(共16张PPT)
2012年十大杰出艺术家——世界第一位“雪艺家”的创作.
创设情境 引入课题
2001年APEC上海峰会中的一张照片.照片中的一面背景墙是由“一些特殊数字”组成的“三角形”设计而成.
数学史上伟大的发现——
“杨辉三角”
杨辉三角
创设情境 引入课题
你能联想到什么知识呢？
人教版《数学》 八年级下册
【活动一】
【任务二】将上述展开后的5个多项式中的系数，按顺序
记录.
【任务要求】
1.每个多项式按照a的降幂顺序排列.
2.小组分工协作：计算、检查、记录、整理
合作交流 探索规律
1a+1b
1a2+2ab+1b2
1a3+3a2b+3ab2+1b3
1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
探究新知
杨辉三角
合作交流 探索规律
1
=
=
=
=
=
【活动二】探索规律
【分组研讨】
【研讨问题1】展开式中的项数与乘方指数有何关系？
【研讨问题2】字母a,b的次数排列规律？各项的次数有什么规律？
【研讨问题3】观察系数表，上下行之间数据的关系？
【活动要求】研讨并记录整理。.
合作交流 探索规律
总结：
2、a的次数：从高到低，b的次数：从低到高。
各项的次数都是乘方的指数。
1、展开式中的项数比乘方指数多1 。
3、三角形的两条斜边上都是数字1，而其余的
数都等于它肩上的两个数字相加。
合作交流 探索规律
=
=
=
=
=
1a+1b
1a2+2ab+1b2
1a3+3a2b+3ab2+1b3
1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
探究新知
合作交流 探索规律
1
=
【问题1】你能利用规律直接写出 的展开式及系数吗？
【问题2】根据规律直接写出的多项式与系数对不对呢？
结论：当n=5时，规律仍然成立.
【问题3】那么当n=6,7,8,…… 时，我们怎么来验证呢？
我们用已有的知识能验证“所有”吗？
n可以取到无限大，用我们现在有限的知识和经验是无法完成验证的.
高中阶段我们就会证明这些规律了.
合作交流 探索规律
资源拓展 了解数学史
杨辉三角到底由哪个国家最先发现的呢？
杨辉三角还有哪些历史呢？
请同学们认真观看，了解更多的“杨辉三角”.
巩固新知
深化新知
应用新知
例1：利用杨辉三角解决下列问题：
例2：“纵横路线图”问题：（考虑讲不讲）
杨辉去参加聚会，但是只有一张从A到O的地图，地图上标明了每条路线，纵横有各5条路。杨辉发现，如果从A到O处（只能从南到北，从西到东），地图中存在着好几条路线，且都是最短并不重复，你知道他一共走了多少条路线吗？
应用新知
【问题4】在从不同方向看，杨辉三角中还有哪些规律？
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
………………………………
深化新知
1.三角形的两条斜边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加。
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
………………………………
杨辉三角的基本性质
2.杨辉三角具有对称性（对称美），与首末两端“等距离 ”的两个数相等。
3.第n行包含n+1个数。
总结提升
1. 谈谈你在本节课中有哪些收获？
2. 我们是怎样探索规律的？
3. 数学思想方法：
【一般思路】
由特殊到一般
数学之美
课后思考
1.继续观察杨辉三角，你还能发现杨辉三角中的数字有哪些有趣的性质？
2.上网查找关于杨辉三角的规律.杨辉三角与
一、探究新知，寻找规律
【活动一】：计算：即：
任务要求：将结果按照的降幂顺序排列
将展开式填入下图。
活动记录 结果多项式 各项系数表
2、将上述展开后的5个多项式中的系数，按顺序记录在右表.
【活动二】探索规律
问题1：展开式中的项数与乘方指数有何关系？
问题2：字母a,b的次数排列规律？各项的次数有什么规律？
问题3：观察系数表，上下行之间数据的关系？
3、你能利用规律直接写出 的展开式及系数吗？
二、资源拓展，了解数学史
三、应用新知
例1：利用杨辉三角解决下列问题
(1)求 (2a+1)5的展开式；
(2)简便计算：
(3)简便计算：
例2：“纵横路线图”问题
杨辉去参加聚会，但是只有一张从A到O的地图，地图上标明了每条路线，纵横有各5条路。杨辉发现，如果从A到O处（只能从南到北，从西到东），地图中存在着好几条路线，且都是最短并不重复，你知道他一共走了多少条路线吗？
四、拓展深化
【活动三】观察杨辉三角，寻找规律
从不同的方向观察杨辉三角，你能发现什么数字规律
观察方向 数字规律
竖向
横向
斜向
斜向与横向
五、课堂小结
你有什么收获？
六、课后思考
