5.5 用二次函数解决问题（课件）(共28张PPT)

(共28张PPT)
用二次函数解决问题
Solve a problem with a quadratic function
苏科版九年级下册第5章二次函数
教学目标
01
会用二次函数解决最值问题
02
会用二次函数解决抛物线形问题
最值问题
01
问题引入
Q1：如图，小明想用长16米的栅栏（虚线部分），借助围墙围成一个矩形花园ABCD，则矩形ABCD的最大面积是__________平方米．
解：设AB=x米，矩形的面积为S平方米，
则BC=(16-2x)米
32
一、审题
二、设自变量、因变量
答：矩形ABCD的最大面积是32平方米．
矩形ABCD的面积：S=x(16-2x)=-2x2+16x=-2(x-4)2+32
∵x>0且16-2x>0，∴0＜x＜8
三、列式
∵-2＜0，
∴当x=4时，y取最大值32
四、解决问题
五、检验
六、答
知识梳理
用二次函数解决问题的一般步骤：
（一）审 审题，明确变量常量，找出等量关系 与图形有关问题要结合图形具体分析
（二）设 设自变量、因变量
（三）列 用二次函数表示出变量与常量之间的等量关系 标记自变量的取值范围
（四）解 借助二次函数的解析式、图像与性质等解决实际问题
（五）验 检验结果在实际问题中是否有意义 若不符合实际意义，
要舍去
（六）答 写出实际问题的答案 注意带上单位
02
知识精讲
例1、老李计划用24米长的栅栏围成一个如图所示的矩形花园ABCD，设AB的长为x，矩形花园ABCD的面积为y，则y与x之间的函数解析式为________________________________．
解：由题意得：y=x ，即y=-2x2+12x
∵x>0且24-4x>0，∴0＜x＜6
∴y=-2x2+12x（0＜x＜6）
【几何问题】
y=-2x2+12x（0＜x＜6）
例2、在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用30m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB、BC两边），设AB=x米．
（1）求花园的面积S与x的函数关系式；
（2）在P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是16m和6m,要将这棵树围在花园内：（含边界，不考虑树的粗细）
①若花园的面积为216m2，求x的值；
②求花园面积S的最大值．
解：（1）∵AB=xm，∴BC=(30-x)m，
S=AB BC=x(30-x)=-x2+30x（0＜x＜30）；
（2）①当S=216m2时，-x2+30x=216，
解得：x1=12，x2=18（不合题意，舍去），
答：x的值为12m；
例2、在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用30m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB、BC两边），设AB=x米．
（1）求花园的面积S与x的函数关系式；
（2）在P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是16m和6m，要将这棵树围在花园内：（含边界，不考虑树的粗细）
①若花园的面积为216m2，求x的值；
②求花园面积S的最大值．
②S=-x2+30x=-(x-15)2+225，
∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是16m和6m，
∴x≥6且30-x≥16，∴6≤x≤14，
∴当x=14时，S取到最大值为：S=-(14-15)2+225=224，
答：花园面积S的最大值为224平方米．
例3、某商场经营一种文具，进价为20元/件，当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．那么该文具定价为__________元时每天的最大销售利润最大．
解：设该文具定价为x元，每天的利润为y元，
根据题意得：
y=(x-20)[250-10(x-25)]=-10x2+700x-10000=-10(x-35)2+2250
∵-10＜0，
∴当x=35时，y取最大值2250
答：文具定价为2250元时每天的最大销售利润最大．
【利润问题】
2250
例4、某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的60%．在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足函数关系y=-10x+700．
（1）求该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润w（元）与x之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少？
解：（1）∵x≤30×(1+60%)=48，∴x≤48
根据题意，w=(-10x+700)(x-30)=-10x2+1000x-21000（x≤48）；
（2）w=-10x2+1000x-21000=-10(x-50)2+4000
∵a=-10＜0，对称轴x=50，
∴当x=48时，w最大=-10×(48-50)2+4000=3960
答：当销售单价为48元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是3960元．
抛物线形问题
01
问题引入
Q1：一座拱桥的轮廓是抛物线形（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为__________米．
【分析】
拱桥的轮廓是抛物线形
需建立直角坐标系，求抛物线形的表达式，才能解决问题
设O为原点，横轴x通过AB，纵轴y通过OC，建立如图所示的平面直角坐标系，
根据题目条件，A、B、C的坐标分别是(-10，0)、(10，0)、(0，6)
一、审题
二、建系
01
问题引入
Q1：一座拱桥的轮廓是抛物线形（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为__________米．
解：设O为原点，横轴x通过AB，纵轴y通过OC，建立如图所示的平面直角坐标系，
根据题目条件，A、B、C的坐标分别是(-10，0)、(10，0)、(0，6)
将B、C的坐标代入y=ax2+c(a≠0)，得：，解得：a=-，c=6
∴抛物线的表达式是y=-x2+6（-10≤x≤10）
3.5
三、求表达式
令x=5，得y=-×52+6=4.5，
∴N的坐标是(5，4.5)，
∴支柱MN的长度是8-4.5=3.5（米）．
知识梳理
处理抛物线形问题的一般步骤：
（一）审 审题，明确抛物线形上的关键点
（二）建 建立合适的直角坐标系， 写出关键点的坐标
（三）求 根据关键点的坐标求出二次函数的表达式 标记自变量的取值范围
（四）解 借助二次函数的表达式、图像与性质等解决实际问题
（五）验 检验结果在实际问题中是否有意义 若不符合实际意义，
要舍去
（六）答 写出实际问题的答案 注意带上单位
02
知识精讲
例5、某涵洞是抛物线形，截面如图所示，现测得水面宽AB=1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在抛物线的函数表达式是_________________．
解：设函数表达式是y=ax2(a≠0)，
根据题意，A(-0.8，-2.4)，
∴-2.4=a×0.82，即a=-，
∴y=-x2．
y=-x2
【涵洞、拱桥问题】
例6、如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，如果水面下降0.5m，那么水面宽度增加____________m.
解：设O为原点，横轴x通过AB，纵轴y通过OC，
建立如图所示的平面直角坐标系，
根据题目条件，A、B、C的坐标分别是(-2，0)、(2，0)、(0，2)
将B、C的坐标代入y=ax2+c(a≠0)，得：，解得：a=-，c=2，
∴抛物线的表达式是y=-x2+2
令y=-，得-=-x+2，解得：x=±，
∴水面下降0.5m，此时水面宽度2m，
∴水面下降0.5m，水面宽度增加（2-4）m．
（2-4）
例7、如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m.
（1）求抛物线的关系式；
（2）现有一辆货运卡车高4.5m，宽2.4m，这辆货运卡车能否通过该隧道？
【隧道问题】
（2）根据题意，将x=±1.2代入解析式得：y=5.64，
∵5.64＞4.5，
∴货运卡车能通过．
解：（1）根据题意，A(-4，2)，D(4，2)，E(0，6)，
设抛物线的解析式为y=ax2+6(a≠0)，
把A(-4，2)或D(4，2)代入得：16a+6=2，
解得：a=-，∴抛物线的解析式为y=-x2+6（-4≤x≤4）；
例8、某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示．
（1）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；
（2）某集装箱箱宽3m，车与箱的高一共是4.5m，此车能否通过隧道？并说明理由．
（2）不能，理由如下：如果此车能通过隧道，集装箱处于对称位置，
令x=1.5，得y=-0.75，∴集装箱的顶离隧道的底为5-0.75=4.25（米），
∵车与箱总高4.5米，4.25＜4.5，
∴此车不能通过此隧道．
解：（1）如图，设抛物线对应的函数关系式为y=ax2(a≠0),
∵抛物线的顶点为原点，隧道宽6m，高5m，矩形的高为2m,
∴抛物线过点A(-3，-3)，代入得：-3=9a，
解得：a=-，∴函数关系式为y=-x2（-3≤x≤3）；
例9、如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y=-x2+8x+20，则他将铅球推出的距离是__________m.
解：当y=0时，-x2+8x+20=0，
解得：x1=-2（舍），x2=10，
∴他将铅球推出的距离是10m.
10
【其他问题】
例10、一身高1.8m的篮球运动员在距篮板AB4m（DE与AB的水平距离）处跳起投篮，球在运动员头顶上方0.25m处出手，在如图所示的直角坐标系中，球在空中运行的路线可以用y=-0.2x2+3.5来描述，那么球出手时，运动员跳离地面的高度为（　　）
A．0.1 B．0.15 C．0.2 D．0.25
解：当yA=3.05时，3.05=-0.2x2+3.5，解得：x=1.5,
∴xA=1.5，∴xC=1.5-4=-2.5，
当xC=-2.5时，yC=-0.2×(-2.5)2+3.5=2.25，
∴yE=2.25-0.25-1.8=0.2，
答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m.
C
例11、如图是王叔叔晚饭后步行的路程S（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线的一部分．下列说法正确的是（　　）
A．线段CD的函数表达式为s=30t+400（25≤t≤50）
B．25min～50min，王叔叔步行的路程为2000m
C．曲线段AB的函数表达式为s=-3(t-20)2+1200（5≤t≤20）
D．5min～20min，王叔叔步行的速度由慢到快
【分析】
A．设线段CD的函数解析式为S=kt+b(k≠0),
把(25，1200)，(50，2000)代入，
得：，解得：，
∴线段CD的函数解析式为S=32t+400（25≤t≤50）；
×
例11、如图是王叔叔晚饭后步行的路程S（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线的一部分．下列说法正确的是（　　）
A．线段CD的函数表达式为s=30t+400（25≤t≤50）
B．25min～50min，王叔叔步行的路程为2000m
C．曲线段AB的函数表达式为s=-3(t-20)2+1200（5≤t≤20）
D．5min～20min，王叔叔步行的速度由慢到快
【分析】
B．25min～50min，
王叔叔步行的路程为2000-1200=800（m）；
×
×
例11、如图是王叔叔晚饭后步行的路程S（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线的一部分．下列说法正确的是（　　）
A．线段CD的函数表达式为s=30t+400（25≤t≤50）
B．25min～50min，王叔叔步行的路程为2000m
C．曲线段AB的函数表达式为s=-3(t-20)2+1200（5≤t≤20）
D．5min～20min，王叔叔步行的速度由慢到快
【分析】
C．根据题意，抛物线顶点为(20，1200)，
∴设S=a(t-20)2+1200(a≠0)（5≤t≤20），
将(5，525)代入得：525=a(5-20)2+1200，解得：a=-3，
∴曲线段AB的函数解析式为S=-3(t-20)2+1200（5≤t≤20）；
√
×
×
例11、如图是王叔叔晚饭后步行的路程S（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线的一部分．下列说法正确的是（　　）
A．线段CD的函数表达式为s=30t+400（25≤t≤50）
B．25min～50min，王叔叔步行的路程为2000m
C．曲线段AB的函数表达式为s=-3(t-20)2+1200（5≤t≤20）
D．5min～20min，王叔叔步行的速度由慢到快
【分析】
D．5min～20min，王叔叔步行的速度由快到慢．
C
×
×
×
√
课后总结
（一）审 审题，明确变量常量，找出等量关系 与图形有关问题要结合图形具体分析
（二）设 设自变量、因变量
（三）列 用二次函数表示出变量与常量之间的等量关系 标记自变量的取值范围
（四）解 借助二次函数的解析式、图像与性质等解决实际问题
（五）验 检验结果在实际问题中是否有意义 若不符合实际意义，
要舍去
（六）答 写出实际问题的答案 注意带上单位
用二次函数解决问题的一般步骤：
课后总结
（一）审 审题，明确抛物线形上的关键点
（二）建 建立合适的直角坐标系， 写出关键点的坐标
（三）求 根据关键点的坐标求出二次函数的表达式 标记自变量的取值范围
（四）解 借助二次函数的解析式、图像与性质等解决实际问题
（五）验 检验结果在实际问题中是否有意义 若不符合实际意义，
要舍去
（六）答 写出实际问题的答案 注意带上单位
处理抛物线形问题的一般步骤：
课后复习
二次函数的篇章就此结束了，
做好复习哦~
也许即将有个检测在等你，嘻嘻
谢谢学习
Thank you for learning