第十二章全等三角形学案
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第十二章 全等三角形
一、本章知识结构
二、本章知识树
三、主要知识点
（一）全等三角形的概念、性质
1.下列叙述中错误的是（ ）
A．能够重合的图形称为全等图形 B．全等图形的形状和大小都相同
C．所有正方形都是全等图形 D．形状和大小都相同的两个图形是全等图形
2.如图，△ABC≌△CDA，并且BC=DA，那么下列结论错误的是（ ）
A．∠1=∠2 B．AC=CA C．AB=AD D．∠B=∠D
第2题 第3题
3.已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是 °.
4.如图，已知△ABC≌△ADE，若∠ABC=70°，∠DAE=80°，则∠C的度数是
°.
第4题 第5题
5.如图，已知△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，则∠EGF=
°.
【知识点】
1. 叫全等形， 叫全等三角形；
2.全等三角形性质：全等三角形的 相等， 相等， 相等， 相等，对应边上的 相等，对应角的 相等.
（二）全等三角形的判定
1. 如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（ ）
A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC
C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D
第1题 第2题 第3题 第4题
2. 尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP.则射线OP就是∠AOB的平分线.由作法得△OCP≌△ODP的根据是 .
3. 如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是 .
4. 如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是 .
5. 如图，在方格纸中的三个顶点及A、B、C、D、E五个点都在小方格的顶点上．现以A、B、C、D、E中的三个点为顶点画三角形．
（1）在图甲中画出一个三角形与△PQR全等；
（2）在图乙中画出一个三角形与△PQR面积相等但不全等.
第5题 第6题
6. 如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是 .
【知识点】
三角形全等的判定方法有 、 、 、 、 .
常见的全等变换有 、 、 .
（三）全等三角形的证明
1.如图，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E,求证：BC=DC．
如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．
如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．求证：AF=DC．
如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．求证：∠A=∠B．
如图，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上的一点，且AD=BE，∠1=∠2．求证：AE=BC．
6.如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？写出你猜想的结论并加以证明．
如图，两根旗杆AC，BD相距10米，旗杆AC高3米，且AC⊥AB，BD⊥AB，一同学从B点出发向A点走去，当他走到点M时，发现自己刚好走了3米，此时他仰望旗杆的顶点C，D，又发现两条视线CM=DM． （1）求旗杆BD的高为多少米？ （2）两条视线CM，DM有怎样的位置关系？请说明理由．
8. 已知：如图，∠1=∠2，∠D+∠C=180°．求证：AC=BD．
（四）角平分线的性质
1. 如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，则D点到AB的距离是 cm．
第1题 第2题 第3题 第4题
2. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是 ．
3. 如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC∥OB，PD⊥OB，如果PC=6，那么PD等于 ．
4. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于E，若△DEB的周长为10cm，则AB的长为 cm．
5. 如图，△ABO中，AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD，BC交于点E，且OE平∠AOB，求证：AE=BE．
6.如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P， （1）在图1中，分别画出点P到边AC、BC、BA的垂线段PF、PG、PH，这3条线段相等吗？为什么？ （2）在图2中，∠ABC是直角，∠C=60°，其余条件都不变，请你判断并写出PE与PD之间的数量关系，并说明理由．
7.如图，已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与边OA，OB交于点C，D．求证：PC=PD．
8.如图，在四边形ABCD中，已知∠1=∠2，∠A+∠C=180°．求证：AD=CD．
9.如图，已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠A的平分线．求证：AC+CD=AB．
【知识点】
角平分线的性质： ；
角平分线的判定： .
已知角平分线时，常用的辅助线是： ； .
四、检测
一、选择题：
1. 如图，OA=OB，OC=OD，∠O=50°，∠D=35°，则∠AEC等于（ ）
A．60° B. 50° C. 45° D. 30°
第1题 第2题 第3题 第4题
如图，直线l过等腰直角△ABC顶点B，A、C两点到直线l的距离分别是2和3，则MN的长是（ ）
A．5 B. 4 C. 3 D. 2
如图，AC⊥BE，∠A=∠E，不能判断△ABC≌△EDC的条件是（ ）
A．BC=DC B．∠B=∠CDE C．AB=DE D．AC=CE
如图，折叠直角△ABC，使点C落在AB上的点E处．已知BC=12，∠B=30°，则DE的长是（ ）
A．6 B. 4 C. 3 D. 2
二、填空题：
5.如图，△ABC≌△DBF，∠ABD=30°，则∠CBF的度数为 °.
第5题 第6题 第7题
6.如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有 （填序号）.
7.如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件 ，使得△EAB≌△BCD．
8.如图，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=4cm，CE=3cm，则DE= cm.
第8题 第9题 第10题
9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，∠A的平分线AD交BC于D，则= .
10.如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是 .
三、解答题：
11.如图：已知D、E分别在AB、AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BE=CD．
12.已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：BD=AE．
13.已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G，求证：AE=CG．
14．已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，点B、D分别在AN、AM上． （1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之； （2）如图2，若∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
检测答案
A 2. A 3. B 4. B 5. 30
①③④ 7. 答案不惟一，如BE=BD，AE=BC等 8.7 9. 10. 21
11.证明：在△ACD和△ABE中，
∴△ACD≌△AEB（ASA）， ∴BE=CD．
12.证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形， ∴AC=BC，CD=CE， ∵∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD， ∴∠ACE=∠BCD， 在△ACE和△BCD中，
∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴BD=AE．
证明：∵AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，
∴∠A=∠BCD=45°，∠ACE+∠BCF=90°，
∵BF⊥CE,
∴∠CBGE+∠BCF=90°，
∴∠ACE=∠CBG.
在△ACE和△BCG中，
∴△ACE≌△BCG（ASA）， ∴AE=CG．
解：（1）关系是：AD+AB=AC 证明：∵AC平分∠MAN，∠MAN=120° ∴∠CAD=∠CAB=60° 又∠ADC=∠ABC=90°， ∴∠ACD=∠ACB=30° 则AD=AB=AC ∴AD+AB=AC； （2）仍成立．
证明：过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F， ∵AC平分∠MAN ∴CE=CF， ∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180° ∴∠CDE=∠ABC 又∠CED=∠CFB=90°，∴△CED≌△CFB（AAS）， ∵ED=FB，∴AD+AB=AE-ED+AF+FB=AE+AF， 由（1）知AE+AF=AC， ∴AD+AB=AC．
一、本章知识结构
二、本章知识树
三、主要知识点
（一）全等三角形的概念、性质
1.下列叙述中错误的是（ ）
A．能够重合的图形称为全等图形 B．全等图形的形状和大小都相同
C．所有正方形都是全等图形 D．形状和大小都相同的两个图形是全等图形
2.如图，△ABC≌△CDA，并且BC=DA，那么下列结论错误的是（ ）
A．∠1=∠2 B．AC=CA C．AB=AD D．∠B=∠D
第2题 第3题
3.已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是 °.
4.如图，已知△ABC≌△ADE，若∠ABC=70°，∠DAE=80°，则∠C的度数是
°.
第4题 第5题
5.如图，已知△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，则∠EGF=
°.
【知识点】
1. 叫全等形， 叫全等三角形；
2.全等三角形性质：全等三角形的 相等， 相等， 相等， 相等，对应边上的 相等，对应角的 相等.
（二）全等三角形的判定
1. 如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（ ）
A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC
C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D
第1题 第2题 第3题 第4题
2. 尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP.则射线OP就是∠AOB的平分线.由作法得△OCP≌△ODP的根据是 .
3. 如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是 .
4. 如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是 .
5. 如图，在方格纸中的三个顶点及A、B、C、D、E五个点都在小方格的顶点上．现以A、B、C、D、E中的三个点为顶点画三角形．
（1）在图甲中画出一个三角形与△PQR全等；
（2）在图乙中画出一个三角形与△PQR面积相等但不全等.
第5题 第6题
6. 如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是 .
【知识点】
三角形全等的判定方法有 、 、 、 、 .
常见的全等变换有 、 、 .
（三）全等三角形的证明
1.如图，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E,求证：BC=DC．
如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．
如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．求证：AF=DC．
如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．求证：∠A=∠B．
如图，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上的一点，且AD=BE，∠1=∠2．求证：AE=BC．
6.如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？写出你猜想的结论并加以证明．
如图，两根旗杆AC，BD相距10米，旗杆AC高3米，且AC⊥AB，BD⊥AB，一同学从B点出发向A点走去，当他走到点M时，发现自己刚好走了3米，此时他仰望旗杆的顶点C，D，又发现两条视线CM=DM． （1）求旗杆BD的高为多少米？ （2）两条视线CM，DM有怎样的位置关系？请说明理由．
8. 已知：如图，∠1=∠2，∠D+∠C=180°．求证：AC=BD．
（四）角平分线的性质
1. 如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，则D点到AB的距离是 cm．
第1题 第2题 第3题 第4题
2. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是 ．
3. 如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC∥OB，PD⊥OB，如果PC=6，那么PD等于 ．
4. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于E，若△DEB的周长为10cm，则AB的长为 cm．
5. 如图，△ABO中，AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD，BC交于点E，且OE平∠AOB，求证：AE=BE．
6.如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P， （1）在图1中，分别画出点P到边AC、BC、BA的垂线段PF、PG、PH，这3条线段相等吗？为什么？ （2）在图2中，∠ABC是直角，∠C=60°，其余条件都不变，请你判断并写出PE与PD之间的数量关系，并说明理由．
7.如图，已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与边OA，OB交于点C，D．求证：PC=PD．
8.如图，在四边形ABCD中，已知∠1=∠2，∠A+∠C=180°．求证：AD=CD．
9.如图，已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠A的平分线．求证：AC+CD=AB．
【知识点】
角平分线的性质： ；
角平分线的判定： .
已知角平分线时，常用的辅助线是： ； .
四、检测
一、选择题：
1. 如图，OA=OB，OC=OD，∠O=50°，∠D=35°，则∠AEC等于（ ）
A．60° B. 50° C. 45° D. 30°
第1题 第2题 第3题 第4题
如图，直线l过等腰直角△ABC顶点B，A、C两点到直线l的距离分别是2和3，则MN的长是（ ）
A．5 B. 4 C. 3 D. 2
如图，AC⊥BE，∠A=∠E，不能判断△ABC≌△EDC的条件是（ ）
A．BC=DC B．∠B=∠CDE C．AB=DE D．AC=CE
如图，折叠直角△ABC，使点C落在AB上的点E处．已知BC=12，∠B=30°，则DE的长是（ ）
A．6 B. 4 C. 3 D. 2
二、填空题：
5.如图，△ABC≌△DBF，∠ABD=30°，则∠CBF的度数为 °.
第5题 第6题 第7题
6.如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有 （填序号）.
7.如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件 ，使得△EAB≌△BCD．
8.如图，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=4cm，CE=3cm，则DE= cm.
第8题 第9题 第10题
9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，∠A的平分线AD交BC于D，则= .
10.如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是 .
三、解答题：
11.如图：已知D、E分别在AB、AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BE=CD．
12.已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：BD=AE．
13.已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G，求证：AE=CG．
14．已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，点B、D分别在AN、AM上． （1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之； （2）如图2，若∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
检测答案
A 2. A 3. B 4. B 5. 30
①③④ 7. 答案不惟一，如BE=BD，AE=BC等 8.7 9. 10. 21
11.证明：在△ACD和△ABE中，
∴△ACD≌△AEB（ASA）， ∴BE=CD．
12.证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形， ∴AC=BC，CD=CE， ∵∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD， ∴∠ACE=∠BCD， 在△ACE和△BCD中，
∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴BD=AE．
证明：∵AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，
∴∠A=∠BCD=45°，∠ACE+∠BCF=90°，
∵BF⊥CE,
∴∠CBGE+∠BCF=90°，
∴∠ACE=∠CBG.
在△ACE和△BCG中，
∴△ACE≌△BCG（ASA）， ∴AE=CG．
解：（1）关系是：AD+AB=AC 证明：∵AC平分∠MAN，∠MAN=120° ∴∠CAD=∠CAB=60° 又∠ADC=∠ABC=90°， ∴∠ACD=∠ACB=30° 则AD=AB=AC ∴AD+AB=AC； （2）仍成立．
证明：过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F， ∵AC平分∠MAN ∴CE=CF， ∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180° ∴∠CDE=∠ABC 又∠CED=∠CFB=90°，∴△CED≌△CFB（AAS）， ∵ED=FB，∴AD+AB=AE-ED+AF+FB=AE+AF， 由（1）知AE+AF=AC， ∴AD+AB=AC．