由韦达定理得中点坐标，由垂直得斜率，然后可得垂直平分线方程．
【详解】（1）由题意，
椭圆的离心率为，∴，∴，∴，
∴椭圆方程为；
（2）设，
由，得，∴，
设中点为，则，∴．
又，∴的垂直平分线方程为，即．
【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交弦中点问题，解题方法是设而不求的思想方法，即设交点为，由直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理求得，，利用中点坐标公式求得中点的横坐标得中点坐标，再结合斜率可和垂直平分线方程．
96．（1）该计划有效；（2）列联表答案见解析，有99%的把握认为平均每天健身时间与会员健身前的体重有关；（3）人数最有可能是3人.【分析】（1）根据柱状图，采用中间值对应频率求和的方法计算平均体重，然后作差比较判断是否有效；（2）由题意填表，代入公式计算即可；（3）从柱状图中计算会员平均每天的健身时间不低于70分钟的概率为，设抽取的12人中平均每天的健身时间不低于70分钟的人数为，则，表示当时概率的值，利用概率最大计算出的值即为最有可能的人数.
【详解】（1）柱状图（1）中的体重平均值为.
柱状图（2）中的体重平均值为.
因为，所以该计划有效.
（2）列联表如下：
平均每天健身时间低于60分钟 平均每天健身时间不低于60分钟 合计
健身前体重低于 40 20 60
健身前体重不低于 60 80 140
合计 100 100 200
的观测值为.
所以有99%的把握认为平均每天健身时间与会员健身前的体重有关.
（3）由题意可知，该健身房每名会员平均每天的健身时间不低于70分钟的概率为．
设抽取的12人中平均每天的健身时间不低于70分钟的人数为，则，
，，1，2，…，12．
得
得
化简得，又，所以，
即12名会员中平均每天的健身时间不低于70分钟的人数最有可能是3人．
【点睛】方法点睛：（1）柱状图中均值的计算：每组组距中间值对应频率，然后求和；
（2）概率最大的求法：设时，概率取得最大值，则代入概率公式可计算出概率最大时的值.
97．(1)；
(2)
【分析】（1）由正弦定理化简条件，求得，从而求得角B.
（2）将条件，代入余弦定理求得c.
(1)
因为，所以，
即，
化简得，所以，
又因为，所以.
(2)
因为，
所以，
整理得，解得.
98．(1)，或
(2)或
【分析】（1）利用并集及交集和补集运算法则进行计算；（2）根据交集结果比较端点值的大小求解实数的取值范围.
(1)
当时，，又
所以，
所以或.
(2)
由，则，由，
则或
即或
当时，实数的取值范围是或.
99．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用两点距离公式可得，整理即可得轨迹方程.
（2）根据题设令、，为，为，联立抛物线方程求的坐标，再应用两点式求即可证结论.
(1)
由题设，，则，又，
∴，故动点P的轨迹方程为.
(2)
由题设，令为，为，
联立抛物线，可得：，若，，
∴，则，同理可得，则，
∴，为定值.
100．当矩形面积最大时，矩形边AB长，BC长【分析】先设出点坐标，进而表示出矩形的面积，通过求导可求出其最大面积.
【详解】设点，
那么矩形面积，.
令解得（负舍）.
所以S在（0，）上单调递增，在（，2）上单调递；..
所以当时，S有最大值.此时
答：当矩形面积最大时，矩形边AB长，BC长.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页高中数学高考复习综合训练100题（含答案解析）
一、单选题
1．已知某7个数的平均数为3，方差为，现又加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为，方差为，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用平均数、方差的公式直接求解．
【详解】∵这7个数的平均数为3，方差为，现又加入一个新数据3，
此时这8个数的平均数为，方差为，∴，
由方差公式得，所以．
故选B．
【点睛】本题考查平均数、方差公式、性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
2．已知M，N为单位圆O∶上的两个动点，且满足，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设MN中点为E，利用泛极化公式把转化为，再判断出E的轨迹为圆，可求出的范围.
【详解】解析：设MN中点为E，则，
因为，所以点E在以O为圆心，为半径的圆上运动.
故；所以.
故选:A
【点睛】平面向量中与动点有关的最值问题一般的求解思路：
①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值；
②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值.
3．下列说法错误的是（ ）
A．“若，则”的逆否命题是“若，则”
B．“”是“”的充分不必要条件
C．“，”的否定是“，”
D．若“”为假命题，则均为假命题
【答案】D
【分析】根据逆否命题的定义、集合间的关系、全称命题的否定、为假命题的定义，对选项进行一一验证，即可得答案.
【详解】对A，根据逆否命题的定义可知命题正确，故A正确；
对B，若，则或，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确；
对C，因为全称命题的否定是特称命题，且将结论否定，故C正确；
对D，若“”为假命题，则、中只要有一个为假命题，故D错误.
故选：D.
【点睛】本题考查命题真假性的判断，考查对概念的理解与应用，属于基础题.
4．若，，则是的条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】利用充分性与必要性定义判断即可.
【详解】由题意可得
∴是的充分不必要条件
故选A
【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“ ”为真，则是的充分条件．
2．等价法：利用 与非 非， 与非 非， 与非 非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若 ，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．
5．已知等差数列的前n项和为，，若，且，则m的值是
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】由等差数列性质求出，由等差数列前n项可求得m．
【详解】∵是等差数列，∴，，
∴，．
故选：C．
【点睛】本题考查等差数列的性质与前n项公式，掌握等差数列的性质是解题基础．
6．已知，为虚数单位，复数，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】首先利用复数的运算法则将复数化为的形式，然后根据建立一个不等式进行求解.
【详解】.
由，得，整理得解得，所以实数的取值范围为.
故选：B
【点睛】本题考查复数的运算，考查复数模的运算．掌握除法法则与模的定义是解题基础．
7．已知，则
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】先求，再利用同角三角函数基本关系化为齐次式求解即可
【详解】∵，∴，
∴．
故选D
【点睛】本题考查同角三角基本关系式，考查诱导公式，准确计算是关键，是基础题
8．有一副去掉了大小王的扑克牌，充分洗牌后，从中随机抽取一张，则抽到的牌为“黑桃”或“”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】计算出抽到的牌为“黑桃”或“”所包含的牌的数量，利用古典概型的概率公式可求得结果.
【详解】由题意可知，该副扑克牌共张，其中“黑桃”共张，“”共张，
则抽到的牌为“黑桃”或“”共张，故所求概率为.
故选：C.
9．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，现有如下说法：①至少有一个黑球与都是黑球是互斥而不对立的事件；②至少有一个黑球与至少有一个红球不是互斥事件；③恰好有一个黑球与恰好有两个黑球是互斥而不对立的事件；④至少有一个黑球与都是红球是对立事件.在上述说法中，正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用互斥事件和对立事件的定义逐个判断即可
【详解】①“至少有一个 黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故错误.
②“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故正确.
③“恰好有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故正确.
④“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故正确.上述说法中，正确的个数为3.
故选：C
【点睛】此题考查互斥事件和对立事件的判断，属于基础题
10．已知正方体，点是棱的中点，设直线为，直线为.对于下列两个命题：①过点有且只有一条直线与、都相交；②过点有且只有一条直线与、都成角.以下判断正确的是（ ）
A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题
【答案】B
【分析】作出过P与两直线相交的直线l判断①；通过平移直线a，b，结合异面直线所成角的概念判断②．
【详解】解：直线AB与A1D1 是两条互相垂直的异面直线，点P不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：
取BB1的中点Q，则PQ∥A1D1，且 PQ＝A1D1，设A1Q与AB交于E，则点A1、D1、Q、E、P共面，
直线EP必与A1D1 相交于某点F，则过P点有且只有一条直线EF与a、b都相交，故①为真命题；
分别平移a，b，使a与b均经过P，则有两条互相垂直的直线与a，b都成45°角，故②为假命题．
∴①为真命题，②为假命题．
故选：B．
【点睛】本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想，是中档题．
11．函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】在同一直角坐标系中作出函数与的图象，将函数的零点个数转化为函数的交点问题，数形结合可得.
【详解】解：函数的零点个数，即的解得个数，等价于与的交点个数，在同一平面直角坐标系中作出函数图象，由图可知两函数只有一个交点，故函数有一个零点,
故选：
【点睛】本题考查函数的零点问题，数形结合思想，属于基础题.
12．正三棱柱中，，点在棱上，，则二面角的正切值是（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】作出图形，结合题意证明平面，得出平面，推出是二面角所成的平面角，求出的值即可得出结果.
【详解】由题意知，如图，取BC的中点E，的中点，连接AE、，则，，，且所以四边形为矩形，
在上取一点使得，过作，垂足为，则，
且；作，垂足为D，则，，所以且，连接，所以四边形为平行四边形，所以.
所以，又平面ABC，所以平面ABC，所以，
又，，所以平面，又，所以平面，因为，所以平面，故是二面角所成的平面角；
因为，所以，
在中，，
所以.
故选：B
13．下列各角中与终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据终边相同的角的概念可得出合适的选项.
【详解】，，，，
因此，只有A选项中的角与终边相同.
故选：A.
14．若直线与圆没有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－4，4） B．（－2，2）
C．（－∞，－4）U（4，＋∞） D．
【答案】D
【分析】由题设知圆心到直线的距离大于圆的半径，应用点线距离公式列不等式求a的取值范围.
【详解】由题设，圆心为，半径为2，
因为直线与圆没有公共点，
所以，可得或.
故选：D
15．已知向量，，满足，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求向量的坐标，再利用坐标运算求模，转化为二次函数求最小值.
【详解】由条件可知，
则
，当时，.
故选：B
16．如图，正方体的棱长为，是棱的中点，是四边形内一点（包含边界）．若平面，且线段长度的最小值为，则（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】过点作的平行线，交于点，交于点，连接，证明点轨迹是线段，然后根据勾股定理求得后可得最小值，由此求得．
【详解】如图，过点作的平行线，交于点，交于点，则底面，连接，平面，则，所以，
∵平面，/平面，，平面，
∴平面平面，又平面，∴平面．
又平面平面，平面，∴，
为的中点，∴为的中点，则为的中点，即在线段上（包含端点），
∴，∴，∴，，
故选：B．
17．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据指数幂的运算性质逐项检验可得正确的选项.
【详解】对于A，，故A错.
对于B，，故B错.
对于C，，故C正确.
对于D，，故D错误.
故选：C.
【点睛】本题考查指数幂的运算，此类问题，熟记运算规则是关键，本题属于基础题.
18．设是椭圆的左 右焦点，若椭圆上存在一点P，使（O为坐标原点），且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由向量的关系可得，由椭圆的定义及，可得，的值，在直角三角形中，由勾股定理可得，的关系，进而求出椭圆的离心率．
【详解】解：设的中点为，由，即，所以，
连接可得，所以，
可得，
又因为，
所以，，
在中，，
即，可得：，
解得，
故选：．
19．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数与指数函数的值域及复合函数定义即可求出.
【详解】解：由二次函数的性质可知，因此，即函数的值域为.
故选：.
【点睛】本题考查指数型复合函数的值域，属于基础题.
20．已知集合，，若，则实数a的值为
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据集合元素的互异性和交集的定义，可得方程组或即可得答案；
【详解】由题意可得或
，
故选：B.
【点睛】本题考查根据交集的结果求参数，考查运算求解能力，求解时注意集合元素的互异性.
21．某中学共有学生2500人，其中男生1500人，为了解该校学生参加体育锻炼的时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为50的样本，则样本中女生的人数为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
【答案】C
【分析】先求得中学中的女生人数，然后根据样本容量，按照比例求解.
【详解】因为共有学生2500人，其中男生1500人，
所以女生有1000人，
所以样本中女生的人数为人
故选：C
【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，属于基础题.
22．下列命题中正确的是（ ）
A．当时，函数的图像是一条直线；
B．幂函数的图像都经过和点；
C．幂函数的定义域为；
D．幂函数的图像不可能出现在第四象限．
【答案】D
【分析】根据幂函数的性质依次分析各选项即可得答案.
【详解】解：对于A，时，函数的图像是一条直线除去点，故错误；
对于B，幂函数的图像都经过点，当指数大于时，都经过点，当指数小于时，不经过点，故B错误；
对于C，函数，故定义域为，故错误；
对于D，由幂函数的性质，幂函数的图像一定过第一象限，不可能出现在第四象限，故正确.
故选：D.
23．在矩形ABCD中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由平面向量的线性运算可得，再由平面向量数量积的运算法则计算即可得解.
【详解】由题意作出图形，如下图，
所以
.
故选：C.
24．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称
C．的最大值为 D．的图象关于直线对称
【答案】D
【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图像和性质判断各个选项是否正确，从而得出结论.
【详解】解：
对于选项，因为，故不正确；
对于选项，因为，故不正确；
对于选项，因为当时，，故不正确；
对于选项，因为，是的最大值，
所以的图象关于直线对称，故正确.
故选：D.
【点睛】本题主要考查三角恒等变换和正弦函数的图像和性质，属于中档题.
25．下面诱导公式使用正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式的法则“奇变偶不变，符号看象限”，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误.
故选：C
26．要得到函数的图像,可以将函数的图像沿轴
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】C
【解析】由，根据三角函数的变换规则即可判断.
【详解】解：∵,
∴将函数的图像上的所有点向左平移个单位,可得到函数的图像.
故选：
【点睛】本题考查三角函数的变换，属于基础题.
27．某校将5名插班生甲、乙、丙、丁、戊编入3个班级，每班至少1人，则不同的安排方案共有（ ）
A．150种 B．120种 C．240种 D．540种
【答案】A
【分析】根据题意，分2步分析：先将5名插班生分为3组，有2种分组方法，①分为3、1、1的三组，②分为2、2、1的三组，由组合数公式可得其分组方法数目，由分类计数原理将其相加可得分组的情况数目，第二步，将分好的三组对应3个不同的班级，由排列数公式可得其对应方法数目,由分步计数原理计算可得选项．
【详解】由题意可知，可分以下两种情况讨论，①5名插班生分成：， ，1三组；②5名插班生分成：，，三组，
当5名插班生分成：， ，1三组时，共有种方案；
当5名插班生分成：，，三组时，共有种方案；
所以，共有种不同的安排方案.
故选：A.
【点睛】本题主要考查两个基本原理和排列组合，在对排列、组合的综合问题时，一般先组合再排列，属于中档题.
28．若直线与直线互相垂直，则的值为（ ）
A． B． C．0或 D．1或
【答案】D
【分析】利用两条直线垂直的充要条件列出方程，求出的值．
【详解】，
，即，
解得或.
故选：D．
【点睛】本题考查两直线垂直的充要条件，考查运算求解能力，求解时注意与垂直这一条件的应用.
29．福利彩票“双色球”中红色球的号码可从编号为01，02，…，33的33组数中随机选取，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的号码，选取方法是从下列随机数表中第1行第6列的数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的号码为（ ）
A．23 B．09 C．02 D．17
【答案】C
【解析】根据随机数表的使用规则逐个选出，剔除不符合范围的，即可得解.
【详解】从随机数表第1行第6列的数字开始由左到右依次选取两个数字，因为福利彩票“双色球”中红色球的号码可从编号为01，02，…，33的33组数中随机选取，剔除不符合的，则选出的6个红色球的编号依次为21，32，09，16，17，02，故选出的第6个红色球的编号为02.
故选：C.
【点睛】本题考查了随机数表的用法，属于基础题.
30．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简集合B，利用并集概念及运算即可得到结果.
【详解】由题意可得：
又
∴
故选：C
【点睛】本题考查并集的概念及运算，考查分式不等式的解法，属于基础题.
31．已知椭圆和双曲线有相同焦点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出椭圆和双曲线的半焦距即得解.
【详解】由题得椭圆的半焦距为，
双曲线的半焦距为，
所以.
故选：A
32．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且与，的夹角都等于．若是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，，，根据向量的线性运算表示出，平方后利用向量的数量积运算即可求解.
【详解】记，，，
因为，，
所以，．
又因为，，
所以，．
易得，
所以，
所以．
故选：A
【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量的数量积运算及性质，考查了运算能力，属于中档题.
33．书架上层放7本不同的语文书，书架下层放5本不同的数学书，从书架上层和下层各取一本书的取法有（ ）
A．12种 B．35种 C．7种 D．66种
【答案】B
【分析】由分步乘法原理求解即可
【详解】由题意可得，从书架上层取一本书有7种取法，从书架下层取一本书有5种取法，则分步乘法原理可得共有种取法，
故选：B
34．若实数满足约束条件，且最大值为1，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先画出可行域，根据目标函数的几何意义得到，再利用基本不等式的性质即可得到的最大值.
【详解】由题知不等式组表示的可行域如下图所示：
目标函数转化为，
由图易得，直线在时，轴截距最大.
所以.
因为，即，
当且仅当，即，时，取“”.
故选：A
【点睛】本题主要考查基本不等式求最值问题，同时考查了线性规划，属于中档题.
35．在平面直角坐标系中，若双曲线(，)的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可.
【详解】双曲线(，)的右焦点到一条渐近线的距离为
可得： 可得 ，即
所以双曲线的离心率为： .
故选:B.
【点睛】本题考查双曲线的简单性质，焦点坐标，渐近线方程，还运用双曲线中焦点到渐近线的距离为以及点到直线的距离公式：.
36．已知，是双曲线的两条渐近线，直线经过的右焦点，且，交于点，交于点，若，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据直线平行，可设直线的方程，通过联立得点，的横坐标，求出的表达式，从而可解不等式组得到的取值范围.
【详解】由题意可知，，不妨记，，
由且经过的右焦点可得的方程为，
与的方程联立可解得，
与的方程联立得，
所以，
解得，.
故选：B.
【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.
37．已知x∈（e﹣1，1），令a＝lnx，b，c＝elnx，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【答案】A
【分析】根据为增函数,可得,根据为递减函数,可得,根据对数恒等式可得.
【详解】因为,且为增函数,所以,
因为且为递减函数,所以,
,
所以.
故选:A
【点睛】本题考查了根据对数函数和指数函数的性质比较大小,关键是找中间值进行比较,属于基础题.
38．函数在区间上的最大值、最小值分别是（ ）
A．， B．，1 C．， D．1，
【答案】D
【分析】根据反比例函数的单调性即可解得最值.
【详解】易知函数在区间是单调递减函数，
因此当时，函数的最大值为，
当时，函数的最小值为.
故选.
【点睛】本题考查函数单调性的应用，对于反比例函数当时为减函数，当时为增函数，是基础题.
39．函数的图像向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数，函数．若关于的方程在内有两个不同的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用函数的图象变换规律，利用三角函数的图象和三角恒等变形，可得，即，，从而得到，进而得到的值.
【详解】函数的图像向左平移个单位长度后，可得的图象.
由条件为奇函数，则，即
又，所以，即
关于的方程在内有两个不同的解，
即在内有两个不同的解，
即在内有两个不同的解，
即，其中(为锐角) 在内有两个不同的解，
即方程即在内有两个不同的解，
由，则，
所以，
所以
则，即，
所以，
故选：D
【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，诱导公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
40．是坐标原点，已知，，．若点M为直线上一动点，当取得最小值时，此时（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】可设，可得，然后，根据向量数量积的坐标运算得到为二次函数，利用二次函数的性质可求出，进而得到，最后求得
【详解】由已知得，因为点M为直线上一动点，所以，可设，
得到，则，，
则，当且仅当时，取得最小值，此时，可得，所以，，得到.
故选：A
41．已知,且,则
A．0 B． C． D．1
【答案】B
【解析】首先利用同角三角函数的基本关系求出，再由，利用两角和的余弦公式即可求解.
【详解】由,且,
所以，
所以.
故选：B
【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式，属于基础题.
42．已知实数，，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】首先求出当时，，再由充分条件、必要条件的定义即可得出选项.
【详解】若，则，
当时，推不出；反之，成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：A
43．已知角终边上一点P的坐标为，则的值是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据三角函数定义，，即可求解
【详解】由题意，
故选：
【点睛】本题考查三角函数定义，属于基本题.
44．下列说法错误的是（ ）
A．回归直线过样本点的中心
B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1
C．在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位
D．对分类变量X与Y，随机变量的观测值越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小
【答案】D
【分析】利用线性回归的有关知识逐一分析各个选项即可得出答案．
【详解】解：A．回归直线过样本点的中心，正确；
B．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，因此正确；
C．在线性回归方程中，当x每增加1个单位时，预报量平均增加0.2个单位，正确；
D．对分类变量X与Y的随机变量的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”可信程度越大，因此不正确．
综上可知：只有D不正确．
故选：D．
45．下面问题中，是排列问题的是（ ）
A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数
B．从40人中选5人组成篮球队
C．从100人中选2人抽样调查
D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合
【答案】A
【分析】根据排列与排列数的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】根据排列及排列数的定义，可得：
对于A中，由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数，符合排列的定义，是排列问题；
对于B中，从40人中选5人组成篮球队，与顺序无关的问题，不是排列问题；
对于C中， 从100人中选2人抽样调查，与顺序无关的问题，不是排列问题；
对于D中， 从1，2，3，4，5中选2个数组成集合，与顺序无关的问题，不是排列问题.
故选：A.
46．若函数f(x)和g(x)分别由下表给出：
x 1 2 3 4 x 1 2 3 4
f(x) 2 3 4 1 g(x) 2 1 4 3
满足g(f(x))＝1的x值是（ ）．A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】从外到内逐步求值．
【详解】解：∵g(f(x))＝1，
∴f(x)＝2，
∴x＝1，
故选：A．
【点睛】本题主要考查函数的表示法——列表法，属于基础题．
47．对高三某班级的学生进行体能测试，所得成绩统计如下图所示，则该班级学生体能测试成绩的中位数为（ ）
A．80 B．85 C．82.5 D．83
【答案】C
【分析】由频率确定中位数在80至90之间，然后由比例计算可得．
【详解】解：依题意，成绩不大于80分的概率为，而成绩在区间的概率为0.4，因此中位数在80至90之间，
所求中位数为，
故选：C．
48．已知函数，给出下列四个命题：①图象的两条相邻对称轴间的距离为；②的图象关于直线对称；③在区间上是增函数；④将的图象向右平移个单位后，的图像关于y轴对称，其中正确的命题为（）
A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④
【答案】C
【分析】由条件利用正弦函数的周期性单调性，以及图像的对称性，的图像变换规律，得出结论.
【详解】函数的周期，两个相邻的对称轴之间的距离为，故①错误；
令，可得，因此的图象关于直线对称，故②正确；
当时，，可知为增函数，故③正确；
将的图象向右平移个单位后，可得到的图像不关于轴对称，故④错误.
故选：.
【点睛】本题主要考查的是正弦函数图像和性质，根据三角函数的对称性是解决本题的关键，是中档题.
49．准线方程为的抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】的准线方程为.
【详解】的准线方程为.
故选：D.
50．下列四组对象中能构成集合的是（ ）.
A．本校学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点
C．很小的实数 D．倒数等于本身的数
【答案】D
【分析】根据集合中元素具有确定性判断选项即可得到结果.
【详解】集合中的元素具有确定性，对于，学习好、非常近、很小都是模糊的概念，没有明确的标准，不符合确定性；
对于，符合集合的定义，正确.
故选：.
【点睛】本题考查集合的定义，关键是明确集合中的元素具有确定性，属于基础题.
二、填空题
51．椭圆上一点满足到左焦点的距离为，则的面积是________.
【答案】
【解析】根据椭圆的定义再利用余弦定理求出，最后由面积公式计算可得；
【详解】解：由椭圆的定义得，，∴，
，
∴，则.
故答案为：
52．已知定义在上的奇函数满足，则______.
【答案】0
【分析】由奇函数的性质可得函数f（x）是周期为4的周期函数，再根据对数的运算性质即可求得．
【详解】根据题意，f（x）为奇函数，则有f（﹣x）＝﹣f（x），
又由f（x）＝f（2﹣x），则有f（2﹣x）＝﹣f（﹣x），即f（x+2）＝﹣f（x），
变形可得：f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，
则，
故＝0．
【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，以及对数的运算性质应用．
53．已知函数，则的值为______．
【答案】3
【解析】根据解析式求出，再求出即可.
【详解】，
，
.
故答案为：3
54．已知函数，，若，则的取值范围为 ______.
【答案】或
【分析】讨论和两种情况，代入计算得到答案.
【详解】函数，
当时：
考虑定义域：，故；
当时：
考虑定义域：，故.
综上所述：或
故答案为或
【点睛】本题考查了分段函数不等式，忽略掉定义域是容易发生的错误.
55．已知双曲线C：的一个焦点是，则它的离心率为______．
【答案】##
【分析】根据题意求出即可得出离心率.
【详解】由题可得，所以，
所以离心率.
故答案为：.
56．函数的定义域为，的定义域为，则__________
【答案】
【分析】根据解析式，先分别求出定义域，再求交集，即可得出结果.
【详解】因为，所以，解得，则；
又，所以，解得，则，
因此.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查求集合的交集，考查求具体函数的定义域，属于基础题型.
57．若f（x），则f（1）+f（8）＝_____.
【答案】5
【分析】将和分别代入分段函数的解析式即可求解.
【详解】 f（x），
f（1）+f（8）＝
故答案为：5
【点睛】本题主要考查了求分段函数的函数值，属于基础题.
58．在等差数列中，若，则该数列的前2021项的和为_______.
【答案】
【分析】根据等差数列的性质和求和公式，得到，即可求解.
【详解】由题意，等差数列中，，
所以，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数的前项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质和求和公式是解答的关键，着重考查推理能力和计算能力，属于基础题.
59．已知函数，对定义域内的任意都有，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】不等式分离变量,等价变形为，构造函数，函数求导，求出单调区间，可得函数最小值.
【详解】∵，∴，，也即在时恒成立.
令，，则，，令.易知在上单调递减，在上单调递增，
故，∴.
故答案为：
【点睛】本题考查数的单调性及不等式恒成立问题转化为函数最值问题.
不等式恒成立问题的求解方法：(1)已知不等式(为实参数)对任意的恒成立，求参数的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法， (2)如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解.
60．如果定义在上的函数，对任意都有，则称函数为“函数”，给出下列函数，其中是“函数”的有_____________（填序号）
① ② ③ ④
【答案】①④．
【分析】不等式等价为，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．
【详解】对于任意的不等实数，，不等式恒成立，
不等式等价为恒成立，
即函数是定义在上的增函数；
①在上单调递增，符合题意；
②在上单调递减，不合题意；
③在上单调递减，在上单调递增，不合题意；
④在上单调递增，符合题意；
故答案为：①④．
61．已知集合，集合，则________
【答案】
【解析】由交集定义计算．
【详解】由题意．
故答案为：．
62．已知是平面向量的一组基底，实数x，y满足，则_________.
【答案】2
【分析】由题意结合基底的概念、平面向量基本定理可得，即可得解.
【详解】是平面向量的一组基底，且，
，解得，
.
故答案为：2.
【点睛】本题考查了基底的概念与性质，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题.
63．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时， __________.
【答案】
【解析】根据奇函数的定义，即可求解.
【详解】当时，，
是奇函数，，
.
故答案为:
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性，求函数的解析式，属于基础题.
64．函数的定义域为,则的取值范围为______.
【答案】.
【分析】函数的定义域为实数集即的解集为R，即无解，令判别式小于0即可.
【详解】由函数的定义域为，
得无解，
，
解得：.
故答案为：.
【点睛】本题考查等价转化的能力、考查二次方程解的个数取决于判别式，解题时要认真审题，理清条件和要求解的量之间的关系，同时考查了学生分析问题和解决问题的能力，考查了学生化简计算的能力，是基础题.
65．函数是定义在上的奇函数，并且满足，当时，，则__________.
【答案】
【分析】根据已知条件，可求函数的周期性，对称性，以及的值，利用函数函数的周期性，奇偶性进行计算即可.
【详解】解：因为，故，则函数的周期是2，
又函数是定义在上的奇函数，则；
则，，
当时，，则，
则.
故答案为：.
66．函数的部分图象如图所示，则的值是______．
【答案】
【分析】利用的周期求，过点求
【详解】由图象可知，，，．
在图象上，则，，
，，
，．
故答案为：
【点睛】本题考查的是利用函数的图象求其解析式，较简单.
67．过点，且与直线垂直的直线方程为______.
【答案】
【分析】先由垂直关系求出所求直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程
【详解】解：因为所求直线与直线垂直，
所以所求直线的斜率为，
因为所求直线过点，
所以所求直线方程为，即，
故答案为：
【点睛】此题考查两直线的位置关系，考查直线方程的求法，属于基础题
68．已知集合，，则______．
【答案】##{2，0}
【分析】先得到集合，然后利用交集的概念进行运算即可.
【详解】由题可知：，
所以
所以
故答案为：
69．在中，，，为的重心，则________．
【答案】6
【分析】根据三角形重心的性质转化为，以及，再求数量积.
【详解】如图，点是的中点，
为的重心，，，
所以
故答案为：6
【点睛】本题考查向量数量积，重心，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型.
70．直线的倾斜角的取值范围是_______.
【答案】
【分析】根据直线斜率，可知，结合可求得结果.
【详解】由知：直线斜率，
设直线倾斜角为，则，又，.
故答案为：.
三、解答题
71．设为实数，集合，.
(1)若，求，；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)，或
(2)或
【分析】（1）利用并集及交集和补集运算法则进行计算；（2）根据交集结果比较端点值的大小求解实数的取值范围.
(1)
当时，，又
所以，
所以或.
(2)
由，则，由，
则或
即或
当时，实数的取值范围是或.
72．已知函数.
（1）当，解不等式；
（2）求证：
【答案】（1）（2）证明见解析
【分析】（1）利用零点分段法，对分三种情况讨论，分别解不等式，即可得答案；
（2）当时，不等式显然成立； 当时， ， 再证明左边的最大值小于等于右边的最小值即可.
【详解】（1）当，不等式为，
当时，，不符合题意；
当时，，解得，故此时；
当时，，符合题意，故此时，
综上，原不等式的解集为．
（2）当时，不等式显然成立；
当时，要证 即证，
因为，
当且仅当，等号成立．
而，当且仅当等号成立，
所以成立．
所以．
【点睛】本小题以含绝对值函数为载体，考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式的证明等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力，考查分类与整合的思想，转化与化归的思想，体现基础性与综合性，导向对发展逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养的关注．
73．在锐角三角形中，角的对边分别为，且成等差数列
（1）若，求
（2）若为的最大内角，求的取值范围
【答案】（1）（2）
【分析】（1）先计算出的角度，再根据正弦定理计算出的值，最后根据即可计算出的值；
（2）根据条件将用的形式表示出来，将转化为关于的三角函数，再根据的范围即可计算出的取值范围.
【详解】解：（1）成等差数列，所以，
，
（2），
，
令，
，，
.
【点睛】本题考查三角恒等变换与解三角形的综合应用，其中涉及到等差数列知识，属于综合型问题，难度较易.解三角形的问题中注意对隐含条件“”的使用.
74．已知函数.
（1）当时，求曲线上在点处的切线方程；
（2）这下面三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.若___________，求实数m的取值范围.
①在区间上是单调减函数；②在上存在减区间；③在区间上存在极小值.
【答案】（1）；
（2）若选①：；若选②： ；若选③：.
【分析】（1）求得和，进而可得切线方程；
（2）若选①，则转化为在区间上恒成立，根据“三个二次”可得结果；
若选②，则转化为在区间上有解，分离变量可得结果；
若选③，求得的极小值点为，解不等式可得结果.
【详解】（1）当时，，所以，
点为切点，，
函数在点处的切线方程为：，即；
（2）∵，
∴若选①：函数在区间上是单调减函数，则有：
在区间上恒成立，即在上恒成立，
∴，解得；
若选②：函数在上存在减区间，则有在区间上有解，
即得在区间上有解，
此时令，显然在区间上单调递减，
所以，故有；
若选③：函数在区间上存在极小值，则函数的极小值点应落在内.
令，求得，，
此时可得，在，上单调递增；在上单调递减；
所以是函数的极小值点，
即得，
当时，不等式恒成立，
当时，，解之可得，
所以.
75．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，证明：.
【答案】（1）；（2），在单调递减；，在单调递增，在单调递减；（3）证明见解析.
【分析】（1）求得导函数，利用导数的几何意义得到切线的斜率，进而得出切线方程；
（2）分类讨论，函数的定义域，在定义域内研究讨论导数的正负，进而得到单调性；
（3）解法1：等价转化为.先将不等式左边看成以a为自变量的函数，设，利用导数研究其单调性，进而得到
.由（1）可知，当时，，得，然后利用放缩证得；
解法2：（3）不等式等价于.
由（1）可知，当时，，得，先利用，得到，从而为证原不等式，只需证
构造函数，利用导数研究其单调性，进而得证.
【详解】（1），则，
于是点处切线方程为：，即.
（2）若，则定义域，，在单调递减.
若，则定义域为，.
由得，由得，所以在单调递增，在单调递减.
解法1：（3）不等式等价于.
设，.
设，则，所以.
而，所以，在单调递减，所以.
由（1）可知，当时，，得.所以
.
因此当时，.
解法2：（3）不等式等价于.
由（1）可知，当时，，得，从而.
设，在单调递增.
因为，所以当时，，当时，.
所以.因此.
所以当时，.
【点睛】利用，进行放缩是解决同时含有指数对数的不等式证明得常用方法，值得注意体会和掌握.
76．已知，.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）求的值.
【答案】（1）为奇函数；（2）20
【解析】（1）先求得函数的定义域，然后由证得为奇函数.
（2）根据为奇函数，求得，从而得到，由此求得所求表达式的值.
【详解】（1），定义域为，当时，.
因为，所以为奇函数.
（2）由（1）得，于是.
所以
【点睛】本小题主要考查函数奇偶性的判断，考查利用函数的奇偶性进行计算，属于基础题.
77．已知函数.
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）求在区间上的最大值.
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）由恒成立，则分离变量可得恒成立，再设，然后求其最大值即可得解；
（2）由二次型函数的动轴定区间问题，分别讨论当时，当时， 当时，函数在的最大值即可得解.
【详解】解：（1）因为，
又，即，
即，
即，
即恒成立，
令，则 ，
则，
则，
设，
易得在为减函数，在为增函数，
又，，所以，
即，
即的取值范围为；
（2）由，
又，所以，
令，则 ，
则，
①当即时，函数在为增函数，即，
②当即时，函数在为减函数，即，
③当即时，函数在为增函数，在为减函数，即，
综合①②③可得.
【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，主要考查了二次型函数动轴定区间问题，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.
78．已知函数.
（1）若，求a的值；
（2）若，求证：当时，，其中e为自然对数的底数.
【答案】（1）1；（2）证明见解析.
【分析】（1）求出,根据题意可得，解方程即可求出结果；
（2）求出，根据不等式的性质即可证出结论.
【详解】（1）因为，，
所以，解得.
（2）函数的定义域是，
，
所以，
当，时，，，
可得.
79．如图，四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，，．
(1)求证：平面ABCD；
(2)设点M是BD中点，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过证明来证得平面ABCD.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得二面角的余弦值．
(1)
由于，，所以，
由于，所以平面，
所以平面，.
，
所以，所以，
由于，所以平面ABCD；
(2)
由（1）可知两两相互垂直，
建立如图所示空间直角坐标系，
，
，，
设平面的法向量为，
则，故可设，
同理可求得平面的法向量为，
由图可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
80．在锐角中，，，分别是角，，所对的边，且.
（1）求角的大小；
（2）若，且，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据正弦定理得到，进而可求得，即可解出；
（2）由余弦定理可得，结合三角形面积公式代入计算即可
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理得，
因为，则
又因为是锐角，故；
（2）由余弦定理，得，
所以
又因为，
所以
则．
【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查三角形面积公式的计算，属于中档题．
81．近日，某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数与空气污染指数的关系为：，其中空气污染指数与时刻（小时）和的算术平均数成反比，且比例系数为，是与气象有关的参数，．
(1)求空气污染指数的解析式和最大值；
(2)若用每天环境综合污染指数的最大值作为当天的综合污染指数，该市规定：每天的综合污染指数最大值不得超过1．试问目前市中心的综合污染指数是否超标？请说明理由．
【答案】(1)，，;
(2)没有超标；理由见解析.
【分析】（1）根据题意直接写出函数，利用均值不等式求最值即可；
（2）设，换元后原函数转化为分段函数，利用二次函数的性质求出函数的单调区间，分类讨论可得的最大值，即可求解.
(1)
由题意得，，
即
当且仅当时，．
(2)
由（1）得，，设，
令，，
则
由图像知在和上单调递增，在上单调递减，且，，
所以，
令，解得，
令，解得，
所以
当时，，
当时，，
即，所以，
所以目前市中心的综合污染指数没有超标.
82．已知函数和，设.
（1）求函数；
（2）求和的值；
（3）求的值；
（4）若函数，试判断与是否为同一函数，并说明理由.
【答案】（1）；（2）；不存在；（3）当时，；当时，不存在；（4）和不是同一函数，详见解析.
【分析】（1）先由的定义域可得的定义域，然后求解；
（2）把代入可得,没有意义；
（3）分类讨论与定义域的关系，可得的值；
（4）从定义域和解析式的特征进行判定.
【详解】（1）.
∵的定义域为的定义域为，
∴的定义域为与的定义城的交集，即.
∴.
（2）∵，∴.
∵，∴不存在.
（3）当时，即当时，；
当时，即当时，不存在.
（4）和，虽然函数解析式相同，但是定义域不同，前者定义域R，后者定义域为.
所以和不是同一函数.
【点睛】本题主要考查函数的解析式及定义域，同一函数的判定等，函数定义域是函数不可缺失的一部分，求解时应该遵循定义域优先的策略，侧重考查数学抽象的核心素养.
83．某网站的调查显示，健身操类 跑步类 拉伸运动类等健身项目在大众健康项目中是比较火热的，但是大多数人的健身科学类知识相对缺乏，尤其是在健身指导方面.从某健身房随机抽取200名会员，对其平均每天健身时间进行调查，如下表，健身之前他们的体重情况如柱状图（1）所示，该健身房的教练为他们制订了健身计划，四个月后他们的体重情况如柱状图（2）所示.
平均每天健身时间(分钟)
人数 20 36 44 50 40 10
（1）若这200名会员的平均体重减少不低于，就认为该计划有效，根据上述柱状图，试问：该计划是否有效？(每组数据用该组区间的中点值作代表)
（2）请根据图中数椐填写下面的列联表，试问：是否有99%的把握认为平均每天健身时间与会员健身前的体重有关？
平均每天健身时间低于60分钟 平均每天健身时间不低于60分钟 合计
健身前体重低于
健身前体重不低于 80
合计 200
（3）以这200名会员平均每天健身时间的频率，代替该健身房1名会员平均每天健身时间发生的概率，若在该健身房随机调查12名会员，则其中平均每天的健身时间不低于70分钟的人数最有可能(即概率最大)是多少？
参考公式：，其中.
参考数据：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）该计划有效；（2）列联表答案见解析，有99%的把握认为平均每天健身时间与会员健身前的体重有关；（3）人数最有可能是3人.
【分析】（1）根据柱状图，采用中间值对应频率求和的方法计算平均体重，然后作差比较判断是否有效；（2）由题意填表，代入公式计算即可；（3）从柱状图中计算会员平均每天的健身时间不低于70分钟的概率为，设抽取的12人中平均每天的健身时间不低于70分钟的人数为，则，表示当时概率的值，利用概率最大计算出的值即为最有可能的人数.
【详解】（1）柱状图（1）中的体重平均值为.
柱状图（2）中的体重平均值为.
因为，所以该计划有效.
（2）列联表如下：
平均每天健身时间低于60分钟 平均每天健身时间不低于60分钟 合计
健身前体重低于 40 20 60
健身前体重不低于 60 80 140
合计 100 100 200
的观测值为.
所以有99%的把握认为平均每天健身时间与会员健身前的体重有关.
（3）由题意可知，该健身房每名会员平均每天的健身时间不低于70分钟的概率为．
设抽取的12人中平均每天的健身时间不低于70分钟的人数为，则，
，，1，2，…，12．
得
得
化简得，又，所以，
即12名会员中平均每天的健身时间不低于70分钟的人数最有可能是3人．
【点睛】方法点睛：（1）柱状图中均值的计算：每组组距中间值对应频率，然后求和；
（2）概率最大的求法：设时，概率取得最大值，则代入概率公式可计算出概率最大时的值.
84．做出的图象并求出其值域
【答案】图象见解析，.
【解析】根据函数解析式画出函数图象，结合函数图象求出函数值域；
【详解】解：因为，函数图象如下所示：
由函数图象可知函数的值域为
85．已知为第二象限角，且.
（1）求，的值；
（2）求的值.
【答案】（1）,；（2）4.
【分析】（1）根据，解出，，求出，根据正切的二倍角公式求出；
（2）化简得到，从而求出答案.
【详解】（1）因为且，
解方程组得到，（舍去）或，
所以
；
（2）=4.
【点睛】主要是考查了三角函数的化简与求值的运用，属于基础题。
86．已知sinα，且α为第二象限角．
（1）求sin2α的值；
（2）求tan（α）的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据题意以及同角基本关系可知，再利用二倍角正弦公式即可求出结果；
（2）根据（1）的结果求出tan，利用两角和正切公式，即可求出结果.
【详解】（1）∵sinα，且α为第二象限角，∴cos，
∴sin2α＝2sinαcosα；
（2）由（1）知tan，
∴tan（α）．
【点睛】本题主要考查了三角函数同角基本关系式、正弦倍角公式和两角和的正切公式，属于基础题目.
87．已知，，．
求：（1）的值．
（2）的值．
【答案】（1）．（2）．
【分析】（1）利用两角差的余弦公式展开可得，平方化简可得，根据，， 求得的值．
（2）利用（1）的结果及倍角公式，即可求得的值．
【详解】（1），，，，
，平方化简可得． 又，，
，，．
（2）
。
【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系的应用，考查转化与化归思想的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力．
88．求不等式的解集.
【答案】,或.
【解析】因为方程的根是函数的零点,先求出的根,再根据函数图象得到的解集.
【详解】对于方程
则,所以方程有两个实数根.
则
解得,
画出二次函数的图象如下图所示:
结合图象可知不等式的解集为,或
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,一元二次不等式与一元二次方程的关系,属于基础题.
89．如图，在正四棱柱中，，，E，M，N分别是，，的中点.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为，由正四棱柱，可知为点到平面的高，结合已知，即可求得答案；
（2）取AD的中点Q，连接NQ，BQ，证明且，可得为异面直线MN与所成角(或其补角)，求解三角形可得再由余弦定理可得异面直线MN与所成角的余弦值.
【详解】（1），
在正四棱柱中
平面，即为点到平面的高
（2）取的中点Q，连接，
N为的中点
且，
M为的中点，
，且
且
四边形是平行四边形，
且
同理可证且
且
为异面直线与所成角(或其补角).
在正方形中，，E为中点
.
异面直线与所成角的余弦值为.
【点睛】关键点睛：本题考查了求异面直线夹角问题，解题关键是将求两条异面直线夹角问题转化为求共面直线夹角，结合余弦定理进行求解.
90．已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于，两点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）设，是抛物线上的不同两点，且轴，直线与轴交于点，再在轴上截取线段，且点介于点点之间，连接，过点作直线的平行线，证明是抛物线的切线.
【答案】（1）；（2）见解析.
【分析】（1）分过点的直线斜率存在和不存在两种情况，设过点的直线方程为，，联立，求得两根只和，两根之积，再根据半焦距公式几块求得p，从而得出答案；
（2）不妨设点P在第一象限，则，设直线PQ的方程为，，求得点G的坐标，根据，可求得点E的坐标，从而可求的PE的斜率，联立，求得点Q的坐标，从而可得直线l的方程，联立消元，利用根的判别式即可得证.
【详解】（1）解：设过点的直线方程为，，
联立，得，
则，
所以，
，
因为，
所以，
化简得，所以，
当过点的直线斜率不存在时，则，
故，
又因为，
则，所以，
综上所述，，
所以；
（2）证明：不妨设点P在第一象限，
则，
设直线PQ的方程为，，
联立，消元整理得，
则，即故，即，
当时，，则，
又因，且点介于点点之间，则为的中点，
所以，
则直线的斜率为，
因为直线平行直线，
所以直线的斜率为，
故直线的方程为，即，
联立，消元整理得，
，
所以直线l与抛物线只有一个交点，
有直线l斜率不为0，
所以是抛物线的切线.
91．如图所示，在三棱柱中，，，四边形为菱形，，，D为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）证明，，则平面即得证；
（2）取中点为E，连结，，证明平面，以E为坐标原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）由，则有，又D为的中点，所以，
由，则有，，
又，
所以，
则可知，
又有，平面，所以平面；
（2）取中点为E，连结，，
由，则有，
又易知，
则有，所以，
又可知，，平面，则平面，
如图，以E为坐标原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
有，，，，，
由，则有平面，
所以，
又，，
所以平面，
所以平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则有，即，
可取，
记二面角为，
则.
故二面角的余弦值为．
92．如图，在平面直角坐标系中，圆交轴于、两点，交直线于、两点．
(1)若，求的值；
(2)设直线、的斜率分别为、，试探究斜率之积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
(3)证明：直线、的交点必然在一条定直线上，并求出该定直线的方程．
【答案】(1)；
(2)恒为定值；
(3)证明见解析，交点恒在定直线上.
【分析】（1）利用勾股定理可求得圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，即可求得实数的值；
（2）设点、，将直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可求得的值，即可证得结论成立；
（3）设直线的斜率为，可得出，写出直线、的方程，求出两直线交点的纵坐标，即可证得结论成立.
(1)
解：圆的圆心为，到直线的距离为，
，可得，解得.
(2)
解：将代入圆О方程，并整理得，
则，设点、，
由韦达定理，．
，所以，，同理，
于是（定值）.
(3)
解：注意到，设直线的斜率为，则，即．
直线的方程为，直线的方程为的交点满足，
即，解得，故直线、交点必在定直线上．
93．已知向量，满足，，且．
（1）求向量的坐标；
（2）求向量与的夹角．
【答案】（1）或；（2）.
【解析】（1）设，根据向量模的坐标表示以及向量数量积的坐标表示列方程组，解方程组即可求解.
（2）设向量与的夹角为，利用向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】解：（1）设，
因为，则，①
又因为，且，
，
所以，
即，②
由①②解得，或，
所以或．
（2）设向量与的夹角为，
所以或，
因为，所以向量与的夹角．
【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示、向量模的坐标表示，利用向量的数量积求向量的夹角，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
94．已知公差不为零的等差数列中，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，求证：.
【答案】（1）（2）见解析
【分析】（1）直接利用已知条件建立等量关系求出数列的通项公式；
（2）利用累加法和基本不等式的应用，即可求出结果.
【详解】解：（1）设公差为，
则由题设可得：，
解得或（舍去），
所以，
（2）当时，有，，
两式相减得：，
即，
所以
，
当时，左边，右边，不等式也成立，
综上所述，对于任意都有.
【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在求通项公式中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力．
95．（1）求函数的值域；
（2）求函数的值域．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）利用换元法，令，解得后代入可得，根据二次函数性质可求得值域；（2）利用分离常数法可得，从而可得，进而得到值域.
【详解】（1）设，则
当时，
的值域为
（2）
的值域为
【点睛】本题考查函数值域的求解，重点考查了换元法和分离常数法求解根式型和分式型函数的值域；求解值域问题的关键是能够熟练掌握解析式的形式所对应的值域的求解方法.
96．声强级(单位:dB)由公式给出,其中I为声强(单位:).
(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为,能听到的最低声强为.求人听觉的声强级范围.
(2)平时常人交谈时的声强约为,求其声强级.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)分别代入与求解即可.
(2)代入求解即可.
【详解】解:(1).
.
因此人听觉的声强级范围为.
(2).
【点睛】本题主要考查了对数的实际运用,需要根据题意代入对应的数值进行计算,属于基础题.
97．已知函数，．
（1）求函数的极大值；
（2）求证：；
（3）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设函数，试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请加以证明，并求出，的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2）证明见解析 （3）存在
【分析】（1）求出函数得到函数大单调性，从而得到函数的极大值.
（2）由（1）可得，即，然后可得，，，相加可证明.
(3) 与的图象在 处有公共点,设函数与存在“分界线” ,由令，由求出参数的值，再证明成立即可.
【详解】（1），则
由，可得 ，，可得
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以当时，有极大值
（2）由（1）可知，为的最大值，即
所以，即（当且仅当时等号成立）
令，则，取，则，即
则，，
由上面不等式相加得
即
即
（3）设 ，则
当时，，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以
即与的图象在 处有公共点
设函数与存在“分界线”
令
由，即在上恒成立，
即在上恒成立，
成立，而，
所以 ，则
再证明，即恒成立.
设，则
当时，，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以当时，有最大值，即
所以恒成立.
综上所述，可得且
故函数与存在 “分界线”，此时
【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，利用导数证明不等式，考查恒成立求参数，考查转化思想的应用，属于难题.
98．已知函数，其中是自然对数的底数.
(1)当时，求函数的导函数的单调区间；
(2)若函数有两个不同极值点，且；
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：.
【答案】(1)在单调递减，在单调递增
(2)（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）运用导数的性质进行求解判断即可；
（2）（i）常变量分离，构造函数，利用导数的性质进行求解即可；
（ii）运用构造新函数法，结合导数的性质、对钩函数的单调性进行求解证明即可.
(1)
，设，
，当时，单调递减，
当时，单调递增，
∴在单调递减，单调递增，
(2)
（i）由，则，即∴
设在单调递减，∴在单调递增，单调递减，
且，∴，即，即；
（ii）记，，
在单调递减，在单调递增，
∴
记，
，设，
，当时，单调递减，
当，单调递增，
即在单调递减，在单调递增，
，
使得
在单调递增，在单调递减，在单调递增，
∴∴
∴，，
函数在单调递减，在单调递增，
所以当时，该函数有最小值2，
所以在单调递增，在单调递减，
且，令
记方程两根为，且
则
【点睛】关键点睛：利用构造函数法、常变量分离法、导数的性质是解题的关键.
99．已知，
（1）令，完成下列表格 ，
0 π 2π
0 1 0 -1 0
1 3 1 -1 1
（2）求出最大值，最小值
（3）根据表中数据绘出草图
【答案】（1）表格见解析；（2）的最大值为，的最小值为；（3）函数图象见解析；
【分析】（1）根据“五点作图法”完成表格；
（2）由（1）表格可知函数的最值；
（3）根据（1）表格中数据画出函数图象；
【详解】解：（1）因为，，所以
0 π 2π
0 1 0 0
1 3 1 1
1 3 1 1
（2）由（1）可知的最大值为，的最小值为；
（3）由（1）可知函数图象如下：
100．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）2；（2）2.
【分析】（1）由对数的运算性质，代入运算即可；
（2）由指数的运算性质，代入运算即可.
【详解】（1）解：原式．
（2）解：原式．
【点睛】本题考查了对数的运算及指数幂的运算，重点考查了运算能力，属基础题.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页高中数学高考复习综合训练100题（含答案解析）
一、单选题
1．下列四组对象中能构成集合的是（ ）.
A．本校学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点
C．很小的实数 D．倒数等于本身的数
【答案】D
【分析】根据集合中元素具有确定性判断选项即可得到结果.
【详解】集合中的元素具有确定性，对于，学习好、非常近、很小都是模糊的概念，没有明确的标准，不符合确定性；
对于，符合集合的定义，正确.
故选：.
【点睛】本题考查集合的定义，关键是明确集合中的元素具有确定性，属于基础题.
2．下面问题中，是排列问题的是（ ）
A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数
B．从40人中选5人组成篮球队
C．从100人中选2人抽样调查
D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合
【答案】A
【分析】根据排列与排列数的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】根据排列及排列数的定义，可得：
对于A中，由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数，符合排列的定义，是排列问题；
对于B中，从40人中选5人组成篮球队，与顺序无关的问题，不是排列问题；
对于C中， 从100人中选2人抽样调查，与顺序无关的问题，不是排列问题；
对于D中， 从1，2，3，4，5中选2个数组成集合，与顺序无关的问题，不是排列问题.
故选：A.
3．下列说法错误的是（ ）
A．回归直线过样本点的中心
B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1
C．在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位
D．对分类变量X与Y，随机变量的观测值越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小
【答案】D
【分析】利用线性回归的有关知识逐一分析各个选项即可得出答案．
【详解】解：A．回归直线过样本点的中心，正确；
B．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，因此正确；
C．在线性回归方程中，当x每增加1个单位时，预报量平均增加0.2个单位，正确；
D．对分类变量X与Y的随机变量的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”可信程度越大，因此不正确．
综上可知：只有D不正确．
故选：D．
4．要得到函数的图像,可以将函数的图像沿轴
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】C
【解析】由，根据三角函数的变换规则即可判断.
【详解】解：∵,
∴将函数的图像上的所有点向左平移个单位,可得到函数的图像.
故选：
【点睛】本题考查三角函数的变换，属于基础题.
5．若集合，，则
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出集合、，再利用交集的定义可求得集合.
【详解】由题意得集合，
，
因此，.
故选：B.
【点睛】本题考查集合的交集运算，同时也考查了指数不等式与绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.
6．由=4，确定的等差数列，当an=28时，序号等于（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【分析】首先求出数列的通项公式，再解方程即可；
【详解】解：因为，，所以，所以，解得
故选：A
【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先用诱导公式化为，再用二倍角公式计算．
【详解】.
故选：D
8．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，现有如下说法：①至少有一个黑球与都是黑球是互斥而不对立的事件；②至少有一个黑球与至少有一个红球不是互斥事件；③恰好有一个黑球与恰好有两个黑球是互斥而不对立的事件；④至少有一个黑球与都是红球是对立事件.在上述说法中，正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用互斥事件和对立事件的定义逐个判断即可
【详解】①“至少有一个 黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故错误.
②“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故正确.
③“恰好有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故正确.
④“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故正确.上述说法中，正确的个数为3.
故选：C
【点睛】此题考查互斥事件和对立事件的判断，属于基础题
9．已知实数a，b，c，若a>b，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直接利用不等式的基本性质即可.
【详解】由可判断A错误，
由可判断BD错误，
由不等式的性质易知C正确.
故选：C.
【点睛】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题的关键，属于基础题.
10．下列说法错误的是（ ）
A．“若，则”的逆否命题是“若，则”
B．“”是“”的充分不必要条件
C．“，”的否定是“，”
D．若“”为假命题，则均为假命题
【答案】D
【分析】根据逆否命题的定义、集合间的关系、全称命题的否定、为假命题的定义，对选项进行一一验证，即可得答案.
【详解】对A，根据逆否命题的定义可知命题正确，故A正确；
对B，若，则或，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确；
对C，因为全称命题的否定是特称命题，且将结论否定，故C正确；
对D，若“”为假命题，则、中只要有一个为假命题，故D错误.
故选：D.
【点睛】本题考查命题真假性的判断，考查对概念的理解与应用，属于基础题.
11．已知实数，，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】首先求出当时，，再由充分条件、必要条件的定义即可得出选项.
【详解】若，则，
当时，推不出；反之，成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：A
12．函数的图像向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数，函数．若关于的方程在内有两个不同的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用函数的图象变换规律，利用三角函数的图象和三角恒等变形，可得，即，，从而得到，进而得到的值.
【详解】函数的图像向左平移个单位长度后，可得的图象.
由条件为奇函数，则，即
又，所以，即
关于的方程在内有两个不同的解，
即在内有两个不同的解，
即在内有两个不同的解，
即，其中(为锐角) 在内有两个不同的解，
即方程即在内有两个不同的解，
由，则，
所以，
所以
则，即，
所以，
故选：D
【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，诱导公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
13．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数与指数函数的值域及复合函数定义即可求出.
【详解】解：由二次函数的性质可知，因此，即函数的值域为.
故选：.
【点睛】本题考查指数型复合函数的值域，属于基础题.
14．准线方程为的抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】的准线方程为.
【详解】的准线方程为.
故选：D.
15．对高三某班级的学生进行体能测试，所得成绩统计如下图所示，则该班级学生体能测试成绩的中位数为（ ）
A．80 B．85 C．82.5 D．83
【答案】C
【分析】由频率确定中位数在80至90之间，然后由比例计算可得．
【详解】解：依题意，成绩不大于80分的概率为，而成绩在区间的概率为0.4，因此中位数在80至90之间，
所求中位数为，
故选：C．
16．已知角终边上一点P的坐标为，则的值是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据三角函数定义，，即可求解
【详解】由题意，
故选：
【点睛】本题考查三角函数定义，属于基本题.
17．已知,且,则
A．0 B． C． D．1
【答案】B
【解析】首先利用同角三角函数的基本关系求出，再由，利用两角和的余弦公式即可求解.
【详解】由,且,
所以，
所以.
故选：B
【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式，属于基础题.
18．双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由双曲线的离心率可求出的关系，从而可求出椭圆的离心率
【详解】解：因为双曲线的离心率为，
所以，得，
所以椭圆的离心率，
故选：C
19．已知函数，给出下列四个命题：①图象的两条相邻对称轴间的距离为；②的图象关于直线对称；③在区间上是增函数；④将的图象向右平移个单位后，的图像关于y轴对称，其中正确的命题为（）
A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④
【答案】C
【分析】由条件利用正弦函数的周期性单调性，以及图像的对称性，的图像变换规律，得出结论.
【详解】函数的周期，两个相邻的对称轴之间的距离为，故①错误；
令，可得，因此的图象关于直线对称，故②正确；
当时，，可知为增函数，故③正确；
将的图象向右平移个单位后，可得到的图像不关于轴对称，故④错误.
故选：.
【点睛】本题主要考查的是正弦函数图像和性质，根据三角函数的对称性是解决本题的关键，是中档题.
20．已知椭圆和双曲线有相同焦点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出椭圆和双曲线的半焦距即得解.
【详解】由题得椭圆的半焦距为，
双曲线的半焦距为，
所以.
故选：A
21．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且与，的夹角都等于．若是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，，，根据向量的线性运算表示出，平方后利用向量的数量积运算即可求解.
【详解】记，，，
因为，，
所以，．
又因为，，
所以，．
易得，
所以，
所以．
故选：A
【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量的数量积运算及性质，考查了运算能力，属于中档题.
22．某校将5名插班生甲、乙、丙、丁、戊编入3个班级，每班至少1人，则不同的安排方案共有（ ）
A．150种 B．120种 C．240种 D．540种
【答案】A
【分析】根据题意，分2步分析：先将5名插班生分为3组，有2种分组方法，①分为3、1、1的三组，②分为2、2、1的三组，由组合数公式可得其分组方法数目，由分类计数原理将其相加可得分组的情况数目，第二步，将分好的三组对应3个不同的班级，由排列数公式可得其对应方法数目,由分步计数原理计算可得选项．
【详解】由题意可知，可分以下两种情况讨论，①5名插班生分成：， ，1三组；②5名插班生分成：，，三组，
当5名插班生分成：， ，1三组时，共有种方案；
当5名插班生分成：，，三组时，共有种方案；
所以，共有种不同的安排方案.
故选：A.
【点睛】本题主要考查两个基本原理和排列组合，在对排列、组合的综合问题时，一般先组合再排列，属于中档题.
23．在平面直角坐标系中，若双曲线(，)的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可.
【详解】双曲线(，)的右焦点到一条渐近线的距离为
可得： 可得 ，即
所以双曲线的离心率为： .
故选:B.
【点睛】本题考查双曲线的简单性质，焦点坐标，渐近线方程，还运用双曲线中焦点到渐近线的距离为以及点到直线的距离公式：.
24．若实数满足约束条件，且最大值为1，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先画出可行域，根据目标函数的几何意义得到，再利用基本不等式的性质即可得到的最大值.
【详解】由题知不等式组表示的可行域如下图所示：
目标函数转化为，
由图易得，直线在时，轴截距最大.
所以.
因为，即，
当且仅当，即，时，取“”.
故选：A
【点睛】本题主要考查基本不等式求最值问题，同时考查了线性规划，属于中档题.
25．正三棱柱中，，点在棱上，，则二面角的正切值是（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】作出图形，结合题意证明平面，得出平面，推出是二面角所成的平面角，求出的值即可得出结果.
【详解】由题意知，如图，取BC的中点E，的中点，连接AE、，则，，，且所以四边形为矩形，
在上取一点使得，过作，垂足为，则，
且；作，垂足为D，则，，所以且，连接，所以四边形为平行四边形，所以.
所以，又平面ABC，所以平面ABC，所以，
又，，所以平面，又，所以平面，因为，所以平面，故是二面角所成的平面角；
因为，所以，
在中，，
所以.
故选：B
26．已知，则
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】先求，再利用同角三角函数基本关系化为齐次式求解即可
【详解】∵，∴，
∴．
故选D
【点睛】本题考查同角三角基本关系式，考查诱导公式，准确计算是关键，是基础题
27．已知某7个数的平均数为3，方差为，现又加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为，方差为，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用平均数、方差的公式直接求解．
【详解】∵这7个数的平均数为3，方差为，现又加入一个新数据3，
此时这8个数的平均数为，方差为，∴，
由方差公式得，所以．
故选B．
【点睛】本题考查平均数、方差公式、性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
28．已知，为虚数单位，复数，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】首先利用复数的运算法则将复数化为的形式，然后根据建立一个不等式进行求解.
【详解】.
由，得，整理得解得，所以实数的取值范围为.
故选：B
【点睛】本题考查复数的运算，考查复数模的运算．掌握除法法则与模的定义是解题基础．
29．已知向量，，满足，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求向量的坐标，再利用坐标运算求模，转化为二次函数求最小值.
【详解】由条件可知，
则
，当时，.
故选：B
30．下列各角中与终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据终边相同的角的概念可得出合适的选项.
【详解】，，，，
因此，只有A选项中的角与终边相同.
故选：A.
31．下面诱导公式使用正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式的法则“奇变偶不变，符号看象限”，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误.
故选：C
32．在正项等比数列中，若，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】根据等比数列的性质可得，由题意，解得，再根据等比数列通项公式求得公比，从而得到数列的通项公式.
【详解】在等比数列中，
，解得或
当时，，
，
；
当时，，
，
综上所述：或，
故选：C.
【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．
33．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称
C．的最大值为 D．的图象关于直线对称
【答案】D
【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图像和性质判断各个选项是否正确，从而得出结论.
【详解】解：
对于选项，因为，故不正确；
对于选项，因为，故不正确；
对于选项，因为当时，，故不正确；
对于选项，因为，是的最大值，
所以的图象关于直线对称，故正确.
故选：D.
【点睛】本题主要考查三角恒等变换和正弦函数的图像和性质，属于中档题.
34．已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】利用偶函数求的解析式再求导，根据导数的几何意义即可求处的切线斜率.
【详解】设，则，，又为偶函数，
∴，则对应导函数为，
∴，即所求的切线斜率为2.
故选：B
35．如图，一个底面边长为cm的正四棱柱形状的容器内装有部分水，现将一个底面半径为1cm的铁制实心圆锥放入容器，圆锥放入后完全沉入水中，并使得水面上升了1cm．若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由水上升的体积得圆锥体积，然后求得圆锥的高、母线得侧面积．
【详解】依题意可得圆锥的体积，
又（其中h为圆锥的高），则cm，
则圆锥的母线长为cm，故圆锥的侧面积为．
故选：A．
36．设是椭圆的左 右焦点，若椭圆上存在一点P，使（O为坐标原点），且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由向量的关系可得，由椭圆的定义及，可得，的值，在直角三角形中，由勾股定理可得，的关系，进而求出椭圆的离心率．
【详解】解：设的中点为，由，即，所以，
连接可得，所以，
可得，
又因为，
所以，，
在中，，
即，可得：，
解得，
故选：．
37．在矩形ABCD中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由平面向量的线性运算可得，再由平面向量数量积的运算法则计算即可得解.
【详解】由题意作出图形，如下图，
所以
.
故选：C.
38．已知等差数列的前n项和为，，若，且，则m的值是
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】由等差数列性质求出，由等差数列前n项可求得m．
【详解】∵是等差数列，∴，，
∴，．
故选：C．
【点睛】本题考查等差数列的性质与前n项公式，掌握等差数列的性质是解题基础．
39．函数在区间上的最大值、最小值分别是（ ）
A．， B．，1 C．， D．1，
【答案】D
【分析】根据反比例函数的单调性即可解得最值.
【详解】易知函数在区间是单调递减函数，
因此当时，函数的最大值为，
当时，函数的最小值为.
故选.
【点睛】本题考查函数单调性的应用，对于反比例函数当时为减函数，当时为增函数，是基础题.
40．已知，是双曲线的两条渐近线，直线经过的右焦点，且，交于点，交于点，若，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据直线平行，可设直线的方程，通过联立得点，的横坐标，求出的表达式，从而可解不等式组得到的取值范围.
【详解】由题意可知，，不妨记，，
由且经过的右焦点可得的方程为，
与的方程联立可解得，
与的方程联立得，
所以，
解得，.
故选：B.
【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.
41．是坐标原点，已知，，．若点M为直线上一动点，当取得最小值时，此时（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】可设，可得，然后，根据向量数量积的坐标运算得到为二次函数，利用二次函数的性质可求出，进而得到，最后求得
【详解】由已知得，因为点M为直线上一动点，所以，可设，
得到，则，，
则，当且仅当时，取得最小值，此时，可得，所以，，得到.
故选：A
42．已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（ ）
A． B．4 C．8 D．或8
【答案】D
【分析】根据函数的解析式作出函数在时图象，换元解方程可得或，利用图象求出交点对应横坐标，注意利用函数为奇函数图象关于原点对称，分与两种情况讨论，数形结合即可求解.
【详解】作出函数在时的图象，如图所示，
设，
则关于的方程的方程等价于
解得：或，
如图，
当t=1时，即对应一个交点为，方程恰有4个不同的根，可分为两种情况:
（1），即对应3个交点，且 ，
此时4个实数根之和为8；
（2），即对应3个交点，且 ，
此时4个实数根之和为.
故选：D
【点睛】解决此类问题的关键有两点，第一换元后对方程等价转化求解或，
第二结合函数图象处理方程有四个根，即要转化为数形结合，看图象交点的个数及横坐标即可求解.
43．有一副去掉了大小王的扑克牌，充分洗牌后，从中随机抽取一张，则抽到的牌为“黑桃”或“”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】计算出抽到的牌为“黑桃”或“”所包含的牌的数量，利用古典概型的概率公式可求得结果.
【详解】由题意可知，该副扑克牌共张，其中“黑桃”共张，“”共张，
则抽到的牌为“黑桃”或“”共张，故所求概率为.
故选：C.
44．函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】在同一直角坐标系中作出函数与的图象，将函数的零点个数转化为函数的交点问题，数形结合可得.
【详解】解：函数的零点个数，即的解得个数，等价于与的交点个数，在同一平面直角坐标系中作出函数图象，由图可知两函数只有一个交点，故函数有一个零点,
故选：
【点睛】本题考查函数的零点问题，数形结合思想，属于基础题.
45．若，，则是的条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】利用充分性与必要性定义判断即可.
【详解】由题意可得
∴是的充分不必要条件
故选A
【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“ ”为真，则是的充分条件．
2．等价法：利用 与非 非， 与非 非， 与非 非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若 ，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．
46．在各项为正的递增等比数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设其公比为，由等比数列通项公式得，进而得，解得或，再根据数列单调性即可得，进而得
【详解】为等比数列，设其公比为，
，则，
，
，
即，
解得或，
又各项为正且递增，
，
．
故选：B．
【点睛】本题解题的关键是先根据题意得，进而将转化为求，考查运算求解能力，是中档题.
47．若直线与直线互相垂直，则的值为（ ）
A． B． C．0或 D．1或
【答案】D
【分析】利用两条直线垂直的充要条件列出方程，求出的值．
【详解】，
，即，
解得或.
故选：D．
【点睛】本题考查两直线垂直的充要条件，考查运算求解能力，求解时注意与垂直这一条件的应用.
48．若直线与圆没有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－4，4） B．（－2，2）
C．（－∞，－4）U（4，＋∞） D．
【答案】D
【分析】由题设知圆心到直线的距离大于圆的半径，应用点线距离公式列不等式求a的取值范围.
【详解】由题设，圆心为，半径为2，
因为直线与圆没有公共点，
所以，可得或.
故选：D
49．如图，正方体的棱长为，是棱的中点，是四边形内一点（包含边界）．若平面，且线段长度的最小值为，则（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】过点作的平行线，交于点，交于点，连接，证明点轨迹是线段，然后根据勾股定理求得后可得最小值，由此求得．
【详解】如图，过点作的平行线，交于点，交于点，则底面，连接，平面，则，所以，
∵平面，/平面，，平面，
∴平面平面，又平面，∴平面．
又平面平面，平面，∴，
为的中点，∴为的中点，则为的中点，即在线段上（包含端点），
∴，∴，∴，，
故选：B．
50．程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数，其中A的各位数中，，（2，3，4，5）出现0的概率为，出现1的概率为，记，当程序运行一次时，ξ的数学期望为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知的可能取值是1，2，3，4，5，结合变量对应的事件和独立重复试验公式求出概率（以为例，当时，表示后四个数字中恰好出现了3个，然后算出期望．
【详解】由题意知的可能取值是1，2，3，4，5
当时，表示后四个数字都是0，，
当时，表示后四个数字中有一个1，
同理可得：
，
故选：B
【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查独立重复试验的概率公式，是一个综合题，解题的关键是读懂题意．
二、填空题
51．已知等边三角形的边长为6，点P满足，则_________．
【答案】
【解析】以BC所在的边为x轴，垂直平分线为y轴建立坐标系，用坐标表示可求得P点坐标求得答案.
【详解】
建立如图所示坐标系，其中O为BC的中点，所以，
设，则，，，
又因为，所以，
，
即，，所以，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查平面向量模的计算，本题的关键点是建立坐标系，根据已知条件计算出P点坐标，再计算向量的模长，这种几何图形中的向量运算，转换成坐标比较容易得到答案.
52．椭圆上一点满足到左焦点的距离为，则的面积是________.
【答案】
【解析】根据椭圆的定义再利用余弦定理求出，最后由面积公式计算可得；
【详解】解：由椭圆的定义得，，∴，
，
∴，则.
故答案为：
53．方程的实数解的个数为__________.
【答案】2
【解析】画出两个函数和的图象，观察可得．
【详解】作出函数和的图象，如图，它们有两个交点，
所以方程的两个实数解．
故答案为：2.
【点睛】本题考查函数的零点个数问题，解题方法是转化为函数图象交点个数．
54．直线的倾斜角的取值范围是_______.
【答案】
【分析】根据直线斜率，可知，结合可求得结果.
【详解】由知：直线斜率，
设直线倾斜角为，则，又，.
故答案为：.
55．函数是定义在上的奇函数，并且满足，当时，，则__________.
【答案】
【分析】根据已知条件，可求函数的周期性，对称性，以及的值，利用函数函数的周期性，奇偶性进行计算即可.
【详解】解：因为，故，则函数的周期是2，
又函数是定义在上的奇函数，则；
则，，
当时，，则，
则.
故答案为：.
56．已知二次函数的图象为开口向上且对称轴是的抛物线，则，，的大小关系是________.
【答案】
【分析】由题意结合二次函数对称性可得，再利用二次函数的单调性即可得解.
【详解】二次函数的图象开口向上且对称轴是，
函数在上单调递增，且，
又，，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查了二次函数图象与性质的应用，关键是对条件的合理转化，属于基础题.
57．已知函数，对定义域内的任意都有，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】不等式分离变量,等价变形为，构造函数，函数求导，求出单调区间，可得函数最小值.
【详解】∵，∴，，也即在时恒成立.
令，，则，，令.易知在上单调递减，在上单调递增，
故，∴.
故答案为：
【点睛】本题考查数的单调性及不等式恒成立问题转化为函数最值问题.
不等式恒成立问题的求解方法：(1)已知不等式(为实参数)对任意的恒成立，求参数的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法， (2)如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解.
58．一个圆锥被平行于底面的平面所截，若截面面积和底面面积之比为，则此圆锥的母线被分成上、下两部分之比为______．
【答案】
【分析】根据圆锥的平行于底面的截面的性质计算．
【详解】作轴截面，是圆锥底面直径，是截面圆直径，
由题意，，
由得，
所以．
故答案为：．
59．已知函数，则的值为______．
【答案】3
【解析】根据解析式求出，再求出即可.
【详解】，
，
.
故答案为：3
60．使得成立的一组，的值分别为_____.
【答案】，（不唯一）
【分析】使得成立，只需，举例即可.
【详解】使得成立，只需，
所以,，
使得成立的一组，的值分别为，
故答案为：，（不唯一）
61．有一批材料可以建成200m长的围墙，若用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形的地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（墙的长度足够用），则围成的整个矩形场地的最大面积是_______________.
【答案】
【解析】设每个小矩形长为米，宽为米，则依题意可知，代入矩形的面积公式，根据基本不等式求出围成矩形面积的最大值．
【详解】如图所示：
设每个小矩形长为米，宽为米，显然，则依题意可知，
设围成的整个矩形场地的面积为，
所以，当且仅当时取等号，即当时取等号，因此.
故答案为：
62．已知集合，，则______．
【答案】##{2，0}
【分析】先得到集合，然后利用交集的概念进行运算即可.
【详解】由题可知：，
所以
所以
故答案为：
63．若，且，则与2的大小关系是______．
【答案】
【分析】由基本不等式求得，当且仅当是等号成立，根据，所以等号不成立，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，因为且，所以，且，
由基本不等式可得，当且仅当是等号成立，
又由，所以等号不成立，所以.
故答案为.
【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”，以及熟练应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
64．在等差数列中，若，则该数列的前2021项的和为_______.
【答案】
【分析】根据等差数列的性质和求和公式，得到，即可求解.
【详解】由题意，等差数列中，，
所以，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数的前项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质和求和公式是解答的关键，着重考查推理能力和计算能力，属于基础题.
65．已知双曲线C：的一个焦点是，则它的离心率为______．
【答案】##
【分析】根据题意求出即可得出离心率.
【详解】由题可得，所以，
所以离心率.
故答案为：.
66．函数的定义域为，的定义域为，则__________
【答案】
【分析】根据解析式，先分别求出定义域，再求交集，即可得出结果.
【详解】因为，所以，解得，则；
又，所以，解得，则，
因此.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查求集合的交集，考查求具体函数的定义域，属于基础题型.
67．已知函数，，若，则的取值范围为 ______.
【答案】或
【分析】讨论和两种情况，代入计算得到答案.
【详解】函数，
当时：
考虑定义域：，故；
当时：
考虑定义域：，故.
综上所述：或
故答案为或
【点睛】本题考查了分段函数不等式，忽略掉定义域是容易发生的错误.
68．中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走里，第一日，第四日，第七日所走之和为里，则该男子的第三日走的里数为__________．
【答案】120
【分析】将题目转化成数学语言，得到等差数列关系，求出首项和公差，再求第三日走的里数，即数列的第三项.
【详解】因为男子善走，日增等里，可知每天走的里数符合等差数列，设这个等差数列为，其公差为，前项和为.
根据题意可知，，
法一：
，
，
.
法二：，
解得所以
【点睛】本题考查文字描述转化数学语言的能力，等差数列求和和通项以及基本性质，属于简单题.
69．若f（x），则f（1）+f（8）＝_____.
【答案】5
【分析】将和分别代入分段函数的解析式即可求解.
【详解】 f（x），
f（1）+f（8）＝
故答案为：5
【点睛】本题主要考查了求分段函数的函数值，属于基础题.
70．已知，则与方向相同的单位向量________________.
【答案】
【解析】首先设单位向量，由题意列出关于的方程组，求解.
【详解】，
设 ，
由题意可知 ，解得： 或
与的方向相同，
.
故答案为：
【点睛】本题考查根据向量的关于求向量，意在考查基本公式和计算能力，属于基础题型.
三、解答题
71．如图，在正四棱柱中，，，E，M，N分别是，，的中点.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为，由正四棱柱，可知为点到平面的高，结合已知，即可求得答案；
（2）取AD的中点Q，连接NQ，BQ，证明且，可得为异面直线MN与所成角(或其补角)，求解三角形可得再由余弦定理可得异面直线MN与所成角的余弦值.
【详解】（1），
在正四棱柱中
平面，即为点到平面的高
（2）取的中点Q，连接，
N为的中点
且，
M为的中点，
，且
且
四边形是平行四边形，
且
同理可证且
且
为异面直线与所成角(或其补角).
在正方形中，，E为中点
.
异面直线与所成角的余弦值为.
【点睛】关键点睛：本题考查了求异面直线夹角问题，解题关键是将求两条异面直线夹角问题转化为求共面直线夹角，结合余弦定理进行求解.
72．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）2；（2）2.
【分析】（1）由对数的运算性质，代入运算即可；
（2）由指数的运算性质，代入运算即可.
【详解】（1）解：原式．
（2）解：原式．
【点睛】本题考查了对数的运算及指数幂的运算，重点考查了运算能力，属基础题.
73．求不等式的解集.
【答案】,或.
【解析】因为方程的根是函数的零点,先求出的根,再根据函数图象得到的解集.
【详解】对于方程
则,所以方程有两个实数根.
则
解得,
画出二次函数的图象如下图所示:
结合图象可知不等式的解集为,或
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,一元二次不等式与一元二次方程的关系,属于基础题.
74．已知，.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）求的值.
【答案】（1）为奇函数；（2）20
【解析】（1）先求得函数的定义域，然后由证得为奇函数.
（2）根据为奇函数，求得，从而得到，由此求得所求表达式的值.
【详解】（1），定义域为，当时，.
因为，所以为奇函数.
（2）由（1）得，于是.
所以
【点睛】本小题主要考查函数奇偶性的判断，考查利用函数的奇偶性进行计算，属于基础题.
75．2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，此法典被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法.民法典与百姓生活密切相关，某学校有800名学生，为了解学生对民法典的认识程度，选取了100名学生进行测试，制成如图所示频率分布直方图.
（1）求m的值并估计该学校成绩超过80分的人数；
（2）估计抽查学生测试成绩的中位数；（结果用分数形式表示）
【答案】（1），320；（2）.
【分析】（1）根据频率分布直方图的小矩形面积的和为1求解m.再乘以总人数即可
（2）根据过中位数垂直与x轴的直线平分所有矩形面积求解.
【详解】（1）因为，
解得，又
所以m的值是，超过80分的人数为320
（2）设中位数为a，因为
则，
解得，所以抽查学生测试成绩的中位数是；
76．已知定点，动点到点F的距离比它到y轴的距离大1．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)过的直线，分别与点P的轨迹相交于点M，N（均异于点Q），记直线，的斜率分别为，，若，求证：直线MN的斜率为定值．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用两点距离公式可得，整理即可得轨迹方程.
（2）根据题设令、，为，为，联立抛物线方程求的坐标，再应用两点式求即可证结论.
(1)
由题设，，则，又，
∴，故动点P的轨迹方程为.
(2)
由题设，令为，为，
联立抛物线，可得：，若，，
∴，则，同理可得，则，
∴，为定值.
77．如图，在平面直角坐标系中，圆交轴于、两点，交直线于、两点．
(1)若，求的值；
(2)设直线、的斜率分别为、，试探究斜率之积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
(3)证明：直线、的交点必然在一条定直线上，并求出该定直线的方程．
【答案】(1)；
(2)恒为定值；
(3)证明见解析，交点恒在定直线上.
【分析】（1）利用勾股定理可求得圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，即可求得实数的值；
（2）设点、，将直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可求得的值，即可证得结论成立；
（3）设直线的斜率为，可得出，写出直线、的方程，求出两直线交点的纵坐标，即可证得结论成立.
(1)
解：圆的圆心为，到直线的距离为，
，可得，解得.
(2)
解：将代入圆О方程，并整理得，
则，设点、，
由韦达定理，．
，所以，，同理，
于是（定值）.
(3)
解：注意到，设直线的斜率为，则，即．
直线的方程为，直线的方程为的交点满足，
即，解得，故直线、交点必在定直线上．
78．已知向量，满足，，且．
（1）求向量的坐标；
（2）求向量与的夹角．
【答案】（1）或；（2）.
【解析】（1）设，根据向量模的坐标表示以及向量数量积的坐标表示列方程组，解方程组即可求解.
（2）设向量与的夹角为，利用向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】解：（1）设，
因为，则，①
又因为，且，
，
所以，
即，②
由①②解得，或，
所以或．
（2）设向量与的夹角为，
所以或，
因为，所以向量与的夹角．
【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示、向量模的坐标表示，利用向量的数量积求向量的夹角，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
79．如图所示，在三棱柱中，，，四边形为菱形，，，D为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）证明，，则平面即得证；
（2）取中点为E，连结，，证明平面，以E为坐标原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）由，则有，又D为的中点，所以，
由，则有，，
又，
所以，
则可知，
又有，平面，所以平面；
（2）取中点为E，连结，，
由，则有，
又易知，
则有，所以，
又可知，，平面，则平面，
如图，以E为坐标原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
有，，，，，
由，则有平面，
所以，
又，，
所以平面，
所以平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则有，即，
可取，
记二面角为，
则.
故二面角的余弦值为．
80．已知，
（1）令，完成下列表格 ，
0 π 2π
0 1 0 -1 0
1 3 1 -1 1
（2）求出最大值，最小值
（3）根据表中数据绘出草图
【答案】（1）表格见解析；（2）的最大值为，的最小值为；（3）函数图象见解析；
【分析】（1）根据“五点作图法”完成表格；
（2）由（1）表格可知函数的最值；
（3）根据（1）表格中数据画出函数图象；
【详解】解：（1）因为，，所以
0 π 2π
0 1 0 0
1 3 1 1
1 3 1 1
（2）由（1）可知的最大值为，的最小值为；
（3）由（1）可知函数图象如下：
81．设为实数，集合，.
(1)若，求，；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)，或
(2)或
【分析】（1）利用并集及交集和补集运算法则进行计算；（2）根据交集结果比较端点值的大小求解实数的取值范围.
(1)
当时，，又
所以，
所以或.
(2)
由，则，由，
则或
即或
当时，实数的取值范围是或.
82．已知函数，其中是自然对数的底数.
(1)当时，求函数的导函数的单调区间；
(2)若函数有两个不同极值点，且；
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：.
【答案】(1)在单调递减，在单调递增
(2)（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）运用导数的性质进行求解判断即可；
（2）（i）常变量分离，构造函数，利用导数的性质进行求解即可；
（ii）运用构造新函数法，结合导数的性质、对钩函数的单调性进行求解证明即可.
(1)
，设，
，当时，单调递减，
当时，单调递增，
∴在单调递减，单调递增，
(2)
（i）由，则，即∴
设在单调递减，∴在单调递增，单调递减，
且，∴，即，即；
（ii）记，，
在单调递减，在单调递增，
∴
记，
，设，
，当时，单调递减，
当，单调递增，
即在单调递减，在单调递增，
，
使得
在单调递增，在单调递减，在单调递增，
∴∴
∴，，
函数在单调递减，在单调递增，
所以当时，该函数有最小值2，
所以在单调递增，在单调递减，
且，令
记方程两根为，且
则
【点睛】关键点睛：利用构造函数法、常变量分离法、导数的性质是解题的关键.
83．近日，某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数与空气污染指数的关系为：，其中空气污染指数与时刻（小时）和的算术平均数成反比，且比例系数为，是与气象有关的参数，．
(1)求空气污染指数的解析式和最大值；
(2)若用每天环境综合污染指数的最大值作为当天的综合污染指数，该市规定：每天的综合污染指数最大值不得超过1．试问目前市中心的综合污染指数是否超标？请说明理由．
【答案】(1)，，;
(2)没有超标；理由见解析.
【分析】（1）根据题意直接写出函数，利用均值不等式求最值即可；
（2）设，换元后原函数转化为分段函数，利用二次函数的性质求出函数的单调区间，分类讨论可得的最大值，即可求解.
(1)
由题意得，，
即
当且仅当时，．
(2)
由（1）得，，设，
令，，
则
由图像知在和上单调递增，在上单调递减，且，，
所以，
令，解得，
令，解得，
所以
当时，，
当时，，
即，所以，
所以目前市中心的综合污染指数没有超标.
84．已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于，两点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）设，是抛物线上的不同两点，且轴，直线与轴交于点，再在轴上截取线段，且点介于点点之间，连接，过点作直线的平行线，证明是抛物线的切线.
【答案】（1）；（2）见解析.
【分析】（1）分过点的直线斜率存在和不存在两种情况，设过点的直线方程为，，联立，求得两根只和，两根之积，再根据半焦距公式几块求得p，从而得出答案；
（2）不妨设点P在第一象限，则，设直线PQ的方程为，，求得点G的坐标，根据，可求得点E的坐标，从而可求的PE的斜率，联立，求得点Q的坐标，从而可得直线l的方程，联立消元，利用根的判别式即可得证.
【详解】（1）解：设过点的直线方程为，，
联立，得，
则，
所以，
，
因为，
所以，
化简得，所以，
当过点的直线斜率不存在时，则，
故，
又因为，
则，所以，
综上所述，，
所以；
（2）证明：不妨设点P在第一象限，
则，
设直线PQ的方程为，，
联立，消元整理得，
则，即故，即，
当时，，则，
又因，且点介于点点之间，则为的中点，
所以，
则直线的斜率为，
因为直线平行直线，
所以直线的斜率为，
故直线的方程为，即，
联立，消元整理得，
，
所以直线l与抛物线只有一个交点，
有直线l斜率不为0，
所以是抛物线的切线.
85．在锐角中，，，分别是角，，所对的边，且.
（1）求角的大小；
（2）若，且，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据正弦定理得到，进而可求得，即可解出；
（2）由余弦定理可得，结合三角形面积公式代入计算即可
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理得，
因为，则
又因为是锐角，故；
（2）由余弦定理，得，
所以
又因为，
所以
则．
【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查三角形面积公式的计算，属于中档题．
86．在锐角三角形中，角的对边分别为，且成等差数列
（1）若，求
（2）若为的最大内角，求的取值范围
【答案】（1）（2）
【分析】（1）先计算出的角度，再根据正弦定理计算出的值，最后根据即可计算出的值；
（2）根据条件将用的形式表示出来，将转化为关于的三角函数，再根据的范围即可计算出的取值范围.
【详解】解：（1）成等差数列，所以，
，
（2），
，
令，
，，
.
【点睛】本题考查三角恒等变换与解三角形的综合应用，其中涉及到等差数列知识，属于综合型问题，难度较易.解三角形的问题中注意对隐含条件“”的使用.
87．如图，在直径为1的圆中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中．
（1）将十字形的面积表示成的函数；
（2）求十字形的最大面积．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）设十字形面积为，易知，然后将代入求解.，
（2）由（1）的结论，利用二倍角的正弦和余弦公式，结合辅助角公式得到，再利用正弦函数的性质求解.
【详解】（1）设十字形面积为，
如图所示：
所以，
（2），
（设为锐角且），
当，即时，最大．
即当时，十字形取得最大面积，
．
【点睛】本题主要考查几何图形面积的求法以及数据恒等变换和三角函数性质的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
88．已知椭圆与椭圆有相同的离心率，且椭圆过点
（1）求椭圆的方程.
（2）若直线与椭圆交于、两点，求线段的垂直平分线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）已知得，由离心率得，从而得，再计算出后可得椭圆方程；
（2）由韦达定理得中点坐标，由垂直得斜率，然后可得垂直平分线方程．
【详解】（1）由题意，
椭圆的离心率为，∴，∴，∴，
∴椭圆方程为；
（2）设，
由，得，∴，
设中点为，则，∴．
又，∴的垂直平分线方程为，即．
【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交弦中点问题，解题方法是设而不求的思想方法，即设交点为，由直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理求得，，利用中点坐标公式求得中点的横坐标得中点坐标，再结合斜率可和垂直平分线方程．
89．为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内，，三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位．现通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位，其考评分数如下：
类行业：85，82，77，78，83，87；
类行业：76，67，80，85，79，81；
类行业：87，89，76，86，75，84，90，82．
（Ⅰ）计算该城区这三类行业中每类行业的单位个数；
（Ⅱ）若从抽取的类行业这6个单位中，再随机选取3个单位进行某项调查，求选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率．
【答案】（Ⅰ），，三类行业中每类行业的单位个数分别为60，60，80.（Ⅱ）
【分析】第一问利用分层抽样的概念直接计算即可；第二问是古典概率模型，先列出所有的基本事件，然后再找出3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位所包含基本事件的个数，即可求出3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率．
【详解】（Ｉ）由题意，得抽取的，，三类行业单位个数之比为.
由分层抽样的定义，有
类行业的单位个数为，
类行业的单位个数为，
类行业的单位个数为，
故该城区，，三类行业中每类行业的单位个数分别为60，60，80.
（Ⅱ）记选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位为事件.
这3个单位的考核数据情形有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种.
这3个单位都是“星级”环保单位的考核数据情形有，，，，共4种，没有都是“非星级”环保单位的情形，
故这3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共4种，
故所求概率.
【点睛】本题主要考查分层抽样及古典概型问题，属基础题．
90．某网站的调查显示，健身操类 跑步类 拉伸运动类等健身项目在大众健康项目中是比较火热的，但是大多数人的健身科学类知识相对缺乏，尤其是在健身指导方面.从某健身房随机抽取200名会员，对其平均每天健身时间进行调查，如下表，健身之前他们的体重情况如柱状图（1）所示，该健身房的教练为他们制订了健身计划，四个月后他们的体重情况如柱状图（2）所示.
平均每天健身时间(分钟)
人数 20 36 44 50 40 10
（1）若这200名会员的平均体重减少不低于，就认为该计划有效，根据上述柱状图，试问：该计划是否有效？(每组数据用该组区间的中点值作代表)
（2）请根据图中数椐填写下面的列联表，试问：是否有99%的把握认为平均每天健身时间与会员健身前的体重有关？
平均每天健身时间低于60分钟 平均每天健身时间不低于60分钟 合计
健身前体重低于
健身前体重不低于 80
合计 200
（3）以这200名会员平均每天健身时间的频率，代替该健身房1名会员平均每天健身时间发生的概率，若在该健身房随机调查12名会员，则其中平均每天的健身时间不低于70分钟的人数最有可能(即概率最大)是多少？
参考公式：，其中.
参考数据：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）该计划有效；（2）列联表答案见解析，有99%的把握认为平均每天健身时间与会员健身前的体重有关；（3）人数最有可能是3人.
【分析】（1）根据柱状图，采用中间值对应频率求和的方法计算平均体重，然后作差比较判断是否有效；（2）由题意填表，代入公式计算即可；（3）从柱状图中计算会员平均每天的健身时间不低于70分钟的概率为，设抽取的12人中平均每天的健身时间不低于70分钟的人数为，则，表示当时概率的值，利用概率最大计算出的值即为最有可能的人数.
【详解】（1）柱状图（1）中的体重平均值为.
柱状图（2）中的体重平均值为.
因为，所以该计划有效.
（2）列联表如下：
平均每天健身时间低于60分钟 平均每天健身时间不低于60分钟 合计
健身前体重低于 40 20 60
健身前体重不低于 60 80 140
合计 100 100 200
的观测值为.
所以有99%的把握认为平均每天健身时间与会员健身前的体重有关.
（3）由题意可知，该健身房每名会员平均每天的健身时间不低于70分钟的概率为．
设抽取的12人中平均每天的健身时间不低于70分钟的人数为，则，
，，1，2，…，12．
得
得
化简得，又，所以，
即12名会员中平均每天的健身时间不低于70分钟的人数最有可能是3人．
【点睛】方法点睛：（1）柱状图中均值的计算：每组组距中间值对应频率，然后求和；
（2）概率最大的求法：设时，概率取得最大值，则代入概率公式可计算出概率最大时的值.
91．已知，，．
求：（1）的值．
（2）的值．
【答案】（1）．（2）．
【分析】（1）利用两角差的余弦公式展开可得，平方化简可得，根据，， 求得的值．
（2）利用（1）的结果及倍角公式，即可求得的值．
【详解】（1），，，，
，平方化简可得． 又，，
，，．
（2）
。
【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系的应用，考查转化与化归思想的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力．
92．已知为第二象限角，且.
（1）求，的值；
（2）求的值.
【答案】（1）,；（2）4.
【分析】（1）根据，解出，，求出，根据正切的二倍角公式求出；
（2）化简得到，从而求出答案.
【详解】（1）因为且，
解方程组得到，（舍去）或，
所以
；
（2）=4.
【点睛】主要是考查了三角函数的化简与求值的运用，属于基础题。
93．已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值与最小值.
【答案】（1）；（2）最小值是-3，最大值是.
【分析】（1）先将函数化简整理，得到，从而可得出最小正周期；
（2）由得到，根据余弦函数的单调性，即可得出结果.
【详解】（1）
，
所以函数的最小正周期为.
（2）因为，所以，
于是，
所以，
所以在区间上的最小值是-3，最大值是.
【点睛】本题主要考查余弦型函数的周期，以及余弦型函数在给定区间的最值问题，熟记余弦函数的性质即可，属于常考题型.
94．已知向量,设函数
（1）求的最小正周期．
（2）求函数的单调递减区间．
（3）求在上的最大值和最小值．
【答案】(1)；(2)．(3) 最大值为1,最小值为．
【分析】先由题意得到；
（1）根据周期计算公式，即可求出结果；
（2）根据正弦函数的单调区间得到，求解，即可得出结果；
（3）先由题意得到，结合正弦函数的性质，即可得出结果.
【详解】由已知可得：
,
（1）的最小正周期；
（2）由,可得,
的单调递减区间为．
（3）,,
,
的最大值为1,最小值为．
【点睛】本题主要考查求三角函数的周期、单调区间，以及最值等，熟记正弦函数的性质即可求解，属于常考题型.
95．已知函数.
（1）当时，求曲线上在点处的切线方程；
（2）这下面三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.若___________，求实数m的取值范围.
①在区间上是单调减函数；②在上存在减区间；③在区间上存在极小值.
【答案】（1）；
（2）若选①：；若选②： ；若选③：.
【分析】（1）求得和，进而可得切线方程；
（2）若选①，则转化为在区间上恒成立，根据“三个二次”可得结果；
若选②，则转化为在区间上有解，分离变量可得结果；
若选③，求得的极小值点为，解不等式可得结果.
【详解】（1）当时，，所以，
点为切点，，
函数在点处的切线方程为：，即；
（2）∵，
∴若选①：函数在区间上是单调减函数，则有：
在区间上恒成立，即在上恒成立，
∴，解得；
若选②：函数在上存在减区间，则有在区间上有解，
即得在区间上有解，
此时令，显然在区间上单调递减，
所以，故有；
若选③：函数在区间上存在极小值，则函数的极小值点应落在内.
令，求得，，
此时可得，在，上单调递增；在上单调递减；
所以是函数的极小值点，
即得，
当时，不等式恒成立，
当时，，解之可得，
所以.
96．在四棱锥中，底面，，，，点在棱上，且满足.
(1)证明：平面；
(2)若，求点，到平面的距离之和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线线的平行关系做出平面BCE与平面ABP的交线，再由线线平行证得线面平行；
（2）运用锥体的体积法计算点面距离即可.
【详解】
（1）证明：在上取一点，使得，连接，.
因为，所以，所以且，
又，，所以，
所以，，所以四边形是平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面.
（2）因为，，
所以三棱锥的高为，
所以，
又，
所以.
又，
设点，到平面的距离之和为，则，
即，解得.
故点，到平面的距离之和为.
97．声强级(单位:dB)由公式给出,其中I为声强(单位:).
(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为,能听到的最低声强为.求人听觉的声强级范围.
(2)平时常人交谈时的声强约为,求其声强级.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)分别代入与求解即可.
(2)代入求解即可.
【详解】解:(1).
.
因此人听觉的声强级范围为.
(2).
【点睛】本题主要考查了对数的实际运用,需要根据题意代入对应的数值进行计算,属于基础题.
98．如图，矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线在x轴上方的曲线上，求矩形面积最大时的边长.
【答案】当矩形面积最大时，矩形边AB长，BC长
【分析】先设出点坐标，进而表示出矩形的面积，通过求导可求出其最大面积.
【详解】设点，
那么矩形面积，.
令解得（负舍）.
所以S在（0，）上单调递增，在（，2）上单调递；..
所以当时，S有最大值.此时
答：当矩形面积最大时，矩形边AB长，BC长.
99．已知函数.
（1）当，解不等式；
（2）求证：
【答案】（1）（2）证明见解析
【分析】（1）利用零点分段法，对分三种情况讨论，分别解不等式，即可得答案；
（2）当时，不等式显然成立； 当时， ， 再证明左边的最大值小于等于右边的最小值即可.
【详解】（1）当，不等式为，
当时，，不符合题意；
当时，，解得，故此时；
当时，，符合题意，故此时，
综上，原不等式的解集为．
（2）当时，不等式显然成立；
当时，要证 即证，
因为，
当且仅当，等号成立．
而，当且仅当等号成立，
所以成立．
所以．
【点睛】本小题以含绝对值函数为载体，考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式的证明等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力，考查分类与整合的思想，转化与化归的思想，体现基础性与综合性，导向对发展逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养的关注．
100．已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设等差数列的公差为，依题意得到方程组，解得即可；
（2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和即可；
【详解】解：（1）设等差数列的公差为，
由题意得，
解得
∴．
（2）由（1）得
．
【点睛】本题考查等差数列通项公式的计算以及裂项相消法求和，属于中档题.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页高中数学高考复习综合训练100题（含答案解析）
一、单选题
1．已知,且,则
A．0 B． C． D．1
【答案】B
【解析】首先利用同角三角函数的基本关系求出，再由，利用两角和的余弦公式即可求解.
【详解】由,且,
所以，
所以.
故选：B
【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式，属于基础题.
2．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且与，的夹角都等于．若是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，，，根据向量的线性运算表示出，平方后利用向量的数量积运算即可求解.
【详解】记，，，
因为，，
所以，．
又因为，，
所以，．
易得，
所以，
所以．
故选：A
【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量的数量积运算及性质，考查了运算能力，属于中档题.
3．已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】利用偶函数求的解析式再求导，根据导数的几何意义即可求处的切线斜率.
【详解】设，则，，又为偶函数，
∴，则对应导函数为，
∴，即所求的切线斜率为2.
故选：B
4．已知椭圆和双曲线有相同焦点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出椭圆和双曲线的半焦距即得解.
【详解】由题得椭圆的半焦距为，
双曲线的半焦距为，
所以.
故选：A
5．函数的图像向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数，函数．若关于的方程在内有两个不同的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用函数的图象变换规律，利用三角函数的图象和三角恒等变形，可得，即，，从而得到，进而得到的值.
【详解】函数的图像向左平移个单位长度后，可得的图象.
由条件为奇函数，则，即
又，所以，即
关于的方程在内有两个不同的解，
即在内有两个不同的解，
即在内有两个不同的解，
即，其中(为锐角) 在内有两个不同的解，
即方程即在内有两个不同的解，
由，则，
所以，
所以
则，即，
所以，
故选：D
【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，诱导公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
6．已知，是双曲线的两条渐近线，直线经过的右焦点，且，交于点，交于点，若，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据直线平行，可设直线的方程，通过联立得点，的横坐标，求出的表达式，从而可解不等式组得到的取值范围.
【详解】由题意可知，，不妨记，，
由且经过的右焦点可得的方程为，
与的方程联立可解得，
与的方程联立得，
所以，
解得，.
故选：B.
【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.
7．若，，则是的条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】利用充分性与必要性定义判断即可.
【详解】由题意可得
∴是的充分不必要条件
故选A
【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“ ”为真，则是的充分条件．
2．等价法：利用 与非 非， 与非 非， 与非 非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若 ，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．
8．双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由双曲线的离心率可求出的关系，从而可求出椭圆的离心率
【详解】解：因为双曲线的离心率为，
所以，得，
所以椭圆的离心率，
故选：C
9．已知集合，，若，则实数a的值为
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据集合元素的互异性和交集的定义，可得方程组或即可得答案；
【详解】由题意可得或
，
故选：B.
【点睛】本题考查根据交集的结果求参数，考查运算求解能力，求解时注意集合元素的互异性.
10．某中学共有学生2500人，其中男生1500人，为了解该校学生参加体育锻炼的时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为50的样本，则样本中女生的人数为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
【答案】C
【分析】先求得中学中的女生人数，然后根据样本容量，按照比例求解.
【详解】因为共有学生2500人，其中男生1500人，
所以女生有1000人，
所以样本中女生的人数为人
故选：C
【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，属于基础题.
11．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称
C．的最大值为 D．的图象关于直线对称
【答案】D
【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图像和性质判断各个选项是否正确，从而得出结论.
【详解】解：
对于选项，因为，故不正确；
对于选项，因为，故不正确；
对于选项，因为当时，，故不正确；
对于选项，因为，是的最大值，
所以的图象关于直线对称，故正确.
故选：D.
【点睛】本题主要考查三角恒等变换和正弦函数的图像和性质，属于中档题.
12．在各项为正的递增等比数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设其公比为，由等比数列通项公式得，进而得，解得或，再根据数列单调性即可得，进而得
【详解】为等比数列，设其公比为，
，则，
，
，
即，
解得或，
又各项为正且递增，
，
．
故选：B．
【点睛】本题解题的关键是先根据题意得，进而将转化为求，考查运算求解能力，是中档题.
13．已知M，N为单位圆O∶上的两个动点，且满足，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设MN中点为E，利用泛极化公式把转化为，再判断出E的轨迹为圆，可求出的范围.
【详解】解析：设MN中点为E，则，
因为，所以点E在以O为圆心，为半径的圆上运动.
故；所以.
故选:A
【点睛】平面向量中与动点有关的最值问题一般的求解思路：
①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值；
②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值.
14．已知某7个数的平均数为3，方差为，现又加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为，方差为，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用平均数、方差的公式直接求解．
【详解】∵这7个数的平均数为3，方差为，现又加入一个新数据3，
此时这8个数的平均数为，方差为，∴，
由方差公式得，所以．
故选B．
【点睛】本题考查平均数、方差公式、性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
15．已知，则
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】先求，再利用同角三角函数基本关系化为齐次式求解即可
【详解】∵，∴，
∴．
故选D
【点睛】本题考查同角三角基本关系式，考查诱导公式，准确计算是关键，是基础题
16．已知向量，，满足，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求向量的坐标，再利用坐标运算求模，转化为二次函数求最小值.
【详解】由条件可知，
则
，当时，.
故选：B
17．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据指数幂的运算性质逐项检验可得正确的选项.
【详解】对于A，，故A错.
对于B，，故B错.
对于C，，故C正确.
对于D，，故D错误.
故选：C.
【点睛】本题考查指数幂的运算，此类问题，熟记运算规则是关键，本题属于基础题.
18．若函数f(x)和g(x)分别由下表给出：
x 1 2 3 4 x 1 2 3 4
f(x) 2 3 4 1 g(x) 2 1 4 3
满足g(f(x))＝1的x值是（ ）．A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】从外到内逐步求值．
【详解】解：∵g(f(x))＝1，
∴f(x)＝2，
∴x＝1，
故选：A．
【点睛】本题主要考查函数的表示法——列表法，属于基础题．
19．在矩形ABCD中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由平面向量的线性运算可得，再由平面向量数量积的运算法则计算即可得解.
【详解】由题意作出图形，如下图，
所以
.
故选：C.
20．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆E交于A，B两点.若四边形面积的最大值为8，则a的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【分析】当直线与x轴垂直，即时，四边形的面积最大，由面积公式及基本不等式求解即可.
【详解】设椭圆E的半焦距为c.直线过原点，
当其与x轴垂直，即时，四边形的面积最大，此时，
所以，
所以，当且仅当时等号成立.
故
故选：C
【点睛】本题考查椭圆的标准方程和几何性质，利用基本不等式求最值，属于中档题.
21．用表示投掷一枚均匀的骰子所得的点数，利用的分布列求下列事件的概率，其中错误的是（ ）
A．掷出的点数是偶数的概率为； B．掷出的点数超过1的概率为；
C．掷出的点数大于3而不大于5的概率为； D．的期望为．
【答案】C
【分析】根据等可能事件的概率计算可判定ABC；列出分布列，利用期望值公式计算从而判定D.
【详解】的值可以为1、2、3、4、5、6，取每一个值的概率都相等，
X的分布列为：
X 1 2 3 4 5 6
P
X为偶数的情况由3种，其概率为，故A正确；
X超过1的有5种，其概率为，故B正确；
X大于3不大于5的有4、5两种，其概率为，故C错误；
X期望值为,
故D正确.
故选：C.
22．准线方程为的抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】的准线方程为.
【详解】的准线方程为.
故选：D.
23．已知角终边上一点P的坐标为，则的值是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据三角函数定义，，即可求解
【详解】由题意，
故选：
【点睛】本题考查三角函数定义，属于基本题.
24．下面问题中，是排列问题的是（ ）
A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数
B．从40人中选5人组成篮球队
C．从100人中选2人抽样调查
D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合
【答案】A
【分析】根据排列与排列数的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】根据排列及排列数的定义，可得：
对于A中，由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数，符合排列的定义，是排列问题；
对于B中，从40人中选5人组成篮球队，与顺序无关的问题，不是排列问题；
对于C中， 从100人中选2人抽样调查，与顺序无关的问题，不是排列问题；
对于D中， 从1，2，3，4，5中选2个数组成集合，与顺序无关的问题，不是排列问题.
故选：A.
25．下列各角中与终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据终边相同的角的概念可得出合适的选项.
【详解】，，，，
因此，只有A选项中的角与终边相同.
故选：A.
26．已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】首先求出，再根据补集的定义计算可得；
【详解】解：因为，，，所以
所以
故选：B
27．已知，其部分图象如图所示，则的解析式为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据图像可得函数周期，最值，则可得，再根据五点作图法求得即可.
【详解】由图可知，解得；
又因为，故可得；
由五点作图法可知，解得，
故.
故选：D.
【点睛】本题考查由正弦型函数的图像求解函数解析式，属基础题.
28．对高三某班级的学生进行体能测试，所得成绩统计如下图所示，则该班级学生体能测试成绩的中位数为（ ）
A．80 B．85 C．82.5 D．83
【答案】C
【分析】由频率确定中位数在80至90之间，然后由比例计算可得．
【详解】解：依题意，成绩不大于80分的概率为，而成绩在区间的概率为0.4，因此中位数在80至90之间，
所求中位数为，
故选：C．
29．若直线与圆没有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－4，4） B．（－2，2）
C．（－∞，－4）U（4，＋∞） D．
【答案】D
【分析】由题设知圆心到直线的距离大于圆的半径，应用点线距离公式列不等式求a的取值范围.
【详解】由题设，圆心为，半径为2，
因为直线与圆没有公共点，
所以，可得或.
故选：D
30．若实数满足约束条件，且最大值为1，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先画出可行域，根据目标函数的几何意义得到，再利用基本不等式的性质即可得到的最大值.
【详解】由题知不等式组表示的可行域如下图所示：
目标函数转化为，
由图易得，直线在时，轴截距最大.
所以.
因为，即，
当且仅当，即，时，取“”.
故选：A
【点睛】本题主要考查基本不等式求最值问题，同时考查了线性规划，属于中档题.
31．某校将5名插班生甲、乙、丙、丁、戊编入3个班级，每班至少1人，则不同的安排方案共有（ ）
A．150种 B．120种 C．240种 D．540种
【答案】A
【分析】根据题意，分2步分析：先将5名插班生分为3组，有2种分组方法，①分为3、1、1的三组，②分为2、2、1的三组，由组合数公式可得其分组方法数目，由分类计数原理将其相加可得分组的情况数目，第二步，将分好的三组对应3个不同的班级，由排列数公式可得其对应方法数目,由分步计数原理计算可得选项．
【详解】由题意可知，可分以下两种情况讨论，①5名插班生分成：， ，1三组；②5名插班生分成：，，三组，
当5名插班生分成：， ，1三组时，共有种方案；
当5名插班生分成：，，三组时，共有种方案；
所以，共有种不同的安排方案.
故选：A.
【点睛】本题主要考查两个基本原理和排列组合，在对排列、组合的综合问题时，一般先组合再排列，属于中档题.
32．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先用诱导公式化为，再用二倍角公式计算．
【详解】.
故选：D
33．若集合，，则
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出集合、，再利用交集的定义可求得集合.
【详解】由题意得集合，
，
因此，.
故选：B.
【点睛】本题考查集合的交集运算，同时也考查了指数不等式与绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.
34．要得到函数的图像,可以将函数的图像沿轴
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】C
【解析】由，根据三角函数的变换规则即可判断.
【详解】解：∵,
∴将函数的图像上的所有点向左平移个单位,可得到函数的图像.
故选：
【点睛】本题考查三角函数的变换，属于基础题.
35．已知等差数列的前n项和为，，若，且，则m的值是
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】由等差数列性质求出，由等差数列前n项可求得m．
【详解】∵是等差数列，∴，，
∴，．
故选：C．
【点睛】本题考查等差数列的性质与前n项公式，掌握等差数列的性质是解题基础．
36．若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】令，由则，将对数式转化为指数式，统一其指数为常数，比较其底数的大小关系，结合幂函数的性质解答．
【详解】解：设，则，，，，，．
因为，且函数在上是减函数，
所以．
故选
【点睛】本题考查指对数的运算及幂函数的性质．属于中档题．
37．已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（ ）
A． B．4 C．8 D．或8
【答案】D
【分析】根据函数的解析式作出函数在时图象，换元解方程可得或，利用图象求出交点对应横坐标，注意利用函数为奇函数图象关于原点对称，分与两种情况讨论，数形结合即可求解.
【详解】作出函数在时的图象，如图所示，
设，
则关于的方程的方程等价于
解得：或，
如图，
当t=1时，即对应一个交点为，方程恰有4个不同的根，可分为两种情况:
（1），即对应3个交点，且 ，
此时4个实数根之和为8；
（2），即对应3个交点，且 ，
此时4个实数根之和为.
故选：D
【点睛】解决此类问题的关键有两点，第一换元后对方程等价转化求解或，
第二结合函数图象处理方程有四个根，即要转化为数形结合，看图象交点的个数及横坐标即可求解.
38．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简集合B，利用并集概念及运算即可得到结果.
【详解】由题意可得：
又
∴
故选：C
【点睛】本题考查并集的概念及运算，考查分式不等式的解法，属于基础题.
39．是坐标原点，已知，，．若点M为直线上一动点，当取得最小值时，此时（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】可设，可得，然后，根据向量数量积的坐标运算得到为二次函数，利用二次函数的性质可求出，进而得到，最后求得
【详解】由已知得，因为点M为直线上一动点，所以，可设，
得到，则，，
则，当且仅当时，取得最小值，此时，可得，所以，，得到.
故选：A
40．书架上层放7本不同的语文书，书架下层放5本不同的数学书，从书架上层和下层各取一本书的取法有（ ）
A．12种 B．35种 C．7种 D．66种
【答案】B
【分析】由分步乘法原理求解即可
【详解】由题意可得，从书架上层取一本书有7种取法，从书架下层取一本书有5种取法，则分步乘法原理可得共有种取法，
故选：B
41．函数在区间上的最大值、最小值分别是（ ）
A．， B．，1 C．， D．1，
【答案】D
【分析】根据反比例函数的单调性即可解得最值.
【详解】易知函数在区间是单调递减函数，
因此当时，函数的最大值为，
当时，函数的最小值为.
故选.
【点睛】本题考查函数单调性的应用，对于反比例函数当时为减函数，当时为增函数，是基础题.
42．已知函数，函数，直线分别与两函数交于、两点，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】设，，则可以用表示，利用导数可求的最小值.
【详解】设，，则，，消去得．
所以，其中.
令，，
则，
当时，，当时，．
故在上为减函数，在上为增函数，
所以，所以的最小值为．
故选：A．
【点睛】思路点睛：水平直线截不同曲线所得线段的长度的计算，需结合曲线方程的形式合理选择变量去构建长度的计算公式，而长度的最值的计算可利用导数来处理.
43．设是椭圆的左 右焦点，若椭圆上存在一点P，使（O为坐标原点），且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由向量的关系可得，由椭圆的定义及，可得，的值，在直角三角形中，由勾股定理可得，的关系，进而求出椭圆的离心率．
【详解】解：设的中点为，由，即，所以，
连接可得，所以，
可得，
又因为，
所以，，
在中，，
即，可得：，
解得，
故选：．
44．如图，正方体的棱长为，是棱的中点，是四边形内一点（包含边界）．若平面，且线段长度的最小值为，则（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】过点作的平行线，交于点，交于点，连接，证明点轨迹是线段，然后根据勾股定理求得后可得最小值，由此求得．
【详解】如图，过点作的平行线，交于点，交于点，则底面，连接，平面，则，所以，
∵平面，/平面，，平面，
∴平面平面，又平面，∴平面．
又平面平面，平面，∴，
为的中点，∴为的中点，则为的中点，即在线段上（包含端点），
∴，∴，∴，，
故选：B．
45．下列命题中正确的是（ ）
A．当时，函数的图像是一条直线；
B．幂函数的图像都经过和点；
C．幂函数的定义域为；
D．幂函数的图像不可能出现在第四象限．
【答案】D
【分析】根据幂函数的性质依次分析各选项即可得答案.
【详解】解：对于A，时，函数的图像是一条直线除去点，故错误；
对于B，幂函数的图像都经过点，当指数大于时，都经过点，当指数小于时，不经过点，故B错误；
对于C，函数，故定义域为，故错误；
对于D，由幂函数的性质，幂函数的图像一定过第一象限，不可能出现在第四象限，故正确.
故选：D.
46．下列说法错误的是（ ）
A．回归直线过样本点的中心
B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1
C．在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位
D．对分类变量X与Y，随机变量的观测值越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小
【答案】D
【分析】利用线性回归的有关知识逐一分析各个选项即可得出答案．
【详解】解：A．回归直线过样本点的中心，正确；
B．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，因此正确；
C．在线性回归方程中，当x每增加1个单位时，预报量平均增加0.2个单位，正确；
D．对分类变量X与Y的随机变量的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”可信程度越大，因此不正确．
综上可知：只有D不正确．
故选：D．
47．下面诱导公式使用正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式的法则“奇变偶不变，符号看象限”，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误.
故选：C
48．由=4，确定的等差数列，当an=28时，序号等于（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【分析】首先求出数列的通项公式，再解方程即可；
【详解】解：因为，，所以，所以，解得
故选：A
【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.
49．福利彩票“双色球”中红色球的号码可从编号为01，02，…，33的33组数中随机选取，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的号码，选取方法是从下列随机数表中第1行第6列的数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的号码为（ ）
A．23 B．09 C．02 D．17
【答案】C
【解析】根据随机数表的使用规则逐个选出，剔除不符合范围的，即可得解.
【详解】从随机数表第1行第6列的数字开始由左到右依次选取两个数字，因为福利彩票“双色球”中红色球的号码可从编号为01，02，…，33的33组数中随机选取，剔除不符合的，则选出的6个红色球的编号依次为21，32，09，16，17，02，故选出的第6个红色球的编号为02.
故选：C.
【点睛】本题考查了随机数表的用法，属于基础题.
50．在正项等比数列中，若，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】根据等比数列的性质可得，由题意，解得，再根据等比数列通项公式求得公比，从而得到数列的通项公式.
【详解】在等比数列中，
，解得或
当时，，
，
；
当时，，
，
综上所述：或，
故选：C.
【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．
二、填空题
51．若f（x），则f（1）+f（8）＝_____.
【答案】5
【分析】将和分别代入分段函数的解析式即可求解.
【详解】 f（x），
f（1）+f（8）＝
故答案为：5
【点睛】本题主要考查了求分段函数的函数值，属于基础题.
52．函数的部分图象如图所示，则的值是______．
【答案】
【分析】利用的周期求，过点求
【详解】由图象可知，，，．
在图象上，则，，
，，
，．
故答案为：
【点睛】本题考查的是利用函数的图象求其解析式，较简单.
53．已知函数，则的值为______．
【答案】3
【解析】根据解析式求出，再求出即可.
【详解】，
，
.
故答案为：3
54．已知集合，集合，则________
【答案】
【解析】由交集定义计算．
【详解】由题意．
故答案为：．
55．给出以下四个命题:
①若函数的定义域为，则函数的定义域为；
②函数的单调递减区间是；
③已知集合，则映射中满足的映射共有3个；
④若,且,．
其中正确的命题有______．（写出所有正确命题的序号）
【答案】③④
【分析】根据抽象函数定义域的求法,可判断①;
根据反比例函数的图象和性质,可判断②;
根据映射的定义,可判断③; 根据已知得到,进而可判断④．
【详解】①若函数的定义域为, 由得:, 所以函数的定义域为; 故①错误;
②函数的单调递减区间是和,故②错误;
③对于集合，映射中满足的映射共有：
，，,共3个, 故③正确;
④若,则, 又, 所以,
; 故④正确.
故填：③④.
【点睛】本题考查复合函数的定义域，反比例函数的单调性，映射的定义，抽象函数的求值问题，属于中档题.
56．如图，半圆O的半径为1，A为直径所在直线上的一点，且，B为半圆弧上的动点．将线段AB绕点A顺时针旋转得到线段AC，则线段OC长度的最大值是__________．
【答案】
【分析】以点为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，设，则，即可表示出点坐标，从而得到，再根据向量模的坐标计算、三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：如图以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，则，，则，
过点、分别作轴、轴，交轴于点、，显然与全等，所以，，
从而得到，即，
所以
所以当，即时
故答案为：
57．函数的定义域为,则的取值范围为______.
【答案】.
【分析】函数的定义域为实数集即的解集为R，即无解，令判别式小于0即可.
【详解】由函数的定义域为，
得无解，
，
解得：.
故答案为：.
【点睛】本题考查等价转化的能力、考查二次方程解的个数取决于判别式，解题时要认真审题，理清条件和要求解的量之间的关系，同时考查了学生分析问题和解决问题的能力，考查了学生化简计算的能力，是基础题.
58．已知向量.若，则实数_________．
【答案】8
【分析】由向量垂直的坐标表示计算．
【详解】因为，
所以，
解得．
故答案为：
59．已知等边三角形的边长为6，点P满足，则_________．
【答案】
【解析】以BC所在的边为x轴，垂直平分线为y轴建立坐标系，用坐标表示可求得P点坐标求得答案.
【详解】
建立如图所示坐标系，其中O为BC的中点，所以，
设，则，，，
又因为，所以，
，
即，，所以，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查平面向量模的计算，本题的关键点是建立坐标系，根据已知条件计算出P点坐标，再计算向量的模长，这种几何图形中的向量运算，转换成坐标比较容易得到答案.
60．已知双曲线C：的一个焦点是，则它的离心率为______．
【答案】##
【分析】根据题意求出即可得出离心率.
【详解】由题可得，所以，
所以离心率.
故答案为：.
61．已知，则与方向相同的单位向量________________.
【答案】
【解析】首先设单位向量，由题意列出关于的方程组，求解.
【详解】，
设 ，
由题意可知 ，解得： 或
与的方向相同，
.
故答案为：
【点睛】本题考查根据向量的关于求向量，意在考查基本公式和计算能力，属于基础题型.
62．如果定义在上的函数，对任意都有，则称函数为“函数”，给出下列函数，其中是“函数”的有_____________（填序号）
① ② ③ ④
【答案】①④．
【分析】不等式等价为，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．
【详解】对于任意的不等实数，，不等式恒成立，
不等式等价为恒成立，
即函数是定义在上的增函数；
①在上单调递增，符合题意；
②在上单调递减，不合题意；
③在上单调递减，在上单调递增，不合题意；
④在上单调递增，符合题意；
故答案为：①④．
63．在中，，，为的重心，则________．
【答案】6
【分析】根据三角形重心的性质转化为，以及，再求数量积.
【详解】如图，点是的中点，
为的重心，，，
所以
故答案为：6
【点睛】本题考查向量数量积，重心，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型.
64．函数的定义域为，的定义域为，则__________
【答案】
【分析】根据解析式，先分别求出定义域，再求交集，即可得出结果.
【详解】因为，所以，解得，则；
又，所以，解得，则，
因此.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查求集合的交集，考查求具体函数的定义域，属于基础题型.
65．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时， __________.
【答案】
【解析】根据奇函数的定义，即可求解.
【详解】当时，，
是奇函数，，
.
故答案为:
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性，求函数的解析式，属于基础题.
66．使得成立的一组，的值分别为_____.
【答案】，（不唯一）
【分析】使得成立，只需，举例即可.
【详解】使得成立，只需，
所以,，
使得成立的一组，的值分别为，
故答案为：，（不唯一）
67．已知函数的一个极值点为1，则在[-2，2]上的最小值为_____________．
【答案】-20
【分析】根据，求出，再利用导数判断函数的单调性，从而求出最值.
【详解】因为，所以，得．
因为，
所以在(-2，-)，(1，2)上单调递增，在（-，1）上单调递减．
因为，，所以在[-2，2]上的最小值为-20．
故答案为：-20
68．已知数列是等比数列，，，则___________.
【答案】
【解析】利用等比数列的性质：若，则，即可求解.
【详解】由数列是等比数列，，，
则，所以.
故答案为：
69．若的展开式中常数项为________.
【答案】28
【分析】求出展开式d 通项，令的指数为0即可求出.
【详解】的展开式的通项为，
令，解得，
则展开式的常数项为.
故答案为：28.
70．方程的实数解的个数为__________.
【答案】2
【解析】画出两个函数和的图象，观察可得．
【详解】作出函数和的图象，如图，它们有两个交点，
所以方程的两个实数解．
故答案为：2.
【点睛】本题考查函数的零点个数问题，解题方法是转化为函数图象交点个数．
三、解答题
71．已知，，．
求：（1）的值．
（2）的值．
【答案】（1）．（2）．
【分析】（1）利用两角差的余弦公式展开可得，平方化简可得，根据，， 求得的值．
（2）利用（1）的结果及倍角公式，即可求得的值．
【详解】（1），，，，
，平方化简可得． 又，，
，，．
（2）
。
【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系的应用，考查转化与化归思想的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力．
72．下列情况中哪些适合用全面调查，哪些适合用抽样调查？说明理由
（1）了解某城市居民的食品消费结构；
（2）调查一个县各村的粮食播种面积；
（3）了解某地区小学生中患沙眼的人数；
（4）了解一批玉米种子的发芽率；
（5）调查一条河流的水质；
（6）某企业想了解其产品在市场的占有率.
【答案】见解析
【解析】根据抽样调查和全面调查的定义依次判断每个选项得到答案.
【详解】（1）适合抽样调查，因为调查对象较多；
（2）适合全面调查，因为调查对象较少；
（3）适合抽样调查，因为调查对象较多；
（4）适合抽样调查，因为调查具有破坏性；
（5）适合抽样调查，因为调查对象较多；
（6）适合抽样调查，因为调查对象多而且不易操作.
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查，属于简单题.
73．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）2；（2）2.
【分析】（1）由对数的运算性质，代入运算即可；
（2）由指数的运算性质，代入运算即可.
【详解】（1）解：原式．
（2）解：原式．
【点睛】本题考查了对数的运算及指数幂的运算，重点考查了运算能力，属基础题.
74．已知为第二象限角，且.
（1）求，的值；
（2）求的值.
【答案】（1）,；（2）4.
【分析】（1）根据，解出，，求出，根据正切的二倍角公式求出；
（2）化简得到，从而求出答案.
【详解】（1）因为且，
解方程组得到，（舍去）或，
所以
；
（2）=4.
【点睛】主要是考查了三角函数的化简与求值的运用，属于基础题。
75．（1）求函数的值域；
（2）求函数的值域．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）利用换元法，令，解得后代入可得，根据二次函数性质可求得值域；（2）利用分离常数法可得，从而可得，进而得到值域.
【详解】（1）设，则
当时，
的值域为
（2）
的值域为
【点睛】本题考查函数值域的求解，重点考查了换元法和分离常数法求解根式型和分式型函数的值域；求解值域问题的关键是能够熟练掌握解析式的形式所对应的值域的求解方法.
76．已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值与最小值.
【答案】（1）；（2）最小值是-3，最大值是.
【分析】（1）先将函数化简整理，得到，从而可得出最小正周期；
（2）由得到，根据余弦函数的单调性，即可得出结果.
【详解】（1）
，
所以函数的最小正周期为.
（2）因为，所以，
于是，
所以，
所以在区间上的最小值是-3，最大值是.
【点睛】本题主要考查余弦型函数的周期，以及余弦型函数在给定区间的最值问题，熟记余弦函数的性质即可，属于常考题型.
77．如图所示，在三棱柱中，，，四边形为菱形，，，D为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）证明，，则平面即得证；
（2）取中点为E，连结，，证明平面，以E为坐标原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）由，则有，又D为的中点，所以，
由，则有，，
又，
所以，
则可知，
又有，平面，所以平面；
（2）取中点为E，连结，，
由，则有，
又易知，
则有，所以，
又可知，，平面，则平面，
如图，以E为坐标原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
有，，，，，
由，则有平面，
所以，
又，，
所以平面，
所以平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则有，即，
可取，
记二面角为，
则.
故二面角的余弦值为．
78．近日，某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数与空气污染指数的关系为：，其中空气污染指数与时刻（小时）和的算术平均数成反比，且比例系数为，是与气象有关的参数，．
(1)求空气污染指数的解析式和最大值；
(2)若用每天环境综合污染指数的最大值作为当天的综合污染指数，该市规定：每天的综合污染指数最大值不得超过1．试问目前市中心的综合污染指数是否超标？请说明理由．
【答案】(1)，，;
(2)没有超标；理由见解析.
【分析】（1）根据题意直接写出函数，利用均值不等式求最值即可；
（2）设，换元后原函数转化为分段函数，利用二次函数的性质求出函数的单调区间，分类讨论可得的最大值，即可求解.
(1)
由题意得，，
即
当且仅当时，．
(2)
由（1）得，，设，
令，，
则
由图像知在和上单调递增，在上单调递减，且，，
所以，
令，解得，
令，解得，
所以
当时，，
当时，，
即，所以，
所以目前市中心的综合污染指数没有超标.
79．设为实数，集合，.
(1)若，求，；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)，或
(2)或
【分析】（1）利用并集及交集和补集运算法则进行计算；（2）根据交集结果比较端点值的大小求解实数的取值范围.
(1)
当时，，又
所以，
所以或.
(2)
由，则，由，
则或
即或
当时，实数的取值范围是或.
80．已知sinα，且α为第二象限角．
（1）求sin2α的值；
（2）求tan（α）的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据题意以及同角基本关系可知，再利用二倍角正弦公式即可求出结果；
（2）根据（1）的结果求出tan，利用两角和正切公式，即可求出结果.
【详解】（1）∵sinα，且α为第二象限角，∴cos，
∴sin2α＝2sinαcosα；
（2）由（1）知tan，
∴tan（α）．
【点睛】本题主要考查了三角函数同角基本关系式、正弦倍角公式和两角和的正切公式，属于基础题目.
81．已知函数，其中是自然对数的底数.
(1)当时，求函数的导函数的单调区间；
(2)若函数有两个不同极值点，且；
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：.
【答案】(1)在单调递减，在单调递增
(2)（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）运用导数的性质进行求解判断即可；
（2）（i）常变量分离，构造函数，利用导数的性质进行求解即可；
（ii）运用构造新函数法，结合导数的性质、对钩函数的单调性进行求解证明即可.
(1)
，设，
，当时，单调递减，
当时，单调递增，
∴在单调递减，单调递增，
(2)
（i）由，则，即∴
设在单调递减，∴在单调递增，单调递减，
且，∴，即，即；
（ii）记，，
在单调递减，在单调递增，
∴
记，
，设，
，当时，单调递减，
当，单调递增，
即在单调递减，在单调递增，
，
使得
在单调递增，在单调递减，在单调递增，
∴∴
∴，，
函数在单调递减，在单调递增，
所以当时，该函数有最小值2，
所以在单调递增，在单调递减，
且，令
记方程两根为，且
则
【点睛】关键点睛：利用构造函数法、常变量分离法、导数的性质是解题的关键.
82．设函数（且）的图像经过点.
（1）解关于x的方程；
（2）不等式的解集是，试求实数a的值.
【答案】（1）或；（2）.
【分析】(1)根据给定条件求出m值，并代入方程，再解方程即得.
(2)由给定解集借助对数函数单调性求出范围，换元借助一元二次不等式即可得解.
【详解】（1）由已知得，即，则，于是得，
方程，
从而得或，即或，或，
所以原方程的根为或；
（2）依题意，函数中，，从而得.
又，令，
即一元二次不等式的解集为，
因此有-1，2是关于的方程的两根，则，
所以实数a的值为2.
83．已知椭圆与椭圆有相同的离心率，且椭圆过点
（1）求椭圆的方程.
（2）若直线与椭圆交于、两点，求线段的垂直平分线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）已知得，由离心率得，从而得，再计算出后可得椭圆方程；
（2）由韦达定理得中点坐标，由垂直得斜率，然后可得垂直平分线方程．
【详解】（1）由题意，
椭圆的离心率为，∴，∴，∴，
∴椭圆方程为；
（2）设，
由，得，∴，
设中点为，则，∴．
又，∴的垂直平分线方程为，即．
【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交弦中点问题，解题方法是设而不求的思想方法，即设交点为，由直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理求得，，利用中点坐标公式求得中点的横坐标得中点坐标，再结合斜率可和垂直平分线方程．
84．某大学为调研学生在、两家餐厅用餐的满意度，从在、两家都用过餐的学生中随机抽取了人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为分.整理评分数据，将分数以为组距分为组：、、、、、，得到餐厅分数的频率分布直方图和餐厅分数的频数分布表：
（1）在抽样的人中，求对餐厅评分低于的人数；
（2）从对餐厅评分在范围内的人中随机选出人，求人中恰有人评分在范围内的概率.
（3）如果从、两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由.
【答案】（1）20人；（2）；（3）选择餐厅用餐，理由见解析.
【分析】（1）由餐厅分数的频率分布直方图得频率，从而得人数；
（2）对餐厅评分在范内的有人，记为、，对餐厅评分在范围内的有人，记为、、，用列举法写出任选2人可能，计数后可计算出所求概率；
（3）由（1）（2）比较得分低于30分的人数可得结论．
【详解】（1）由餐厅分数的频率分布直方图，得对餐厅评分低于分的频率为：
，
∴对餐厅评分低于的人数为人，
（2）对餐厅评分在范内的有人，设为、，
对餐厅评分在范围内的有人，设为、、，
从这人中随机选出人的选法为：
、、、、、、、、、，共种，
其中恰有人评分在范围内的选法包括：
、、、、、，共种，
故人中恰有人评分在范围内的概率为，
（3）从两个餐厅得分低于分的人数所占的比例来看，由（1）得，抽样的人中，
餐厅评分低于的人数为，
∴餐厅评分低于分的人数所占的比例为，
餐厅评分低于分的人数为，
∴餐厅得分低于分的人数所占的比例为，
∴会选择餐厅用餐.
85．已知函数.
（1）当，解不等式；
（2）求证：
【答案】（1）（2）证明见解析
【分析】（1）利用零点分段法，对分三种情况讨论，分别解不等式，即可得答案；
（2）当时，不等式显然成立； 当时， ， 再证明左边的最大值小于等于右边的最小值即可.
【详解】（1）当，不等式为，
当时，，不符合题意；
当时，，解得，故此时；
当时，，符合题意，故此时，
综上，原不等式的解集为．
（2）当时，不等式显然成立；
当时，要证 即证，
因为，
当且仅当，等号成立．
而，当且仅当等号成立，
所以成立．
所以．
【点睛】本小题以含绝对值函数为载体，考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式的证明等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力，考查分类与整合的思想，转化与化归的思想，体现基础性与综合性，导向对发展逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养的关注．
86．已知函数，．
（1）求函数的极大值；
（2）求证：；
（3）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设函数，试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请加以证明，并求出，的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2）证明见解析 （3）存在
【分析】（1）求出函数得到函数大单调性，从而得到函数的极大值.
（2）由（1）可得，即，然后可得，，，相加可证明.
(3) 与的图象在 处有公共点,设函数与存在“分界线” ,由令，由求出参数的值，再证明成立即可.
【详解】（1），则
由，可得 ，，可得
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以当时，有极大值
（2）由（1）可知，为的最大值，即
所以，即（当且仅当时等号成立）
令，则，取，则，即
则，，
由上面不等式相加得
即
即
（3）设 ，则
当时，，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以
即与的图象在 处有公共点
设函数与存在“分界线”
令
由，即在上恒成立，
即在上恒成立，
成立，而，
所以 ，则
再证明，即恒成立.
设，则
当时，，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以当时，有最大值，即
所以恒成立.
综上所述，可得且
故函数与存在 “分界线”，此时
【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，利用导数证明不等式，考查恒成立求参数，考查转化思想的应用，属于难题.
87．如图，在平面直角坐标系中，圆交轴于、两点，交直线于、两点．
(1)若，求的值；
(2)设直线、的斜率分别为、，试探究斜率之积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
(3)证明：直线、的交点必然在一条定直线上，并求出该定直线的方程．
【答案】(1)；
(2)恒为定值；
(3)证明见解析，交点恒在定直线上.
【分析】（1）利用勾股定理可求得圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，即可求得实数的值；
（2）设点、，将直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可求得的值，即可证得结论成立；
（3）设直线的斜率为，可得出，写出直线、的方程，求出两直线交点的纵坐标，即可证得结论成立.
(1)
解：圆的圆心为，到直线的距离为，
，可得，解得.
(2)
解：将代入圆О方程，并整理得，
则，设点、，
由韦达定理，．
，所以，，同理，
于是（定值）.
(3)
解：注意到，设直线的斜率为，则，即．
直线的方程为，直线的方程为的交点满足，
即，解得，故直线、交点必在定直线上．
88．如图，矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线在x轴上方的曲线上，求矩形面积最大时的边长.
【答案】当矩形面积最大时，矩形边AB长，BC长
【分析】先设出点坐标，进而表示出矩形的面积，通过求导可求出其最大面积.
【详解】设点，
那么矩形面积，.
令解得（负舍）.
所以S在（0，）上单调递增，在（，2）上单调递；..
所以当时，S有最大值.此时
答：当矩形面积最大时，矩形边AB长，BC长.
89．为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内，，三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位．现通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位，其考评分数如下：
类行业：85，82，77，78，83，87；
类行业：76，67，80，85，79，81；
类行业：87，89，76，86，75，84，90，82．
（Ⅰ）计算该城区这三类行业中每类行业的单位个数；
（Ⅱ）若从抽取的类行业这6个单位中，再随机选取3个单位进行某项调查，求选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率．
【答案】（Ⅰ），，三类行业中每类行业的单位个数分别为60，60，80.（Ⅱ）
【分析】第一问利用分层抽样的概念直接计算即可；第二问是古典概率模型，先列出所有的基本事件，然后再找出3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位所包含基本事件的个数，即可求出3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率．
【详解】（Ｉ）由题意，得抽取的，，三类行业单位个数之比为.
由分层抽样的定义，有
类行业的单位个数为，
类行业的单位个数为，
类行业的单位个数为，
故该城区，，三类行业中每类行业的单位个数分别为60，60，80.
（Ⅱ）记选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位为事件.
这3个单位的考核数据情形有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种.
这3个单位都是“星级”环保单位的考核数据情形有，，，，共4种，没有都是“非星级”环保单位的情形，
故这3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共4种，
故所求概率.
【点睛】本题主要考查分层抽样及古典概型问题，属基础题．
90．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在，它的内角所对的边分别为，面积为，且，_____________
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
【答案】答案见解析
【分析】先根据三角形面积公式以及余弦定理求解出的值；若选①：先用正弦定理求解出的值，然后分析的大小并求的值，然后根据两角和的正弦公式可求的值；若选②：先用正弦定理求解出的值，然后计算的值，最后根据两角和的正弦公式可求的值，注意分类讨论；若选③：先根据正弦定理计算的值，得到，故判断三角形不存在.
【详解】因为，由余弦定理，
可得，
由，得
所以.
选①：由正弦定理得，
代入中得，
又，得是一个锐角，故，
所以.
选②：由得，
代入中得，
则当时，
当，
当时，
当，
选③：由得，所以不存在.
91．2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，此法典被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法.民法典与百姓生活密切相关，某学校有800名学生，为了解学生对民法典的认识程度，选取了100名学生进行测试，制成如图所示频率分布直方图.
（1）求m的值并估计该学校成绩超过80分的人数；
（2）估计抽查学生测试成绩的中位数；（结果用分数形式表示）
【答案】（1），320；（2）.
【分析】（1）根据频率分布直方图的小矩形面积的和为1求解m.再乘以总人数即可
（2）根据过中位数垂直与x轴的直线平分所有矩形面积求解.
【详解】（1）因为，
解得，又
所以m的值是，超过80分的人数为320
（2）设中位数为a，因为
则，
解得，所以抽查学生测试成绩的中位数是；
92．已知，
（1）令，完成下列表格 ，
0 π 2π
0 1 0 -1 0
1 3 1 -1 1
（2）求出最大值，最小值
（3）根据表中数据绘出草图
【答案】（1）表格见解析；（2）的最大值为，的最小值为；（3）函数图象见解析；
【分析】（1）根据“五点作图法”完成表格；
（2）由（1）表格可知函数的最值；
（3）根据（1）表格中数据画出函数图象；
【详解】解：（1）因为，，所以
0 π 2π
0 1 0 0
1 3 1 1
1 3 1 1
（2）由（1）可知的最大值为，的最小值为；
（3）由（1）可知函数图象如下：
93．已知，求的值．
【答案】
【解析】根据诱导公式和二倍角公式，化简已知为，将所求式中的2，用替换，整理化为齐二次分式，分子、分母同除以，化弦为切，即可求解
【详解】解：因为
，
所以
．
【点睛】本题考查已知三角函数值求值问题，解题的关键是化简，涉及到诱导公式、二倍角公式，以及齐次分式化弦为切的方法，属于中档题.
94．在锐角三角形中，角的对边分别为，且成等差数列
（1）若，求
（2）若为的最大内角，求的取值范围
【答案】（1）（2）
【分析】（1）先计算出的角度，再根据正弦定理计算出的值，最后根据即可计算出的值；
（2）根据条件将用的形式表示出来，将转化为关于的三角函数，再根据的范围即可计算出的取值范围.
【详解】解：（1）成等差数列，所以，
，
（2），
，
令，
，，
.
【点睛】本题考查三角恒等变换与解三角形的综合应用，其中涉及到等差数列知识，属于综合型问题，难度较易.解三角形的问题中注意对隐含条件“”的使用.
95．已知，.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）求的值.
【答案】（1）为奇函数；（2）20
【解析】（1）先求得函数的定义域，然后由证得为奇函数.
（2）根据为奇函数，求得，从而得到，由此求得所求表达式的值.
【详解】（1），定义域为，当时，.
因为，所以为奇函数.
（2）由（1）得，于是.
所以
【点睛】本小题主要考查函数奇偶性的判断，考查利用函数的奇偶性进行计算，属于基础题.
96．在四棱锥中，底面，，，，点在棱上，且满足.
(1)证明：平面；
(2)若，求点，到平面的距离之和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线线的平行关系做出平面BCE与平面ABP的交线，再由线线平行证得线面平行；
（2）运用锥体的体积法计算点面距离即可.
【详解】
（1）证明：在上取一点，使得，连接，.
因为，所以，所以且，
又，，所以，
所以，，所以四边形是平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面.
（2）因为，，
所以三棱锥的高为，
所以，
又，
所以.
又，
设点，到平面的距离之和为，则，
即，解得.
故点，到平面的距离之和为.
97．2020年一场突如其来的疫情让亿万中华儿女的心再一次凝结在一起，为控制疫情，让广大发热患者得到及时有效的治疗，武汉市某社区决定临时修建一个医院.医院设计平面图如图所示：矩形中，米，米，图中区域为诊断区（、分别在和边上），、及区域为治疗区.受诊断区医疗设备的实际尺寸影响，要求的大小为.
(1)若按照米的方案修建医院，问诊断区是否符合要求？
(2)按照疫情现状，病人仍在不断增加，因此需要治疗区的面积尽可能的大，以便于增加床位，请给出具体的修建方案使得治疗区面积最大，并求出最大值.
【答案】(1)不符合要求
(2)按照修建，治疗区面积最大，最大值为（平方米）
【分析】(1)依题意求即可判断.
(2)设，用表示诊疗区域的面积即可.
(1)
当时，，
所以
因此诊断区不符合要求
(2)
设，则，
在中，，
在中，，,
所以
，其中，
所以，当且仅当即取等号
故按照修建，治疗区面积最大，最大值为（平方米）.
98．已知函数和，设.
（1）求函数；
（2）求和的值；
（3）求的值；
（4）若函数，试判断与是否为同一函数，并说明理由.
【答案】（1）；（2）；不存在；（3）当时，；当时，不存在；（4）和不是同一函数，详见解析.
【分析】（1）先由的定义域可得的定义域，然后求解；
（2）把代入可得,没有意义；
（3）分类讨论与定义域的关系，可得的值；
（4）从定义域和解析式的特征进行判定.
【详解】（1）.
∵的定义域为的定义域为，
∴的定义域为与的定义城的交集，即.
∴.
（2）∵，∴.
∵，∴不存在.
（3）当时，即当时，；
当时，即当时，不存在.
（4）和，虽然函数解析式相同，但是定义域不同，前者定义域R，后者定义域为.
所以和不是同一函数.
【点睛】本题主要考查函数的解析式及定义域，同一函数的判定等，函数定义域是函数不可缺失的一部分，求解时应该遵循定义域优先的策略，侧重考查数学抽象的核心素养.
99．某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量P万件满足P＝3﹣（其中0≤x≤2）.现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P万件还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）万元/万件.
（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（2）当促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润.
【答案】（1），0≤x≤2；（2）当促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，最大利润为13万元.
【分析】（1）根据题意，结合已知数据，即可列出函数关系式；
（2）根据（1）中所求函数解析式，求函数的最大值即可.
【详解】（1）当促销费用为万元时，
付出的成本是：
销售收入是：，
故
整理可得，0≤x≤2.
（2）根据（1）中所求，
，当且仅当时取得最大值.
故当促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，最大利润为13万元.
【点睛】本题考查分式函数模型的应用，涉及利用基本不等式求和的最小值，属综合基础题.
100．做出的图象并求出其值域
【答案】图象见解析，.
【解析】根据函数解析式画出函数图象，结合函数图象求出函数值域；
【详解】解：因为，函数图象如下所示：
由函数图象可知函数的值域为
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页高中数学高考复习综合训练100题（含答案解析）
一、单选题
1．某中学共有学生2500人，其中男生1500人，为了解该校学生参加体育锻炼的时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为50的样本，则样本中女生的人数为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
【答案】C
【分析】先求得中学中的女生人数，然后根据样本容量，按照比例求解.
【详解】因为共有学生2500人，其中男生1500人，
所以女生有1000人，
所以样本中女生的人数为人
故选：C
【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，属于基础题.
2．已知椭圆和双曲线有相同焦点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出椭圆和双曲线的半焦距即得解.
【详解】由题得椭圆的半焦距为，
双曲线的半焦距为，
所以.
故选：A
3．下列命题中正确的是（ ）
A．当时，函数的图像是一条直线；
B．幂函数的图像都经过和点；
C．幂函数的定义域为；
D．幂函数的图像不可能出现在第四象限．
【答案】D
【分析】根据幂函数的性质依次分析各选项即可得答案.
【详解】解：对于A，时，函数的图像是一条直线除去点，故错误；
对于B，幂函数的图像都经过点，当指数大于时，都经过点，当指数小于时，不经过点，故B错误；
对于C，函数，故定义域为，故错误；
对于D，由幂函数的性质，幂函数的图像一定过第一象限，不可能出现在第四象限，故正确.
故选：D.
4．由=4，确定的等差数列，当an=28时，序号等于（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【分析】首先求出数列的通项公式，再解方程即可；
【详解】解：因为，，所以，所以，解得
故选：A
【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.
5．函数在区间上的最大值、最小值分别是（ ）
A．， B．，1 C．， D．1，
【答案】D
【分析】根据反比例函数的单调性即可解得最值.
【详解】易知函数在区间是单调递减函数，
因此当时，函数的最大值为，
当时，函数的最小值为.
故选.
【点睛】本题考查函数单调性的应用，对于反比例函数当时为减函数，当时为增函数，是基础题.
6．的定义域是，其导函数为，，其导数为，若，且（其中是自然对数的底数），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据得到的单调性，即可判断ABD，由，求出，即可判断C.
【详解】因为，所以由可得，由可得
所以在上单调递增，在上单调递减
所以，，故A、B错误
，所以，即，所以D正确
因为，，所以，解得，故C错误
故选：D
7．若集合，，则
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出集合、，再利用交集的定义可求得集合.
【详解】由题意得集合，
，
因此，.
故选：B.
【点睛】本题考查集合的交集运算，同时也考查了指数不等式与绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.
8．双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由双曲线的离心率可求出的关系，从而可求出椭圆的离心率
【详解】解：因为双曲线的离心率为，
所以，得，
所以椭圆的离心率，
故选：C
9．在正项等比数列中，若，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】根据等比数列的性质可得，由题意，解得，再根据等比数列通项公式求得公比，从而得到数列的通项公式.
【详解】在等比数列中，
，解得或
当时，，
，
；
当时，，
，
综上所述：或，
故选：C.
【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．
10．若，，则是的条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】利用充分性与必要性定义判断即可.
【详解】由题意可得
∴是的充分不必要条件
故选A
【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“ ”为真，则是的充分条件．
2．等价法：利用 与非 非， 与非 非， 与非 非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若 ，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．
11．如图，正方体的棱长为，是棱的中点，是四边形内一点（包含边界）．若平面，且线段长度的最小值为，则（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】过点作的平行线，交于点，交于点，连接，证明点轨迹是线段，然后根据勾股定理求得后可得最小值，由此求得．
【详解】如图，过点作的平行线，交于点，交于点，则底面，连接，平面，则，所以，
∵平面，/平面，，平面，
∴平面平面，又平面，∴平面．
又平面平面，平面，∴，
为的中点，∴为的中点，则为的中点，即在线段上（包含端点），
∴，∴，∴，，
故选：B．
12．已知集合，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】化简集合N，根据并集运算即可.
【详解】由，解得
，
，
故选：D
【点睛】本题主要考查了二次不等式，集合的并集，属于容易题.
13．已知，是双曲线的两条渐近线，直线经过的右焦点，且，交于点，交于点，若，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据直线平行，可设直线的方程，通过联立得点，的横坐标，求出的表达式，从而可解不等式组得到的取值范围.
【详解】由题意可知，，不妨记，，
由且经过的右焦点可得的方程为，
与的方程联立可解得，
与的方程联立得，
所以，
解得，.
故选：B.
【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.
14．程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数，其中A的各位数中，，（2，3，4，5）出现0的概率为，出现1的概率为，记，当程序运行一次时，ξ的数学期望为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知的可能取值是1，2，3，4，5，结合变量对应的事件和独立重复试验公式求出概率（以为例，当时，表示后四个数字中恰好出现了3个，然后算出期望．
【详解】由题意知的可能取值是1，2，3，4，5
当时，表示后四个数字都是0，，
当时，表示后四个数字中有一个1，
同理可得：
，
故选：B
【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查独立重复试验的概率公式，是一个综合题，解题的关键是读懂题意．
15．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简集合B，利用并集概念及运算即可得到结果.
【详解】由题意可得：
又
∴
故选：C
【点睛】本题考查并集的概念及运算，考查分式不等式的解法，属于基础题.
16．已知，其部分图象如图所示，则的解析式为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据图像可得函数周期，最值，则可得，再根据五点作图法求得即可.
【详解】由图可知，解得；
又因为，故可得；
由五点作图法可知，解得，
故.
故选：D.
【点睛】本题考查由正弦型函数的图像求解函数解析式，属基础题.
17．在各项为正的递增等比数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设其公比为，由等比数列通项公式得，进而得，解得或，再根据数列单调性即可得，进而得
【详解】为等比数列，设其公比为，
，则，
，
，
即，
解得或，
又各项为正且递增，
，
．
故选：B．
【点睛】本题解题的关键是先根据题意得，进而将转化为求，考查运算求解能力，是中档题.
18．已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】利用偶函数求的解析式再求导，根据导数的几何意义即可求处的切线斜率.
【详解】设，则，，又为偶函数，
∴，则对应导函数为，
∴，即所求的切线斜率为2.
故选：B
19．已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】首先求出，再根据补集的定义计算可得；
【详解】解：因为，，，所以
所以
故选：B
20．已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（ ）
A． B．4 C．8 D．或8
【答案】D
【分析】根据函数的解析式作出函数在时图象，换元解方程可得或，利用图象求出交点对应横坐标，注意利用函数为奇函数图象关于原点对称，分与两种情况讨论，数形结合即可求解.
【详解】作出函数在时的图象，如图所示，
设，
则关于的方程的方程等价于
解得：或，
如图，
当t=1时，即对应一个交点为，方程恰有4个不同的根，可分为两种情况:
（1），即对应3个交点，且 ，
此时4个实数根之和为8；
（2），即对应3个交点，且 ，
此时4个实数根之和为.
故选：D
【点睛】解决此类问题的关键有两点，第一换元后对方程等价转化求解或，
第二结合函数图象处理方程有四个根，即要转化为数形结合，看图象交点的个数及横坐标即可求解.
21．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先用诱导公式化为，再用二倍角公式计算．
【详解】.
故选：D
22．在平面直角坐标系中，若双曲线(，)的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可.
【详解】双曲线(，)的右焦点到一条渐近线的距离为
可得： 可得 ，即
所以双曲线的离心率为： .
故选:B.
【点睛】本题考查双曲线的简单性质，焦点坐标，渐近线方程，还运用双曲线中焦点到渐近线的距离为以及点到直线的距离公式：.
23．书架上层放7本不同的语文书，书架下层放5本不同的数学书，从书架上层和下层各取一本书的取法有（ ）
A．12种 B．35种 C．7种 D．66种
【答案】B
【分析】由分步乘法原理求解即可
【详解】由题意可得，从书架上层取一本书有7种取法，从书架下层取一本书有5种取法，则分步乘法原理可得共有种取法，
故选：B
24．下面诱导公式使用正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式的法则“奇变偶不变，符号看象限”，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误.
故选：C
25．有一副去掉了大小王的扑克牌，充分洗牌后，从中随机抽取一张，则抽到的牌为“黑桃”或“”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】计算出抽到的牌为“黑桃”或“”所包含的牌的数量，利用古典概型的概率公式可求得结果.
【详解】由题意可知，该副扑克牌共张，其中“黑桃”共张，“”共张，
则抽到的牌为“黑桃”或“”共张，故所求概率为.
故选：C.
26．已知，则
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】先求，再利用同角三角函数基本关系化为齐次式求解即可
【详解】∵，∴，
∴．
故选D
【点睛】本题考查同角三角基本关系式，考查诱导公式，准确计算是关键，是基础题
27．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称
C．的最大值为 D．的图象关于直线对称
【答案】D
【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图像和性质判断各个选项是否正确，从而得出结论.
【详解】解：
对于选项，因为，故不正确；
对于选项，因为，故不正确；
对于选项，因为当时，，故不正确；
对于选项，因为，是的最大值，
所以的图象关于直线对称，故正确.
故选：D.
【点睛】本题主要考查三角恒等变换和正弦函数的图像和性质，属于中档题.
28．已知向量，，满足，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求向量的坐标，再利用坐标运算求模，转化为二次函数求最小值.
【详解】由条件可知，
则
，当时，.
故选：B
29．若直线与圆没有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－4，4） B．（－2，2）
C．（－∞，－4）U（4，＋∞） D．
【答案】D
【分析】由题设知圆心到直线的距离大于圆的半径，应用点线距离公式列不等式求a的取值范围.
【详解】由题设，圆心为，半径为2，
因为直线与圆没有公共点，
所以，可得或.
故选：D
30．要得到函数的图像,可以将函数的图像沿轴
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】C
【解析】由，根据三角函数的变换规则即可判断.
【详解】解：∵,
∴将函数的图像上的所有点向左平移个单位,可得到函数的图像.
故选：
【点睛】本题考查三角函数的变换，属于基础题.
31．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，现有如下说法：①至少有一个黑球与都是黑球是互斥而不对立的事件；②至少有一个黑球与至少有一个红球不是互斥事件；③恰好有一个黑球与恰好有两个黑球是互斥而不对立的事件；④至少有一个黑球与都是红球是对立事件.在上述说法中，正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用互斥事件和对立事件的定义逐个判断即可
【详解】①“至少有一个 黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故错误.
②“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故正确.
③“恰好有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故正确.
④“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故正确.上述说法中，正确的个数为3.
故选：C
【点睛】此题考查互斥事件和对立事件的判断，属于基础题
32．已知,且,则
A．0 B． C． D．1
【答案】B
【解析】首先利用同角三角函数的基本关系求出，再由，利用两角和的余弦公式即可求解.
【详解】由,且,
所以，
所以.
故选：B
【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式，属于基础题.
33．若函数f(x)和g(x)分别由下表给出：
x 1 2 3 4 x 1 2 3 4
f(x) 2 3 4 1 g(x) 2 1 4 3
满足g(f(x))＝1的x值是（ ）．A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】从外到内逐步求值．
【详解】解：∵g(f(x))＝1，
∴f(x)＝2，
∴x＝1，
故选：A．
【点睛】本题主要考查函数的表示法——列表法，属于基础题．
34．已知函数，函数，直线分别与两函数交于、两点，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】设，，则可以用表示，利用导数可求的最小值.
【详解】设，，则，，消去得．
所以，其中.
令，，
则，
当时，，当时，．
故在上为减函数，在上为增函数，
所以，所以的最小值为．
故选：A．
【点睛】思路点睛：水平直线截不同曲线所得线段的长度的计算，需结合曲线方程的形式合理选择变量去构建长度的计算公式，而长度的最值的计算可利用导数来处理.
35．下列各角中与终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据终边相同的角的概念可得出合适的选项.
【详解】，，，，
因此，只有A选项中的角与终边相同.
故选：A.
36．函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】在同一直角坐标系中作出函数与的图象，将函数的零点个数转化为函数的交点问题，数形结合可得.
【详解】解：函数的零点个数，即的解得个数，等价于与的交点个数，在同一平面直角坐标系中作出函数图象，由图可知两函数只有一个交点，故函数有一个零点,
故选：
【点睛】本题考查函数的零点问题，数形结合思想，属于基础题.
37．下列四组对象中能构成集合的是（ ）.
A．本校学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点
C．很小的实数 D．倒数等于本身的数
【答案】D
【分析】根据集合中元素具有确定性判断选项即可得到结果.
【详解】集合中的元素具有确定性，对于，学习好、非常近、很小都是模糊的概念，没有明确的标准，不符合确定性；
对于，符合集合的定义，正确.
故选：.
【点睛】本题考查集合的定义，关键是明确集合中的元素具有确定性，属于基础题.
38．已知实数a，b，c，若a>b，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直接利用不等式的基本性质即可.
【详解】由可判断A错误，
由可判断BD错误，
由不等式的性质易知C正确.
故选：C.
【点睛】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题的关键，属于基础题.
39．准线方程为的抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】的准线方程为.
【详解】的准线方程为.
故选：D.
40．已知M，N为单位圆O∶上的两个动点，且满足，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设MN中点为E，利用泛极化公式把转化为，再判断出E的轨迹为圆，可求出的范围.
【详解】解析：设MN中点为E，则，
因为，所以点E在以O为圆心，为半径的圆上运动.
故；所以.
故选:A
【点睛】平面向量中与动点有关的最值问题一般的求解思路：
①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值；
②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值.
41．对高三某班级的学生进行体能测试，所得成绩统计如下图所示，则该班级学生体能测试成绩的中位数为（ ）
A．80 B．85 C．82.5 D．83
【答案】C
【分析】由频率确定中位数在80至90之间，然后由比例计算可得．
【详解】解：依题意，成绩不大于80分的概率为，而成绩在区间的概率为0.4，因此中位数在80至90之间，
所求中位数为，
故选：C．
42．若直线与直线互相垂直，则的值为（ ）
A． B． C．0或 D．1或
【答案】D
【分析】利用两条直线垂直的充要条件列出方程，求出的值．
【详解】，
，即，
解得或.
故选：D．
【点睛】本题考查两直线垂直的充要条件，考查运算求解能力，求解时注意与垂直这一条件的应用.
43．某校将5名插班生甲、乙、丙、丁、戊编入3个班级，每班至少1人，则不同的安排方案共有（ ）
A．150种 B．120种 C．240种 D．540种
【答案】A
【分析】根据题意，分2步分析：先将5名插班生分为3组，有2种分组方法，①分为3、1、1的三组，②分为2、2、1的三组，由组合数公式可得其分组方法数目，由分类计数原理将其相加可得分组的情况数目，第二步，将分好的三组对应3个不同的班级，由排列数公式可得其对应方法数目,由分步计数原理计算可得选项．
【详解】由题意可知，可分以下两种情况讨论，①5名插班生分成：， ，1三组；②5名插班生分成：，，三组，
当5名插班生分成：， ，1三组时，共有种方案；
当5名插班生分成：，，三组时，共有种方案；
所以，共有种不同的安排方案.
故选：A.
【点睛】本题主要考查两个基本原理和排列组合，在对排列、组合的综合问题时，一般先组合再排列，属于中档题.
44．已知幂函数的图象过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先用待定系数法求出幂函数解析式，然后直接求出即可.
【详解】解：设幂函数，代入点，
得，解得，
所以，
则，
故选：D．
【点睛】本题考查利用待定系数法求幂函数解析式，是基础题．
45．福利彩票“双色球”中红色球的号码可从编号为01，02，…，33的33组数中随机选取，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的号码，选取方法是从下列随机数表中第1行第6列的数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的号码为（ ）
A．23 B．09 C．02 D．17
【答案】C
【解析】根据随机数表的使用规则逐个选出，剔除不符合范围的，即可得解.
【详解】从随机数表第1行第6列的数字开始由左到右依次选取两个数字，因为福利彩票“双色球”中红色球的号码可从编号为01，02，…，33的33组数中随机选取，剔除不符合的，则选出的6个红色球的编号依次为21，32，09，16，17，02，故选出的第6个红色球的编号为02.
故选：C.
【点睛】本题考查了随机数表的用法，属于基础题.
46．已知，为虚数单位，复数，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】首先利用复数的运算法则将复数化为的形式，然后根据建立一个不等式进行求解.
【详解】.
由，得，整理得解得，所以实数的取值范围为.
故选：B
【点睛】本题考查复数的运算，考查复数模的运算．掌握除法法则与模的定义是解题基础．
47．用表示投掷一枚均匀的骰子所得的点数，利用的分布列求下列事件的概率，其中错误的是（ ）
A．掷出的点数是偶数的概率为； B．掷出的点数超过1的概率为；
C．掷出的点数大于3而不大于5的概率为； D．的期望为．
【答案】C
【分析】根据等可能事件的概率计算可判定ABC；列出分布列，利用期望值公式计算从而判定D.
【详解】的值可以为1、2、3、4、5、6，取每一个值的概率都相等，
X的分布列为：
X 1 2 3 4 5 6
P
X为偶数的情况由3种，其概率为，故A正确；
X超过1的有5种，其概率为，故B正确；
X大于3不大于5的有4、5两种，其概率为，故C错误；
X期望值为,
故D正确.
故选：C.
48．下面问题中，是排列问题的是（ ）
A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数
B．从40人中选5人组成篮球队
C．从100人中选2人抽样调查
D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合
【答案】A
【分析】根据排列与排列数的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】根据排列及排列数的定义，可得：
对于A中，由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数，符合排列的定义，是排列问题；
对于B中，从40人中选5人组成篮球队，与顺序无关的问题，不是排列问题；
对于C中， 从100人中选2人抽样调查，与顺序无关的问题，不是排列问题；
对于D中， 从1，2，3，4，5中选2个数组成集合，与顺序无关的问题，不是排列问题.
故选：A.
49．如图，一个底面边长为cm的正四棱柱形状的容器内装有部分水，现将一个底面半径为1cm的铁制实心圆锥放入容器，圆锥放入后完全沉入水中，并使得水面上升了1cm．若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由水上升的体积得圆锥体积，然后求得圆锥的高、母线得侧面积．
【详解】依题意可得圆锥的体积，
又（其中h为圆锥的高），则cm，
则圆锥的母线长为cm，故圆锥的侧面积为．
故选：A．
50．下列说法错误的是（ ）
A．“若，则”的逆否命题是“若，则”
B．“”是“”的充分不必要条件
C．“，”的否定是“，”
D．若“”为假命题，则均为假命题
【答案】D
【分析】根据逆否命题的定义、集合间的关系、全称命题的否定、为假命题的定义，对选项进行一一验证，即可得答案.
【详解】对A，根据逆否命题的定义可知命题正确，故A正确；
对B，若，则或，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确；
对C，因为全称命题的否定是特称命题，且将结论否定，故C正确；
对D，若“”为假命题，则、中只要有一个为假命题，故D错误.
故选：D.
【点睛】本题考查命题真假性的判断，考查对概念的理解与应用，属于基础题.
二、填空题
51．使得成立的一组，的值分别为_____.
【答案】，（不唯一）
【分析】使得成立，只需，举例即可.
【详解】使得成立，只需，
所以,，
使得成立的一组，的值分别为，
故答案为：，（不唯一）
52．已知定义在上的奇函数满足，则______.
【答案】0
【分析】由奇函数的性质可得函数f（x）是周期为4的周期函数，再根据对数的运算性质即可求得．
【详解】根据题意，f（x）为奇函数，则有f（﹣x）＝﹣f（x），
又由f（x）＝f（2﹣x），则有f（2﹣x）＝﹣f（﹣x），即f（x+2）＝﹣f（x），
变形可得：f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，
则，
故＝0．
【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，以及对数的运算性质应用．
53．已知函数，则它的单调递增区间是_________
【答案】
【分析】先把函数化简变形成余弦型函数，利用余弦型函数的性质求出结果．
【详解】函数，
令，
整理得：，
所以函数的单调递增区间为：．
故答案为：．
54．若的展开式中常数项为________.
【答案】28
【分析】求出展开式d 通项，令的指数为0即可求出.
【详解】的展开式的通项为，
令，解得，
则展开式的常数项为.
故答案为：28.
55．若f（x），则f（1）+f（8）＝_____.
【答案】5
【分析】将和分别代入分段函数的解析式即可求解.
【详解】 f（x），
f（1）+f（8）＝
故答案为：5
【点睛】本题主要考查了求分段函数的函数值，属于基础题.
56．已知二次函数的图象为开口向上且对称轴是的抛物线，则，，的大小关系是________.
【答案】
【分析】由题意结合二次函数对称性可得，再利用二次函数的单调性即可得解.
【详解】二次函数的图象开口向上且对称轴是，
函数在上单调递增，且，
又，，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查了二次函数图象与性质的应用，关键是对条件的合理转化，属于基础题.
57．已知向量.若，则实数_________．
【答案】8
【分析】由向量垂直的坐标表示计算．
【详解】因为，
所以，
解得．
故答案为：
58．已知定义域为的函数是奇函数，则函数的值域为___________．
【答案】
【分析】根据，求得的值，即可求出的表达式进而可以求的值域。
【详解】因为函数是奇函数，所以，
所以
因为，所以，所以
故答案为：
【点睛】此题考查奇函数性质，分式函数值域问题，属于简单题目。
59．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时， __________.
【答案】
【解析】根据奇函数的定义，即可求解.
【详解】当时，，
是奇函数，，
.
故答案为:
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性，求函数的解析式，属于基础题.
60．一个圆锥被平行于底面的平面所截，若截面面积和底面面积之比为，则此圆锥的母线被分成上、下两部分之比为______．
【答案】
【分析】根据圆锥的平行于底面的截面的性质计算．
【详解】作轴截面，是圆锥底面直径，是截面圆直径，
由题意，，
由得，
所以．
故答案为：．
61．有一批材料可以建成200m长的围墙，若用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形的地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（墙的长度足够用），则围成的整个矩形场地的最大面积是_______________.
【答案】
【解析】设每个小矩形长为米，宽为米，则依题意可知，代入矩形的面积公式，根据基本不等式求出围成矩形面积的最大值．
【详解】如图所示：
设每个小矩形长为米，宽为米，显然，则依题意可知，
设围成的整个矩形场地的面积为，
所以，当且仅当时取等号，即当时取等号，因此.
故答案为：
62．已知集合，集合，则________
【答案】
【解析】由交集定义计算．
【详解】由题意．
故答案为：．
63．已知数列是等比数列，，，则___________.
【答案】
【解析】利用等比数列的性质：若，则，即可求解.
【详解】由数列是等比数列，，，
则，所以.
故答案为：
64．已知是平面向量的一组基底，实数x，y满足，则_________.
【答案】2
【分析】由题意结合基底的概念、平面向量基本定理可得，即可得解.
【详解】是平面向量的一组基底，且，
，解得，
.
故答案为：2.
【点睛】本题考查了基底的概念与性质，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题.
65．给出以下四个命题:
①若函数的定义域为，则函数的定义域为；
②函数的单调递减区间是；
③已知集合，则映射中满足的映射共有3个；
④若,且,．
其中正确的命题有______．（写出所有正确命题的序号）
【答案】③④
【分析】根据抽象函数定义域的求法,可判断①;
根据反比例函数的图象和性质,可判断②;
根据映射的定义,可判断③; 根据已知得到,进而可判断④．
【详解】①若函数的定义域为, 由得:, 所以函数的定义域为; 故①错误;
②函数的单调递减区间是和,故②错误;
③对于集合，映射中满足的映射共有：
，，,共3个, 故③正确;
④若,则, 又, 所以,
; 故④正确.
故填：③④.
【点睛】本题考查复合函数的定义域，反比例函数的单调性，映射的定义，抽象函数的求值问题，属于中档题.
66．中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走里，第一日，第四日，第七日所走之和为里，则该男子的第三日走的里数为__________．
【答案】120
【分析】将题目转化成数学语言，得到等差数列关系，求出首项和公差，再求第三日走的里数，即数列的第三项.
【详解】因为男子善走，日增等里，可知每天走的里数符合等差数列，设这个等差数列为，其公差为，前项和为.
根据题意可知，，
法一：
，
，
.
法二：，
解得所以
【点睛】本题考查文字描述转化数学语言的能力，等差数列求和和通项以及基本性质，属于简单题.
67．下列各组中两函数相等的有____.
①
②
③
④
【答案】④
【解析】分别看的定义域和解析式是否相同即可.
【详解】对于①，的定义域都为，但解析式不一样，故不相等；
对于②，的定义域为，的定义域为，故不相等；
对于③，的定义域为，的定义域为，故不相等；
对于④，的定义域都为，且解析式可化为一样，故相等；
故答案为：④
68．已知函数，，若，则的取值范围为 ______.
【答案】或
【分析】讨论和两种情况，代入计算得到答案.
【详解】函数，
当时：
考虑定义域：，故；
当时：
考虑定义域：，故.
综上所述：或
故答案为或
【点睛】本题考查了分段函数不等式，忽略掉定义域是容易发生的错误.
69．已知双曲线C：的一个焦点是，则它的离心率为______．
【答案】##
【分析】根据题意求出即可得出离心率.
【详解】由题可得，所以，
所以离心率.
故答案为：.
70．如图，半圆O的半径为1，A为直径所在直线上的一点，且，B为半圆弧上的动点．将线段AB绕点A顺时针旋转得到线段AC，则线段OC长度的最大值是__________．
【答案】
【分析】以点为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，设，则，即可表示出点坐标，从而得到，再根据向量模的坐标计算、三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：如图以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，则，，则，
过点、分别作轴、轴，交轴于点、，显然与全等，所以，，
从而得到，即，
所以
所以当，即时
故答案为：
三、解答题
71．已知，，．
求：（1）的值．
（2）的值．
【答案】（1）．（2）．
【分析】（1）利用两角差的余弦公式展开可得，平方化简可得，根据，， 求得的值．
（2）利用（1）的结果及倍角公式，即可求得的值．
【详解】（1），，，，
，平方化简可得． 又，，
，，．
（2）
。
【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系的应用，考查转化与化归思想的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力．
72．已知向量,设函数
（1）求的最小正周期．
（2）求函数的单调递减区间．
（3）求在上的最大值和最小值．
【答案】(1)；(2)．(3) 最大值为1,最小值为．
【分析】先由题意得到；
（1）根据周期计算公式，即可求出结果；
（2）根据正弦函数的单调区间得到，求解，即可得出结果；
（3）先由题意得到，结合正弦函数的性质，即可得出结果.
【详解】由已知可得：
,
（1）的最小正周期；
（2）由,可得,
的单调递减区间为．
（3）,,
,
的最大值为1,最小值为．
【点睛】本题主要考查求三角函数的周期、单调区间，以及最值等，熟记正弦函数的性质即可求解，属于常考题型.
73．2020年一场突如其来的疫情让亿万中华儿女的心再一次凝结在一起，为控制疫情，让广大发热患者得到及时有效的治疗，武汉市某社区决定临时修建一个医院.医院设计平面图如图所示：矩形中，米，米，图中区域为诊断区（、分别在和边上），、及区域为治疗区.受诊断区医疗设备的实际尺寸影响，要求的大小为.
(1)若按照米的方案修建医院，问诊断区是否符合要求？
(2)按照疫情现状，病人仍在不断增加，因此需要治疗区的面积尽可能的大，以便于增加床位，请给出具体的修建方案使得治疗区面积最大，并求出最大值.
【答案】(1)不符合要求
(2)按照修建，治疗区面积最大，最大值为（平方米）
【分析】(1)依题意求即可判断.
(2)设，用表示诊疗区域的面积即可.
(1)
当时，，
所以
因此诊断区不符合要求
(2)
设，则，
在中，，
在中，，,
所以
，其中，
所以，当且仅当即取等号
故按照修建，治疗区面积最大，最大值为（平方米）.
74．已知函数和，设.
（1）求函数；
（2）求和的值；
（3）求的值；
（4）若函数，试判断与是否为同一函数，并说明理由.
【答案】（1）；（2）；不存在；（3）当时，；当时，不存在；（4）和不是同一函数，详见解析.
【分析】（1）先由的定义域可得的定义域，然后求解；
（2）把代入可得,没有意义；
（3）分类讨论与定义域的关系，可得的值；
（4）从定义域和解析式的特征进行判定.
【详解】（1）.
∵的定义域为的定义域为，
∴的定义域为与的定义城的交集，即.
∴.
（2）∵，∴.
∵，∴不存在.
（3）当时，即当时，；
当时，即当时，不存在.
（4）和，虽然函数解析式相同，但是定义域不同，前者定义域R，后者定义域为.
所以和不是同一函数.
【点睛】本题主要考查函数的解析式及定义域，同一函数的判定等，函数定义域是函数不可缺失的一部分，求解时应该遵循定义域优先的策略，侧重考查数学抽象的核心素养.
75．已知函数.
（1）若，求a的值；
（2）若，求证：当时，，其中e为自然对数的底数.
【答案】（1）1；（2）证明见解析.
【分析】（1）求出,根据题意可得，解方程即可求出结果；
（2）求出，根据不等式的性质即可证出结论.
【详解】（1）因为，，
所以，解得.
（2）函数的定义域是，
，
所以，
当，时，，，
可得.
76．做出的图象并求出其值域
【答案】图象见解析，.
【解析】根据函数解析式画出函数图象，结合函数图象求出函数值域；
【详解】解：因为，函数图象如下所示：
由函数图象可知函数的值域为
77．已知公差不为零的等差数列中，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，求证：.
【答案】（1）（2）见解析
【分析】（1）直接利用已知条件建立等量关系求出数列的通项公式；
（2）利用累加法和基本不等式的应用，即可求出结果.
【详解】解：（1）设公差为，
则由题设可得：，
解得或（舍去），
所以，
（2）当时，有，，
两式相减得：，
即，
所以
，
当时，左边，右边，不等式也成立，
综上所述，对于任意都有.
【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在求通项公式中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力．
78．下列情况中哪些适合用全面调查，哪些适合用抽样调查？说明理由
（1）了解某城市居民的食品消费结构；
（2）调查一个县各村的粮食播种面积；
（3）了解某地区小学生中患沙眼的人数；
（4）了解一批玉米种子的发芽率；
（5）调查一条河流的水质；
（6）某企业想了解其产品在市场的占有率.
【答案】见解析
【解析】根据抽样调查和全面调查的定义依次判断每个选项得到答案.
【详解】（1）适合抽样调查，因为调查对象较多；
（2）适合全面调查，因为调查对象较少；
（3）适合抽样调查，因为调查对象较多；
（4）适合抽样调查，因为调查具有破坏性；
（5）适合抽样调查，因为调查对象较多；
（6）适合抽样调查，因为调查对象多而且不易操作.
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查，属于简单题.
79．在四棱锥中，底面，，，，点在棱上，且满足.
(1)证明：平面；
(2)若，求点，到平面的距离之和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线线的平行关系做出平面BCE与平面ABP的交线，再由线线平行证得线面平行；
（2）运用锥体的体积法计算点面距离即可.
【详解】
（1）证明：在上取一点，使得，连接，.
因为，所以，所以且，
又，，所以，
所以，，所以四边形是平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面.
（2）因为，，
所以三棱锥的高为，
所以，
又，
所以.
又，
设点，到平面的距离之和为，则，
即，解得.
故点，到平面的距离之和为.
80．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求B；
(2)若，，求c.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由正弦定理化简条件，求得，从而求得角B.
（2）将条件，代入余弦定理求得c.
(1)
因为，所以，
即，
化简得，所以，
又因为，所以.
(2)
因为，
所以，
整理得，解得.
81．如图，四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，，．
(1)求证：平面ABCD；
(2)设点M是BD中点，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过证明来证得平面ABCD.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得二面角的余弦值．
(1)
由于，，所以，
由于，所以平面，
所以平面，.
，
所以，所以，
由于，所以平面ABCD；
(2)
由（1）可知两两相互垂直，
建立如图所示空间直角坐标系，
，
，，
设平面的法向量为，
则，故可设，
同理可求得平面的法向量为，
由图可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
82．如图，在直径为1的圆中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中．
（1）将十字形的面积表示成的函数；
（2）求十字形的最大面积．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）设十字形面积为，易知，然后将代入求解.，
（2）由（1）的结论，利用二倍角的正弦和余弦公式，结合辅助角公式得到，再利用正弦函数的性质求解.
【详解】（1）设十字形面积为，
如图所示：
所以，
（2），
（设为锐角且），
当，即时，最大．
即当时，十字形取得最大面积，
．
【点睛】本题主要考查几何图形面积的求法以及数据恒等变换和三角函数性质的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
83．某网站的调查显示，健身操类 跑步类 拉伸运动类等健身项目在大众健康项目中是比较火热的，但是大多数人的健身科学类知识相对缺乏，尤其是在健身指导方面.从某健身房随机抽取200名会员，对其平均每天健身时间进行调查，如下表，健身之前他们的体重情况如柱状图（1）所示，该健身房的教练为他们制订了健身计划，四个月后他们的体重情况如柱状图（2）所示.
平均每天健身时间(分钟)
人数 20 36 44 50 40 10
（1）若这200名会员的平均体重减少不低于，就认为该计划有效，根据上述柱状图，试问：该计划是否有效？(每组数据用该组区间的中点值作代表)
（2）请根据图中数椐填写下面的列联表，试问：是否有99%的把握认为平均每天健身时间与会员健身前的体重有关？
平均每天健身时间低于60分钟 平均每天健身时间不低于60分钟 合计
健身前体重低于
健身前体重不低于 80
合计 200
（3）以这200名会员平均每天健身时间的频率，代替该健身房1名会员平均每天健身时间发生的概率，若在该健身房随机调查12名会员，则其中平均每天的健身时间不低于70分钟的人数最有可能(即概率最大)是多少？
参考公式：，其中.
参考数据：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）该计划有效；（2）列联表答案见解析，有99%的把握认为平均每天健身时间与会员健身前的体重有关；（3）人数最有可能是3人.
【分析】（1）根据柱状图，采用中间值对应频率求和的方法计算平均体重，然后作差比较判断是否有效；（2）由题意填表，代入公式计算即可；（3）从柱状图中计算会员平均每天的健身时间不低于70分钟的概率为，设抽取的12人中平均每天的健身时间不低于70分钟的人数为，则，表示当时概率的值，利用概率最大计算出的值即为最有可能的人数.
【详解】（1）柱状图（1）中的体重平均值为.
柱状图（2）中的体重平均值为.
因为，所以该计划有效.
（2）列联表如下：
平均每天健身时间低于60分钟 平均每天健身时间不低于60分钟 合计
健身前体重低于 40 20 60
健身前体重不低于 60 80 140
合计 100 100 200
的观测值为.
所以有99%的把握认为平均每天健身时间与会员健身前的体重有关.
（3）由题意可知，该健身房每名会员平均每天的健身时间不低于70分钟的概率为．
设抽取的12人中平均每天的健身时间不低于70分钟的人数为，则，
，，1，2，…，12．
得
得
化简得，又，所以，
即12名会员中平均每天的健身时间不低于70分钟的人数最有可能是3人．
【点睛】方法点睛：（1）柱状图中均值的计算：每组组距中间值对应频率，然后求和；
（2）概率最大的求法：设时，概率取得最大值，则代入概率公式可计算出概率最大时的值.
84．为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内，，三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位．现通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位，其考评分数如下：
类行业：85，82，77，78，83，87；
类行业：76，67，80，85，79，81；
类行业：87，89，76，86，75，84，90，82．
（Ⅰ）计算该城区这三类行业中每类行业的单位个数；
（Ⅱ）若从抽取的类行业这6个单位中，再随机选取3个单位进行某项调查，求选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率．
【答案】（Ⅰ），，三类行业中每类行业的单位个数分别为60，60，80.（Ⅱ）
【分析】第一问利用分层抽样的概念直接计算即可；第二问是古典概率模型，先列出所有的基本事件，然后再找出3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位所包含基本事件的个数，即可求出3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率．
【详解】（Ｉ）由题意，得抽取的，，三类行业单位个数之比为.
由分层抽样的定义，有
类行业的单位个数为，
类行业的单位个数为，
类行业的单位个数为，
故该城区，，三类行业中每类行业的单位个数分别为60，60，80.
（Ⅱ）记选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位为事件.
这3个单位的考核数据情形有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种.
这3个单位都是“星级”环保单位的考核数据情形有，，，，共4种，没有都是“非星级”环保单位的情形，
故这3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共4种，
故所求概率.
【点睛】本题主要考查分层抽样及古典概型问题，属基础题．
85．如图，矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线在x轴上方的曲线上，求矩形面积最大时的边长.
【答案】当矩形面积最大时，矩形边AB长，BC长
【分析】先设出点坐标，进而表示出矩形的面积，通过求导可求出其最大面积.
【详解】设点，
那么矩形面积，.
令解得（负舍）.
所以S在（0，）上单调递增，在（，2）上单调递；..
所以当时，S有最大值.此时
答：当矩形面积最大时，矩形边AB长，BC长.
86．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，证明：.
【答案】（1）；（2），在单调递减；，在单调递增，在单调递减；（3）证明见解析.
【分析】（1）求得导函数，利用导数的几何意义得到切线的斜率，进而得出切线方程；
（2）分类讨论，函数的定义域，在定义域内研究讨论导数的正负，进而得到单调性；
（3）解法1：等价转化为.先将不等式左边看成以a为自变量的函数，设，利用导数研究其单调性，进而得到
.由（1）可知，当时，，得，然后利用放缩证得；
解法2：（3）不等式等价于.
由（1）可知，当时，，得，先利用，得到，从而为证原不等式，只需证
构造函数，利用导数研究其单调性，进而得证.
【详解】（1），则，
于是点处切线方程为：，即.
（2）若，则定义域，，在单调递减.
若，则定义域为，.
由得，由得，所以在单调递增，在单调递减.
解法1：（3）不等式等价于.
设，.
设，则，所以.
而，所以，在单调递减，所以.
由（1）可知，当时，，得.所以
.
因此当时，.
解法2：（3）不等式等价于.
由（1）可知，当时，，得，从而.
设，在单调递增.
因为，所以当时，，当时，.
所以.因此.
所以当时，.
【点睛】利用，进行放缩是解决同时含有指数对数的不等式证明得常用方法，值得注意体会和掌握.
87．已知，
（1）令，完成下列表格 ，
0 π 2π
0 1 0 -1 0
1 3 1 -1 1
（2）求出最大值，最小值
（3）根据表中数据绘出草图
【答案】（1）表格见解析；（2）的最大值为，的最小值为；（3）函数图象见解析；
【分析】（1）根据“五点作图法”完成表格；
（2）由（1）表格可知函数的最值；
（3）根据（1）表格中数据画出函数图象；
【详解】解：（1）因为，，所以
0 π 2π
0 1 0 0
1 3 1 1
1 3 1 1
（2）由（1）可知的最大值为，的最小值为；
（3）由（1）可知函数图象如下：
88．在锐角中，，，分别是角，，所对的边，且.
（1）求角的大小；
（2）若，且，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据正弦定理得到，进而可求得，即可解出；
（2）由余弦定理可得，结合三角形面积公式代入计算即可
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理得，
因为，则
又因为是锐角，故；
（2）由余弦定理，得，
所以
又因为，
所以
则．
【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查三角形面积公式的计算，属于中档题．
89．已知函数.
（1）当时，求曲线上在点处的切线方程；
（2）这下面三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.若___________，求实数m的取值范围.
①在区间上是单调减函数；②在上存在减区间；③在区间上存在极小值.
【答案】（1）；
（2）若选①：；若选②： ；若选③：.
【分析】（1）求得和，进而可得切线方程；
（2）若选①，则转化为在区间上恒成立，根据“三个二次”可得结果；
若选②，则转化为在区间上有解，分离变量可得结果；
若选③，求得的极小值点为，解不等式可得结果.
【详解】（1）当时，，所以，
点为切点，，
函数在点处的切线方程为：，即；
（2）∵，
∴若选①：函数在区间上是单调减函数，则有：
在区间上恒成立，即在上恒成立，
∴，解得；
若选②：函数在上存在减区间，则有在区间上有解，
即得在区间上有解，
此时令，显然在区间上单调递减，
所以，故有；
若选③：函数在区间上存在极小值，则函数的极小值点应落在内.
令，求得，，
此时可得，在，上单调递增；在上单调递减；
所以是函数的极小值点，
即得，
当时，不等式恒成立，
当时，，解之可得，
所以.
90．已知椭圆与椭圆有相同的离心率，且椭圆过点
（1）求椭圆的方程.
（2）若直线与椭圆交于、两点，求线段的垂直平分线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）已知得，由离心率得，从而得，再计算出后可得椭圆方程；
（2）由韦达定理得中点坐标，由垂直得斜率，然后可得垂直平分线方程．
【详解】（1）由题意，
椭圆的离心率为，∴，∴，∴，
∴椭圆方程为；
（2）设，
由，得，∴，
设中点为，则，∴．
又，∴的垂直平分线方程为，即．
【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交弦中点问题，解题方法是设而不求的思想方法，即设交点为，由直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理求得，，利用中点坐标公式求得中点的横坐标得中点坐标，再结合斜率可和垂直平分线方程．
91．已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值与最小值.
【答案】（1）；（2）最小值是-3，最大值是.
【分析】（1）先将函数化简整理，得到，从而可得出最小正周期；
（2）由得到，根据余弦函数的单调性，即可得出结果.
【详解】（1）
，
所以函数的最小正周期为.
（2）因为，所以，
于是，
所以，
所以在区间上的最小值是-3，最大值是.
【点睛】本题主要考查余弦型函数的周期，以及余弦型函数在给定区间的最值问题，熟记余弦函数的性质即可，属于常考题型.
92．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2．5标准采用世界卫生组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在3微克/立方米以下的空气质量为一级；在35微克/立方米与75微克/立方米之间的空气质量为二级；在75微克/立方米以上的空气质量为超标．为了解甲、乙两座城市2017年的空气质量情况，从全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取20天的数据作为样本，临测值如以下茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．
（1）在甲、乙两城市共采集的40个样本数据中，从PM2.5日均值在范围内随机取2天的数据，求取到2天的PM2.5均超标的概率；
（2）以这20天的PM2.5日均值数据来估计一年的空气质量情况，则甲、乙两城市一年（按365天计算）中分别约有多少天空气质量达到一级或二级．
【答案】（1）；（2）292天.
【分析】（1）由茎叶图可知从甲乙两城市所采集的40个数据样本中，PM2.5日均值在范围内共有6天，PM2.5日均值为超标有3天记为A，B，C，不超标为x，y，z，列出所有的情况，进而结合古典概型的概率公式计算即可；
（2）抽取20天样本中，甲城市有15天达到一级或二级，乙城市有16天，，可得到对应的频率，进而由样本估计总体可求出答案.
【详解】（1）PM2.5日均值在范围内共有6天，
PM2.5日均值为超标有3天记为ABC，不超标为xyz
从这6天抽取2天有15种情况
，，，，，，，，，，，，，，
由古典概率可知，取到2天均超标．
（2）抽取20天样本中，甲城市有15天达到一级或二级，乙城市有16天，
∴（天）
（天）
【点睛】本题考查茎叶图、平均数的求法、古典概型概率的计算，考查用样本估计总体，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
93．声强级(单位:dB)由公式给出,其中I为声强(单位:).
(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为,能听到的最低声强为.求人听觉的声强级范围.
(2)平时常人交谈时的声强约为,求其声强级.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)分别代入与求解即可.
(2)代入求解即可.
【详解】解:(1).
.
因此人听觉的声强级范围为.
(2).
【点睛】本题主要考查了对数的实际运用,需要根据题意代入对应的数值进行计算,属于基础题.
94．已知为第二象限角，且.
（1）求，的值；
（2）求的值.
【答案】（1）,；（2）4.
【分析】（1）根据，解出，，求出，根据正切的二倍角公式求出；
（2）化简得到，从而求出答案.
【详解】（1）因为且，
解方程组得到，（舍去）或，
所以
；
（2）=4.
【点睛】主要是考查了三角函数的化简与求值的运用，属于基础题。
95．如图，在正四棱柱中，，，E，M，N分别是，，的中点.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为，由正四棱柱，可知为点到平面的高，结合已知，即可求得答案；
（2）取AD的中点Q，连接NQ，BQ，证明且，可得为异面直线MN与所成角(或其补角)，求解三角形可得再由余弦定理可得异面直线MN与所成角的余弦值.
【详解】（1），
在正四棱柱中
平面，即为点到平面的高
（2）取的中点Q，连接，
N为的中点
且，
M为的中点，
，且
且
四边形是平行四边形，
且
同理可证且
且
为异面直线与所成角(或其补角).
在正方形中，，E为中点
.
异面直线与所成角的余弦值为.
【点睛】关键点睛：本题考查了求异面直线夹角问题，解题关键是将求两条异面直线夹角问题转化为求共面直线夹角，结合余弦定理进行求解.
96．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在，它的内角所对的边分别为，面积为，且，_____________
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
【答案】答案见解析
【分析】先根据三角形面积公式以及余弦定理求解出的值；若选①：先用正弦定理求解出的值，然后分析的大小并求的值，然后根据两角和的正弦公式可求的值；若选②：先用正弦定理求解出的值，然后计算的值，最后根据两角和的正弦公式可求的值，注意分类讨论；若选③：先根据正弦定理计算的值，得到，故判断三角形不存在.
【详解】因为，由余弦定理，
可得，
由，得
所以.
选①：由正弦定理得，
代入中得，
又，得是一个锐角，故，
所以.
选②：由得，
代入中得，
则当时，
当，
当时，
当，
选③：由得，所以不存在.
97．已知，求的值．
【答案】
【解析】根据诱导公式和二倍角公式，化简已知为，将所求式中的2，用替换，整理化为齐二次分式，分子、分母同除以，化弦为切，即可求解
【详解】解：因为
，
所以
．
【点睛】本题考查已知三角函数值求值问题，解题的关键是化简，涉及到诱导公式、二倍角公式，以及齐次分式化弦为切的方法，属于中档题.
98．已知函数，．
（1）求函数的极大值；
（2）求证：；
（3）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设函数，试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请加以证明，并求出，的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2）证明见解析 （3）存在
【分析】（1）求出函数得到函数大单调性，从而得到函数的极大值.
（2）由（1）可得，即，然后可得，，，相加可证明.
(3) 与的图象在 处有公共点,设函数与存在“分界线” ,由令，由求出参数的值，再证明成立即可.
【详解】（1），则
由，可得 ，，可得
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以当时，有极大值
（2）由（1）可知，为的最大值，即
所以，即（当且仅当时等号成立）
令，则，取，则，即
则，，
由上面不等式相加得
即
即
（3）设 ，则
当时，，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以
即与的图象在 处有公共点
设函数与存在“分界线”
令
由，即在上恒成立，
即在上恒成立，
成立，而，
所以 ，则
再证明，即恒成立.
设，则
当时，，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以当时，有最大值，即
所以恒成立.
综上所述，可得且
故函数与存在 “分界线”，此时
【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，利用导数证明不等式，考查恒成立求参数，考查转化思想的应用，属于难题.
99．设为实数，集合，.
(1)若，求，；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)，或
(2)或
【分析】（1）利用并集及交集和补集运算法则进行计算；（2）根据交集结果比较端点值的大小求解实数的取值范围.
(1)
当时，，又
所以，
所以或.
(2)
由，则，由，
则或
即或
当时，实数的取值范围是或.
100．已知函数.
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）求在区间上的最大值.
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）由恒成立，则分离变量可得恒成立，再设，然后求其最大值即可得解；
（2）由二次型函数的动轴定区间问题，分别讨论当时，当时， 当时，函数在的最大值即可得解.
【详解】解：（1）因为，
又，即，
即，
即，
即恒成立，
令，则 ，
则，
则，
设，
易得在为减函数，在为增函数，
又，，所以，
即，
即的取值范围为；
（2）由，
又，所以，
令，则 ，
则，
①当即时，函数在为增函数，即，
②当即时，函数在为减函数，即，
③当即时，函数在为增函数，在为减函数，即，
综合①②③可得.
【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，主要考查了二次型函数动轴定区间问题，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页高中数学高考复习综合训练100题（含答案解析）
一、单选题
1．已知,且,则
A．0 B． C． D．1
【答案】B
【解析】首先利用同角三角函数的基本关系求出，再由，利用两角和的余弦公式即可求解.
【详解】由,且,
所以，
所以.
故选：B
【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式，属于基础题.
2．福利彩票“双色球”中红色球的号码可从编号为01，02，…，33的33组数中随机选取，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的号码，选取方法是从下列随机数表中第1行第6列的数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的号码为（ ）
A．23 B．09 C．02 D．17
【答案】C
【解析】根据随机数表的使用规则逐个选出，剔除不符合范围的，即可得解.
【详解】从随机数表第1行第6列的数字开始由左到右依次选取两个数字，因为福利彩票“双色球”中红色球的号码可从编号为01，02，…，33的33组数中随机选取，剔除不符合的，则选出的6个红色球的编号依次为21，32，09，16，17，02，故选出的第6个红色球的编号为02.
故选：C.
【点睛】本题考查了随机数表的用法，属于基础题.
3．在矩形ABCD中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由平面向量的线性运算可得，再由平面向量数量积的运算法则计算即可得解.
【详解】由题意作出图形，如下图，
所以
.
故选：C.
4．若直线与直线互相垂直，则的值为（ ）
A． B． C．0或 D．1或
【答案】D
【分析】利用两条直线垂直的充要条件列出方程，求出的值．
【详解】，
，即，
解得或.
故选：D．
【点睛】本题考查两直线垂直的充要条件，考查运算求解能力，求解时注意与垂直这一条件的应用.
5．设是椭圆的左 右焦点，若椭圆上存在一点P，使（O为坐标原点），且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由向量的关系可得，由椭圆的定义及，可得，的值，在直角三角形中，由勾股定理可得，的关系，进而求出椭圆的离心率．
【详解】解：设的中点为，由，即，所以，
连接可得，所以，
可得，
又因为，
所以，，
在中，，
即，可得：，
解得，
故选：．
6．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据指数幂的运算性质逐项检验可得正确的选项.
【详解】对于A，，故A错.
对于B，，故B错.
对于C，，故C正确.
对于D，，故D错误.
故选：C.
【点睛】本题考查指数幂的运算，此类问题，熟记运算规则是关键，本题属于基础题.
7．下列各角中与终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据终边相同的角的概念可得出合适的选项.
【详解】，，，，
因此，只有A选项中的角与终边相同.
故选：A.
8．已知函数，给出下列四个命题：①图象的两条相邻对称轴间的距离为；②的图象关于直线对称；③在区间上是增函数；④将的图象向右平移个单位后，的图像关于y轴对称，其中正确的命题为（）
A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④
【答案】C
【分析】由条件利用正弦函数的周期性单调性，以及图像的对称性，的图像变换规律，得出结论.
【详解】函数的周期，两个相邻的对称轴之间的距离为，故①错误；
令，可得，因此的图象关于直线对称，故②正确；
当时，，可知为增函数，故③正确；
将的图象向右平移个单位后，可得到的图像不关于轴对称，故④错误.
故选：.
【点睛】本题主要考查的是正弦函数图像和性质，根据三角函数的对称性是解决本题的关键，是中档题.
9．函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】在同一直角坐标系中作出函数与的图象，将函数的零点个数转化为函数的交点问题，数形结合可得.
【详解】解：函数的零点个数，即的解得个数，等价于与的交点个数，在同一平面直角坐标系中作出函数图象，由图可知两函数只有一个交点，故函数有一个零点,
故选：
【点睛】本题考查函数的零点问题，数形结合思想，属于基础题.
10．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且与，的夹角都等于．若是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，，，根据向量的线性运算表示出，平方后利用向量的数量积运算即可求解.
【详解】记，，，
因为，，
所以，．
又因为，，
所以，．
易得，
所以，
所以．
故选：A
【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量的数量积运算及性质，考查了运算能力，属于中档题.
11．若直线与圆没有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－4，4） B．（－2，2）
C．（－∞，－4）U（4，＋∞） D．
【答案】D
【分析】由题设知圆心到直线的距离大于圆的半径，应用点线距离公式列不等式求a的取值范围.
【详解】由题设，圆心为，半径为2，
因为直线与圆没有公共点，
所以，可得或.
故选：D
12．若集合，，则
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出集合、，再利用交集的定义可求得集合.
【详解】由题意得集合，
，
因此，.
故选：B.
【点睛】本题考查集合的交集运算，同时也考查了指数不等式与绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.
13．已知集合，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】化简集合N，根据并集运算即可.
【详解】由，解得
，
，
故选：D
【点睛】本题主要考查了二次不等式，集合的并集，属于容易题.
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆E交于A，B两点.若四边形面积的最大值为8，则a的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【分析】当直线与x轴垂直，即时，四边形的面积最大，由面积公式及基本不等式求解即可.
【详解】设椭圆E的半焦距为c.直线过原点，
当其与x轴垂直，即时，四边形的面积最大，此时，
所以，
所以，当且仅当时等号成立.
故
故选：C
【点睛】本题考查椭圆的标准方程和几何性质，利用基本不等式求最值，属于中档题.
15．某校将5名插班生甲、乙、丙、丁、戊编入3个班级，每班至少1人，则不同的安排方案共有（ ）
A．150种 B．120种 C．240种 D．540种
【答案】A
【分析】根据题意，分2步分析：先将5名插班生分为3组，有2种分组方法，①分为3、1、1的三组，②分为2、2、1的三组，由组合数公式可得其分组方法数目，由分类计数原理将其相加可得分组的情况数目，第二步，将分好的三组对应3个不同的班级，由排列数公式可得其对应方法数目,由分步计数原理计算可得选项．
【详解】由题意可知，可分以下两种情况讨论，①5名插班生分成：， ，1三组；②5名插班生分成：，，三组，
当5名插班生分成：， ，1三组时，共有种方案；
当5名插班生分成：，，三组时，共有种方案；
所以，共有种不同的安排方案.
故选：A.
【点睛】本题主要考查两个基本原理和排列组合，在对排列、组合的综合问题时，一般先组合再排列，属于中档题.
16．已知，是双曲线的两条渐近线，直线经过的右焦点，且，交于点，交于点，若，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据直线平行，可设直线的方程，通过联立得点，的横坐标，求出的表达式，从而可解不等式组得到的取值范围.
【详解】由题意可知，，不妨记，，
由且经过的右焦点可得的方程为，
与的方程联立可解得，
与的方程联立得，
所以，
解得，.
故选：B.
【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.
17．已知x∈（e﹣1，1），令a＝lnx，b，c＝elnx，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【答案】A
【分析】根据为增函数,可得,根据为递减函数,可得,根据对数恒等式可得.
【详解】因为,且为增函数,所以,
因为且为递减函数,所以,
,
所以.
故选:A
【点睛】本题考查了根据对数函数和指数函数的性质比较大小,关键是找中间值进行比较,属于基础题.
18．要得到函数的图像,可以将函数的图像沿轴
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】C
【解析】由，根据三角函数的变换规则即可判断.
【详解】解：∵,
∴将函数的图像上的所有点向左平移个单位,可得到函数的图像.
故选：
【点睛】本题考查三角函数的变换，属于基础题.
19．已知实数，，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】首先求出当时，，再由充分条件、必要条件的定义即可得出选项.
【详解】若，则，
当时，推不出；反之，成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：A
20．函数在区间上的最大值、最小值分别是（ ）
A．， B．，1 C．， D．1，
【答案】D
【分析】根据反比例函数的单调性即可解得最值.
【详解】易知函数在区间是单调递减函数，
因此当时，函数的最大值为，
当时，函数的最小值为.
故选.
【点睛】本题考查函数单调性的应用，对于反比例函数当时为减函数，当时为增函数，是基础题.
21．程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数，其中A的各位数中，，（2，3，4，5）出现0的概率为，出现1的概率为，记，当程序运行一次时，ξ的数学期望为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知的可能取值是1，2，3，4，5，结合变量对应的事件和独立重复试验公式求出概率（以为例，当时，表示后四个数字中恰好出现了3个，然后算出期望．
【详解】由题意知的可能取值是1，2，3，4，5
当时，表示后四个数字都是0，，
当时，表示后四个数字中有一个1，
同理可得：
，
故选：B
【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查独立重复试验的概率公式，是一个综合题，解题的关键是读懂题意．
22．已知等差数列的前n项和为，，若，且，则m的值是
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】由等差数列性质求出，由等差数列前n项可求得m．
【详解】∵是等差数列，∴，，
∴，．
故选：C．
【点睛】本题考查等差数列的性质与前n项公式，掌握等差数列的性质是解题基础．
23．已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（ ）
A． B．4 C．8 D．或8
【答案】D
【分析】根据函数的解析式作出函数在时图象，换元解方程可得或，利用图象求出交点对应横坐标，注意利用函数为奇函数图象关于原点对称，分与两种情况讨论，数形结合即可求解.
【详解】作出函数在时的图象，如图所示，
设，
则关于的方程的方程等价于
解得：或，
如图，
当t=1时，即对应一个交点为，方程恰有4个不同的根，可分为两种情况:
（1），即对应3个交点，且 ，
此时4个实数根之和为8；
（2），即对应3个交点，且 ，
此时4个实数根之和为.
故选：D
【点睛】解决此类问题的关键有两点，第一换元后对方程等价转化求解或，
第二结合函数图象处理方程有四个根，即要转化为数形结合，看图象交点的个数及横坐标即可求解.
24．下列四组对象中能构成集合的是（ ）.
A．本校学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点
C．很小的实数 D．倒数等于本身的数
【答案】D
【分析】根据集合中元素具有确定性判断选项即可得到结果.
【详解】集合中的元素具有确定性，对于，学习好、非常近、很小都是模糊的概念，没有明确的标准，不符合确定性；
对于，符合集合的定义，正确.
故选：.
【点睛】本题考查集合的定义，关键是明确集合中的元素具有确定性，属于基础题.
25．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数与指数函数的值域及复合函数定义即可求出.
【详解】解：由二次函数的性质可知，因此，即函数的值域为.
故选：.
【点睛】本题考查指数型复合函数的值域，属于基础题.
26．若，，则是的条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】利用充分性与必要性定义判断即可.
【详解】由题意可得
∴是的充分不必要条件
故选A
【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“ ”为真，则是的充分条件．
2．等价法：利用 与非 非， 与非 非， 与非 非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若 ，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．
27．在平面直角坐标系中，若双曲线(，)的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可.
【详解】双曲线(，)的右焦点到一条渐近线的距离为
可得： 可得 ，即
所以双曲线的离心率为： .
故选:B.
【点睛】本题考查双曲线的简单性质，焦点坐标，渐近线方程，还运用双曲线中焦点到渐近线的距离为以及点到直线的距离公式：.
28．下面诱导公式使用正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式的法则“奇变偶不变，符号看象限”，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误.
故选：C
29．如图，正方体的棱长为，是棱的中点，是四边形内一点（包含边界）．若平面，且线段长度的最小值为，则（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】过点作的平行线，交于点，交于点，连接，证明点轨迹是线段，然后根据勾股定理求得后可得最小值，由此求得．
【详解】如图，过点作的平行线，交于点，交于点，则底面，连接，平面，则，所以，
∵平面，/平面，，平面，
∴平面平面，又平面，∴平面．
又平面平面，平面，∴，
为的中点，∴为的中点，则为的中点，即在线段上（包含端点），
∴，∴，∴，，
故选：B．
30．已知正方体，点是棱的中点，设直线为，直线为.对于下列两个命题：①过点有且只有一条直线与、都相交；②过点有且只有一条直线与、都成角.以下判断正确的是（ ）
A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题
【答案】B
【分析】作出过P与两直线相交的直线l判断①；通过平移直线a，b，结合异面直线所成角的概念判断②．
【详解】解：直线AB与A1D1 是两条互相垂直的异面直线，点P不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：
取BB1的中点Q，则PQ∥A1D1，且 PQ＝A1D1，设A1Q与AB交于E，则点A1、D1、Q、E、P共面，
直线EP必与A1D1 相交于某点F，则过P点有且只有一条直线EF与a、b都相交，故①为真命题；
分别平移a，b，使a与b均经过P，则有两条互相垂直的直线与a，b都成45°角，故②为假命题．
∴①为真命题，②为假命题．
故选：B．
【点睛】本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想，是中档题．
31．已知函数，函数，直线分别与两函数交于、两点，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】设，，则可以用表示，利用导数可求的最小值.
【详解】设，，则，，消去得．
所以，其中.
令，，
则，
当时，，当时，．
故在上为减函数，在上为增函数，
所以，所以的最小值为．
故选：A．
【点睛】思路点睛：水平直线截不同曲线所得线段的长度的计算，需结合曲线方程的形式合理选择变量去构建长度的计算公式，而长度的最值的计算可利用导数来处理.
32．用表示投掷一枚均匀的骰子所得的点数，利用的分布列求下列事件的概率，其中错误的是（ ）
A．掷出的点数是偶数的概率为； B．掷出的点数超过1的概率为；
C．掷出的点数大于3而不大于5的概率为； D．的期望为．
【答案】C
【分析】根据等可能事件的概率计算可判定ABC；列出分布列，利用期望值公式计算从而判定D.
【详解】的值可以为1、2、3、4、5、6，取每一个值的概率都相等，
X的分布列为：
X 1 2 3 4 5 6
P
X为偶数的情况由3种，其概率为，故A正确；
X超过1的有5种，其概率为，故B正确；
X大于3不大于5的有4、5两种，其概率为，故C错误；
X期望值为,
故D正确.
故选：C.
33．下列说法错误的是（ ）
A．回归直线过样本点的中心
B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1
C．在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位
D．对分类变量X与Y，随机变量的观测值越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小
【答案】D
【分析】利用线性回归的有关知识逐一分析各个选项即可得出答案．
【详解】解：A．回归直线过样本点的中心，正确；
B．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，因此正确；
C．在线性回归方程中，当x每增加1个单位时，预报量平均增加0.2个单位，正确；
D．对分类变量X与Y的随机变量的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”可信程度越大，因此不正确．
综上可知：只有D不正确．
故选：D．
34．下面问题中，是排列问题的是（ ）
A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数
B．从40人中选5人组成篮球队
C．从100人中选2人抽样调查
D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合
【答案】A
【分析】根据排列与排列数的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】根据排列及排列数的定义，可得：
对于A中，由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数，符合排列的定义，是排列问题；
对于B中，从40人中选5人组成篮球队，与顺序无关的问题，不是排列问题；
对于C中， 从100人中选2人抽样调查，与顺序无关的问题，不是排列问题；
对于D中， 从1，2，3，4，5中选2个数组成集合，与顺序无关的问题，不是排列问题.
故选：A.
35．已知集合，，若，则实数a的值为
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据集合元素的互异性和交集的定义，可得方程组或即可得答案；
【详解】由题意可得或
，
故选：B.
【点睛】本题考查根据交集的结果求参数，考查运算求解能力，求解时注意集合元素的互异性.
36．已知M，N为单位圆O∶上的两个动点，且满足，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设MN中点为E，利用泛极化公式把转化为，再判断出E的轨迹为圆，可求出的范围.
【详解】解析：设MN中点为E，则，
因为，所以点E在以O为圆心，为半径的圆上运动.
故；所以.
故选:A
【点睛】平面向量中与动点有关的最值问题一般的求解思路：
①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值；
②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值.
37．在各项为正的递增等比数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设其公比为，由等比数列通项公式得，进而得，解得或，再根据数列单调性即可得，进而得
【详解】为等比数列，设其公比为，
，则，
，
，
即，
解得或，
又各项为正且递增，
，
．
故选：B．
【点睛】本题解题的关键是先根据题意得，进而将转化为求，考查运算求解能力，是中档题.
38．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称
C．的最大值为 D．的图象关于直线对称
【答案】D
【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图像和性质判断各个选项是否正确，从而得出结论.
【详解】解：
对于选项，因为，故不正确；
对于选项，因为，故不正确；
对于选项，因为当时，，故不正确；
对于选项，因为，是的最大值，
所以的图象关于直线对称，故正确.
故选：D.
【点睛】本题主要考查三角恒等变换和正弦函数的图像和性质，属于中档题.
39．在正项等比数列中，若，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】根据等比数列的性质可得，由题意，解得，再根据等比数列通项公式求得公比，从而得到数列的通项公式.
【详解】在等比数列中，
，解得或
当时，，
，
；
当时，，
，
综上所述：或，
故选：C.
【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．
40．对高三某班级的学生进行体能测试，所得成绩统计如下图所示，则该班级学生体能测试成绩的中位数为（ ）
A．80 B．85 C．82.5 D．83
【答案】C
【分析】由频率确定中位数在80至90之间，然后由比例计算可得．
【详解】解：依题意，成绩不大于80分的概率为，而成绩在区间的概率为0.4，因此中位数在80至90之间，
所求中位数为，
故选：C．
41．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，现有如下说法：①至少有一个黑球与都是黑球是互斥而不对立的事件；②至少有一个黑球与至少有一个红球不是互斥事件；③恰好有一个黑球与恰好有两个黑球是互斥而不对立的事件；④至少有一个黑球与都是红球是对立事件.在上述说法中，正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用互斥事件和对立事件的定义逐个判断即可
【详解】①“至少有一个 黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故错误.
②“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故正确.
③“恰好有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故正确.
④“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故正确.上述说法中，正确的个数为3.
故选：C
【点睛】此题考查互斥事件和对立事件的判断，属于基础题
42．已知，其部分图象如图所示，则的解析式为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据图像可得函数周期，最值，则可得，再根据五点作图法求得即可.
【详解】由图可知，解得；
又因为，故可得；
由五点作图法可知，解得，
故.
故选：D.
【点睛】本题考查由正弦型函数的图像求解函数解析式，属基础题.
43．双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由双曲线的离心率可求出的关系，从而可求出椭圆的离心率
【详解】解：因为双曲线的离心率为，
所以，得，
所以椭圆的离心率，
故选：C
44．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简集合B，利用并集概念及运算即可得到结果.
【详解】由题意可得：
又
∴
故选：C
【点睛】本题考查并集的概念及运算，考查分式不等式的解法，属于基础题.
45．已知椭圆和双曲线有相同焦点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出椭圆和双曲线的半焦距即得解.
【详解】由题得椭圆的半焦距为，
双曲线的半焦距为，
所以.
故选：A
46．下列说法错误的是（ ）
A．“若，则”的逆否命题是“若，则”
B．“”是“”的充分不必要条件
C．“，”的否定是“，”
D．若“”为假命题，则均为假命题
【答案】D
【分析】根据逆否命题的定义、集合间的关系、全称命题的否定、为假命题的定义，对选项进行一一验证，即可得答案.
【详解】对A，根据逆否命题的定义可知命题正确，故A正确；
对B，若，则或，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确；
对C，因为全称命题的否定是特称命题，且将结论否定，故C正确；
对D，若“”为假命题，则、中只要有一个为假命题，故D错误.
故选：D.
【点睛】本题考查命题真假性的判断，考查对概念的理解与应用，属于基础题.
47．已知实数a，b，c，若a>b，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直接利用不等式的基本性质即可.
【详解】由可判断A错误，
由可判断BD错误，
由不等式的性质易知C正确.
故选：C.
【点睛】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题的关键，属于基础题.
48．若函数f(x)和g(x)分别由下表给出：
x 1 2 3 4 x 1 2 3 4
f(x) 2 3 4 1 g(x) 2 1 4 3
满足g(f(x))＝1的x值是（ ）．A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】从外到内逐步求值．
【详解】解：∵g(f(x))＝1，
∴f(x)＝2，
∴x＝1，
故选：A．
【点睛】本题主要考查函数的表示法——列表法，属于基础题．
49．是坐标原点，已知，，．若点M为直线上一动点，当取得最小值时，此时（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】可设，可得，然后，根据向量数量积的坐标运算得到为二次函数，利用二次函数的性质可求出，进而得到，最后求得
【详解】由已知得，因为点M为直线上一动点，所以，可设，
得到，则，，
则，当且仅当时，取得最小值，此时，可得，所以，，得到.
故选：A
50．下列命题中正确的是（ ）
A．当时，函数的图像是一条直线；
B．幂函数的图像都经过和点；
C．幂函数的定义域为；
D．幂函数的图像不可能出现在第四象限．
【答案】D
【分析】根据幂函数的性质依次分析各选项即可得答案.
【详解】解：对于A，时，函数的图像是一条直线除去点，故错误；
对于B，幂函数的图像都经过点，当指数大于时，都经过点，当指数小于时，不经过点，故B错误；
对于C，函数，故定义域为，故错误；
对于D，由幂函数的性质，幂函数的图像一定过第一象限，不可能出现在第四象限，故正确.
故选：D.
二、填空题
51．已知函数，则的值为______．
【答案】3
【解析】根据解析式求出，再求出即可.
【详解】，
，
.
故答案为：3
52．在等差数列中，若，则该数列的前2021项的和为_______.
【答案】
【分析】根据等差数列的性质和求和公式，得到，即可求解.
【详解】由题意，等差数列中，，
所以，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数的前项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质和求和公式是解答的关键，着重考查推理能力和计算能力，属于基础题.
53．过点，且与直线垂直的直线方程为______.
【答案】
【分析】先由垂直关系求出所求直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程
【详解】解：因为所求直线与直线垂直，
所以所求直线的斜率为，
因为所求直线过点，
所以所求直线方程为，即，
故答案为：
【点睛】此题考查两直线的位置关系，考查直线方程的求法，属于基础题
54．若的展开式中常数项为________.
【答案】28
【分析】求出展开式d 通项，令的指数为0即可求出.
【详解】的展开式的通项为，
令，解得，
则展开式的常数项为.
故答案为：28.
55．函数是定义在上的奇函数，并且满足，当时，，则__________.
【答案】
【分析】根据已知条件，可求函数的周期性，对称性，以及的值，利用函数函数的周期性，奇偶性进行计算即可.
【详解】解：因为，故，则函数的周期是2，
又函数是定义在上的奇函数，则；
则，，
当时，，则，
则.
故答案为：.
56．函数的定义域为，的定义域为，则__________
【答案】
【分析】根据解析式，先分别求出定义域，再求交集，即可得出结果.
【详解】因为，所以，解得，则；
又，所以，解得，则，
因此.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查求集合的交集，考查求具体函数的定义域，属于基础题型.
57．已知定义在上的奇函数满足，则______.
【答案】0
【分析】由奇函数的性质可得函数f（x）是周期为4的周期函数，再根据对数的运算性质即可求得．
【详解】根据题意，f（x）为奇函数，则有f（﹣x）＝﹣f（x），
又由f（x）＝f（2﹣x），则有f（2﹣x）＝﹣f（﹣x），即f（x+2）＝﹣f（x），
变形可得：f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，
则，
故＝0．
【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，以及对数的运算性质应用．
58．如图，半圆O的半径为1，A为直径所在直线上的一点，且，B为半圆弧上的动点．将线段AB绕点A顺时针旋转得到线段AC，则线段OC长度的最大值是__________．
【答案】
【分析】以点为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，设，则，即可表示出点坐标，从而得到，再根据向量模的坐标计算、三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：如图以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，则，，则，
过点、分别作轴、轴，交轴于点、，显然与全等，所以，，
从而得到，即，
所以
所以当，即时
故答案为：
59．有一批材料可以建成200m长的围墙，若用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形的地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（墙的长度足够用），则围成的整个矩形场地的最大面积是_______________.
【答案】
【解析】设每个小矩形长为米，宽为米，则依题意可知，代入矩形的面积公式，根据基本不等式求出围成矩形面积的最大值．
【详解】如图所示：
设每个小矩形长为米，宽为米，显然，则依题意可知，
设围成的整个矩形场地的面积为，
所以，当且仅当时取等号，即当时取等号，因此.
故答案为：
60．直线的倾斜角的取值范围是_______.
【答案】
【分析】根据直线斜率，可知，结合可求得结果.
【详解】由知：直线斜率，
设直线倾斜角为，则，又，.
故答案为：.
61．若，且，则与2的大小关系是______．
【答案】
【分析】由基本不等式求得，当且仅当是等号成立，根据，所以等号不成立，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，因为且，所以，且，
由基本不等式可得，当且仅当是等号成立，
又由，所以等号不成立，所以.
故答案为.
【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”，以及熟练应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
62．使得成立的一组，的值分别为_____.
【答案】，（不唯一）
【分析】使得成立，只需，举例即可.
【详解】使得成立，只需，
所以,，
使得成立的一组，的值分别为，
故答案为：，（不唯一）
63．已知函数，，若，则的取值范围为 ______.
【答案】或
【分析】讨论和两种情况，代入计算得到答案.
【详解】函数，
当时：
考虑定义域：，故；
当时：
考虑定义域：，故.
综上所述：或
故答案为或
【点睛】本题考查了分段函数不等式，忽略掉定义域是容易发生的错误.
64．在中，，，为的重心，则________．
【答案】6
【分析】根据三角形重心的性质转化为，以及，再求数量积.
【详解】如图，点是的中点，
为的重心，，，
所以
故答案为：6
【点睛】本题考查向量数量积，重心，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型.
65．函数的部分图象如图所示，则的值是______．
【答案】
【分析】利用的周期求，过点求
【详解】由图象可知，，，．
在图象上，则，，
，，
，．
故答案为：
【点睛】本题考查的是利用函数的图象求其解析式，较简单.
66．已知，则与方向相同的单位向量________________.
【答案】
【解析】首先设单位向量，由题意列出关于的方程组，求解.
【详解】，
设 ，
由题意可知 ，解得： 或
与的方向相同，
.
故答案为：
【点睛】本题考查根据向量的关于求向量，意在考查基本公式和计算能力，属于基础题型.
67．下列各组中两函数相等的有____.
①
②
③
④
【答案】④
【解析】分别看的定义域和解析式是否相同即可.
【详解】对于①，的定义域都为，但解析式不一样，故不相等；
对于②，的定义域为，的定义域为，故不相等；
对于③，的定义域为，的定义域为，故不相等；
对于④，的定义域都为，且解析式可化为一样，故相等；
故答案为：④
68．已知向量的夹角为，，则_______.
【答案】
【分析】根据计算可得结果.
【详解】
.
故答案为：
69．已知数列是等比数列，，，则___________.
【答案】
【解析】利用等比数列的性质：若，则，即可求解.
【详解】由数列是等比数列，，，
则，所以.
故答案为：
70．已知函数，对定义域内的任意都有，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】不等式分离变量,等价变形为，构造函数，函数求导，求出单调区间，可得函数最小值.
【详解】∵，∴，，也即在时恒成立.
令，，则，，令.易知在上单调递减，在上单调递增，
故，∴.
故答案为：
【点睛】本题考查数的单调性及不等式恒成立问题转化为函数最值问题.
不等式恒成立问题的求解方法：(1)已知不等式(为实参数)对任意的恒成立，求参数的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法， (2)如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解.
三、解答题
71．如图，在直径为1的圆中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中．
（1）将十字形的面积表示成的函数；
（2）求十字形的最大面积．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）设十字形面积为，易知，然后将代入求解.，
（2）由（1）的结论，利用二倍角的正弦和余弦公式，结合辅助角公式得到，再利用正弦函数的性质求解.
【详解】（1）设十字形面积为，
如图所示：
所以，
（2），
（设为锐角且），
当，即时，最大．
即当时，十字形取得最大面积，
．
【点睛】本题主要考查几何图形面积的求法以及数据恒等变换和三角函数性质的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
72．已知函数.
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）求在区间上的最大值.
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）由恒成立，则分离变量可得恒成立，再设，然后求其最大值即可得解；
（2）由二次型函数的动轴定区间问题，分别讨论当时，当时， 当时，函数在的最大值即可得解.
【详解】解：（1）因为，
又，即，
即，
即，
即恒成立，
令，则 ，
则，
则，
设，
易得在为减函数，在为增函数，
又，，所以，
即，
即的取值范围为；
（2）由，
又，所以，
令，则 ，
则，
①当即时，函数在为增函数，即，
②当即时，函数在为减函数，即，
③当即时，函数在为增函数，在为减函数，即，
综合①②③可得.
【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，主要考查了二次型函数动轴定区间问题，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.
73．已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于，两点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）设，是抛物线上的不同两点，且轴，直线与轴交于点，再在轴上截取线段，且点介于点点之间，连接，过点作直线的平行线，证明是抛物线的切线.
【答案】（1）；（2）见解析.
【分析】（1）分过点的直线斜率存在和不存在两种情况，设过点的直线方程为，，联立，求得两根只和，两根之积，再根据半焦距公式几块求得p，从而得出答案；
（2）不妨设点P在第一象限，则，设直线PQ的方程为，，求得点G的坐标，根据，可求得点E的坐标，从而可求的PE的斜率，联立，求得点Q的坐标，从而可得直线l的方程，联立消元，利用根的判别式即可得证.
【详解】（1）解：设过点的直线方程为，，
联立，得，
则，
所以，
，
因为，
所以，
化简得，所以，
当过点的直线斜率不存在时，则，
故，
又因为，
则，所以，
综上所述，，
所以；
（2）证明：不妨设点P在第一象限，
则，
设直线PQ的方程为，，
联立，消元整理得，
则，即故，即，
当时，，则，
又因，且点介于点点之间，则为的中点，
所以，
则直线的斜率为，
因为直线平行直线，
所以直线的斜率为，
故直线的方程为，即，
联立，消元整理得，
，
所以直线l与抛物线只有一个交点，
有直线l斜率不为0，
所以是抛物线的切线.
74．已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值与最小值.
【答案】（1）；（2）最小值是-3，最大值是.
【分析】（1）先将函数化简整理，得到，从而可得出最小正周期；
（2）由得到，根据余弦函数的单调性，即可得出结果.
【详解】（1）
，
所以函数的最小正周期为.
（2）因为，所以，
于是，
所以，
所以在区间上的最小值是-3，最大值是.
【点睛】本题主要考查余弦型函数的周期，以及余弦型函数在给定区间的最值问题，熟记余弦函数的性质即可，属于常考题型.
75．如图所示，在三棱柱中，，，四边形为菱形，，，D为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）证明，，则平面即得证；
（2）取中点为E，连结，，证明平面，以E为坐标原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）由，则有，又D为的中点，所以，
由，则有，，
又，
所以，
则可知，
又有，平面，所以平面；
（2）取中点为E，连结，，
由，则有，
又易知，
则有，所以，
又可知，，平面，则平面，
如图，以E为坐标原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
有，，，，，
由，则有平面，
所以，
又，，
所以平面，
所以平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则有，即，
可取，
记二面角为，
则.
故二面角的余弦值为．
76．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，证明：.
【答案】（1）；（2），在单调递减；，在单调递增，在单调递减；（3）证明见解析.
【分析】（1）求得导函数，利用导数的几何意义得到切线的斜率，进而得出切线方程；
（2）分类讨论，函数的定义域，在定义域内研究讨论导数的正负，进而得到单调性；
（3）解法1：等价转化为.先将不等式左边看成以a为自变量的函数，设，利用导数研究其单调性，进而得到
.由（1）可知，当时，，得，然后利用放缩证得；
解法2：（3）不等式等价于.
由（1）可知，当时，，得，先利用，得到，从而为证原不等式，只需证
构造函数，利用导数研究其单调性，进而得证.
【详解】（1），则，
于是点处切线方程为：，即.
（2）若，则定义域，，在单调递减.
若，则定义域为，.
由得，由得，所以在单调递增，在单调递减.
解法1：（3）不等式等价于.
设，.
设，则，所以.
而，所以，在单调递减，所以.
由（1）可知，当时，，得.所以
.
因此当时，.
解法2：（3）不等式等价于.
由（1）可知，当时，，得，从而.
设，在单调递增.
因为，所以当时，，当时，.
所以.因此.
所以当时，.
【点睛】利用，进行放缩是解决同时含有指数对数的不等式证明得常用方法，值得注意体会和掌握.
77．已知，求的值．
【答案】
【解析】根据诱导公式和二倍角公式，化简已知为，将所求式中的2，用替换，整理化为齐二次分式，分子、分母同除以，化弦为切，即可求解
【详解】解：因为
，
所以
．
【点睛】本题考查已知三角函数值求值问题，解题的关键是化简，涉及到诱导公式、二倍角公式，以及齐次分式化弦为切的方法，属于中档题.
78．某大学为调研学生在、两家餐厅用餐的满意度，从在、两家都用过餐的学生中随机抽取了人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为分.整理评分数据，将分数以为组距分为组：、、、、、，得到餐厅分数的频率分布直方图和餐厅分数的频数分布表：
（1）在抽样的人中，求对餐厅评分低于的人数；
（2）从对餐厅评分在范围内的人中随机选出人，求人中恰有人评分在范围内的概率.
（3）如果从、两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由.
【答案】（1）20人；（2）；（3）选择餐厅用餐，理由见解析.
【分析】（1）由餐厅分数的频率分布直方图得频率，从而得人数；
（2）对餐厅评分在范内的有人，记为、，对餐厅评分在范围内的有人，记为、、，用列举法写出任选2人可能，计数后可计算出所求概率；
（3）由（1）（2）比较得分低于30分的人数可得结论．
【详解】（1）由餐厅分数的频率分布直方图，得对餐厅评分低于分的频率为：
，
∴对餐厅评分低于的人数为人，
（2）对餐厅评分在范内的有人，设为、，
对餐厅评分在范围内的有人，设为、、，
从这人中随机选出人的选法为：
、、、、、、、、、，共种，
其中恰有人评分在范围内的选法包括：
、、、、、，共种，
故人中恰有人评分在范围内的概率为，
（3）从两个餐厅得分低于分的人数所占的比例来看，由（1）得，抽样的人中，
餐厅评分低于的人数为，
∴餐厅评分低于分的人数所占的比例为，
餐厅评分低于分的人数为，
∴餐厅得分低于分的人数所占的比例为，
∴会选择餐厅用餐.
79．已知函数，其中是自然对数的底数.
(1)当时，求函数的导函数的单调区间；
(2)若函数有两个不同极值点，且；
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：.
【答案】(1)在单调递减，在单调递增
(2)（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）运用导数的性质进行求解判断即可；
（2）（i）常变量分离，构造函数，利用导数的性质进行求解即可；
（ii）运用构造新函数法，结合导数的性质、对钩函数的单调性进行求解证明即可.
(1)
，设，
，当时，单调递减，
当时，单调递增，
∴在单调递减，单调递增，
(2)
（i）由，则，即∴
设在单调递减，∴在单调递增，单调递减，
且，∴，即，即；
（ii）记，，
在单调递减，在单调递增，
∴
记，
，设，
，当时，单调递减，
当，单调递增，
即在单调递减，在单调递增，
，
使得
在单调递增，在单调递减，在单调递增，
∴∴
∴，，
函数在单调递减，在单调递增，
所以当时，该函数有最小值2，
所以在单调递增，在单调递减，
且，令
记方程两根为，且
则
【点睛】关键点睛：利用构造函数法、常变量分离法、导数的性质是解题的关键.
80．已知函数.
（1）若，求a的值；
（2）若，求证：当时，，其中e为自然对数的底数.
【答案】（1）1；（2）证明见解析.
【分析】（1）求出,根据题意可得，解方程即可求出结果；
（2）求出，根据不等式的性质即可证出结论.
【详解】（1）因为，，
所以，解得.
（2）函数的定义域是，
，
所以，
当，时，，，
可得.
81．已知，，．
求：（1）的值．
（2）的值．
【答案】（1）．（2）．
【分析】（1）利用两角差的余弦公式展开可得，平方化简可得，根据，， 求得的值．
（2）利用（1）的结果及倍角公式，即可求得的值．
【详解】（1），，，，
，平方化简可得． 又，，
，，．
（2）
。
【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系的应用，考查转化与化归思想的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力．
82．设函数（且）的图像经过点.
（1）解关于x的方程；
（2）不等式的解集是，试求实数a的值.
【答案】（1）或；（2）.
【分析】(1)根据给定条件求出m值，并代入方程，再解方程即得.
(2)由给定解集借助对数函数单调性求出范围，换元借助一元二次不等式即可得解.
【详解】（1）由已知得，即，则，于是得，
方程，
从而得或，即或，或，
所以原方程的根为或；
（2）依题意，函数中，，从而得.
又，令，
即一元二次不等式的解集为，
因此有-1，2是关于的方程的两根，则，
所以实数a的值为2.
83．已知sinα，且α为第二象限角．
（1）求sin2α的值；
（2）求tan（α）的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据题意以及同角基本关系可知，再利用二倍角正弦公式即可求出结果；
（2）根据（1）的结果求出tan，利用两角和正切公式，即可求出结果.
【详解】（1）∵sinα，且α为第二象限角，∴cos，
∴sin2α＝2sinαcosα；
（2）由（1）知tan，
∴tan（α）．
【点睛】本题主要考查了三角函数同角基本关系式、正弦倍角公式和两角和的正切公式，属于基础题目.
84．声强级(单位:dB)由公式给出,其中I为声强(单位:).
(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为,能听到的最低声强为.求人听觉的声强级范围.
(2)平时常人交谈时的声强约为,求其声强级.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)分别代入与求解即可.
(2)代入求解即可.
【详解】解:(1).
.
因此人听觉的声强级范围为.
(2).
【点睛】本题主要考查了对数的实际运用,需要根据题意代入对应的数值进行计算,属于基础题.
85．已知函数，．
（1）求函数的极大值；
（2）求证：；
（3）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设函数，试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请加以证明，并求出，的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2）证明见解析 （3）存在
【分析】（1）求出函数得到函数大单调性，从而得到函数的极大值.
（2）由（1）可得，即，然后可得，，，相加可证明.
(3) 与的图象在 处有公共点,设函数与存在“分界线” ,由令，由求出参数的值，再证明成立即可.
【详解】（1），则
由，可得 ，，可得
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以当时，有极大值
（2）由（1）可知，为的最大值，即
所以，即（当且仅当时等号成立）
令，则，取，则，即
则，，
由上面不等式相加得
即
即
（3）设 ，则
当时，，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以
即与的图象在 处有公共点
设函数与存在“分界线”
令
由，即在上恒成立，
即在上恒成立，
成立，而，
所以 ，则
再证明，即恒成立.
设，则
当时，，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以当时，有最大值，即
所以恒成立.
综上所述，可得且
故函数与存在 “分界线”，此时
【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，利用导数证明不等式，考查恒成立求参数，考查转化思想的应用，属于难题.
86．已知函数.
（1）当时，求曲线上在点处的切线方程；
（2）这下面三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.若___________，求实数m的取值范围.
①在区间上是单调减函数；②在上存在减区间；③在区间上存在极小值.
【答案】（1）；
（2）若选①：；若选②： ；若选③：.
【分析】（1）求得和，进而可得切线方程；
（2）若选①，则转化为在区间上恒成立，根据“三个二次”可得结果；
若选②，则转化为在区间上有解，分离变量可得结果；
若选③，求得的极小值点为，解不等式可得结果.
【详解】（1）当时，，所以，
点为切点，，
函数在点处的切线方程为：，即；
（2）∵，
∴若选①：函数在区间上是单调减函数，则有：
在区间上恒成立，即在上恒成立，
∴，解得；
若选②：函数在上存在减区间，则有在区间上有解，
即得在区间上有解，
此时令，显然在区间上单调递减，
所以，故有；
若选③：函数在区间上存在极小值，则函数的极小值点应落在内.
令，求得，，
此时可得，在，上单调递增；在上单调递减；
所以是函数的极小值点，
即得，
当时，不等式恒成立，
当时，，解之可得，
所以.
87．2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，此法典被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法.民法典与百姓生活密切相关，某学校有800名学生，为了解学生对民法典的认识程度，选取了100名学生进行测试，制成如图所示频率分布直方图.
（1）求m的值并估计该学校成绩超过80分的人数；
（2）估计抽查学生测试成绩的中位数；（结果用分数形式表示）
【答案】（1），320；（2）.
【分析】（1）根据频率分布直方图的小矩形面积的和为1求解m.再乘以总人数即可
（2）根据过中位数垂直与x轴的直线平分所有矩形面积求解.
【详解】（1）因为，
解得，又
所以m的值是，超过80分的人数为320
（2）设中位数为a，因为
则，
解得，所以抽查学生测试成绩的中位数是；
88．某网站的调查显示，健身操类 跑步类 拉伸运动类等健身项目在大众健康项目中是比较火热的，但是大多数人的健身科学类知识相对缺乏，尤其是在健身指导方面.从某健身房随机抽取200名会员，对其平均每天健身时间进行调查，如下表，健身之前他们的体重情况如柱状图（1）所示，该健身房的教练为他们制订了健身计划，四个月后他们的体重情况如柱状图（2）所示.
平均每天健身时间(分钟)
人数 20 36 44 50 40 10
（1）若这200名会员的平均体重减少不低于，就认为该计划有效，根据上述柱状图，试问：该计划是否有效？(每组数据用该组区间的中点值作代表)
（2）请根据图中数椐填写下面的列联表，试问：是否有99%的把握认为平均每天健身时间与会员健身前的体重有关？
平均每天健身时间低于60分钟 平均每天健身时间不低于60分钟 合计
健身前体重低于
健身前体重不低于 80
合计 200
（3）以这200名会员平均每天健身时间的频率，代替该健身房1名会员平均每天健身时间发生的概率，若在该健身房随机调查12名会员，则其中平均每天的健身时间不低于70分钟的人数最有可能(即概率最大)是多少？
参考公式：，其中.
参考数据：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）该计划有效；（2）列联表答案见解析，有99%的把握认为平均每天健身时间与会员健身前的体重有关；（3）人数最有可能是3人.
【分析】（1）根据柱状图，采用中间值对应频率求和的方法计算平均体重，然后作差比较判断是否有效；（2）由题意填表，代入公式计算即可；（3）从柱状图中计算会员平均每天的健身时间不低于70分钟的概率为，设抽取的12人中平均每天的健身时间不低于70分钟的人数为，则，表示当时概率的值，利用概率最大计算出的值即为最有可能的人数.
【详解】（1）柱状图（1）中的体重平均值为.
柱状图（2）中的体重平均值为.
因为，所以该计划有效.
（2）列联表如下：
平均每天健身时间低于60分钟 平均每天健身时间不低于60分钟 合计
健身前体重低于 40 20 60
健身前体重不低于 60 80 140
合计 100 100 200
的观测值为.
所以有99%的把握认为平均每天健身时间与会员健身前的体重有关.
（3）由题意可知，该健身房每名会员平均每天的健身时间不低于70分钟的概率为．
设抽取的12人中平均每天的健身时间不低于70分钟的人数为，则，
，，1，2，…，12．
得
得
化简得，又，所以，
即12名会员中平均每天的健身时间不低于70分钟的人数最有可能是3人．
【点睛】方法点睛：（1）柱状图中均值的计算：每组组距中间值对应频率，然后求和；
（2）概率最大的求法：设时，概率取得最大值，则代入概率公式可计算出概率最大时的值.
89．已知公差不为零的等差数列中，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，求证：.
【答案】（1）（2）见解析
【分析】（1）直接利用已知条件建立等量关系求出数列的通项公式；
（2）利用累加法和基本不等式的应用，即可求出结果.
【详解】解：（1）设公差为，
则由题设可得：，
解得或（舍去），
所以，
（2）当时，有，，
两式相减得：，
即，
所以
，
当时，左边，右边，不等式也成立，
综上所述，对于任意都有.
【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在求通项公式中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力．
90．已知函数和，设.
（1）求函数；
（2）求和的值；
（3）求的值；
（4）若函数，试判断与是否为同一函数，并说明理由.
【答案】（1）；（2）；不存在；（3）当时，；当时，不存在；（4）和不是同一函数，详见解析.
【分析】（1）先由的定义域可得的定义域，然后求解；
（2）把代入可得,没有意义；
（3）分类讨论与定义域的关系，可得的值；
（4）从定义域和解析式的特征进行判定.
【详解】（1）.
∵的定义域为的定义域为，
∴的定义域为与的定义城的交集，即.
∴.
（2）∵，∴.
∵，∴不存在.
（3）当时，即当时，；
当时，即当时，不存在.
（4）和，虽然函数解析式相同，但是定义域不同，前者定义域R，后者定义域为.
所以和不是同一函数.
【点睛】本题主要考查函数的解析式及定义域，同一函数的判定等，函数定义域是函数不可缺失的一部分，求解时应该遵循定义域优先的策略，侧重考查数学抽象的核心素养.
91．已知函数．
(1)设函数，若在其定义域内恒成立，求实数a的最小值：
(2)若方程恰有两个相异的实根，，试求实数a的取值范围，并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）由题在上恒成立，利用导数求函数最值即得；
（2）由题有两个相异的实根，设，利用导数可得，即求实数a的取值范围，然后结合，构造函数 ，利用函数单调性即可求证．
(1)
由，得在上恒成立，
设，则，
∴当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，
∴，即，
∴实数a的最小值为．
(2)
由，得，
令，则，
设，则，
∴函数在上单调递减，又，
∴在上，故单调递增，在上，故单调递减，
∴，
由方程恰有两个相异的实根，，得，
∴，即实数a的取值范围为．
下面证明，
不妨设，则，，
要证，只需证，
由于在上单调递增，故只需证.
由，
得
，
令，则恒成立，
因此在上单调递增，函数，
即，故，即证．
【点睛】导数求参问题常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
92．在锐角三角形中，角的对边分别为，且成等差数列
（1）若，求
（2）若为的最大内角，求的取值范围
【答案】（1）（2）
【分析】（1）先计算出的角度，再根据正弦定理计算出的值，最后根据即可计算出的值；
（2）根据条件将用的形式表示出来，将转化为关于的三角函数，再根据的范围即可计算出的取值范围.
【详解】解：（1）成等差数列，所以，
，
（2），
，
令，
，，
.
【点睛】本题考查三角恒等变换与解三角形的综合应用，其中涉及到等差数列知识，属于综合型问题，难度较易.解三角形的问题中注意对隐含条件“”的使用.
93．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在，它的内角所对的边分别为，面积为，且，_____________
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
【答案】答案见解析
【分析】先根据三角形面积公式以及余弦定理求解出的值；若选①：先用正弦定理求解出的值，然后分析的大小并求的值，然后根据两角和的正弦公式可求的值；若选②：先用正弦定理求解出的值，然后计算的值，最后根据两角和的正弦公式可求的值，注意分类讨论；若选③：先根据正弦定理计算的值，得到，故判断三角形不存在.
【详解】因为，由余弦定理，
可得，
由，得
所以.
选①：由正弦定理得，
代入中得，
又，得是一个锐角，故，
所以.
选②：由得，
代入中得，
则当时，
当，
当时，
当，
选③：由得，所以不存在.
94．做出的图象并求出其值域
【答案】图象见解析，.
【解析】根据函数解析式画出函数图象，结合函数图象求出函数值域；
【详解】解：因为，函数图象如下所示：
由函数图象可知函数的值域为
95．（1）求函数的值域；
（2）求函数的值域．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）利用换元法，令，解得后代入可得，根据二次函数性质可求得值域；（2）利用分离常数法可得，从而可得，进而得到值域.
【详解】（1）设，则
当时，
的值域为
（2）
的值域为
【点睛】本题考查函数值域的求解，重点考查了换元法和分离常数法求解根式型和分式型函数的值域；求解值域问题的关键是能够熟练掌握解析式的形式所对应的值域的求解方法.
96．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2．5标准采用世界卫生组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在3微克/立方米以下的空气质量为一级；在35微克/立方米与75微克/立方米之间的空气质量为二级；在75微克/立方米以上的空气质量为超标．为了解甲、乙两座城市2017年的空气质量情况，从全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取20天的数据作为样本，临测值如以下茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．
（1）在甲、乙两城市共采集的40个样本数据中，从PM2.5日均值在范围内随机取2天的数据，求取到2天的PM2.5均超标的概率；
（2）以这20天的PM2.5日均值数据来估计一年的空气质量情况，则甲、乙两城市一年（按365天计算）中分别约有多少天空气质量达到一级或二级．
【答案】（1）；（2）292天.
【分析】（1）由茎叶图可知从甲乙两城市所采集的40个数据样本中，PM2.5日均值在范围内共有6天，PM2.5日均值为超标有3天记为A，B，C，不超标为x，y，z，列出所有的情况，进而结合古典概型的概率公式计算即可；
（2）抽取20天样本中，甲城市有15天达到一级或二级，乙城市有16天，，可得到对应的频率，进而由样本估计总体可求出答案.
【详解】（1）PM2.5日均值在范围内共有6天，
PM2.5日均值为超标有3天记为ABC，不超标为xyz
从这6天抽取2天有15种情况
，，，，，，，，，，，，，，
由古典概率可知，取到2天均超标．
（2）抽取20天样本中，甲城市有15天达到一级或二级，乙城市有16天，
∴（天）
（天）
【点睛】本题考查茎叶图、平均数的求法、古典概型概率的计算，考查用样本估计总体，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
97．已知定点，动点到点F的距离比它到y轴的距离大1．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)过的直线，分别与点P的轨迹相交于点M，N（均异于点Q），记直线，的斜率分别为，，若，求证：直线MN的斜率为定值．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用两点距离公式可得，整理即可得轨迹方程.
（2）根据题设令、，为，为，联立抛物线方程求的坐标，再应用两点式求即可证结论.
(1)
由题设，，则，又，
∴，故动点P的轨迹方程为.
(2)
由题设，令为，为，
联立抛物线，可得：，若，，
∴，则，同理可得，则，
∴，为定值.
98．某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量P万件满足P＝3﹣（其中0≤x≤2）.现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P万件还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）万元/万件.
（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（2）当促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润.
【答案】（1），0≤x≤2；（2）当促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，最大利润为13万元.
【分析】（1）根据题意，结合已知数据，即可列出函数关系式；
（2）根据（1）中所求函数解析式，求函数的最大值即可.
【详解】（1）当促销费用为万元时，
付出的成本是：
销售收入是：，
故
整理可得，0≤x≤2.
（2）根据（1）中所求，
，当且仅当时取得最大值.
故当促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，最大利润为13万元.
【点睛】本题考查分式函数模型的应用，涉及利用基本不等式求和的最小值，属综合基础题.
99．设为实数，集合，.
(1)若，求，；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)，或
(2)或
【分析】（1）利用并集及交集和补集运算法则进行计算；（2）根据交集结果比较端点值的大小求解实数的取值范围.
(1)
当时，，又
所以，
所以或.
(2)
由，则，由，
则或
即或
当时，实数的取值范围是或.
100．如图，在正四棱柱中，，，E，M，N分别是，，的中点.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为，由正四棱柱，可知为点到平面的高，结合已知，即可求得答案；
（2）取AD的中点Q，连接NQ，BQ，证明且，可得为异面直线MN与所成角(或其补角)，求解三角形可得再由余弦定理可得异面直线MN与所成角的余弦值.
【详解】（1），
在正四棱柱中
平面，即为点到平面的高
（2）取的中点Q，连接，
N为的中点
且，
M为的中点，
，且
且
四边形是平行四边形，
且
同理可证且
且
为异面直线与所成角(或其补角).
在正方形中，，E为中点
.
异面直线与所成角的余弦值为.
【点睛】关键点睛：本题考查了求异面直线夹角问题，解题关键是将求两条异面直线夹角问题转化为求共面直线夹角，结合余弦定理进行求解.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页高中数学高考复习综合训练100题（含答案）
一、单选题
1．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据指数幂的运算性质逐项检验可得正确的选项.
【详解】对于A，，故A错.
对于B，，故B错.
对于C，，故C正确.
对于D，，故D错误.
故选：C.
【点睛】本题考查指数幂的运算，此类问题，熟记运算规则是关键，本题属于基础题.
2．已知M，N为单位圆O∶上的两个动点，且满足，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设MN中点为E，利用泛极化公式把转化为，再判断出E的轨迹为圆，可求出的范围.
【详解】解析：设MN中点为E，则，
因为，所以点E在以O为圆心，为半径的圆上运动.
故；所以.
故选:A
【点睛】平面向量中与动点有关的最值问题一般的求解思路：
①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值；
②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值.
3．已知x∈（e﹣1，1），令a＝lnx，b，c＝elnx，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【答案】A
【分析】根据为增函数,可得,根据为递减函数,可得,根据对数恒等式可得.
【详解】因为,且为增函数,所以,
因为且为递减函数,所以,
,
所以.
故选:A
【点睛】本题考查了根据对数函数和指数函数的性质比较大小,关键是找中间值进行比较,属于基础题.
4．下面问题中，是排列问题的是（ ）
A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数
B．从40人中选5人组成篮球队
C．从100人中选2人抽样调查
D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合
【答案】A
【分析】根据排列与排列数的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】根据排列及排列数的定义，可得：
对于A中，由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数，符合排列的定义，是排列问题；
对于B中，从40人中选5人组成篮球队，与顺序无关的问题，不是排列问题；
对于C中， 从100人中选2人抽样调查，与顺序无关的问题，不是排列问题；
对于D中， 从1，2，3，4，5中选2个数组成集合，与顺序无关的问题，不是排列问题.
故选：A.
5．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且与，的夹角都等于．若是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，，，根据向量的线性运算表示出，平方后利用向量的数量积运算即可求解.
【详解】记，，，
因为，，
所以，．
又因为，，
所以，．
易得，
所以，
所以．
故选：A
【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量的数量积运算及性质，考查了运算能力，属于中档题.
6．福利彩票“双色球”中红色球的号码可从编号为01，02，…，33的33组数中随机选取，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的号码，选取方法是从下列随机数表中第1行第6列的数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的号码为（ ）
A．23 B．09 C．02 D．17
【答案】C
【解析】根据随机数表的使用规则逐个选出，剔除不符合范围的，即可得解.
【详解】从随机数表第1行第6列的数字开始由左到右依次选取两个数字，因为福利彩票“双色球”中红色球的号码可从编号为01，02，…，33的33组数中随机选取，剔除不符合的，则选出的6个红色球的编号依次为21，32，09，16，17，02，故选出的第6个红色球的编号为02.
故选：C.
【点睛】本题考查了随机数表的用法，属于基础题.
7．下列说法错误的是（ ）
A．回归直线过样本点的中心
B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1
C．在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位
D．对分类变量X与Y，随机变量的观测值越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小
【答案】D
【分析】利用线性回归的有关知识逐一分析各个选项即可得出答案．
【详解】解：A．回归直线过样本点的中心，正确；
B．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，因此正确；
C．在线性回归方程中，当x每增加1个单位时，预报量平均增加0.2个单位，正确；
D．对分类变量X与Y的随机变量的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”可信程度越大，因此不正确．
综上可知：只有D不正确．
故选：D．
8．已知角终边上一点P的坐标为，则的值是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据三角函数定义，，即可求解
【详解】由题意，
故选：
【点睛】本题考查三角函数定义，属于基本题.
9．已知某7个数的平均数为3，方差为，现又加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为，方差为，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用平均数、方差的公式直接求解．
【详解】∵这7个数的平均数为3，方差为，现又加入一个新数据3，
此时这8个数的平均数为，方差为，∴，
由方差公式得，所以．
故选B．
【点睛】本题考查平均数、方差公式、性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
10．在正项等比数列中，若，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】根据等比数列的性质可得，由题意，解得，再根据等比数列通项公式求得公比，从而得到数列的通项公式.
【详解】在等比数列中，
，解得或
当时，，
，
；
当时，，
，
综上所述：或，
故选：C.
【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．
11．已知实数a，b，c，若a>b，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直接利用不等式的基本性质即可.
【详解】由可判断A错误，
由可判断BD错误，
由不等式的性质易知C正确.
故选：C.
【点睛】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题的关键，属于基础题.
12．下列命题中正确的是（ ）
A．当时，函数的图像是一条直线；
B．幂函数的图像都经过和点；
C．幂函数的定义域为；
D．幂函数的图像不可能出现在第四象限．
【答案】D
【分析】根据幂函数的性质依次分析各选项即可得答案.
【详解】解：对于A，时，函数的图像是一条直线除去点，故错误；
对于B，幂函数的图像都经过点，当指数大于时，都经过点，当指数小于时，不经过点，故B错误；
对于C，函数，故定义域为，故错误；
对于D，由幂函数的性质，幂函数的图像一定过第一象限，不可能出现在第四象限，故正确.
故选：D.
13．已知，其部分图象如图所示，则的解析式为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据图像可得函数周期，最值，则可得，再根据五点作图法求得即可.
【详解】由图可知，解得；
又因为，故可得；
由五点作图法可知，解得，
故.
故选：D.
【点睛】本题考查由正弦型函数的图像求解函数解析式，属基础题.
14．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数与指数函数的值域及复合函数定义即可求出.
【详解】解：由二次函数的性质可知，因此，即函数的值域为.
故选：.
【点睛】本题考查指数型复合函数的值域，属于基础题.
15．已知集合，，若，则实数a的值为
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据集合元素的互异性和交集的定义，可得方程组或即可得答案；
【详解】由题意可得或
，
故选：B.
【点睛】本题考查根据交集的结果求参数，考查运算求解能力，求解时注意集合元素的互异性.
16．若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】令，由则，将对数式转化为指数式，统一其指数为常数，比较其底数的大小关系，结合幂函数的性质解答．
【详解】解：设，则，，，，，．
因为，且函数在上是减函数，
所以．
故选
【点睛】本题考查指对数的运算及幂函数的性质．属于中档题．
17．某中学共有学生2500人，其中男生1500人，为了解该校学生参加体育锻炼的时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为50的样本，则样本中女生的人数为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
【答案】C
【分析】先求得中学中的女生人数，然后根据样本容量，按照比例求解.
【详解】因为共有学生2500人，其中男生1500人，
所以女生有1000人，
所以样本中女生的人数为人
故选：C
【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，属于基础题.
18．已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】利用偶函数求的解析式再求导，根据导数的几何意义即可求处的切线斜率.
【详解】设，则，，又为偶函数，
∴，则对应导函数为，
∴，即所求的切线斜率为2.
故选：B
19．已知正方体，点是棱的中点，设直线为，直线为.对于下列两个命题：①过点有且只有一条直线与、都相交；②过点有且只有一条直线与、都成角.以下判断正确的是（ ）
A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题
【答案】B
【分析】作出过P与两直线相交的直线l判断①；通过平移直线a，b，结合异面直线所成角的概念判断②．
【详解】解：直线AB与A1D1 是两条互相垂直的异面直线，点P不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：
取BB1的中点Q，则PQ∥A1D1，且 PQ＝A1D1，设A1Q与AB交于E，则点A1、D1、Q、E、P共面，
直线EP必与A1D1 相交于某点F，则过P点有且只有一条直线EF与a、b都相交，故①为真命题；
分别平移a，b，使a与b均经过P，则有两条互相垂直的直线与a，b都成45°角，故②为假命题．
∴①为真命题，②为假命题．
故选：B．
【点睛】本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想，是中档题．
20．书架上层放7本不同的语文书，书架下层放5本不同的数学书，从书架上层和下层各取一本书的取法有（ ）
A．12种 B．35种 C．7种 D．66种
【答案】B
【分析】由分步乘法原理求解即可
【详解】由题意可得，从书架上层取一本书有7种取法，从书架下层取一本书有5种取法，则分步乘法原理可得共有种取法，
故选：B
21．已知，为虚数单位，复数，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】首先利用复数的运算法则将复数化为的形式，然后根据建立一个不等式进行求解.
【详解】.
由，得，整理得解得，所以实数的取值范围为.
故选：B
【点睛】本题考查复数的运算，考查复数模的运算．掌握除法法则与模的定义是解题基础．
22．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先用诱导公式化为，再用二倍角公式计算．
【详解】.
故选：D
23．已知向量，，满足，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求向量的坐标，再利用坐标运算求模，转化为二次函数求最小值.
【详解】由条件可知，
则
，当时，.
故选：B
24．由=4，确定的等差数列，当an=28时，序号等于（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【分析】首先求出数列的通项公式，再解方程即可；
【详解】解：因为，，所以，所以，解得
故选：A
【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.
25．已知，则
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】先求，再利用同角三角函数基本关系化为齐次式求解即可
【详解】∵，∴，
∴．
故选D
【点睛】本题考查同角三角基本关系式，考查诱导公式，准确计算是关键，是基础题
26．设是椭圆的左 右焦点，若椭圆上存在一点P，使（O为坐标原点），且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由向量的关系可得，由椭圆的定义及，可得，的值，在直角三角形中，由勾股定理可得，的关系，进而求出椭圆的离心率．
【详解】解：设的中点为，由，即，所以，
连接可得，所以，
可得，
又因为，
所以，，
在中，，
即，可得：，
解得，
故选：．
27．某校将5名插班生甲、乙、丙、丁、戊编入3个班级，每班至少1人，则不同的安排方案共有（ ）
A．150种 B．120种 C．240种 D．540种
【答案】A
【分析】根据题意，分2步分析：先将5名插班生分为3组，有2种分组方法，①分为3、1、1的三组，②分为2、2、1的三组，由组合数公式可得其分组方法数目，由分类计数原理将其相加可得分组的情况数目，第二步，将分好的三组对应3个不同的班级，由排列数公式可得其对应方法数目,由分步计数原理计算可得选项．
【详解】由题意可知，可分以下两种情况讨论，①5名插班生分成：， ，1三组；②5名插班生分成：，，三组，
当5名插班生分成：， ，1三组时，共有种方案；
当5名插班生分成：，，三组时，共有种方案；
所以，共有种不同的安排方案.
故选：A.
【点睛】本题主要考查两个基本原理和排列组合，在对排列、组合的综合问题时，一般先组合再排列，属于中档题.
28．已知等差数列的前n项和为，，若，且，则m的值是
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】由等差数列性质求出，由等差数列前n项可求得m．
【详解】∵是等差数列，∴，，
∴，．
故选：C．
【点睛】本题考查等差数列的性质与前n项公式，掌握等差数列的性质是解题基础．
29．双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由双曲线的离心率可求出的关系，从而可求出椭圆的离心率
【详解】解：因为双曲线的离心率为，
所以，得，
所以椭圆的离心率，
故选：C
30．下列说法错误的是（ ）
A．“若，则”的逆否命题是“若，则”
B．“”是“”的充分不必要条件
C．“，”的否定是“，”
D．若“”为假命题，则均为假命题
【答案】D
【分析】根据逆否命题的定义、集合间的关系、全称命题的否定、为假命题的定义，对选项进行一一验证，即可得答案.
【详解】对A，根据逆否命题的定义可知命题正确，故A正确；
对B，若，则或，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确；
对C，因为全称命题的否定是特称命题，且将结论否定，故C正确；
对D，若“”为假命题，则、中只要有一个为假命题，故D错误.
故选：D.
【点睛】本题考查命题真假性的判断，考查对概念的理解与应用，属于基础题.
31．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆E交于A，B两点.若四边形面积的最大值为8，则a的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【分析】当直线与x轴垂直，即时，四边形的面积最大，由面积公式及基本不等式求解即可.
【详解】设椭圆E的半焦距为c.直线过原点，
当其与x轴垂直，即时，四边形的面积最大，此时，
所以，
所以，当且仅当时等号成立.
故
故选：C
【点睛】本题考查椭圆的标准方程和几何性质，利用基本不等式求最值，属于中档题.
32．在平面直角坐标系中，若双曲线(，)的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可.
【详解】双曲线(，)的右焦点到一条渐近线的距离为
可得： 可得 ，即
所以双曲线的离心率为： .
故选:B.
【点睛】本题考查双曲线的简单性质，焦点坐标，渐近线方程，还运用双曲线中焦点到渐近线的距离为以及点到直线的距离公式：.
33．如图，一个底面边长为cm的正四棱柱形状的容器内装有部分水，现将一个底面半径为1cm的铁制实心圆锥放入容器，圆锥放入后完全沉入水中，并使得水面上升了1cm．若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由水上升的体积得圆锥体积，然后求得圆锥的高、母线得侧面积．
【详解】依题意可得圆锥的体积，
又（其中h为圆锥的高），则cm，
则圆锥的母线长为cm，故圆锥的侧面积为．
故选：A．
34．下列各角中与终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据终边相同的角的概念可得出合适的选项.
【详解】，，，，
因此，只有A选项中的角与终边相同.
故选：A.
35．下列四组对象中能构成集合的是（ ）.
A．本校学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点
C．很小的实数 D．倒数等于本身的数
【答案】D
【分析】根据集合中元素具有确定性判断选项即可得到结果.
【详解】集合中的元素具有确定性，对于，学习好、非常近、很小都是模糊的概念，没有明确的标准，不符合确定性；
对于，符合集合的定义，正确.
故选：.
【点睛】本题考查集合的定义，关键是明确集合中的元素具有确定性，属于基础题.
36．函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】在同一直角坐标系中作出函数与的图象，将函数的零点个数转化为函数的交点问题，数形结合可得.
【详解】解：函数的零点个数，即的解得个数，等价于与的交点个数，在同一平面直角坐标系中作出函数图象，由图可知两函数只有一个交点，故函数有一个零点,
故选：
【点睛】本题考查函数的零点问题，数形结合思想，属于基础题.
37．若，，则是的条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】利用充分性与必要性定义判断即可.
【详解】由题意可得
∴是的充分不必要条件
故选A
【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“ ”为真，则是的充分条件．
2．等价法：利用 与非 非， 与非 非， 与非 非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若 ，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．
38．已知幂函数的图象过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先用待定系数法求出幂函数解析式，然后直接求出即可.
【详解】解：设幂函数，代入点，
得，解得，
所以，
则，
故选：D．
【点睛】本题考查利用待定系数法求幂函数解析式，是基础题．
39．在各项为正的递增等比数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设其公比为，由等比数列通项公式得，进而得，解得或，再根据数列单调性即可得，进而得
【详解】为等比数列，设其公比为，
，则，
，
，
即，
解得或，
又各项为正且递增，
，
．
故选：B．
【点睛】本题解题的关键是先根据题意得，进而将转化为求，考查运算求解能力，是中档题.
40．用表示投掷一枚均匀的骰子所得的点数，利用的分布列求下列事件的概率，其中错误的是（ ）
A．掷出的点数是偶数的概率为； B．掷出的点数超过1的概率为；
C．掷出的点数大于3而不大于5的概率为； D．的期望为．
【答案】C
【分析】根据等可能事件的概率计算可判定ABC；列出分布列，利用期望值公式计算从而判定D.
【详解】的值可以为1、2、3、4、5、6，取每一个值的概率都相等，
X的分布列为：
X 1 2 3 4 5 6
P
X为偶数的情况由3种，其概率为，故A正确；
X超过1的有5种，其概率为，故B正确；
X大于3不大于5的有4、5两种，其概率为，故C错误；
X期望值为,
故D正确.
故选：C.
41．已知椭圆和双曲线有相同焦点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出椭圆和双曲线的半焦距即得解.
【详解】由题得椭圆的半焦距为，
双曲线的半焦距为，
所以.
故选：A
42．已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（ ）
A． B．4 C．8 D．或8
【答案】D
【分析】根据函数的解析式作出函数在时图象，换元解方程可得或，利用图象求出交点对应横坐标，注意利用函数为奇函数图象关于原点对称，分与两种情况讨论，数形结合即可求解.
【详解】作出函数在时的图象，如图所示，
设，
则关于的方程的方程等价于
解得：或，
如图，
当t=1时，即对应一个交点为，方程恰有4个不同的根，可分为两种情况:
（1），即对应3个交点，且 ，
此时4个实数根之和为8；
（2），即对应3个交点，且 ，
此时4个实数根之和为.
故选：D
【点睛】解决此类问题的关键有两点，第一换元后对方程等价转化求解或，
第二结合函数图象处理方程有四个根，即要转化为数形结合，看图象交点的个数及横坐标即可求解.
43．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，现有如下说法：①至少有一个黑球与都是黑球是互斥而不对立的事件；②至少有一个黑球与至少有一个红球不是互斥事件；③恰好有一个黑球与恰好有两个黑球是互斥而不对立的事件；④至少有一个黑球与都是红球是对立事件.在上述说法中，正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用互斥事件和对立事件的定义逐个判断即可
【详解】①“至少有一个 黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故错误.
②“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故正确.
③“恰好有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故正确.
④“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故正确.上述说法中，正确的个数为3.
故选：C
【点睛】此题考查互斥事件和对立事件的判断，属于基础题
44．若直线与圆没有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－4，4） B．（－2，2）
C．（－∞，－4）U（4，＋∞） D．
【答案】D
【分析】由题设知圆心到直线的距离大于圆的半径，应用点线距离公式列不等式求a的取值范围.
【详解】由题设，圆心为，半径为2，
因为直线与圆没有公共点，
所以，可得或.
故选：D
45．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简集合B，利用并集概念及运算即可得到结果.
【详解】由题意可得：
又
∴
故选：C
【点睛】本题考查并集的概念及运算，考查分式不等式的解法，属于基础题.
46．要得到函数的图像,可以将函数的图像沿轴
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】C
【解析】由，根据三角函数的变换规则即可判断.
【详解】解：∵,
∴将函数的图像上的所有点向左平移个单位,可得到函数的图像.
故选：
【点睛】本题考查三角函数的变换，属于基础题.
47．函数的图像向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数，函数．若关于的方程在内有两个不同的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用函数的图象变换规律，利用三角函数的图象和三角恒等变形，可得，即，，从而得到，进而得到的值.
【详解】函数的图像向左平移个单位长度后，可得的图象.
由条件为奇函数，则，即
又，所以，即
关于的方程在内有两个不同的解，
即在内有两个不同的解，
即在内有两个不同的解，
即，其中(为锐角) 在内有两个不同的解，
即方程即在内有两个不同的解，
由，则，
所以，
所以
则，即，
所以，
故选：D
【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，诱导公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
48．若集合，，则
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出集合、，再利用交集的定义可求得集合.
【详解】由题意得集合，
，
因此，.
故选：B.
【点睛】本题考查集合的交集运算，同时也考查了指数不等式与绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.
49．如图，正方体的棱长为，是棱的中点，是四边形内一点（包含边界）．若平面，且线段长度的最小值为，则（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】过点作的平行线，交于点，交于点，连接，证明点轨迹是线段，然后根据勾股定理求得后可得最小值，由此求得．
【详解】如图，过点作的平行线，交于点，交于点，则底面，连接，平面，则，所以，
∵平面，/平面，，平面，
∴平面平面，又平面，∴平面．
又平面平面，平面，∴，
为的中点，∴为的中点，则为的中点，即在线段上（包含端点），
∴，∴，∴，，
故选：B．
50．程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数，其中A的各位数中，，（2，3，4，5）出现0的概率为，出现1的概率为，记，当程序运行一次时，ξ的数学期望为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知的可能取值是1，2，3，4，5，结合变量对应的事件和独立重复试验公式求出概率（以为例，当时，表示后四个数字中恰好出现了3个，然后算出期望．
【详解】由题意知的可能取值是1，2，3，4，5
当时，表示后四个数字都是0，，
当时，表示后四个数字中有一个1，
同理可得：
，
故选：B
【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查独立重复试验的概率公式，是一个综合题，解题的关键是读懂题意．
二、填空题
51．函数的定义域为,则的取值范围为______.
【答案】.
【分析】函数的定义域为实数集即的解集为R，即无解，令判别式小于0即可.
【详解】由函数的定义域为，
得无解，
，
解得：.
故答案为：.
【点睛】本题考查等价转化的能力、考查二次方程解的个数取决于判别式，解题时要认真审题，理清条件和要求解的量之间的关系，同时考查了学生分析问题和解决问题的能力，考查了学生化简计算的能力，是基础题.
52．已知定义在上的奇函数满足，则______.
【答案】0
【分析】由奇函数的性质可得函数f（x）是周期为4的周期函数，再根据对数的运算性质即可求得．
【详解】根据题意，f（x）为奇函数，则有f（﹣x）＝﹣f（x），
又由f（x）＝f（2﹣x），则有f（2﹣x）＝﹣f（﹣x），即f（x+2）＝﹣f（x），
变形可得：f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，
则，
故＝0．
【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，以及对数的运算性质应用．
53．函数是定义在上的奇函数，并且满足，当时，，则__________.
【答案】
【分析】根据已知条件，可求函数的周期性，对称性，以及的值，利用函数函数的周期性，奇偶性进行计算即可.
【详解】解：因为，故，则函数的周期是2，
又函数是定义在上的奇函数，则；
则，，
当时，，则，
则.
故答案为：.
54．在中，，，为的重心，则________．
【答案】6
【分析】根据三角形重心的性质转化为，以及，再求数量积.
【详解】如图，点是的中点，
为的重心，，，
所以
故答案为：6
【点睛】本题考查向量数量积，重心，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型.
55．一个圆锥被平行于底面的平面所截，若截面面积和底面面积之比为，则此圆锥的母线被分成上、下两部分之比为______．
【答案】
【分析】根据圆锥的平行于底面的截面的性质计算．
【详解】作轴截面，是圆锥底面直径，是截面圆直径，
由题意，，
由得，
所以．
故答案为：．
56．已知函数，则它的单调递增区间是_________
【答案】
【分析】先把函数化简变形成余弦型函数，利用余弦型函数的性质求出结果．
【详解】函数，
令，
整理得：，
所以函数的单调递增区间为：．
故答案为：．
57．椭圆上一点满足到左焦点的距离为，则的面积是________.
【答案】
【解析】根据椭圆的定义再利用余弦定理求出，最后由面积公式计算可得；
【详解】解：由椭圆的定义得，，∴，
，
∴，则.
故答案为：
58．若f（x），则f（1）+f（8）＝_____.
【答案】5
【分析】将和分别代入分段函数的解析式即可求解.
【详解】 f（x），
f（1）+f（8）＝
故答案为：5
【点睛】本题主要考查了求分段函数的函数值，属于基础题.
59．已知集合，集合，则________
【答案】
【解析】由交集定义计算．
【详解】由题意．
故答案为：．
60．在等差数列中，若，则该数列的前2021项的和为_______.
【答案】
【分析】根据等差数列的性质和求和公式，得到，即可求解.
【详解】由题意，等差数列中，，
所以，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数的前项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质和求和公式是解答的关键，着重考查推理能力和计算能力，属于基础题.
61．已知二次函数的图象为开口向上且对称轴是的抛物线，则，，的大小关系是________.
【答案】
【分析】由题意结合二次函数对称性可得，再利用二次函数的单调性即可得解.
【详解】二次函数的图象开口向上且对称轴是，
函数在上单调递增，且，
又，，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查了二次函数图象与性质的应用，关键是对条件的合理转化，属于基础题.
62．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时， __________.
【答案】
【解析】根据奇函数的定义，即可求解.
【详解】当时，，
是奇函数，，
.
故答案为:
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性，求函数的解析式，属于基础题.
63．已知向量.若，则实数_________．
【答案】8
【分析】由向量垂直的坐标表示计算．
【详解】因为，
所以，
解得．
故答案为：
64．已知向量的夹角为，，则_______.
【答案】
【分析】根据计算可得结果.
【详解】
.
故答案为：
65．已知，则与方向相同的单位向量________________.
【答案】
【解析】首先设单位向量，由题意列出关于的方程组，求解.
【详解】，
设 ，
由题意可知 ，解得： 或
与的方向相同，
.
故答案为：
【点睛】本题考查根据向量的关于求向量，意在考查基本公式和计算能力，属于基础题型.
66．过点，且与直线垂直的直线方程为______.
【答案】
【分析】先由垂直关系求出所求直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程
【详解】解：因为所求直线与直线垂直，
所以所求直线的斜率为，
因为所求直线过点，
所以所求直线方程为，即，
故答案为：
【点睛】此题考查两直线的位置关系，考查直线方程的求法，属于基础题
67．如果定义在上的函数，对任意都有，则称函数为“函数”，给出下列函数，其中是“函数”的有_____________（填序号）
① ② ③ ④
【答案】①④．
【分析】不等式等价为，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．
【详解】对于任意的不等实数，，不等式恒成立，
不等式等价为恒成立，
即函数是定义在上的增函数；
①在上单调递增，符合题意；
②在上单调递减，不合题意；
③在上单调递减，在上单调递增，不合题意；
④在上单调递增，符合题意；
故答案为：①④．
68．已知函数，，若，则的取值范围为 ______.
【答案】或
【分析】讨论和两种情况，代入计算得到答案.
【详解】函数，
当时：
考虑定义域：，故；
当时：
考虑定义域：，故.
综上所述：或
故答案为或
【点睛】本题考查了分段函数不等式，忽略掉定义域是容易发生的错误.
69．给出以下四个命题:
①若函数的定义域为，则函数的定义域为；
②函数的单调递减区间是；
③已知集合，则映射中满足的映射共有3个；
④若,且,．
其中正确的命题有______．（写出所有正确命题的序号）
【答案】③④
【分析】根据抽象函数定义域的求法,可判断①;
根据反比例函数的图象和性质,可判断②;
根据映射的定义,可判断③; 根据已知得到,进而可判断④．
【详解】①若函数的定义域为, 由得:, 所以函数的定义域为; 故①错误;
②函数的单调递减区间是和,故②错误;
③对于集合，映射中满足的映射共有：
，，,共3个, 故③正确;
④若,则, 又, 所以,
; 故④正确.
故填：③④.
【点睛】本题考查复合函数的定义域，反比例函数的单调性，映射的定义，抽象函数的求值问题，属于中档题.
70．已知函数，则的值为______．
【答案】3
【解析】根据解析式求出，再求出即可.
【详解】，
，
.
故答案为：3
三、解答题
71．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在，它的内角所对的边分别为，面积为，且，_____________
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
【答案】答案见解析
【分析】先根据三角形面积公式以及余弦定理求解出的值；若选①：先用正弦定理求解出的值，然后分析的大小并求的值，然后根据两角和的正弦公式可求的值；若选②：先用正弦定理求解出的值，然后计算的值，最后根据两角和的正弦公式可求的值，注意分类讨论；若选③：先根据正弦定理计算的值，得到，故判断三角形不存在.
【详解】因为，由余弦定理，
可得，
由，得
所以.
选①：由正弦定理得，
代入中得，
又，得是一个锐角，故，
所以.
选②：由得，
代入中得，
则当时，
当，
当时，
当，
选③：由得，所以不存在.
72．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求B；
(2)若，，求c.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由正弦定理化简条件，求得，从而求得角B.
（2）将条件，代入余弦定理求得c.
(1)
因为，所以，
即，
化简得，所以，
又因为，所以.
(2)
因为，
所以，
整理得，解得.
73．已知函数.
（1）若，求a的值；
（2）若，求证：当时，，其中e为自然对数的底数.
【答案】（1）1；（2）证明见解析.
【分析】（1）求出,根据题意可得，解方程即可求出结果；
（2）求出，根据不等式的性质即可证出结论.
【详解】（1）因为，，
所以，解得.
（2）函数的定义域是，
，
所以，
当，时，，，
可得.
74．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）2；（2）2.
【分析】（1）由对数的运算性质，代入运算即可；
（2）由指数的运算性质，代入运算即可.
【详解】（1）解：原式．
（2）解：原式．
【点睛】本题考查了对数的运算及指数幂的运算，重点考查了运算能力，属基础题.
75．设为实数，集合，.
(1)若，求，；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)，或
(2)或
【分析】（1）利用并集及交集和补集运算法则进行计算；（2）根据交集结果比较端点值的大小求解实数的取值范围.
(1)
当时，，又
所以，
所以或.
(2)
由，则，由，
则或
即或
当时，实数的取值范围是或.
76．已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于，两点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）设，是抛物线上的不同两点，且轴，直线与轴交于点，再在轴上截取线段，且点介于点点之间，连接，过点作直线的平行线，证明是抛物线的切线.
【答案】（1）；（2）见解析.
【分析】（1）分过点的直线斜率存在和不存在两种情况，设过点的直线方程为，，联立，求得两根只和，两根之积，再根据半焦距公式几块求得p，从而得出答案；
（2）不妨设点P在第一象限，则，设直线PQ的方程为，，求得点G的坐标，根据，可求得点E的坐标，从而可求的PE的斜率，联立，求得点Q的坐标，从而可得直线l的方程，联立消元，利用根的判别式即可得证.
【详解】（1）解：设过点的直线方程为，，
联立，得，
则，
所以，
，
因为，
所以，
化简得，所以，
当过点的直线斜率不存在时，则，
故，
又因为，
则，所以，
综上所述，，
所以；
（2）证明：不妨设点P在第一象限，
则，
设直线PQ的方程为，，
联立，消元整理得，
则，即故，即，
当时，，则，
又因，且点介于点点之间，则为的中点，
所以，
则直线的斜率为，
因为直线平行直线，
所以直线的斜率为，
故直线的方程为，即，
联立，消元整理得，
，
所以直线l与抛物线只有一个交点，
有直线l斜率不为0，
所以是抛物线的切线.
77．在锐角三角形中，角的对边分别为，且成等差数列
（1）若，求
（2）若为的最大内角，求的取值范围
【答案】（1）（2）
【分析】（1）先计算出的角度，再根据正弦定理计算出的值，最后根据即可计算出的值；
（2）根据条件将用的形式表示出来，将转化为关于的三角函数，再根据的范围即可计算出的取值范围.
【详解】解：（1）成等差数列，所以，
，
（2），
，
令，
，，
.
【点睛】本题考查三角恒等变换与解三角形的综合应用，其中涉及到等差数列知识，属于综合型问题，难度较易.解三角形的问题中注意对隐含条件“”的使用.
78．已知公差不为零的等差数列中，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，求证：.
【答案】（1）（2）见解析
【分析】（1）直接利用已知条件建立等量关系求出数列的通项公式；
（2）利用累加法和基本不等式的应用，即可求出结果.
【详解】解：（1）设公差为，
则由题设可得：，
解得或（舍去），
所以，
（2）当时，有，，
两式相减得：，
即，
所以
，
当时，左边，右边，不等式也成立，
综上所述，对于任意都有.
【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在求通项公式中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力．
79．近日，某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数与空气污染指数的关系为：，其中空气污染指数与时刻（小时）和的算术平均数成反比，且比例系数为，是与气象有关的参数，．
(1)求空气污染指数的解析式和最大值；
(2)若用每天环境综合污染指数的最大值作为当天的综合污染指数，该市规定：每天的综合污染指数最大值不得超过1．试问目前市中心的综合污染指数是否超标？请说明理由．
【答案】(1)，，;
(2)没有超标；理由见解析.
【分析】（1）根据题意直接写出函数，利用均值不等式求最值即可；
（2）设，换元后原函数转化为分段函数，利用二次函数的性质求出函数的单调区间，分类讨论可得的最大值，即可求解.
(1)
由题意得，，
即
当且仅当时，．
(2)
由（1）得，，设，
令，，
则
由图像知在和上单调递增，在上单调递减，且，，
所以，
令，解得，
令，解得，
所以
当时，，
当时，，
即，所以，
所以目前市中心的综合污染指数没有超标.
80．已知为第二象限角，且.
（1）求，的值；
（2）求的值.
【答案】（1）,；（2）4.
【分析】（1）根据，解出，，求出，根据正切的二倍角公式求出；
（2）化简得到，从而求出答案.
【详解】（1）因为且，
解方程组得到，（舍去）或，
所以
；
（2）=4.
【点睛】主要是考查了三角函数的化简与求值的运用，属于基础题。
81．在锐角中，，，分别是角，，所对的边，且.
（1）求角的大小；
（2）若，且，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据正弦定理得到，进而可求得，即可解出；
（2）由余弦定理可得，结合三角形面积公式代入计算即可
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理得，
因为，则
又因为是锐角，故；
（2）由余弦定理，得，
所以
又因为，
所以
则．
【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查三角形面积公式的计算，属于中档题．
82．已知向量,设函数
（1）求的最小正周期．
（2）求函数的单调递减区间．
（3）求在上的最大值和最小值．
【答案】(1)；(2)．(3) 最大值为1,最小值为．
【分析】先由题意得到；
（1）根据周期计算公式，即可求出结果；
（2）根据正弦函数的单调区间得到，求解，即可得出结果；
（3）先由题意得到，结合正弦函数的性质，即可得出结果.
【详解】由已知可得：
,
（1）的最小正周期；
（2）由,可得,
的单调递减区间为．
（3）,,
,
的最大值为1,最小值为．
【点睛】本题主要考查求三角函数的周期、单调区间，以及最值等，熟记正弦函数的性质即可求解，属于常考题型.
83．已知定点，动点到点F的距离比它到y轴的距离大1．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)过的直线，分别与点P的轨迹相交于点M，N（均异于点Q），记直线，的斜率分别为，，若，求证：直线MN的斜率为定值．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用两点距离公式可得，整理即可得轨迹方程.
（2）根据题设令、，为，为，联立抛物线方程求的坐标，再应用两点式求即可证结论.
(1)
由题设，，则，又，
∴，故动点P的轨迹方程为.
(2)
由题设，令为，为，
联立抛物线，可得：，若，，
∴，则，同理可得，则，
∴，为定值.
84．下列情况中哪些适合用全面调查，哪些适合用抽样调查？说明理由
（1）了解某城市居民的食品消费结构；
（2）调查一个县各村的粮食播种面积；
（3）了解某地区小学生中患沙眼的人数；
（4）了解一批玉米种子的发芽率；
（5）调查一条河流的水质；
（6）某企业想了解其产品在市场的占有率.
【答案】见解析
【解析】根据抽样调查和全面调查的定义依次判断每个选项得到答案.
【详解】（1）适合抽样调查，因为调查对象较多；
（2）适合全面调查，因为调查对象较少；
（3）适合抽样调查，因为调查对象较多；
（4）适合抽样调查，因为调查具有破坏性；
（5）适合抽样调查，因为调查对象较多；
（6）适合抽样调查，因为调查对象多而且不易操作.
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查，属于简单题.
85．在四棱锥中，底面，，，，点在棱上，且满足.
(1)证明：平面；
(2)若，求点，到平面的距离之和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线线的平行关系做出平面BCE与平面ABP的交线，再由线线平行证得线面平行；
（2）运用锥体的体积法计算点面距离即可.
【详解】
（1）证明：在上取一点，使得，连接，.
因为，所以，所以且，
又，，所以，
所以，，所以四边形是平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面.
（2）因为，，
所以三棱锥的高为，
所以，
又，
所以.
又，
设点，到平面的距离之和为，则，
即，解得.
故点，到平面的距离之和为.
86．已知，
（1）令，完成下列表格 ，
0 π 2π
0 1 0 -1 0
1 3 1 -1 1
（2）求出最大值，最小值
（3）根据表中数据绘出草图
【答案】（1）表格见解析；（2）的最大值为，的最小值为；（3）函数图象见解析；
【分析】（1）根据“五点作图法”完成表格；
（2）由（1）表格可知函数的最值；
（3）根据（1）表格中数据画出函数图象；
【详解】解：（1）因为，，所以
0 π 2π
0 1 0 0
1 3 1 1
1 3 1 1
（2）由（1）可知的最大值为，的最小值为；
（3）由（1）可知函数图象如下：
87．（1）求函数的值域；
（2）求函数的值域．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）利用换元法，令，解得后代入可得，根据二次函数性质可求得值域；（2）利用分离常数法可得，从而可得，进而得到值域.
【详解】（1）设，则
当时，
的值域为
（2）
的值域为
【点睛】本题考查函数值域的求解，重点考查了换元法和分离常数法求解根式型和分式型函数的值域；求解值域问题的关键是能够熟练掌握解析式的形式所对应的值域的求解方法.
88．如图，四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，，．
(1)求证：平面ABCD；
(2)设点M是BD中点，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过证明来证得平面ABCD.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得二面角的余弦值．
(1)
由于，，所以，
由于，所以平面，
所以平面，.
，
所以，所以，
由于，所以平面ABCD；
(2)
由（1）可知两两相互垂直，
建立如图所示空间直角坐标系，
，
，，
设平面的法向量为，
则，故可设，
同理可求得平面的法向量为，
由图可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
89．求不等式的解集.
【答案】,或.
【解析】因为方程的根是函数的零点,先求出的根,再根据函数图象得到的解集.
【详解】对于方程
则,所以方程有两个实数根.
则
解得,
画出二次函数的图象如下图所示:
结合图象可知不等式的解集为,或
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,一元二次不等式与一元二次方程的关系,属于基础题.
90．某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量P万件满足P＝3﹣（其中0≤x≤2）.现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P万件还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）万元/万件.
（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（2）当促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润.
【答案】（1），0≤x≤2；（2）当促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，最大利润为13万元.
【分析】（1）根据题意，结合已知数据，即可列出函数关系式；
（2）根据（1）中所求函数解析式，求函数的最大值即可.
【详解】（1）当促销费用为万元时，
付出的成本是：
销售收入是：，
故
整理可得，0≤x≤2.
（2）根据（1）中所求，
，当且仅当时取得最大值.
故当促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，最大利润为13万元.
【点睛】本题考查分式函数模型的应用，涉及利用基本不等式求和的最小值，属综合基础题.
91．已知函数.
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）求在区间上的最大值.
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）由恒成立，则分离变量可得恒成立，再设，然后求其最大值即可得解；
（2）由二次型函数的动轴定区间问题，分别讨论当时，当时， 当时，函数在的最大值即可得解.
【详解】解：（1）因为，
又，即，
即，
即，
即恒成立，
令，则 ，
则，
则，
设，
易得在为减函数，在为增函数，
又，，所以，
即，
即的取值范围为；
（2）由，
又，所以，
令，则 ，
则，
①当即时，函数在为增函数，即，
②当即时，函数在为减函数，即，
③当即时，函数在为增函数，在为减函数，即，
综合①②③可得.
【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，主要考查了二次型函数动轴定区间问题，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.
92．某网站的调查显示，健身操类 跑步类 拉伸运动类等健身项目在大众健康项目中是比较火热的，但是大多数人的健身科学类知识相对缺乏，尤其是在健身指导方面.从某健身房随机抽取200名会员，对其平均每天健身时间进行调查，如下表，健身之前他们的体重情况如柱状图（1）所示，该健身房的教练为他们制订了健身计划，四个月后他们的体重情况如柱状图（2）所示.
平均每天健身时间(分钟)
人数 20 36 44 50 40 10
（1）若这200名会员的平均体重减少不低于，就认为该计划有效，根据上述柱状图，试问：该计划是否有效？(每组数据用该组区间的中点值作代表)
（2）请根据图中数椐填写下面的列联表，试问：是否有99%的把握认为平均每天健身时间与会员健身前的体重有关？
平均每天健身时间低于60分钟 平均每天健身时间不低于60分钟 合计
健身前体重低于
健身前体重不低于 80
合计 200
（3）以这200名会员平均每天健身时间的频率，代替该健身房1名会员平均每天健身时间发生的概率，若在该健身房随机调查12名会员，则其中平均每天的健身时间不低于70分钟的人数最有可能(即概率最大)是多少？
参考公式：，其中.
参考数据：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）该计划有效；（2）列联表答案见解析，有99%的把握认为平均每天健身时间与会员健身前的体重有关；（3）人数最有可能是3人.
【分析】（1）根据柱状图，采用中间值对应频率求和的方法计算平均体重，然后作差比较判断是否有效；（2）由题意填表，代入公式计算即可；（3）从柱状图中计算会员平均每天的健身时间不低于70分钟的概率为，设抽取的12人中平均每天的健身时间不低于70分钟的人数为，则，表示当时概率的值，利用概率最大计算出的值即为最有可能的人数.
【详解】（1）柱状图（1）中的体重平均值为.
柱状图（2）中的体重平均值为.
因为，所以该计划有效.
（2）列联表如下：
平均每天健身时间低于60分钟 平均每天健身时间不低于60分钟 合计
健身前体重低于 40 20 60
健身前体重不低于 60 80 140
合计 100 100 200
的观测值为.
所以有99%的把握认为平均每天健身时间与会员健身前的体重有关.
（3）由题意可知，该健身房每名会员平均每天的健身时间不低于70分钟的概率为．
设抽取的12人中平均每天的健身时间不低于70分钟的人数为，则，
，，1，2，…，12．
得
得
化简得，又，所以，
即12名会员中平均每天的健身时间不低于70分钟的人数最有可能是3人．
【点睛】方法点睛：（1）柱状图中均值的计算：每组组距中间值对应频率，然后求和；
（2）概率最大的求法：设时，概率取得最大值，则代入概率公式可计算出概率最大时的值.
93．已知函数和，设.
（1）求函数；
（2）求和的值；
（3）求的值；
（4）若函数，试判断与是否为同一函数，并说明理由.
【答案】（1）；（2）；不存在；（3）当时，；当时，不存在；（4）和不是同一函数，详见解析.
【分析】（1）先由的定义域可得的定义域，然后求解；
（2）把代入可得,没有意义；
（3）分类讨论与定义域的关系，可得的值；
（4）从定义域和解析式的特征进行判定.
【详解】（1）.
∵的定义域为的定义域为，
∴的定义域为与的定义城的交集，即.
∴.
（2）∵，∴.
∵，∴不存在.
（3）当时，即当时，；
当时，即当时，不存在.
（4）和，虽然函数解析式相同，但是定义域不同，前者定义域R，后者定义域为.
所以和不是同一函数.
【点睛】本题主要考查函数的解析式及定义域，同一函数的判定等，函数定义域是函数不可缺失的一部分，求解时应该遵循定义域优先的策略，侧重考查数学抽象的核心素养.
94．已知，求的值．
【答案】
【解析】根据诱导公式和二倍角公式，化简已知为，将所求式中的2，用替换，整理化为齐二次分式，分子、分母同除以，化弦为切，即可求解
【详解】解：因为
，
所以
．
【点睛】本题考查已知三角函数值求值问题，解题的关键是化简，涉及到诱导公式、二倍角公式，以及齐次分式化弦为切的方法，属于中档题.
95．如图，矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线在x轴上方的曲线上，求矩形面积最大时的边长.
【答案】当矩形面积最大时，矩形边AB长，BC长
【分析】先设出点坐标，进而表示出矩形的面积，通过求导可求出其最大面积.
【详解】设点，
那么矩形面积，.
令解得（负舍）.
所以S在（0，）上单调递增，在（，2）上单调递；..
所以当时，S有最大值.此时
答：当矩形面积最大时，矩形边AB长，BC长.
96．某大学为调研学生在、两家餐厅用餐的满意度，从在、两家都用过餐的学生中随机抽取了人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为分.整理评分数据，将分数以为组距分为组：、、、、、，得到餐厅分数的频率分布直方图和餐厅分数的频数分布表：
（1）在抽样的人中，求对餐厅评分低于的人数；
（2）从对餐厅评分在范围内的人中随机选出人，求人中恰有人评分在范围内的概率.
（3）如果从、两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由.
【答案】（1）20人；（2）；（3）选择餐厅用餐，理由见解析.
【分析】（1）由餐厅分数的频率分布直方图得频率，从而得人数；
（2）对餐厅评分在范内的有人，记为、，对餐厅评分在范围内的有人，记为、、，用列举法写出任选2人可能，计数后可计算出所求概率；
（3）由（1）（2）比较得分低于30分的人数可得结论．
【详解】（1）由餐厅分数的频率分布直方图，得对餐厅评分低于分的频率为：
，
∴对餐厅评分低于的人数为人，
（2）对餐厅评分在范内的有人，设为、，
对餐厅评分在范围内的有人，设为、、，
从这人中随机选出人的选法为：
、、、、、、、、、，共种，
其中恰有人评分在范围内的选法包括：
、、、、、，共种，
故人中恰有人评分在范围内的概率为，
（3）从两个餐厅得分低于分的人数所占的比例来看，由（1）得，抽样的人中，
餐厅评分低于的人数为，
∴餐厅评分低于分的人数所占的比例为，
餐厅评分低于分的人数为，
∴餐厅得分低于分的人数所占的比例为，
∴会选择餐厅用餐.
97．已知，.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）求的值.
【答案】（1）为奇函数；（2）20
【解析】（1）先求得函数的定义域，然后由证得为奇函数.
（2）根据为奇函数，求得，从而得到，由此求得所求表达式的值.
【详解】（1），定义域为，当时，.
因为，所以为奇函数.
（2）由（1）得，于是.
所以
【点睛】本小题主要考查函数奇偶性的判断，考查利用函数的奇偶性进行计算，属于基础题.
98．已知函数.
（1）当，解不等式；
（2）求证：
【答案】（1）（2）证明见解析
【分析】（1）利用零点分段法，对分三种情况讨论，分别解不等式，即可得答案；
（2）当时，不等式显然成立； 当时， ， 再证明左边的最大值小于等于右边的最小值即可.
【详解】（1）当，不等式为，
当时，，不符合题意；
当时，，解得，故此时；
当时，，符合题意，故此时，
综上，原不等式的解集为．
（2）当时，不等式显然成立；
当时，要证 即证，
因为，
当且仅当，等号成立．
而，当且仅当等号成立，
所以成立．
所以．
【点睛】本小题以含绝对值函数为载体，考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式的证明等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力，考查分类与整合的思想，转化与化归的思想，体现基础性与综合性，导向对发展逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养的关注．
99．已知函数.
（1）当时，求曲线上在点处的切线方程；
（2）这下面三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.若___________，求实数m的取值范围.
①在区间上是单调减函数；②在上存在减区间；③在区间上存在极小值.
【答案】（1）；
（2）若选①：；若选②： ；若选③：.
【分析】（1）求得和，进而可得切线方程；
（2）若选①，则转化为在区间上恒成立，根据“三个二次”可得结果；
若选②，则转化为在区间上有解，分离变量可得结果；
若选③，求得的极小值点为，解不等式可得结果.
【详解】（1）当时，，所以，
点为切点，，
函数在点处的切线方程为：，即；
（2）∵，
∴若选①：函数在区间上是单调减函数，则有：
在区间上恒成立，即在上恒成立，
∴，解得；
若选②：函数在上存在减区间，则有在区间上有解，
即得在区间上有解，
此时令，显然在区间上单调递减，
所以，故有；
若选③：函数在区间上存在极小值，则函数的极小值点应落在内.
令，求得，，
此时可得，在，上单调递增；在上单调递减；
所以是函数的极小值点，
即得，
当时，不等式恒成立，
当时，，解之可得，
所以.
100．如图所示，在三棱柱中，，，四边形为菱形，，，D为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）证明，，则平面即得证；
（2）取中点为E，连结，，证明平面，以E为坐标原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）由，则有，又D为的中点，所以，
由，则有，，
又，
所以，
则可知，
又有，平面，所以平面；
（2）取中点为E，连结，，
由，则有，
又易知，
则有，所以，
又可知，，平面，则平面，
如图，以E为坐标原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
有，，，，，
由，则有平面，
所以，
又，，
所以平面，
所以平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则有，即，
可取，
记二面角为，
则.
故二面角的余弦值为．
试卷第1页，共3页
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