4.3《角》课时练习题（含答案）
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人教版七年级数学上册第四章《4.3角》课时练习题（含答案）
一、单选题
1．下列各度数的角，能借助一副三角尺画出的是（ ）
A．55° B．65° C．75° D．85°
2．如图所示，正方形网格中有和，如果每个小正方形的边长都为1，估测与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法估测
3．下列换算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，则的余角是（ ）
A． B． C． D．
5．已知∠A＝38°，则∠A的补角的度数是（ ）
A．52° B．62° C．142° D．162°
6．如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论：
①；
②；
③；
④．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，，OC平分且，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
8．一个角的补角为，则这个角的余角为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，过直线AB上一点O作射线OC，∠BOC=29°18′，则∠AOC的度数为_____．
10．如图，直线相交于O，平分，若，则的度数为______．
11．已知，如图，A、O、B在同一直线上，OF平分，，．
（1）射线OD是_______的角平分线；（2）的补角是_______；（3）的余角是_______；（4）_______是的余角；（5）的补角是_______；（6）_______是的补角．
12．如图，若OC、OD三等分，则______________，_______，_______．
13．如图，已知∠AOB＝90°，射线OC在∠AOB内部，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，则∠DOE＝_____°．
14．如图，将一副三角尺的两个锐角（30°角和45°角）的顶点P叠放在一起，没有重叠的部分分别记作∠1和∠2，若∠1与∠2的和为61°，则∠APC的度数是 _____．
三、解答题
15．如图，点P是直线l外一点，过点P画直线PA，PB，PC，…，分别交直线l于点A，B，C，…．用量角器量出，，的度数，并量出PA，PB，PC的长度，你发现了什么？
16．如图，两个直角三角形的直角顶点重合，∠AOC＝40°，求∠BOD的度数．结合图形，完成填空：
解：因为∠AOC+∠COB＝ °，
∠COB+∠BOD＝ ①
所以∠AOC＝ ．②
因为∠AOC＝40°，
所以∠BOD＝ °．
在上面①到②的推导过程中，理由依据是： ．
17．如图①，已知线段AB＝18cm，CD＝2cm，线段CD在线段AB上运动，E，F分别是AC，BD的中点．
（1）若AC＝4cm，则EF＝ cm；
（2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变，请求出EF的长度，如果变化，请说明理由．
（3）a．我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知∠COD在∠AOB内部转动，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，若∠AOB＝140°，∠COD＝40°，求∠EOF．
b．由此，你猜想∠EOF，∠AOB和∠COD会有怎样的数量关系 ．（直接写出猜想即可）
18．如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠BOC=120°．将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，边OM与射线OB重合，另一边ON位于直线AB的下方．
（1）将图1的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：此时ON所在直线是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，设旋转时间为t秒，在旋转的过程中，ON所在直线或OM所在直线何时会恰好平分∠AOC？请求所有满足条件的t值；
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使边ON在∠AOC的内部，试探索在旋转过程中，∠AOM和∠CON的差是否会发生变化？若不变，请求出这个定值；若变化，请求出变化范围．
19．已知：，、、是内的射线．
（1）如图1，若平分，平分．当射线绕点在内旋转时，求的度数．
（2）也是内的射线，如图2，若，平分，平分，当射线绕点在内旋转时，求的大小．
20．【阅读理解】
定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”．如图1，点P在直线l上，射线PR，PS，PT位于直线l同侧，若PS平分∠RPT，则有∠RPT＝2∠RPS，所以我们称射线PR是射线PS，PT的“双倍和谐线”．
【迁移运用】
(1)如图1，射线PS （选填“是”或“不是”）射线PR，PT的“双倍和谐线”；射线PT （选填“是”或“不是”）射线PS，PR的“双倍和谐线”；
(2)如图2，点O在直线MN上，OAMN，∠AOB＝40°，射线OC从ON出发，绕点O以每秒4°的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．
①当射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”时，求t的值；
②若在射线OC旋转的同时，∠AOB绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线OD平分∠AOB．当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”时，求∠CON的度数。
参考答案
1．C2．A3．B4．A5．C6．C7．B8．C
9．150°42′
10．67
11． 和 和
12． 3 AOD
13．45°．
14．68°
15．解：量得，，，，，，
由此发现，在P点与直线上的点的连线中，与直线的夹角越大（不超过），P点与直线交点连线的线段长度越短；反之亦然．
16．解：因为∠AOC+∠COB＝ 90 °，
∠COB+∠BOD＝ 90 ° -﹣﹣﹣①
所以∠AOC＝ ∠BOD ．﹣﹣﹣﹣②-
因为∠AOC＝40°，
所以∠BOD＝ 40 °．
在上面①到②的推导过程中，理由依据是：同角的余角相等．
故答案为：90，90，∠BOD，40，同角的余角相等．
17．解：（1）∵E，F分别是AC，BD的中点，
∴EC＝，DF＝．
∴EC＋DF＝．
又∵AB＝18cm，CD＝2cm，
∴AC＋DB＝AB﹣CD＝18﹣2＝16（cm）．
∴EC＋DF＝＝8（cm）．
∴EF＝EC＋DF＋CD＝8＋2＝10（cm）．
故答案为：10．
（2）不变，理由如下：
∵E，F分别是AC，BD的中点，
∴EC＝，DF＝．
∴EC＋DF＝．
∴EF＝EC＋DF＋CD=CD+=，
又∵AB＝18cm，CD＝2cm，
∴EF＝＝10（cm）．
（3）a：∵OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，
∴∠EOC＝，∠DOF＝．
∴∠EOC＋∠DOF＝＝．
又∵∠AOB＝140°，∠COD＝40°，
∴∠AOC＋∠BOD＝∠AOB﹣∠COD＝100°．
∴∠EOC＋∠DOF＝50°．
∴∠EOF＝∠EOC＋∠DOF＋∠COD＝50°＋40°＝90°．
b：由（1）得：∠EOC＋∠DOF＝．
∵∠AOC＋∠DOB＝∠AOB﹣∠COD，
∴∠EOC＋∠DOF＝．
∴∠EOF＝∠EOC＋∠DOF＋∠COD＝＋∠COD＝．
18．解：（1）直线ON平分∠AOC
理由：设ON的反向延长线为OD，
∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC=∠MOB，
又∵OM⊥ON，
∴∠MOD=∠MON=90°，
∴∠COD=∠BON，
又∵∠AOD=∠BON，
∴∠COD=∠AOD，
∴OD平分∠AOC，即直线ON平分∠AOC；
（2）①当直线ON平分∠AOC时，
三角板旋转角度为60°或240°，
∵旋转速度为6°/秒，
∴t=10秒或40秒；
②当直线OM平分∠AOC时，
三角板旋转角度为150°或330°，
∴t=25秒或55秒，
综上所述：t=10秒或40秒或25秒或55秒；
（3）设∠AON=x°，则∠CON=60°－x°，∠AOM=90°－x°，
∴∠AOM－∠CON=30°，
∴∠AOM与∠CON差不会改变，为定值30°．
19．解：（1）∵平分，
∴
∵平分，
∴
∴
（2）∵平分，
∴，
∵平分，
∴
∴
=
20．（1）解：∵PS平分∠RPT，
∴∠RPS=∠TPS，
∴射线PS不是射线PR，PT的“双倍和谐线”；
∵PS平分∠RPT，
∴∠TPR=2∠TPS．
∴射线PT是射线PS，PR的“双倍和谐线”．
故答案为：不是；是；
（2）①由题意得：∠AOC=90°-4°t，∠AOB=40°．
∵射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”，
∴∠AOC=2∠AOB或∠AOB=2∠AOC．
当∠AOC=2∠AOB时，如图，
则：90-4t=2×40．
解得：t=，
当∠AOB=2∠AOC时，如图，
则：40=2（90-4t）．
解得：t=，
综上，当射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”时，t的值为或；
②由题意得：∠CON=4°t，∠AON=90°+2°t，∠AOD=20°，∠DON=∠AON-∠AOD=70°+2°t．
∵当射线OC与射线OA重合时，运动停止，
∴此时∠AON=∠CON．
∴90+2t=4t．
∴t=45．
∴当t=45秒时，运动停止，此时∠AON=180°．
∵射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”，
∴∠COM=2∠COD或∠COD=2∠COM．
当∠COM=2∠COD时，如图，
即：180°-∠CON=2（∠CON-∠DON），
则：180-4t=2（4t-70-2t）．
解得：t=40．
∴∠CON=4°×40=160°．
当∠COD=2∠COM时，如图，
即：∠CON-∠DON=2（180°-∠CON）．
则：4t-（70+2t）=2（180-4t）．
解得：t=43．
∴∠CON=4°×43=172°．
综上，当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”时，∠CON的度数为160°或172°．
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人教版七年级数学上册第四章《4.3角》课时练习题（含答案）
一、单选题
1．下列各度数的角，能借助一副三角尺画出的是（ ）
A．55° B．65° C．75° D．85°
2．如图所示，正方形网格中有和，如果每个小正方形的边长都为1，估测与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法估测
3．下列换算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，则的余角是（ ）
A． B． C． D．
5．已知∠A＝38°，则∠A的补角的度数是（ ）
A．52° B．62° C．142° D．162°
6．如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论：
①；
②；
③；
④．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，，OC平分且，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
8．一个角的补角为，则这个角的余角为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，过直线AB上一点O作射线OC，∠BOC=29°18′，则∠AOC的度数为_____．
10．如图，直线相交于O，平分，若，则的度数为______．
11．已知，如图，A、O、B在同一直线上，OF平分，，．
（1）射线OD是_______的角平分线；（2）的补角是_______；（3）的余角是_______；（4）_______是的余角；（5）的补角是_______；（6）_______是的补角．
12．如图，若OC、OD三等分，则______________，_______，_______．
13．如图，已知∠AOB＝90°，射线OC在∠AOB内部，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，则∠DOE＝_____°．
14．如图，将一副三角尺的两个锐角（30°角和45°角）的顶点P叠放在一起，没有重叠的部分分别记作∠1和∠2，若∠1与∠2的和为61°，则∠APC的度数是 _____．
三、解答题
15．如图，点P是直线l外一点，过点P画直线PA，PB，PC，…，分别交直线l于点A，B，C，…．用量角器量出，，的度数，并量出PA，PB，PC的长度，你发现了什么？
16．如图，两个直角三角形的直角顶点重合，∠AOC＝40°，求∠BOD的度数．结合图形，完成填空：
解：因为∠AOC+∠COB＝ °，
∠COB+∠BOD＝ ①
所以∠AOC＝ ．②
因为∠AOC＝40°，
所以∠BOD＝ °．
在上面①到②的推导过程中，理由依据是： ．
17．如图①，已知线段AB＝18cm，CD＝2cm，线段CD在线段AB上运动，E，F分别是AC，BD的中点．
（1）若AC＝4cm，则EF＝ cm；
（2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变，请求出EF的长度，如果变化，请说明理由．
（3）a．我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知∠COD在∠AOB内部转动，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，若∠AOB＝140°，∠COD＝40°，求∠EOF．
b．由此，你猜想∠EOF，∠AOB和∠COD会有怎样的数量关系 ．（直接写出猜想即可）
18．如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠BOC=120°．将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，边OM与射线OB重合，另一边ON位于直线AB的下方．
（1）将图1的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：此时ON所在直线是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，设旋转时间为t秒，在旋转的过程中，ON所在直线或OM所在直线何时会恰好平分∠AOC？请求所有满足条件的t值；
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使边ON在∠AOC的内部，试探索在旋转过程中，∠AOM和∠CON的差是否会发生变化？若不变，请求出这个定值；若变化，请求出变化范围．
19．已知：，、、是内的射线．
（1）如图1，若平分，平分．当射线绕点在内旋转时，求的度数．
（2）也是内的射线，如图2，若，平分，平分，当射线绕点在内旋转时，求的大小．
20．【阅读理解】
定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”．如图1，点P在直线l上，射线PR，PS，PT位于直线l同侧，若PS平分∠RPT，则有∠RPT＝2∠RPS，所以我们称射线PR是射线PS，PT的“双倍和谐线”．
【迁移运用】
(1)如图1，射线PS （选填“是”或“不是”）射线PR，PT的“双倍和谐线”；射线PT （选填“是”或“不是”）射线PS，PR的“双倍和谐线”；
(2)如图2，点O在直线MN上，OAMN，∠AOB＝40°，射线OC从ON出发，绕点O以每秒4°的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．
①当射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”时，求t的值；
②若在射线OC旋转的同时，∠AOB绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线OD平分∠AOB．当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”时，求∠CON的度数。
参考答案
1．C2．A3．B4．A5．C6．C7．B8．C
9．150°42′
10．67
11． 和 和
12． 3 AOD
13．45°．
14．68°
15．解：量得，，，，，，
由此发现，在P点与直线上的点的连线中，与直线的夹角越大（不超过），P点与直线交点连线的线段长度越短；反之亦然．
16．解：因为∠AOC+∠COB＝ 90 °，
∠COB+∠BOD＝ 90 ° -﹣﹣﹣①
所以∠AOC＝ ∠BOD ．﹣﹣﹣﹣②-
因为∠AOC＝40°，
所以∠BOD＝ 40 °．
在上面①到②的推导过程中，理由依据是：同角的余角相等．
故答案为：90，90，∠BOD，40，同角的余角相等．
17．解：（1）∵E，F分别是AC，BD的中点，
∴EC＝，DF＝．
∴EC＋DF＝．
又∵AB＝18cm，CD＝2cm，
∴AC＋DB＝AB﹣CD＝18﹣2＝16（cm）．
∴EC＋DF＝＝8（cm）．
∴EF＝EC＋DF＋CD＝8＋2＝10（cm）．
故答案为：10．
（2）不变，理由如下：
∵E，F分别是AC，BD的中点，
∴EC＝，DF＝．
∴EC＋DF＝．
∴EF＝EC＋DF＋CD=CD+=，
又∵AB＝18cm，CD＝2cm，
∴EF＝＝10（cm）．
（3）a：∵OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，
∴∠EOC＝，∠DOF＝．
∴∠EOC＋∠DOF＝＝．
又∵∠AOB＝140°，∠COD＝40°，
∴∠AOC＋∠BOD＝∠AOB﹣∠COD＝100°．
∴∠EOC＋∠DOF＝50°．
∴∠EOF＝∠EOC＋∠DOF＋∠COD＝50°＋40°＝90°．
b：由（1）得：∠EOC＋∠DOF＝．
∵∠AOC＋∠DOB＝∠AOB﹣∠COD，
∴∠EOC＋∠DOF＝．
∴∠EOF＝∠EOC＋∠DOF＋∠COD＝＋∠COD＝．
18．解：（1）直线ON平分∠AOC
理由：设ON的反向延长线为OD，
∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC=∠MOB，
又∵OM⊥ON，
∴∠MOD=∠MON=90°，
∴∠COD=∠BON，
又∵∠AOD=∠BON，
∴∠COD=∠AOD，
∴OD平分∠AOC，即直线ON平分∠AOC；
（2）①当直线ON平分∠AOC时，
三角板旋转角度为60°或240°，
∵旋转速度为6°/秒，
∴t=10秒或40秒；
②当直线OM平分∠AOC时，
三角板旋转角度为150°或330°，
∴t=25秒或55秒，
综上所述：t=10秒或40秒或25秒或55秒；
（3）设∠AON=x°，则∠CON=60°－x°，∠AOM=90°－x°，
∴∠AOM－∠CON=30°，
∴∠AOM与∠CON差不会改变，为定值30°．
19．解：（1）∵平分，
∴
∵平分，
∴
∴
（2）∵平分，
∴，
∵平分，
∴
∴
=
20．（1）解：∵PS平分∠RPT，
∴∠RPS=∠TPS，
∴射线PS不是射线PR，PT的“双倍和谐线”；
∵PS平分∠RPT，
∴∠TPR=2∠TPS．
∴射线PT是射线PS，PR的“双倍和谐线”．
故答案为：不是；是；
（2）①由题意得：∠AOC=90°-4°t，∠AOB=40°．
∵射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”，
∴∠AOC=2∠AOB或∠AOB=2∠AOC．
当∠AOC=2∠AOB时，如图，
则：90-4t=2×40．
解得：t=，
当∠AOB=2∠AOC时，如图，
则：40=2（90-4t）．
解得：t=，
综上，当射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”时，t的值为或；
②由题意得：∠CON=4°t，∠AON=90°+2°t，∠AOD=20°，∠DON=∠AON-∠AOD=70°+2°t．
∵当射线OC与射线OA重合时，运动停止，
∴此时∠AON=∠CON．
∴90+2t=4t．
∴t=45．
∴当t=45秒时，运动停止，此时∠AON=180°．
∵射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”，
∴∠COM=2∠COD或∠COD=2∠COM．
当∠COM=2∠COD时，如图，
即：180°-∠CON=2（∠CON-∠DON），
则：180-4t=2（4t-70-2t）．
解得：t=40．
∴∠CON=4°×40=160°．
当∠COD=2∠COM时，如图，
即：∠CON-∠DON=2（180°-∠CON）．
则：4t-（70+2t）=2（180-4t）．
解得：t=43．
∴∠CON=4°×43=172°．
综上，当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”时，∠CON的度数为160°或172°．
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