5.1.2导数的概念及其几何意义 课件（共19张PPT）

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5.1.2 导数的概念及其几何意义
第五章 导数
新知导入
一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度；
另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率.
这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，
都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；
问题的答案也有一样的表示形式.
下面我们用上述思想方法研究更一般的问题.
前面我们研究了两类变化率问题：
变化率
平均变化率
函数 y=f(x)，从到的平均变化率：
（1）自变量的改变量：
（2）函数值的改变量：
（3）平均变化率
注：对 的理解
1． 是一个整体符号，不是与x，y 相乘.
2． 是定义域内不同的两点，因此，但 可正、可负；
是函数值的改变量，可正、可负，也可为0，
因此平均变化率可正、可负，也可为零
函数的平均变化率为0，并不一定说明函数f(x)没有变化
新知讲解
合作探究
瞬时变化率
函数 f(x) 在 处的 瞬时变化率
是函数 f(x) 从 到 的平均变化率
在 时的极限，即
新知讲解
导数的概念
①定义
如果当 时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称 在 处可导，并把这个确定的值叫做 在 处的导数（也称为瞬时变化率），
记作 或 ，即
合作探究
思考 观察函数 y=f (x)的图象（图5.1-3），
平均变化率
表示什么？
瞬时变化率
表示什么？
提示：
平均变化率表示割线的斜率.
函数 y=f (x)在 处的导数 （即瞬时变化率），就是切线的斜率，即
这也是导数的几何意义.
新知讲解
导数的概念
②几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是
曲线y＝f(x)在点 (x0，f(x0)) 处的切线斜率．
（瞬时速度就是位移函数 s(t )对时间 t 的导数）
注意
求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者.
相应地，
切线方程为 y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)．
新知讲解
③ 函数 f (x)的导函数
称函数 为f (x)的导函数
导数概念的理解
(1) 导数是一个局部概念，它只与函数 y＝f(x) 在 处及其附近的函数值有关，与无关．
(2) 是一个常数，即当时，存在一个常数与 无限接近．
导数与函数图象升降的关系
若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数存在且f′(x0)>0(即切线的斜率大于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是上升的；
若f′(x0)<0(即切线的斜率小于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是下降的．
导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢．　　
合作探究
例1 设 ，求
解：
解析：
(1)Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)
＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx
＝2(Δx)2＋16Δx，
＝2Δx＋16.
＝16.
＝4x0＋4，
∴f′(x0)＝4x0＋4＝12，
解得x0＝2.
求切点坐标可以按以下步骤进行
(1)设出切点坐标；
(2)利用导数或斜率公式求出斜率；
(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；
(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．　
y′|x＝3＝32＝9，
即曲线在P(3,9)处的切线的斜率等于9.
由直线的点斜式方程可得，所求切线方程为y－9＝9(x－3)，
即9x－y－18＝0.
导数与函数图象升降的关系
例4　若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，
则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是下图中的　　 (　　)
[解析]　由导数的几何意义知导函数递增说明函数切线斜率随x增大而变大，因此应选A.
导数与函数图象升降的关系
若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数存在且f′(x0)>0(即切线的斜率大于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是上升的；
若f′(x0)<0(即切线的斜率小于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是下降的．
导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢．　　
课堂练习
1 根据导数的定义求下列函数的导数．
(1)求函数 在x＝1处的导数；
(2)求函数 在 处的导数．
解：
(1)
∴
∴
(2)
∴
∴
课堂总结
1 平均变化率
2 瞬时变化率
3 导数的概念
4 求函数y＝f(x)在点处的导数的三个步骤
板书设计
1 平均变化率
2 瞬时变化率
3 导数的概念
4 例题讲解
5 课堂练习
6 求函数 y＝f(x)在点 处的导数的三个步骤
作业布置
课本70页习题5.1
（4、5、7）