3.2函数的基本性质—函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值 强化训练（含解析）

函数的基本性质—单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值强化训练（学生版）
1、已知函数y＝f(x)是R上的增函数，则对任意x1，x2∈R，“x1A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2、已知函数f(x)＝x2＋(k－2)x在[1，＋∞)上是增函数，则k的取值范围为(　　)
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
3、设函数f(x)＝x＋－2(x>0)，则f(x)(　　)
A．有最大值 B．有最小值
C．是增函数 D．是减函数
4、设函数f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，下列函数必为奇函数的是(　　)
A．y＝－|f(x)|　　　 B．y＝xf(x2)
C．y＝－f(－x) D．y＝f(x)＋f(－x)
5、(2022·青岛模拟)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝(　　)
A．21 B．－21
C．26 D．－26
6、(2022·白银模拟)已知f(x)＝ax－2x(a≠2)为奇函数，则“m<－”是“f(m)>0”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
7、(2022·大庆月考)已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－1)A． B．
C． D．(1，＋∞)
8、(2022·湖北高三月考)已知定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，若f(－2)＝1，则满足|f(2x)|≤1的x的取值范围是(　　)
A．[－1,1]　　　　　　　 B．[－2,2]
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
9、(多选)设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论错误的是(　　)
A．y＝在R上为减函数
B．y＝|f(x)|在R上为增函数
C．y＝－在R上为增函数
D．y＝－f(x)在R上为减函数
10、(多选)已知函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为(－2,3)，则函数f(|x|)的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－1) B．(－3，－1)
C．(0,1) D．(1,3)
11、(多选)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x)
C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x
12、(多选)函数f(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，f(x＋1)是偶函数，则(　　)
A．f(0)＝1 B．f(x)是周期函数
C．f(x＋3)为奇函数 D．f(x＋5)为偶函数
13、已知定义在R上的偶函数f(x)满足在[0，＋∞)上单调递增，f(3)＝0，则关于x的不等式>0的解集为(　　)
A．(－5，－2)∪(0，＋∞) B．(－∞，－5)∪(0,1)
C．(－3,0)∪(3，＋∞) D．(－5,0)∪(1，＋∞)
14、(多选)函数f(x)的定义域为R，且f(x)与f(x＋1)都为奇函数，则(　　)
A．f(x－1)为奇函数
B．f(x)为周期函数
C．f(x＋3)为奇函数
D．f(x＋2)为偶函数
15、已知函数f(x)＝在区间[－1，a－2]上单调递增，则实数a的取值范围为________．
16、(2022·广东模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2－x－1，则当x∈(－∞，0)时，f(x)＝________．
17、已知实数a，b满足(a－1)5＋(b－3)5＝2 020(1－a)3＋2 020(3－b)3，则a＋b＝________．
18、设函数y＝f(x)的定义域为R，则下列命题：
①若y＝f(x)是偶函数，则y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称；
②若y＝f(x＋2)是偶函数，则y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称；
③若f(x－2)＝f(2－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称；
④y＝f(x－2)与y＝f(2－x)的图象关于直线x＝2对称．
其中正确命题的序号为________．
19、已知函数f(x)满足：①f(0)＝0；②在[1,3]上是减函数；③f(1＋x)＝f(1－x)．请写出一个满足以上条件的f(x)＝________．
20、(2022·杭州模拟)探究函数f(x)＝x＋，x∈(0，＋∞)的图象时，列表如下：
x … 0．5 1 1．5 1．7 1．9 2
y … 8．5 5 4．17 4．05 4．005 4
x 2．1 2．2 2．3 3 4 7 …
y 4．005 4．02 4．04 4．3 5 7．57 …
观察表中y值随x值的变化情况，完成以下的问题：
(1)求函数f(x)＝x＋(x>0)的递减区间及递增区间；
(2)若对任意的x∈[1,3]，f(x)≥m＋1恒成立，试求实数m的取值范围．
21、(2022·重庆模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2．
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．
22、设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x．
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．
23、(1)已知函数f(x)，x∈R，若 a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数；
(2)已知函数f(x)，x∈R，若 x1，x2∈R，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)·f(x2)，求证：f(x)为偶函数；
(3)设函数f(x)定义在(－l，l)上，证明：f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数．
24、(2022·柳州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1；
②当x>0时，f(x)>－1．
(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数；
(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4．
25、已知a≥3，函数F(x)＝min{2|x－1|，x2－2ax＋4a－2}，其中min{p，q}＝
(1)求使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围；
(2)①求F(x)的最小值m(a)；
②求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a)．
函数的基本性质—单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值强化训练（解析版）
1、已知函数y＝f(x)是R上的增函数，则对任意x1，x2∈R，“x1A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：C　当x12、已知函数f(x)＝x2＋(k－2)x在[1，＋∞)上是增函数，则k的取值范围为(　　)
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
解析：B　函数f(x)＝x2＋(k－2)x的对称轴为x＝－，且开口向上，因为f(x)在[1，＋∞)上是增函数，所以－≤1，解得k≥0．故选B．
3、设函数f(x)＝x＋－2(x>0)，则f(x)(　　)
A．有最大值 B．有最小值
C．是增函数 D．是减函数
解析：B　∵x>0，∴f(x)＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，∴f(x)有最小值，又由对勾函数的图象可知f(x)在(0，＋∞)上不具有单调性．故选B．
4、设函数f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，下列函数必为奇函数的是(　　)
A．y＝－|f(x)|　　　 B．y＝xf(x2)
C．y＝－f(－x) D．y＝f(x)＋f(－x)
解析：B　对A，y＝－|f(x)|中，－|f(－x)|与|f(x)|不一定相等，故不一定为奇函数，故错误；对B，y＝g(x)＝xf(x2)中，因为g(－x)＝－xf[(－x)2]＝－xf(x2)＝－g(x)，所以函数为奇函数，故正确；对C，y＝－f(－x)中，－f(x)与f(－x)不一定相等，故不一定为奇函数，故错误；对D，y＝f(x)＋f(－x)为偶函数，故错误．故选B．
5、(2022·青岛模拟)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝(　　)
A．21 B．－21
C．26 D．－26
解析：B　设g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数．由题设可得f(－3)＝g(－3)－8＝5，得g(－3)＝13．又因为g(x)为奇函数，所以g(3)＝－g(－3)＝－13，于是f(3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21．
6、(2022·白银模拟)已知f(x)＝ax－2x(a≠2)为奇函数，则“m<－”是“f(m)>0”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：B　因为f(x)＝ax－2x(a≠2)为奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0，ax－2x＋a－x－2－x＝0，(ax－2x)＝0恒成立，(2a)x＝1，a＝，f(x)＝2－x－2x为R上的减函数，且f(0)＝0，所以f(m)>0时，m<0，因此“m<－”是“f(m)>0”的充分不必要条件．故选B．
7、(2022·大庆月考)已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－1)A． B．
C． D．(1，＋∞)
解析：A　由题意，函数f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，因为f(x－1)8、(2022·湖北高三月考)已知定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，若f(－2)＝1，则满足|f(2x)|≤1的x的取值范围是(　　)
A．[－1,1]　　　　　　　 B．[－2,2]
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
解析：A　根据奇函数的性质，得f(x)在R上单调递减，且f(2)＝－1．由|f(2x)|≤1，得－1≤f(2x)≤1，即f(2)≤f(2x)≤f(－2)，所以2≥2x≥－2，解得－1≤x≤1，故选A．
9、(多选)设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论错误的是(　　)
A．y＝在R上为减函数
B．y＝|f(x)|在R上为增函数
C．y＝－在R上为增函数
D．y＝－f(x)在R上为减函数
解析：ABC　对于A，若f(x)＝x，则y＝＝，在R上不是减函数，错误；
对于B，若f(x)＝x，则y＝|f(x)|＝|x|，在R上不是增函数，错误；
对于C，若f(x)＝x，则y＝－＝－，在R上不是增函数，错误；
对于D，函数f(x)在R上为增函数，则对于任意的x1，x2∈R，设x10，则y＝－f(x)在R上为减函数，正确．故选A、B、C．
10、(多选)已知函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为(－2,3)，则函数f(|x|)的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－1) B．(－3，－1)
C．(0,1) D．(1,3)
解析：BC　因为函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为(－2,3)，对称轴为直线x＝1，开口向下，所以函数f(|x|)满足－2<|x|<3，所以－311、(多选)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x)
C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x
解析：BD　由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证，A项，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；B项，f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；C项，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；D项，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．可知B、D正确．
12、(多选)函数f(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，f(x＋1)是偶函数，则(　　)
A．f(0)＝1 B．f(x)是周期函数
C．f(x＋3)为奇函数 D．f(x＋5)为偶函数
解析：BD　因为f(x＋1)是偶函数，所以函数f(x)的图象关于x＝1对称，即f(－x)＝f(2＋x)，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，于是f(2＋x)＝－f(x)，即有f(4＋x)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的一个周期为4，故A错误，B正确；设g(x)＝f(x＋3)，则g(－x)＝f(－x＋3)＝f(－1＋x)＝f(x＋3)，即g(x)＝g(－x)，所以f(x＋3)为偶函数，C错误；设h(x)＝f(x＋5)，则h(－x)＝f(－x＋5)＝f(x－3)＝f(x＋5)，即h(x)＝h(－x)，所以f(x＋5)为偶函数，D正确．故选B、D．
13、已知定义在R上的偶函数f(x)满足在[0，＋∞)上单调递增，f(3)＝0，则关于x的不等式>0的解集为(　　)
A．(－5，－2)∪(0，＋∞) B．(－∞，－5)∪(0,1)
C．(－3,0)∪(3，＋∞) D．(－5,0)∪(1，＋∞)
解析：D　因为定义在R上的偶函数f(x)满足在[0，＋∞)内单调递增，所以f(x)满足在(－∞，0)内单调递减，又f(3)＝0，所以f(－3)＝f(3)＝0．作出函数f(x)的草图如图，由>0，得>0，得>0，所以或所以或解得x>1或－50的解集为(－5,0)∪(1，＋∞)．故选D．
14、(多选)函数f(x)的定义域为R，且f(x)与f(x＋1)都为奇函数，则(　　)
A．f(x－1)为奇函数
B．f(x)为周期函数
C．f(x＋3)为奇函数
D．f(x＋2)为偶函数
解析：ABC　由题意知：f(－x－1)＋f(x＋1)＝0且f(－x＋1)＋f(x＋1)＝0，∴f(1－x)＝f(－1－x)，即f(x－1)＝f(x＋1)，可得f(x)＝f(x＋2)，∴f(x)是周期为2的函数，且f(x－1)，f(x＋2)为奇函数，故A、B正确，D错误；由上知：f(x＋1)＝f(x＋3)，即f(x＋3)为奇函数，C正确．故选A、B、C．
15、已知函数f(x)＝在区间[－1，a－2]上单调递增，则实数a的取值范围为________．
解析：由分段函数解析式知：f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在[－1,1]上单调递增，由f(x)在[－1，a－2]上单调递增，得－116、(2022·广东模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2－x－1，则当x∈(－∞，0)时，f(x)＝________．
解析：函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2－x－1，则当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1，故f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＋1．
17、已知实数a，b满足(a－1)5＋(b－3)5＝2 020(1－a)3＋2 020(3－b)3，则a＋b＝________．
解析：因为(a－1)5＋(b－3)5＝2 020(1－a)3＋2 020(3－b)3，所以(a－1)5＋2 020(a－1)3＝(3－b)5＋2 020(3－b)3，令f(x)＝x5＋2 020x3，则f(x)在R上为单调递增的奇函数，又f(a－1)＝f(3－b)，所以a－1＝3－b，所以a＋b＝4．
18、设函数y＝f(x)的定义域为R，则下列命题：
①若y＝f(x)是偶函数，则y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称；
②若y＝f(x＋2)是偶函数，则y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称；
③若f(x－2)＝f(2－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称；
④y＝f(x－2)与y＝f(2－x)的图象关于直线x＝2对称．
其中正确命题的序号为________．
解析：y＝f(x＋2)是将函数y＝f(x)的图象向左平移两个单位长度得到的，故y＝f(x)的图象关于直线x＝－2对称，①错误，②正确；若f(x－2)＝f(2－x)，由＝0得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0对称，③错误，④正确．
19、已知函数f(x)满足：①f(0)＝0；②在[1,3]上是减函数；③f(1＋x)＝f(1－x)．请写出一个满足以上条件的f(x)＝________．
解析：由f(1＋x)＝f(1－x)可得f(x)关于直线x＝1对称，所以开口向下，对称轴为x＝1，且过原点的二次函数满足题目中的三个条件．
答案：－x2＋2x(答案不唯一)
20、(2022·杭州模拟)探究函数f(x)＝x＋，x∈(0，＋∞)的图象时，列表如下：
x … 0．5 1 1．5 1．7 1．9 2
y … 8．5 5 4．17 4．05 4．005 4
x 2．1 2．2 2．3 3 4 7 …
y 4．005 4．02 4．04 4．3 5 7．57 …
观察表中y值随x值的变化情况，完成以下的问题：
(1)求函数f(x)＝x＋(x>0)的递减区间及递增区间；
(2)若对任意的x∈[1,3]，f(x)≥m＋1恒成立，试求实数m的取值范围．
解：(1)由表中y值随x值的变化情况可得函数f(x)＝x＋(x>0)的递减区间是(0,2)，递增区间是(2，＋∞)．
(2)由表中y值随x值的变化情况可得当x∈[1,3]时，f(x)min＝f(2)＝4，
所以要使对任意的x∈[1,3]，f(x)≥m＋1恒成立，只需f(x)min＝f(2)＝4≥m＋1，
解得m≤3，故m的取值范围为(－∞，3]．
21、(2022·重庆模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2．
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．
解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，
∴4－x∈[0,2]，
∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8．
∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x2＋6x－8，
即当x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8．
22、设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x．
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．
解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，又f(x)为奇函数，
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4．
(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，
得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．
当－4≤x≤4时，设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4．
23、(1)已知函数f(x)，x∈R，若 a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数；
(2)已知函数f(x)，x∈R，若 x1，x2∈R，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)·f(x2)，求证：f(x)为偶函数；
(3)设函数f(x)定义在(－l，l)上，证明：f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数．
证明：(1)令a＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)，∴f(0)＝0．
令a＝－x，b＝x，则f(0)＝f(－x)＋f(x)，∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数．
(2)令x1＝0，x2＝x，得f(x)＋f(－x)＝2f(0)f(x)，①
令x2＝0，x1＝x，得f(x)＋f(x)＝2f(0)f(x)，②
由①②得f(x)＋f(－x)＝f(x)＋f(x)，即f(－x)＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(3)∵x∈(－l，l)，∴－x∈(－l，l)．
可见，f(－x)的定义域也是(－l，l)．
设F(x)＝f(x)＋f(－x)，G(x)＝f(x)－f(－x)，
则F(x)与G(x)的定义域也是(－l，l)，显然是关于原点对称的．
∵F(－x)＝f(－x)＋f(－(－x))＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，
G(－x)＝f(－x)－f(－(－x))＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－G(x)，
∴F(x)为偶函数，G(x)为奇函数，即f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数．
(2)∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，
∴4－x∈[0,2]，
∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8．
∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x2＋6x－8，
即当x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8．
24、(2022·柳州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1；
②当x>0时，f(x)>－1．
(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数；
(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4．
解：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1．
在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1－x2)>－1．
又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1，所以f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2)＋1>0，所以f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在R上是单调增函数．
(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5．
由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4，
得f(x2＋2x)＋f(1－x)＋1>5，
即f(x2＋x＋1)>f(3)，
又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1>3，
解得x<－2或x>1，
故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．
25、已知a≥3，函数F(x)＝min{2|x－1|，x2－2ax＋4a－2}，其中min{p，q}＝
(1)求使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围；
(2)①求F(x)的最小值m(a)；
②求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a)．
解：(1)由于a≥3，故当x≤1时，x2－2ax＋4a－2－2|x－1|＝x2＋2(a－1)(2－x)>0，不合题意；
当x>1时，x2－2ax＋4a－2－2|x－1|＝(x－2)(x－2a)．
由(x－2)(x－2a)≤0得2≤x≤2a．
所以使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围为[2,2a]．
(2)①设函数f(x)＝2|x－1|，g(x)＝x2－2ax＋4a－2，则f(x)min＝f(1)＝0，g(x)min＝g(a)＝－a2＋4a－2，
由F(x)的定义知m(a)＝min{f(1)，g(a)}，即m(a)＝
②当0≤x≤2时，
F(x)＝f(x)≤max{f(0)，f(2)}＝2＝F(2)，
当2≤x≤6时，
F(x)＝g(x)≤max{g(2)，g(6)}＝max{2,34－8a}＝max{F(2)，F(6)}．
所以M(a)＝