八年级数学上册试题 第十一章 《三角形》单元练习卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 八年级数学上册试题 第十一章 《三角形》单元练习卷（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-24 11:39:29 | ||
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文档简介
第十一章 《三角形》单元测试卷
一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列结论中正确的有 （ ）
①若一个三角形中最大的角是80°，则这个三角形是锐角三角形；②三角形的角平分线、中线和高都在三角形内部 ；③一个三角形最少有一个角不小于60°；④一个等腰三角形一定是钝角三角形
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，为的一个外角，点E为边上一点，延长到点F，连接，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．科技馆为某机器人编制了一个程序，如果机器人在平地上按照图中所示的程序行走，那么该机器人所走的总路程为（ ）
A．6米 B．12米 C．16米 D．20米
4．如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，其中主要利用的是正三角形和正六边形．如果整个镶嵌图的面积为75，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．25 B．26 C．30 D．39
5．嘉淇用一些完全相同的△ABC纸片拼接图案，已知用六个△ABC纸片按照如图1所示的方法拼接，可得外轮廓是正六边形图案，若用n个△ABC纸片按如图2所示的方法拼接，那么可以得到外轮廓的图案是（ ）
A．正七边形 B．正八边形 C．正九边形 D．正十边形
6．如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE 平分∠CAD，交 BC于点 E，过点 E 作 EF∥AC，分别交 AB、AD 于点 F、G．则下列结论：①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠BEF； ③∠BAE＝∠BEA； ④∠B＝2∠AEF，其中正确的有（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
7．如商，在△ABC中，∠A＝α,∠ABC与∠ACD的平分钱交十点A1，得∠A1,∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2，……∠A6BC与∠A6CD的平分线相交于点A7，得∠A7，则∠A7＝( )
A． B． C． D．
8．如图，四边形中，，，，依次是各边中点，是四边形内的一点.若四边形，，的面积分别为5，6，7，则四边形的面积为（ ）
A．5.5 B．6 C．6.5 D．7
9．如图，，、、分别平分的外角、内角、外角．以下结论：①：②；③；④平分；⑤．其中错误的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．四边形ABCD两组对边AD，BC与AB，DC延长线分别交于点E，F，∠AEB，∠AFD的平分线交于点P，∠A=64°，∠BCD=136°，则下列结论中正确的是（ ）
①∠EPF=100°；②∠ADC+∠ABC=160°；③∠PEB+∠PFC+∠EPF=136°；④∠PEA+∠PFA=36°
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。
11．如图，在坐标系内构造出小正方形的边长均为单位长1的8×4网格，且点A，B，C都是格点，则的重心坐标为________．
12．如图，在中，，，点P是的动点（不与点B，C重合），、分别是和的角平分线，的取值范围为，则_______，________．
13．若一个三角形中一个角的度数是另一个角的度数的3倍，则称这样的三角形为“和谐三角形”．例如，三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”，如图，直角三角形中，，，是边上一动点．当是“和谐三角形”时，的度数是______．
14．如图1，赤道式日晷是中国古代最经典和传统的计时仪器，由底座，晷面、晷针三部分组成，其中底坐面与日晷所处地球半径垂直；
（1）晷针与晷面夹角为___________；（2）如图2，日晷所处纬度为，若太阳光（平行光）与日晷底座面夹角为，则太阳光与该晷面所夹锐角度为___________．
15．如图，在△ABC中，∠A＝42°，点D是边A上的一点，将△BCD沿直线CD翻折斜到△B′CD，B′C交AB于点E，如果B′D∥AC，那么∠BDC＝___度．
16．在四边形中，与的角平分线交于点，，过点作交于点，，，连接，，则___．
17．如图，△ABC的面积为1．第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，最少经过多少次操作 ___________
18．如图，是的中线，点F在上，延长交于点D．若，则______．
三、解答题：本题共8个小题，19-24每题10分，25-26每题10分，共66分。
19．在日常生活中观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成了一个平面图形．
（1）请根据下列图形填写表中空格：
正多边形的边数 3 4 5 6 …
正多边形的每个内角的度数 …
（2）如果限于用一种正多边形镶嵌，那么哪几种多边形能镶嵌成一个平面图形？
（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，使这两种不同的正多边形能铺满地面成一个平面图形？说明你的理由．
20．如图，中，，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，回到C点时运动结束，已知点P的速度为每秒，运动的时间为t秒．（1）当_____时，把的周长分成相等的两部分？（2）当_____时，把的面积分成相等的两部分？（3）当t为何值时，的面积的6？
21．阅读与探究
请阅读下列材料，完成相应的任务：凸四边形的性质研究
如果把某个四边形的任何一边向两端延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．凸四边形是我们数学学习中常见的图形，它有一个非常有趣的性质:任意凸四边形被对角线分成的两对对顶三角形的面积之积相等．
例如，在图1中，凸四边形的对角线，相交于点，且，，，，的面积分别为，则有，证明过程如下：
任务：
（1）请将材料中的证明过程补充完整；
（2）如图2，任意凸四边形的对角线相交于点，分别记，，，的面积为，求证；
（3）如图3，在四边形中，对角线相交于点，，，，则四边形的面积为________________．
22．将纸片的一角折叠，使点落在点的位置，折痕为．（1）如图1，点落在内的点的位置．
①若，那么与有怎样的位置关系，请说明理由；
②如图2，、与之间有怎样的数量关系？并说明理由；
图1 图2
③连接、，已知、恰好分别平分、（如图3），、与之间有怎样的数量关系，并说明理由；（2）如图4，点落在外的点的位置．连接、，如果、恰好分别平分的两个外角，，那么、与之间的数量关系是______．（请直接写出结果）
图3 图4
23．我们知道：光线反射时，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射角等于入射角．如图1，为一镜面,为入射光线，入射点为点O，为法线（过入射点O且垂直于镜面的直线），为反射光线,此时反射角等于入射角，由此可知等于．
（1）两平面镜、相交于点O，一束光线从点A出发，经过平面镜两次反射后，恰好经过点B．①如图2，当为多少度时，光线？请说明理由．
②如图3，若两条光线、所在的直线相交于点E，延长发现和分别为一个内角和一个外角的平分线，则与之间满足的等量关系是_______．（直接写出结果）。（2）三个平面镜、、相交于点M、N，一束光线从点A出发,经过平面镜三次反射后，恰好经过点E，请直接写出、、与之间满足的等量关系．
24．如图1，含角的直角三角板与含角的直角三角板的斜边在同一直线上，D为的中点，将直角三角板绕点D按逆时针方向旋转，在旋转过程中：
（1）如图2，当________时，；当______时，；
（2）如图③，当直角三角板的边、分别交、的延长线于点M、N时；
①与度数的和是否变化？若不变，求出与度数的和；若变化，请说明理由；
②若使得，求出、的度数，并直接写出此时的度数；
③若使得，求的度数范围．
25．如图1，将一副三角板与三角板摆放在一起；如图2，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角（）．
（1）当________度时，；当________度时；
（2）当的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角的所有可能的度数；
（3）当，连接，利用图4探究的度数是否发生变化，并给出你的证明．
26．（问题情境）苏科版义务教育教科书数学七下第42页有这样的一个问题：（1）探究1：如图1，在中，P是与的平分线和的交点，通过分析发现，理由如下：
∵和分别是和的角平分线，∴，．
∴．
又∵在中，，∴
∴
（2）探究2：如图2中，H是外角与外角的平分线和的交点，若，则______．若，则与有怎样的关系？请说明理由．
（3）探究3：如图3中，在中，P是与的平分线和的交点，过点P作，交于点D．外角的平分线与的延长线交于点E，则根据探究1的结论，下列角中与相等的角是______； A． B． C．
（4）探究4：如图4中，H是外角与外角的平分线和的交点，在探究3条件的基础上，①试判断与的位置关系，并说明理由；
②在中，存在一个内角等于的3倍，则的度数为______
答案
一、选择题。
B．C．B．B．C．B.D．B．B．D．
二、填空题。
11．（4，2）
12．105°，150°．
13．30°或52.5°或80°．
14．，．
15．111．
16．5．
17．4．
18．．
三、解答题。
19．解：（1）当正多边形的边数为3时，正三角形每个内角的度数为=60°，
当正多边形的边数为4时，正四边形每个内角的度数为=90°，
当正多边形的边数为5时，正五边形每个内角的度数为=108°，
当正多边形的边数为6时，正六边形每个内角的度数为=120°，
当正多边形的边数为n时，正n边形每个内角的度数为，
故答案为：60°；90°；108°；120°；；
（2）正三角形、正四边形，正六边形能够铺满地面，正三角形:6×60°＝360°；
正四边形:4×90°＝360°；六边形:3×120°＝360°．
（3）计算出另外几个正多边形的每个内角， 七边形:
八边形: 九边形:
十边形: 十二边形:
∴可以选择:正八边形和正四边形；正三角形和正十二边形．
20．解：（1）△ABC中，∵AC=8cm，BC=6cm，AB=10cm，
∴△ABC的周长=8+6+10=24cm，
∴当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，
此时CA+AP=BP+BC=12cm，∴2t=12，解得：t=6；
（2）当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，
此时CB+BP=6+5=11（cm），∴2t=11，解得：t=5.5；
（3）分两种情况：
①当P在AC上时，
∵△BCP的面积=6，∴×6×CP=6，∴CP=2，
∴2t=6+10+6，解得：t=11；
②当P在AB上时，
∵△BCP的面积=6=△ABC面积的，
∴BP=AB=，即2t-6=，解得：t=，
故t为11秒或秒时，△BCP的面积为6．
21．解：（1）∵，，
；
（2）如答图，分别过点作于点于点．
；
（3）由，，，设，，
根据任意凸四边形被对角线分成的两对对顶三角形的面积之积相等，
可得：3x =4×6=24,则x=2,即，，
∴四边形的面积=+++=4+6++=10+8．
22．（1），理由如下：
∵，∴，
由翻折的性质可得：，，
∴，∴；
②，理由如下：
由翻折的性质可得：，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，∴；
③，理由如下：
∵、恰好分别平分、，∴，，
∴，
在中，，
由②可知，，∴，
在中，，
∴，∴；
（2），理由如下：
∵、恰好分别平分的两个外角，，
∴，，
∴在中，，
即：，
整理得：，
在中，，
由②可知，，∴，
∴，∴．
23．解：（1）①设∠AMP=∠NMO=α，∠BNQ=∠MNO=β，
当AM∥BN时，∠AMN+∠BNM=180°，即180°-2α+180°-2β=180°，
∴180°=2（α+β），∴α+β=90°，∴△MON中，∠O=180°-∠NMO-∠MNO=180°-（α+β）=90°，
∴当∠POQ为90度时，光线AM∥NB；
②设∠AMP=∠NMO=α，∠BNO=∠MNQ=β，∴∠AMN=180°-2α，∠MNE=180°-2β，
∵∠AMN是△MEN的外角，∴∠MEN=∠AMN-∠MNE=（180°-2α）-（180°-2β）=2（β-α），
∵∠MNQ是△MNO的外角，∴∠POQ=∠MNQ-∠NMO=β-α，∴∠MEN=2∠POQ；
（2）设∠PBE=∠MBC=∠1，∠MCB=∠NCD=∠2，∠CDN=∠ADQ=∠3，
可知：∠M=180°-∠1-∠2，∠N=180°-∠2-∠3，∠BCD=180°-2∠2，
∵∠CBA=180°-2∠1，∠CDA=180°-2∠3，∴∠BFD=360°-∠CDA-∠CBA-∠BCD
=360°-（180°-2∠1）-（180°-2∠2）-（180°-2∠3）=2（∠1+∠2+∠3）-180°
又∵2（∠M+∠N）-∠BCD=2（180°-∠1-∠2+180°-∠2-∠3）-（180°-2∠2）
=540°-2（∠1+∠2+∠3）=360°-[2（∠1+∠2+∠3）-180°]=360°-∠BFD
∴2（∠M+∠N）-∠BCD=360°-∠BFD．
24．解：（1），当时，，
而，，解得；
当时，，此时，
，解得；故答案为，；
（2）①与度数的和不变．连接，如图3，
在中，，，
在中，，
即，；
②根据题意得，解得；
，即，；
③，，，，
，即，，
，解得，的度数范围为．
25．（1）三角板ADE顺时针旋转后的三角板为，当时，如图，
∵，∠EAD=45°
∴ 即旋转角
当时，如图，则
∴=45°-30°=15° 即旋转角°
故答案为：105，15
（2）当的一边与的某一边平行（不共线）时，有五种情况
当AD∥BC时，由（1）知旋转角为15°；如图（1），当DE∥AB时，旋转角为45°；
当DE∥BC时，由AD⊥DE，则有AD⊥BC，此时由（1）知，旋转角为105°；
如图（2），当DE∥AC时，则旋转角为135°；如图（3），当AE∥BC时，则旋转角为150°；
所以旋转角的所有可能的度数是：15°，45°，105°，135°，150°
（3）当，，保持不变；
理由如下：设BD分别交、于点M、N，如图
在中，
，
，
26．解：（2）由（1）可得，，
∵是外角与外角的平分线和的交点，是与的平分线和的交点，∴，
同理可得，
∴四边形中，，
故答案为：；
若，则与关系为：．
理由：由（1）可得，，
∵是外角与外角的平分线和的交点，是与的平分线和的交点，
∴，同理可得，
∴四边形中，．
（3）由（1）可得，，
∵，平分，∴，，
∵是的外角，∴，
∴，故答案为：；
（4）①．
理由：∵，∴，
∵，分别平分，，∴，，
∴，
∴，∴；
②由①可得，∴，
∵平分，平分，∴，
∴，分三种情况：①若，则，解得（不合题意），
②若，则，∴，解得，∴，
由（2）可得，，即，∴；
③若，则，∴，解得，∴，
由（2）可得，，即，∴；
综上所述，的度数为或．故答案为：或．
一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列结论中正确的有 （ ）
①若一个三角形中最大的角是80°，则这个三角形是锐角三角形；②三角形的角平分线、中线和高都在三角形内部 ；③一个三角形最少有一个角不小于60°；④一个等腰三角形一定是钝角三角形
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，为的一个外角，点E为边上一点，延长到点F，连接，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．科技馆为某机器人编制了一个程序，如果机器人在平地上按照图中所示的程序行走，那么该机器人所走的总路程为（ ）
A．6米 B．12米 C．16米 D．20米
4．如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，其中主要利用的是正三角形和正六边形．如果整个镶嵌图的面积为75，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．25 B．26 C．30 D．39
5．嘉淇用一些完全相同的△ABC纸片拼接图案，已知用六个△ABC纸片按照如图1所示的方法拼接，可得外轮廓是正六边形图案，若用n个△ABC纸片按如图2所示的方法拼接，那么可以得到外轮廓的图案是（ ）
A．正七边形 B．正八边形 C．正九边形 D．正十边形
6．如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE 平分∠CAD，交 BC于点 E，过点 E 作 EF∥AC，分别交 AB、AD 于点 F、G．则下列结论：①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠BEF； ③∠BAE＝∠BEA； ④∠B＝2∠AEF，其中正确的有（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
7．如商，在△ABC中，∠A＝α,∠ABC与∠ACD的平分钱交十点A1，得∠A1,∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2，……∠A6BC与∠A6CD的平分线相交于点A7，得∠A7，则∠A7＝( )
A． B． C． D．
8．如图，四边形中，，，，依次是各边中点，是四边形内的一点.若四边形，，的面积分别为5，6，7，则四边形的面积为（ ）
A．5.5 B．6 C．6.5 D．7
9．如图，，、、分别平分的外角、内角、外角．以下结论：①：②；③；④平分；⑤．其中错误的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．四边形ABCD两组对边AD，BC与AB，DC延长线分别交于点E，F，∠AEB，∠AFD的平分线交于点P，∠A=64°，∠BCD=136°，则下列结论中正确的是（ ）
①∠EPF=100°；②∠ADC+∠ABC=160°；③∠PEB+∠PFC+∠EPF=136°；④∠PEA+∠PFA=36°
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。
11．如图，在坐标系内构造出小正方形的边长均为单位长1的8×4网格，且点A，B，C都是格点，则的重心坐标为________．
12．如图，在中，，，点P是的动点（不与点B，C重合），、分别是和的角平分线，的取值范围为，则_______，________．
13．若一个三角形中一个角的度数是另一个角的度数的3倍，则称这样的三角形为“和谐三角形”．例如，三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”，如图，直角三角形中，，，是边上一动点．当是“和谐三角形”时，的度数是______．
14．如图1，赤道式日晷是中国古代最经典和传统的计时仪器，由底座，晷面、晷针三部分组成，其中底坐面与日晷所处地球半径垂直；
（1）晷针与晷面夹角为___________；（2）如图2，日晷所处纬度为，若太阳光（平行光）与日晷底座面夹角为，则太阳光与该晷面所夹锐角度为___________．
15．如图，在△ABC中，∠A＝42°，点D是边A上的一点，将△BCD沿直线CD翻折斜到△B′CD，B′C交AB于点E，如果B′D∥AC，那么∠BDC＝___度．
16．在四边形中，与的角平分线交于点，，过点作交于点，，，连接，，则___．
17．如图，△ABC的面积为1．第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，最少经过多少次操作 ___________
18．如图，是的中线，点F在上，延长交于点D．若，则______．
三、解答题：本题共8个小题，19-24每题10分，25-26每题10分，共66分。
19．在日常生活中观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成了一个平面图形．
（1）请根据下列图形填写表中空格：
正多边形的边数 3 4 5 6 …
正多边形的每个内角的度数 …
（2）如果限于用一种正多边形镶嵌，那么哪几种多边形能镶嵌成一个平面图形？
（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，使这两种不同的正多边形能铺满地面成一个平面图形？说明你的理由．
20．如图，中，，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，回到C点时运动结束，已知点P的速度为每秒，运动的时间为t秒．（1）当_____时，把的周长分成相等的两部分？（2）当_____时，把的面积分成相等的两部分？（3）当t为何值时，的面积的6？
21．阅读与探究
请阅读下列材料，完成相应的任务：凸四边形的性质研究
如果把某个四边形的任何一边向两端延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．凸四边形是我们数学学习中常见的图形，它有一个非常有趣的性质:任意凸四边形被对角线分成的两对对顶三角形的面积之积相等．
例如，在图1中，凸四边形的对角线，相交于点，且，，，，的面积分别为，则有，证明过程如下：
任务：
（1）请将材料中的证明过程补充完整；
（2）如图2，任意凸四边形的对角线相交于点，分别记，，，的面积为，求证；
（3）如图3，在四边形中，对角线相交于点，，，，则四边形的面积为________________．
22．将纸片的一角折叠，使点落在点的位置，折痕为．（1）如图1，点落在内的点的位置．
①若，那么与有怎样的位置关系，请说明理由；
②如图2，、与之间有怎样的数量关系？并说明理由；
图1 图2
③连接、，已知、恰好分别平分、（如图3），、与之间有怎样的数量关系，并说明理由；（2）如图4，点落在外的点的位置．连接、，如果、恰好分别平分的两个外角，，那么、与之间的数量关系是______．（请直接写出结果）
图3 图4
23．我们知道：光线反射时，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射角等于入射角．如图1，为一镜面,为入射光线，入射点为点O，为法线（过入射点O且垂直于镜面的直线），为反射光线,此时反射角等于入射角，由此可知等于．
（1）两平面镜、相交于点O，一束光线从点A出发，经过平面镜两次反射后，恰好经过点B．①如图2，当为多少度时，光线？请说明理由．
②如图3，若两条光线、所在的直线相交于点E，延长发现和分别为一个内角和一个外角的平分线，则与之间满足的等量关系是_______．（直接写出结果）。（2）三个平面镜、、相交于点M、N，一束光线从点A出发,经过平面镜三次反射后，恰好经过点E，请直接写出、、与之间满足的等量关系．
24．如图1，含角的直角三角板与含角的直角三角板的斜边在同一直线上，D为的中点，将直角三角板绕点D按逆时针方向旋转，在旋转过程中：
（1）如图2，当________时，；当______时，；
（2）如图③，当直角三角板的边、分别交、的延长线于点M、N时；
①与度数的和是否变化？若不变，求出与度数的和；若变化，请说明理由；
②若使得，求出、的度数，并直接写出此时的度数；
③若使得，求的度数范围．
25．如图1，将一副三角板与三角板摆放在一起；如图2，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角（）．
（1）当________度时，；当________度时；
（2）当的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角的所有可能的度数；
（3）当，连接，利用图4探究的度数是否发生变化，并给出你的证明．
26．（问题情境）苏科版义务教育教科书数学七下第42页有这样的一个问题：（1）探究1：如图1，在中，P是与的平分线和的交点，通过分析发现，理由如下：
∵和分别是和的角平分线，∴，．
∴．
又∵在中，，∴
∴
（2）探究2：如图2中，H是外角与外角的平分线和的交点，若，则______．若，则与有怎样的关系？请说明理由．
（3）探究3：如图3中，在中，P是与的平分线和的交点，过点P作，交于点D．外角的平分线与的延长线交于点E，则根据探究1的结论，下列角中与相等的角是______； A． B． C．
（4）探究4：如图4中，H是外角与外角的平分线和的交点，在探究3条件的基础上，①试判断与的位置关系，并说明理由；
②在中，存在一个内角等于的3倍，则的度数为______
答案
一、选择题。
B．C．B．B．C．B.D．B．B．D．
二、填空题。
11．（4，2）
12．105°，150°．
13．30°或52.5°或80°．
14．，．
15．111．
16．5．
17．4．
18．．
三、解答题。
19．解：（1）当正多边形的边数为3时，正三角形每个内角的度数为=60°，
当正多边形的边数为4时，正四边形每个内角的度数为=90°，
当正多边形的边数为5时，正五边形每个内角的度数为=108°，
当正多边形的边数为6时，正六边形每个内角的度数为=120°，
当正多边形的边数为n时，正n边形每个内角的度数为，
故答案为：60°；90°；108°；120°；；
（2）正三角形、正四边形，正六边形能够铺满地面，正三角形:6×60°＝360°；
正四边形:4×90°＝360°；六边形:3×120°＝360°．
（3）计算出另外几个正多边形的每个内角， 七边形:
八边形: 九边形:
十边形: 十二边形:
∴可以选择:正八边形和正四边形；正三角形和正十二边形．
20．解：（1）△ABC中，∵AC=8cm，BC=6cm，AB=10cm，
∴△ABC的周长=8+6+10=24cm，
∴当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，
此时CA+AP=BP+BC=12cm，∴2t=12，解得：t=6；
（2）当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，
此时CB+BP=6+5=11（cm），∴2t=11，解得：t=5.5；
（3）分两种情况：
①当P在AC上时，
∵△BCP的面积=6，∴×6×CP=6，∴CP=2，
∴2t=6+10+6，解得：t=11；
②当P在AB上时，
∵△BCP的面积=6=△ABC面积的，
∴BP=AB=，即2t-6=，解得：t=，
故t为11秒或秒时，△BCP的面积为6．
21．解：（1）∵，，
；
（2）如答图，分别过点作于点于点．
；
（3）由，，，设，，
根据任意凸四边形被对角线分成的两对对顶三角形的面积之积相等，
可得：3x =4×6=24,则x=2,即，，
∴四边形的面积=+++=4+6++=10+8．
22．（1），理由如下：
∵，∴，
由翻折的性质可得：，，
∴，∴；
②，理由如下：
由翻折的性质可得：，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，∴；
③，理由如下：
∵、恰好分别平分、，∴，，
∴，
在中，，
由②可知，，∴，
在中，，
∴，∴；
（2），理由如下：
∵、恰好分别平分的两个外角，，
∴，，
∴在中，，
即：，
整理得：，
在中，，
由②可知，，∴，
∴，∴．
23．解：（1）①设∠AMP=∠NMO=α，∠BNQ=∠MNO=β，
当AM∥BN时，∠AMN+∠BNM=180°，即180°-2α+180°-2β=180°，
∴180°=2（α+β），∴α+β=90°，∴△MON中，∠O=180°-∠NMO-∠MNO=180°-（α+β）=90°，
∴当∠POQ为90度时，光线AM∥NB；
②设∠AMP=∠NMO=α，∠BNO=∠MNQ=β，∴∠AMN=180°-2α，∠MNE=180°-2β，
∵∠AMN是△MEN的外角，∴∠MEN=∠AMN-∠MNE=（180°-2α）-（180°-2β）=2（β-α），
∵∠MNQ是△MNO的外角，∴∠POQ=∠MNQ-∠NMO=β-α，∴∠MEN=2∠POQ；
（2）设∠PBE=∠MBC=∠1，∠MCB=∠NCD=∠2，∠CDN=∠ADQ=∠3，
可知：∠M=180°-∠1-∠2，∠N=180°-∠2-∠3，∠BCD=180°-2∠2，
∵∠CBA=180°-2∠1，∠CDA=180°-2∠3，∴∠BFD=360°-∠CDA-∠CBA-∠BCD
=360°-（180°-2∠1）-（180°-2∠2）-（180°-2∠3）=2（∠1+∠2+∠3）-180°
又∵2（∠M+∠N）-∠BCD=2（180°-∠1-∠2+180°-∠2-∠3）-（180°-2∠2）
=540°-2（∠1+∠2+∠3）=360°-[2（∠1+∠2+∠3）-180°]=360°-∠BFD
∴2（∠M+∠N）-∠BCD=360°-∠BFD．
24．解：（1），当时，，
而，，解得；
当时，，此时，
，解得；故答案为，；
（2）①与度数的和不变．连接，如图3，
在中，，，
在中，，
即，；
②根据题意得，解得；
，即，；
③，，，，
，即，，
，解得，的度数范围为．
25．（1）三角板ADE顺时针旋转后的三角板为，当时，如图，
∵，∠EAD=45°
∴ 即旋转角
当时，如图，则
∴=45°-30°=15° 即旋转角°
故答案为：105，15
（2）当的一边与的某一边平行（不共线）时，有五种情况
当AD∥BC时，由（1）知旋转角为15°；如图（1），当DE∥AB时，旋转角为45°；
当DE∥BC时，由AD⊥DE，则有AD⊥BC，此时由（1）知，旋转角为105°；
如图（2），当DE∥AC时，则旋转角为135°；如图（3），当AE∥BC时，则旋转角为150°；
所以旋转角的所有可能的度数是：15°，45°，105°，135°，150°
（3）当，，保持不变；
理由如下：设BD分别交、于点M、N，如图
在中，
，
，
26．解：（2）由（1）可得，，
∵是外角与外角的平分线和的交点，是与的平分线和的交点，∴，
同理可得，
∴四边形中，，
故答案为：；
若，则与关系为：．
理由：由（1）可得，，
∵是外角与外角的平分线和的交点，是与的平分线和的交点，
∴，同理可得，
∴四边形中，．
（3）由（1）可得，，
∵，平分，∴，，
∵是的外角，∴，
∴，故答案为：；
（4）①．
理由：∵，∴，
∵，分别平分，，∴，，
∴，
∴，∴；
②由①可得，∴，
∵平分，平分，∴，
∴，分三种情况：①若，则，解得（不合题意），
②若，则，∴，解得，∴，
由（2）可得，，即，∴；
③若，则，∴，解得，∴，
由（2）可得，，即，∴；
综上所述，的度数为或．故答案为：或．