数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.2 等差数列 课时同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.2 等差数列 课时同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 203.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-23 20:19:32 | ||
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文档简介
4.2 等差数列
课时同步练习
1．在等差数列中，已知，则该数列前9项和（ ）
A．18 B．27 C．36 D．45
2．《九章算术》大约成书于公元一世纪，是我国古代第一部数学著作，共收藏了246个与生产实践有关的应用问题，其中有一题：今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？其意：现有一根金杖，五尺长，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重量为四斤，在细的一端截下一尺，重量为二斤.问依次每一尺各有多重？假设金杖由粗到细所截得的每尺的重量依次成等差数列，斤，则（ ）
A．2.5斤 B．2.75斤 C．3斤 D．3.5斤
3.记为等差数列的前n项和．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4.等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．51 B．50 C．49 D．48
5.等差数列中，为它的前项和，若，，，则当（ ）时，最大.
A． B． C． D．
6.已知是公差为的等差数列，前项和是，若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．（多选题）设等差数列的前项和为．若，，则（ ）
A． B． C． D．
8.（多选题）设数列是等差数列，Sn是其前n项和，a1＞0，且S6=S9，则（ ）
A．， B．， C．S5＞S6， D．S7或S8为Sn的最大值
9．（多选题）已知是等差数列()的前项和，且，以下有四个命题，其中正确的有（ ）
A．数列中的最大项为 B．数列的公差
C． D．
10.已知是等差数列，且，，则________
11.等差数列的前项和为，，，则______.
12．设等差数列的前项和为，若，则_____；的最大值为_____．
13.在等差数列{an}中，a1 >0，3a4 = 7a7，求Sn 取得最大值时n的值.
14.已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.
(1)求{an}的通项an；
(2)求{an}前n项和Sn的最大值．
15.为数列{}的前项和.已知＞0，=.
（Ⅰ）求{}的通项公式；
（Ⅱ）设,求数列{}的前项和.
16.已知数列的前项和为, 满足, 且.
(1) 令, 证明:； (2) 求的通项公式.
17.已知等差数列的前项和为，且满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为，求取得最大值时的值.
1.【答案】D
【解析】
在等差数列中，，所以.
故选：D
2.【答案】D
【解析】
由题意可知，斤，斤，则公差斤，
故斤.
故选:D.
3.【答案】A
【解析】
分析：等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，，，排除B，对C，，排除C．对D，，排除D，故选A．
详解：由题知，，解得，∴，故选A．
4.【答案】C
【解析】
设等差数列的公差为，首项为，
所以 ，解得：
所以.
故选：C
5.【答案】C
【解析】
等差数列中，前项和为，且，，
即，，
，所以，，则，
因此，当时，最大.
故选：C.
6.【答案】D
【解析】
，，，，.
，.
故选：D.
7.【答案】AC
【解析】
设等差数列的公差为，则，解得，
，.
故选：AC.
8.【答案】ABD
【解析】
根据题意可得，
数列是等差数列，a1＞0，
公差，
所以数列是单调递减数列，
对于A、B，，，显然成立，
对于C，由，则，故C不正确；
对于D，由，则，又数列为递减数列，则S7或S8为Sn的最大值，
故D正确；
故选：ABD
9.【答案】BCD
【解析】
，故，且，
故数列中的最大项为，错误；
数列的公差，正确；
，正确；
，正确；
故选：.
10.【答案】
【解析】
依题意，解得.
故答案为：
11.【答案】
【解析】
不妨设数列的公差为，故可得，，
即，解得.
故可得.
故答案为：.
12.【答案】72 64
【解析】
设等差数列的公差为，
则，即，
所以，
，
则，，
所以，
当且仅当时取等号，所以的最大值为64．
故答案为：72；64.
13.【答案】9
【解析】
设等差数列{an}的公差为，
因为a1 >0，3a4 = 7a7，
化为
即，则，
，
所以前9项和最大.
即Sn 取得最大值时n的值为9.
14.【答案】（1）an＝－2n＋5.（2）4
【解析】
（Ⅰ）设{an}的公差为d，由已知条件，，解出a1＝3，d＝－2．
所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5．
（Ⅱ）Sn＝na1＋d＝－n2＋4n＝－(n－2)2＋4，所以n＝2时，Sn取到最大值4．
15.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（I）由an2+2an＝4Sn+3，可知an+12+2an+1＝4Sn+1+3
两式相减得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）＝4an+1，
即2（an+1+an）＝an+12﹣an2＝（an+1+an）（an+1﹣an），
∵an＞0，∴an+1﹣an＝2，
∵a12+2a1＝4a1+3，
∴a1＝﹣1（舍）或a1＝3，
则{an}是首项为3，公差d＝2的等差数列，
∴{an}的通项公式an＝3+2（n﹣1）＝2n+1：
（Ⅱ）∵an＝2n+1，
∴bn（），
∴数列{bn}的前n项和Tn（）（）.
16.【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）证明：∵Sn=n2an﹣n2（n﹣1），
∴n≥2时，Sn=n2（Sn﹣Sn﹣1）﹣n2（n﹣1），
化为：Sn﹣=n，
∵bn=，∴bn﹣bn﹣1=n（n≥2）．
（2）解：b1=2a1=1．
∴bn=n+（n﹣1）+……+2+1=．
∴bn==，可得Sn=．
∴an=Sn﹣Sn﹣1=﹣=（n≥2），n=1时也符合．
∴an=．
17.【答案】（1）（2）10
【解析】
设差等数列公差为，依题意有.
解之得，则，
故的通项公式为：.
（2）由，得，
所以，即，由，故，
故取最大值时的值为10.
课时同步练习
1．在等差数列中，已知，则该数列前9项和（ ）
A．18 B．27 C．36 D．45
2．《九章算术》大约成书于公元一世纪，是我国古代第一部数学著作，共收藏了246个与生产实践有关的应用问题，其中有一题：今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？其意：现有一根金杖，五尺长，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重量为四斤，在细的一端截下一尺，重量为二斤.问依次每一尺各有多重？假设金杖由粗到细所截得的每尺的重量依次成等差数列，斤，则（ ）
A．2.5斤 B．2.75斤 C．3斤 D．3.5斤
3.记为等差数列的前n项和．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4.等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．51 B．50 C．49 D．48
5.等差数列中，为它的前项和，若，，，则当（ ）时，最大.
A． B． C． D．
6.已知是公差为的等差数列，前项和是，若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．（多选题）设等差数列的前项和为．若，，则（ ）
A． B． C． D．
8.（多选题）设数列是等差数列，Sn是其前n项和，a1＞0，且S6=S9，则（ ）
A．， B．， C．S5＞S6， D．S7或S8为Sn的最大值
9．（多选题）已知是等差数列()的前项和，且，以下有四个命题，其中正确的有（ ）
A．数列中的最大项为 B．数列的公差
C． D．
10.已知是等差数列，且，，则________
11.等差数列的前项和为，，，则______.
12．设等差数列的前项和为，若，则_____；的最大值为_____．
13.在等差数列{an}中，a1 >0，3a4 = 7a7，求Sn 取得最大值时n的值.
14.已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.
(1)求{an}的通项an；
(2)求{an}前n项和Sn的最大值．
15.为数列{}的前项和.已知＞0，=.
（Ⅰ）求{}的通项公式；
（Ⅱ）设,求数列{}的前项和.
16.已知数列的前项和为, 满足, 且.
(1) 令, 证明:； (2) 求的通项公式.
17.已知等差数列的前项和为，且满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为，求取得最大值时的值.
1.【答案】D
【解析】
在等差数列中，，所以.
故选：D
2.【答案】D
【解析】
由题意可知，斤，斤，则公差斤，
故斤.
故选:D.
3.【答案】A
【解析】
分析：等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，，，排除B，对C，，排除C．对D，，排除D，故选A．
详解：由题知，，解得，∴，故选A．
4.【答案】C
【解析】
设等差数列的公差为，首项为，
所以 ，解得：
所以.
故选：C
5.【答案】C
【解析】
等差数列中，前项和为，且，，
即，，
，所以，，则，
因此，当时，最大.
故选：C.
6.【答案】D
【解析】
，，，，.
，.
故选：D.
7.【答案】AC
【解析】
设等差数列的公差为，则，解得，
，.
故选：AC.
8.【答案】ABD
【解析】
根据题意可得，
数列是等差数列，a1＞0，
公差，
所以数列是单调递减数列，
对于A、B，，，显然成立，
对于C，由，则，故C不正确；
对于D，由，则，又数列为递减数列，则S7或S8为Sn的最大值，
故D正确；
故选：ABD
9.【答案】BCD
【解析】
，故，且，
故数列中的最大项为，错误；
数列的公差，正确；
，正确；
，正确；
故选：.
10.【答案】
【解析】
依题意，解得.
故答案为：
11.【答案】
【解析】
不妨设数列的公差为，故可得，，
即，解得.
故可得.
故答案为：.
12.【答案】72 64
【解析】
设等差数列的公差为，
则，即，
所以，
，
则，，
所以，
当且仅当时取等号，所以的最大值为64．
故答案为：72；64.
13.【答案】9
【解析】
设等差数列{an}的公差为，
因为a1 >0，3a4 = 7a7，
化为
即，则，
，
所以前9项和最大.
即Sn 取得最大值时n的值为9.
14.【答案】（1）an＝－2n＋5.（2）4
【解析】
（Ⅰ）设{an}的公差为d，由已知条件，，解出a1＝3，d＝－2．
所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5．
（Ⅱ）Sn＝na1＋d＝－n2＋4n＝－(n－2)2＋4，所以n＝2时，Sn取到最大值4．
15.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（I）由an2+2an＝4Sn+3，可知an+12+2an+1＝4Sn+1+3
两式相减得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）＝4an+1，
即2（an+1+an）＝an+12﹣an2＝（an+1+an）（an+1﹣an），
∵an＞0，∴an+1﹣an＝2，
∵a12+2a1＝4a1+3，
∴a1＝﹣1（舍）或a1＝3，
则{an}是首项为3，公差d＝2的等差数列，
∴{an}的通项公式an＝3+2（n﹣1）＝2n+1：
（Ⅱ）∵an＝2n+1，
∴bn（），
∴数列{bn}的前n项和Tn（）（）.
16.【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）证明：∵Sn=n2an﹣n2（n﹣1），
∴n≥2时，Sn=n2（Sn﹣Sn﹣1）﹣n2（n﹣1），
化为：Sn﹣=n，
∵bn=，∴bn﹣bn﹣1=n（n≥2）．
（2）解：b1=2a1=1．
∴bn=n+（n﹣1）+……+2+1=．
∴bn==，可得Sn=．
∴an=Sn﹣Sn﹣1=﹣=（n≥2），n=1时也符合．
∴an=．
17.【答案】（1）（2）10
【解析】
设差等数列公差为，依题意有.
解之得，则，
故的通项公式为：.
（2）由，得，
所以，即，由，故，
故取最大值时的值为10.