(共54张PPT)
实数指数幂
及其运算
普通高中教科书2019版
数学（必修二）B版
人民教育出版社
国家统计局有关数据显示，我国科研和开发机构基础研究经费支出近些年呈爆炸式增长：2013年为221.59亿元，2014年、2015年、2016年的年增长率分别为16.84%，14.06%，14.26%。
你能根据这三个年增长率的数据，算出年平均增长幸，并以2013年的经费支出为基础，预测2017年及以后各年的经费支出吗？
情景与问题
视频
强基础研究
育拔尖人才
没有强大的基础研究，很难做出原创性、变革性、颠覆性的关键核心技术。
两弹一星科学家：
钱学森、赵九章、聂荣臻、邓稼先、钱三强。
病菌与病毒的发现者——巴斯德
疫苗
国家统计局有关数据显示，我国科研和开发机构基础研究经费支出近些年呈爆炸式增长：2013年为221.59亿元，2014年、2015年、2016年的年增长率分别为16.84%，14.06%，14.26%。
你能根据这三个年增长率的数据，算出年平均增长幸，并以2013年的经费支出为基础，预测2017年及以后各年的经费支出吗？
古代汉语释义： 幂：遮盖东西的巾
263年，刘徽为《九章算术》作注，在“方田”章求矩形面积法则下面写道：“此积为田幂”。他还说，长和宽相乘的积叫幂。这是在数学文献中第一次出现幂。在“勾股”章中，刘徽表述勾股定理为：“勾股幂合以成弦幂。”这里幂是指边自乘的结果或正方形面积。
300年以后，李淳凤重注《九章算术》，他不同意刘徽这样使用幂字。到了明朝，有些数学书中完全不使用幂字。
1607年，利玛窦和徐光启合译欧几里得《几何原本》，在译本中徐光启重新使用了幂字，他说：“自乘之数日幂。”这是第一次给幂这个概念下定义。
另一方面，幂的概念的形成还受到国外影响。1591年，法国数学家韦达的代数名著《分析方法入门》中曾经用拉丁文表达“幂”，以后译成英文相当于“power”。1935年，我国出版《数学名词》，把“power”译成“幂”，这个术语从此才算确定下来。
利玛窦
徐光启
刘徽
韦达
幂
底数
指数
复习回顾：
整数指数幂运算的运算法则
整数指数够用吗？看一个实际问题
某公司生产某种产品，每年利润额可以表示如下：
这里x是产品投放市场的年数，计算x=13时的利润额。
分数指数幂
在初中，平方根和立方根如何定义的？
(1)正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零； 负数在实数范围内没有平方根.
结论：
(2)正数和负数的立方根都只有一个，零的立方根是零.
能否类比得出四次方根和五次方根的定义。
特殊到一般，归纳定义
观察以下几组数据，你能得出n次方根的哪些性质呢？
结论：
（1）正数a的偶数次方根有两个，记为 。负数的偶次方根在实数范围内不存在。
（2）任意实数的奇数次方根有且只有一个，记为
（3）0的任意正整数次方根均为0，记为
练习：根据n次方根的定义分别求出下列各数的n次方根。
（1）5的平方根是（ ）
（2）7的3次方根是（ ）
（3）-32的5次方根是（ ）
（4）16的4次方根是（ ）
根指数
根式
被开方数
根式的概念
探究：
结论：
探究：
结论：
根式的性质：
例1：化简下列各式
答案：
数学史材料：
数学史材料：
探究：
应该等于多少呢？该怎么样用根式来表示呢？
（提示：用运算性质 ）
规定：
一般地，如果n是正整数，那么，当 有意义时，
规定：
同学们能将 用根式表示出来吗？
一般的正分数
规定：
探究：
规定：
无意义
无意义
强调：
（1）0的正分数指数幂为0；
（2）0的负分数指数幂没有意义；
（3）分数指数幂的底数不一定为正数。
有理数指数幂的运算法则：
乘方与开方统一为同一种运算，即幂的运算
例2.化简求值
6.例题演练，加深理解
6.例题演练，加深理解
小结：在进行指数幂运算时，一般将根式化为分数指数幂，然受再运用指数运算的运算法则计算，体现了转化的思想方法。
证明 ： 假设 即 或
根据不等式的性质与根式的性质，得a这都与a>b矛盾，因此假设不成立，从而
例3求证：如果a>b>0，n是大于1的自然数，那么
小结：
（1）不等式性质——开方性质
（2）反证法
最早是由古希腊数学家芝诺发明的，其含义是“归于不可能的方法”。
牛顿说过“反证法是数学家最精当的武器之一”。
成语“自相矛盾”的故事
若言琴上有琴声，放在匣中何不鸣？
若言声在指头上，何不于君指上听？
解释：
如果说琴音是发自于琴的，为何摆在琴匣的琴自己不会发出乐曲？
如果说琴音是发自于手指的，为何不能光从手指听到美妙的声音呢？
反证法
利用例1的结论，可以证明（留作练习）：
（1）如果a>b>0，s是正有理数，那么as>bs；
（2）如果a>1，s是正有理数，那么as>1，a-s<1；
（3）如果a>1，s>t>0，且s与t均为有理数，那么as>at
后续讲指数函数的单调性时继续深入研究。
探究：
现在我们将幂的运算从整数指数幂推广到了有理数指数幂，指数还可以继续推广吗？
如何理解 呢？
为了更好的理解无理指数幂的意义，补充两个概念：
不足近似值、过剩近似值。
的不足近似值 的近似值
1.4 9.518269694
1.41 9.672669973
1.414 9.735171039
1.4142 9.738305174
1.41421 9.738461907
1.414213 9.738508928
1.4142135 9.738516765
1.41421356 9.738517705
1.414213562 9.738517736
… …
的近似值 的过剩近似值
11.18033989 1.5
9.829635328 1.42
9.750851808 1.415
9.73987262 1.4143
9.738618643 1.41422
9.738524602 1.414214
9.738518332 1.4142136
9.738517862 1.41421357
9.738517752 1.414213563
… …
观察这些结果，你有什么发现？同学们分组讨论一下。
结论： 的不足近似值和过剩近似值相同的位数越多，即 的近似值精确度越高，以其不足近似值和过剩近似值为指数的幂值会越来越趋近于同一个数，我们把这个数记为
即
一般地，当a>0且t是无理数时，at都是一个确定的实数，因此，当a>0，t为任意实数时，可以认为实数指数幂at都有意义.
整数指数幂
有理指数幂
实数指数幂
例6：化简下列各式
总结：利用实数指数幂的运算法则进行计算时注意什么？
1.如果有根式，先将根式转化成分数指数幂，再按照幂的运算法则进行计算，多重根式时，由里向外，层层转化。
2.系数与系数做运算；同底数的幂按法则运算；不同底数的不能计算。
3.对于分式的化简求值，一定要观察分析题设中式子的结构特征，灵活运用乘法公式及合理利用幂的运算法则进行化简变形，适当采用换元法、整体思想处理问题。
4.对于化简的结果，一般用分数指数幂的形式表示，如果有特殊要求，要根据要求给出结果。结果不能出现既有根式又有分数指数幂的形式，不能出现既有分数又有负指数幂的形式。
回扣情景与问题：
指数增长的威力
宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学。
——华罗庚
同学们，你们喜欢数学吗？
你可能喜欢音乐，因为它有优美和谐的旋律；你可能喜欢图画，因为它从视觉上反映人和自然的美；那么你更应该喜欢数学，因为它像音乐一样和谐，像图画一样美丽，而且它在更深的层次上，揭示自然界和人类社会内在的规律，用简洁的、漂亮的定理和公式描述世界的本质，可见数学有无穷的魅力！
同学们，让我们一起爱上数学吧！
课堂小结：
2.思想方法：
（2）实数指数幂的运算法则
（1）实数指数幂的形成过程
1.知识：
数学建模、逻辑推理、数学抽象、数学运算、数据分析
类比思想
特殊到一般
分类讨论
3.核心素养：
基础作业：练习A、练习B
拓展作业：查找在实际生产生活中与实数指数幂有关的问题，写篇小论文.
感谢各位评委老师、同学们！
今生的机缘，数学牵线；
心中的誓言，谁能离间；
奋斗的习惯，苍海沧田；
思维的光环，永不暗淡。
