安徽省滁州市定远县育才学校2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题（含解析）

定远县育才学校2022-2023学年高三上学期期中考试
数学
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知集合，，则( )
A. B. C. D.
函数是偶函数且在上单调递减，，则的解集为( )
A. B.
C. D.
已知圆的半径为，点满足，，分别是上两个动点，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
设，则的大小关系是( )
A. B. C. D.
“大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成如图，记榴花塔高为，测量小组选取与塔底在同一水平面内的两个测量点和，现测得，，，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为( )
A. B. C. D.
设，把的图象向左平移个单位长度后，恰好得到函数的图象，则的值可以为( )
A. B. C. D.
无字证明是指利用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与条理，观察此图象，同学们能无字证明的结论是( )
A. B. C. D.
在中，角，，所对的边分别为，，，，，若的平分线与交于点，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
下列四个命题：其中不正确命题的是( )
A. 函数在上单调递增，在上单调递增，则在上是增函数
B. 函数的定义域是，则函数的定义域为
C. 当时，则有成立
D. 和不表示同一个函数
数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是( )
A. 是递增数列 B.
C. 当时， D. 当或时，取得最大值
设的内角所对的边分别为，且若点是外一点，，下列说法中，正确的命题是( )
A. 的内角
B. 一定是等边三角形
C. 四边形面积的最大值为
D. 四边形面积无最大值
定义在上的函数满足，且当时，
，则有 ( )
A. 为奇函数 B. 为增函数
C. D. 存在非零实数，，使得
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
若函数则
九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积弦矢弧田如图由圆弧和其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为，半径为的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是 精确到
已知向量，若，则实数 ．
已知，，，，设数列的前项和为，则 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，，且(sinA+sinB)sinC+cos2C=1．
求证：；
若的面积为，求．
本小题分
已知函数，其中且．
求函数的定义域；
判断的奇偶性，并说明理由；
若，求使成立的的集合．
本小题分
为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒个单位的净化剂，空气中释放的浓度单位：毫克立方米随着时间单位：小时变化的函数关系式近似为若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于毫克立方米时，它才能起到净化空气的作用．结果精确到，参考数据：，
若一次喷洒个单位的净化剂，则净化时间约达几小时？
若第一次喷洒个单位的净化剂，小时后再喷洒个单位的净化剂，设第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为毫克立方米，其中．
求的表达式；
求第二次喷洒后的小时内空气中净化剂浓度的最小值．
本小题分
已知，，．
求的最小正周期及单调递减区间；
求函数在区间上的最大值和最小值．
本小题分
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动如图，将筒车抽象为一个几何图形圆，筒车的半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每秒沿逆时针方向转动圈规定：盛水筒对应的点从水中浮现即时的位置时开始计算时间．

以过点的水平直线为轴，过点且与水面垂直的直线为轴，，建立如图所示的平面直角坐标系，试将点距离水面的高度单位：米表示为时间单位：秒的函数；
在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点距水面的高度超过米？
本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，且．
求函数的解析式；
判断当时函数的单调性，并用定义证明；
解不等式．
答案和解析
1. 【解析】根据题意，得，，故B．
2. 【解析】因为函数是偶函数且在上单调递减，
则该函数在上为增函数，
且，
由可得，
所以，可得或，解得或．
因此不等式的解集为．故选D．
3. 【解析】，
设、的中点为，在半径为的圆中，，得，，
，
即，
当与反向共线时，取得最小值；
当与同向共线时，取得最大值；
即的取值范围是；
4. 【解析】函数在上递减，
所以，即，
函数在上递增，
所以，即，
所以，故选A．
5. 【解析】因为，，，
所以，
由正弦定理，得，
所以，
因为在点处测得塔顶的仰角为，
所以，
所以在中，．故选A．
6. 【解析】将的图象向左平移个单位长度得：
，
当时，，不合题意，
当时，，不合题意，
当时，，不合题意，
当时，，满足题意，
综合得：选项D满足题意，故选：．
7. 【解析】从图形可以看出大正方形的面积比个直角三角形的面积和要大，当中心小正方形缩为一个点时，两个面积相等，
因此，
所以，当且仅当时等号成立故选D．
8. 【解析】因为，
所以，
因为，所以，
因为，，
所以，
由正弦定理，可得，解得，
因为的平分线与交于点，
所以，即，
所以由，可得，
在中，由余弦定理可得
．故选：．
9. 【解析】，例如，函数，满足在上单调递增，
在上单调递增，但在上不是增函数，错；
，函数的定义域是，
令，解得，
则函数的定义域为，则B正确；
，当，当时，，不等式不成立，错；
，，与的对应法则不相同，不是同一函数，对．
故选AC．
10. 【解析】当时，
当时，，
所以．
可知数列为递减数列，故A错误；
，故B正确；
令，解得，故C正确；
令，解得，即前项都是正数，第项等于，
则前项或前项的和最大，故D正确．
11. 【解析】 ，
根据正弦定理得 ，
，
即 ，
是三角形内角， ，
，
，且 ，
，
，，
，
为等边三角形，B正确；
由，则，且，
，
所以当时有最大面积为，故C正确，D错误．故选ABC．
12. 【解析】因为，令，可得，则，
令，可得，故，所以函数为奇函数，
故选项A正确；
设，则，
因为，所以且，
故，所以，
则，即，
故函数在上为增函数，故选项B正确；
令，，因为，
则，即，
因为，且函数在上为增函数，所以，
故选项C错误；
令，，则，
假设存在非零实数，，使得，则，
因为函数在上为增函数，所以，整理可得，
因为，则，故，解得，故、有解，
所以存在非零实数，，使得，故选项D正确．故选：．
13.
【解析】函数
，
，故答案为： ．
14. 【解析】，根据题意得，弦，矢，
因此弧田面积弦矢
15. 【解析】，，
由题意知，
，故答案为．
16. 【解析】由于，易知，则化简可得，
由于，
则，
因为，所以，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
则．
故答案为：．
17.解：依题意得，
又，所以，
由正弦定理得，
由余弦定理得得．
代入得，整理得．
由知，所以的面积为，
整理得，解得或舍去，所以．
18.解：要使函数有意义，则，
解得，
即函数的定义域为；
，
是奇函数．
若，
，
解得：，
，
若，则，
，解得，
故不等式的解集为．
19.解：一次喷洒个单位的净化剂，
则空气中净化剂的浓度为
当时，，即，
解得，，
当时，，即，
解得，
又，
综上所述，，
故净化时间约达小时．
，
，
，
，，
，
，当且仅当时，取“”．
故第二次喷洒后的小时内空气中净化剂浓度的最小值为毫克立方米．
20.解：，，
由
，
的最小正周期，
由，，
得：，
的单调递减区间为，；
由可得：
当时，函数取得最小值为
当时，函数取得最大值为
故得函数在区间上的最大值为，最小值为．
21.解：因为筒车每秒沿逆时针方向转动圈所以角速度为，
又筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车的半径为，
所以，
从点运动到点时所经过的时间为，则点对应的以轴正半轴为始边的角为，
由三角函数定义知点纵坐标为，
则与的函数关系式为，．
依题意，由，得 ，
得，
解得 ，，
时，，
所以，在水轮转动的任意一圈内，点距水面的高度超过米的时间有秒
22.解：根据题意，函数是定义在上的奇函数，
则有，则，
又由，则，解可得；
故，
在上单调递增；
证明如下：设，
则
，
又由，
则，，，，
则有，即，
故在上单调递增；
根据题意，，
又由在上单调递增，
则，解可得：或，
故的取值范围为