宁夏银川市景博中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学（理）试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 宁夏银川市景博中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学（理）试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 674.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-24 10:31:13 | ||
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文档简介
景博中学2022-2023学年第一学期高三期中考试
数学（理科）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，则（ ）
A. B. 4 C. D.
3. 已知是各项均为正数的等差数列，且，则的最大值为（ ）
A. 10 B. 20 C. 25 D. 50
4. 已知向量，设，的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
5. 执行如图的程序框图，那么输出的值是（ ）
A. 2 B. C. D. 1
6. 已知中，内角，，的对边分别为，，，若点到直线的距离为，且，则（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
8. 已知函数的最小正周期是π，将的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则关于函数的说法不正确的是（ ）
A. 是函数一条对称轴 B. 是函数一个对称中心
C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减
9. 魏晋南北朝时期，中国数学的测量学取得了长足进展. 刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，因其第一题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》. 受此题启发，某同学依照此法测量郑州市二七纪念塔的高度. 如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”测得以下数据（单位：米）：前表却行，表高，后表却行，表距. 则塔高（ ）
A. 60米 B. 61米 C. 62米 D. 63米
10. 已知正项等比数列的前项和，满足，则的最小值为（ ）
A. B. 3 C. 4 D. 12
11. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术。图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花。图2中正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
12. 已知，若时，恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量，，且，则_________.
14. 在正项等比数列中，，则_________.
15. 已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_________.
16. 已知函数，则方程的实根的个数为_________；若函数有三个零点，则的取值范围是_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生部必须作答. 第22、23为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分.
17. （12分）
已知数列满足，.
（1）记，写出，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
18. （12分）
如图，在四边形中，，.
（1）求角的值；
（2）若，求四边形的面积.
19. （12分）
在中，角，，的对边分别是，，，且向量与向量共线.
（1）求角；
（2）请从条件①、条件②、条件③这三个条件选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，并求边上中线的长.
条件①：；条件②：；条件③：.
20. （12分）
已知各项为正数的数列前项和为，若.
（1）求数列的通项公式：
（2）设，且数列前项和为，求证：.
21. （12分）
已知函数.
（1）若是的一个极值点，求的极值；
（2）设的极大值为，且有零点，求证：
（二）选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的第一题计分.
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系. 已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）
（1）求曲线的参数方程与直线的普通方程；
（2）设点为曲线上的动点，点和点为直线上的点，且，求面积的取值范围.
23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）
设函数.
（1）当，总有，求的最小值；
（2）若正数，满足，求证：.
数学（理科）答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 g 10 11 12
B D C D B A C D D D D C
二、填空题
13. 10 14. 2 15.
16. （1）3 （2）
三、解答题
17解：（1）[方法一]【最优解】：
显然为偶数，则，
所以，即，且，
所以是以2为首项，3为公差的等差数列，
于是.
[方法二]：奇偶分类讨论
由题意知，
所以
由（n为奇数）及（n为偶数）可知，
数列从第一项起，
若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，
若为偶数，则其后一项减去该项的差为2.
所以，则
[方法三]：累加法
由题意知数列满足
所以，
，
则
所以，数列的通项公式.
（2）[方法一]：奇偶分类讨论
[方法二]：分组求和
由题意知数列满足，
所以
所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列
从而数列的前20项和为：
18. （1）
因为，得，
∴或，
解得或，因为，得，
∴
（2）在中，
在中，
∵，
∵，∴，得，
∴，所以四边形的面积为
19. （1）由向量与向量）共线得
∴
又因为. ∴，
∴，又，∴；
（2）由①可知
所以或，不唯一确定（舍去）
由②可知
又，所以，
即或，
不唯一确定（舍去）
由③可知，，
，
∴
20. （1）当时. 解得：
当时，由得，
因此，，又，
∴，即：是首项为1，公差为2的等差数列，
因此的通项公式.
（2）依题意得：，，
∴，
两式相减，得：
，因此.
21解：
（1）易知，函数的定义域为.
由，得
由是的一个极值点，
得，即，即. （2分）
此时，，
设，则，
所以在上单调递减. （3分）
又，
所以当时，，即，
当时，，即.
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以有极大值，无极小值. （5分）
2）由，得，（6分）
设，则，
令，得，
当时，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故的极大值为. （8分）
当时，.
又，故存在唯一的零点，且，
由，得，（10分）
当时，即，
当时，即，
即在上单调递增，在上单调递减.
故的极大值为，（11分）
令，得
由有零点，得，即. （12分）
数学（理科）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，则（ ）
A. B. 4 C. D.
3. 已知是各项均为正数的等差数列，且，则的最大值为（ ）
A. 10 B. 20 C. 25 D. 50
4. 已知向量，设，的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
5. 执行如图的程序框图，那么输出的值是（ ）
A. 2 B. C. D. 1
6. 已知中，内角，，的对边分别为，，，若点到直线的距离为，且，则（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
8. 已知函数的最小正周期是π，将的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则关于函数的说法不正确的是（ ）
A. 是函数一条对称轴 B. 是函数一个对称中心
C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减
9. 魏晋南北朝时期，中国数学的测量学取得了长足进展. 刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，因其第一题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》. 受此题启发，某同学依照此法测量郑州市二七纪念塔的高度. 如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”测得以下数据（单位：米）：前表却行，表高，后表却行，表距. 则塔高（ ）
A. 60米 B. 61米 C. 62米 D. 63米
10. 已知正项等比数列的前项和，满足，则的最小值为（ ）
A. B. 3 C. 4 D. 12
11. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术。图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花。图2中正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
12. 已知，若时，恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量，，且，则_________.
14. 在正项等比数列中，，则_________.
15. 已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_________.
16. 已知函数，则方程的实根的个数为_________；若函数有三个零点，则的取值范围是_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生部必须作答. 第22、23为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分.
17. （12分）
已知数列满足，.
（1）记，写出，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
18. （12分）
如图，在四边形中，，.
（1）求角的值；
（2）若，求四边形的面积.
19. （12分）
在中，角，，的对边分别是，，，且向量与向量共线.
（1）求角；
（2）请从条件①、条件②、条件③这三个条件选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，并求边上中线的长.
条件①：；条件②：；条件③：.
20. （12分）
已知各项为正数的数列前项和为，若.
（1）求数列的通项公式：
（2）设，且数列前项和为，求证：.
21. （12分）
已知函数.
（1）若是的一个极值点，求的极值；
（2）设的极大值为，且有零点，求证：
（二）选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的第一题计分.
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系. 已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）
（1）求曲线的参数方程与直线的普通方程；
（2）设点为曲线上的动点，点和点为直线上的点，且，求面积的取值范围.
23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）
设函数.
（1）当，总有，求的最小值；
（2）若正数，满足，求证：.
数学（理科）答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 g 10 11 12
B D C D B A C D D D D C
二、填空题
13. 10 14. 2 15.
16. （1）3 （2）
三、解答题
17解：（1）[方法一]【最优解】：
显然为偶数，则，
所以，即，且，
所以是以2为首项，3为公差的等差数列，
于是.
[方法二]：奇偶分类讨论
由题意知，
所以
由（n为奇数）及（n为偶数）可知，
数列从第一项起，
若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，
若为偶数，则其后一项减去该项的差为2.
所以，则
[方法三]：累加法
由题意知数列满足
所以，
，
则
所以，数列的通项公式.
（2）[方法一]：奇偶分类讨论
[方法二]：分组求和
由题意知数列满足，
所以
所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列
从而数列的前20项和为：
18. （1）
因为，得，
∴或，
解得或，因为，得，
∴
（2）在中，
在中，
∵，
∵，∴，得，
∴，所以四边形的面积为
19. （1）由向量与向量）共线得
∴
又因为. ∴，
∴，又，∴；
（2）由①可知
所以或，不唯一确定（舍去）
由②可知
又，所以，
即或，
不唯一确定（舍去）
由③可知，，
，
∴
20. （1）当时. 解得：
当时，由得，
因此，，又，
∴，即：是首项为1，公差为2的等差数列，
因此的通项公式.
（2）依题意得：，，
∴，
两式相减，得：
，因此.
21解：
（1）易知，函数的定义域为.
由，得
由是的一个极值点，
得，即，即. （2分）
此时，，
设，则，
所以在上单调递减. （3分）
又，
所以当时，，即，
当时，，即.
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以有极大值，无极小值. （5分）
2）由，得，（6分）
设，则，
令，得，
当时，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故的极大值为. （8分）
当时，.
又，故存在唯一的零点，且，
由，得，（10分）
当时，即，
当时，即，
即在上单调递增，在上单调递减.
故的极大值为，（11分）
令，得
由有零点，得，即. （12分）
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