4.1.1实数指数幂及其运算 课件(共27张PPT)

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2
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4.1.1 实数指数幂及其运算
人教版高中数学B版必修第二册
励志公式：
①：
1.01
1.01
1.01
……
=
1.01
365
≈
37.78
＞
1
②：
0.99
0.99
0.99
……
=
0.99
365
≈
0.03
＜
1
数学告诉我们，积跬步以至千里，积怠惰以至深渊
情景引入
情景引入
实例：今年6月13日，三星堆遗址祭祀区考古发掘阶段性成果发布。北大考古年代学实验室的吴小红和她的团队通过碳十四年代测定，把三星堆“祭祀坑”的年代精确到了大约公元前1131年到1012年，使整个三星堆遗址乃至三星堆文化的研究走出了重要一步。
C-14在物体中每过约5730年会衰减一半
碳14计年的计算公式
（ ）
1
2
t
5730
复习回顾
一、整数指数幂
1
（-8）
0
=
；
10
3
1
2
-3
X
-3
=
8X
3
1
Y
-4
X
-6
=
Y
4
1
X
6
1
=
Y
6
X
4
10
-3
=
；
（2X）
-3
=
；
（
Y
2
X
3
-2
)
=
.
（1）
（2）
9的平方根为
=
=
±3
3
-2
0
与探究任务一
类比二次方根与三次方根，能否给出四次方根和五次方根的定义？
（1）若x =a，则称x为a的四次方根
4
I）当a=0时，a的四次方方根只有一个0，记作 0=0；
II）当a＞0时，a有两个四次方根，他们互为相反数，正的四次方根为 a,负的四次方根为- a；
II）当a＜0时，在实数范围内没有四次方根。
4
4
4
（2）若x =a，则称x为a的五次方根
5
在实数范围内，任意实数a有且只有一个五次方根，记为 a
5
探究新知
概念形成
二、分数指数幂：
0
1.a的n次方根
一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得x =a，则x称为a的n次方根。
n
①： 0=
②：n为偶数：当a＞0时：a有两个n次方根为± a ，其中 a 为n次算术根；当a＜0时： a 在实数范围内无意义。
n为奇数：a有唯一n次方根 a
2.性质
n
n
n
n
概念形成
2. 根式：
（1）定义：当 有意义的时候， 称为根式，读作“n次根号a”
n
a
n
a
根指数
被开方数
n
a
n
a
何时 有意义时？ 的意义是什么呢？
概念深化
（2）根式的性质：
I）：
II）：当n为奇数时， ；当n为偶数时：
n
（ ）
a
n
=a
n
a
n
=a
n
n
a
=|a|
性质应用
例1 化简下列各式
（1）
（4）
（2）
（3）
（6）
（5）
尝试与发现
探究任务二
第一组任务：
1.当a＞0时，计算 是多少？
5
a
10
2.观察计算结果的指数与a的指数10和根指数5有什么等量关系？
3.能否将 写成分数为指数的幂的形式？
5
10
第二组任务：
1.当a＞0时，计算 是多少？
4
a
12
2.观察计算结果的指数与a的指数12和根指数4是否有等量关系？
3.能否将 写成分数为指数的幂的形式？
4
a
12
尝试与发现
5
a
10
=
5
（a）
2
5
=
a
2
=
a
5
10
（a＞0）
进一步观察：
4
a
12
=
4
（a ）
3
4
=
a
3
=
a
4
12
（a＞0）
（ ）
（ ）
概念形成
3.分数指数幂
（1）为了方便，我们约定a＞0，规定 （n∈N ）
a
n
1
=
a
n
*
5
4
3
=
=
（5 ）
3
4
1
=
5
4
3
3
（2）对于 m，n∈N 且 为既约分数，规定：
*
m
n
a
n
m
=
a
n
m
=
a
n
m
例如：
a
n
m
-
=
a
n
m
1
1
=
a
n
m
注意m，n的位置
（ ）
5
4
概念深化
发现
说明：①：只要根式 有意义， ,不一定非得a＞0.
a
n
a
n
a
n
1
=
比如：
-8
3
=
（-8）
3
1
②：
（-8）
6
2
=
-8
6
2
但是， 没有意义，
-8
（ ）
6
2
这样，我们就将整数指数幂推广到了分数指数幂,即有理数指数幂。
（-8）
6
1
2
（ ）
=
（ ）
一般地，没有特殊说明，认为分数中指数幂中指数都是既约分数
概念深化
4.有理数指数幂运算法则：
（ ）
当s与t都是有理数时，有运算法则：
s
a
a
t
=
a
S+t
s
a
t
=
a
St
（ ）
ab
s
=
a
S
b
S
练一练：
自主阅读课本P6部分并作答
7
练一练
练一练
（ ）
8
3
1
2
=
2
2
=
4
（ ）
a
3
2
3
（ ）
b
4
1
3
=
a
2
3
3
2
1
3
3
1
3
6
1
=
3
2
=
9
①
②
③
探究新知
我们写不出 的精确的小数形式，但是3.1＜π＜3.2
2
π
得：
2
3.1
＜
2
π
＜
2
3.2
2
3.14
＜
2
π
＜
2
3.15
2
3.141
＜
2
π
＜
2
3.142
2
3.14159
＜
2
π
＜
2
3.14160
当指数是无理数时，该如何理解这个指数幂的值呢？
1. 尝试探究： ，其中π等于3.141592653……是一个无理数
2
π
探究任务三
尝试与发现
从而，这两个序列：
随着小数位的增加，两个有理数序列的值越来越接近π，他们为指数2为底数的指数值也越来越接近一个实数，这个实数就是
2
π
2
π
2
3.1
2
3.14
2
3.141
2
3.1415
2
3.14159
2
3.141592
2
3.2
2
3.15
2
3.142
2
3.1416
2
3.14160
2
3.141593
两边逼近的思想方法
概念形成
说明：
（1）无理数可以作为指数，无理指数幂是一个确定的实数。
（2）一般情况下，有理指数幂的运算法则同样适用于无理指数幂。
（3）无理指数幂的近似值可以用逼近的方式得到。
（4）一般不讨论a<0时的无理指数幂，因为会出现无法逼近的现象。
三、无理指数幂
定义：一般的当a>0，且t为无理数时， 都是一个确定的实数。
a
t
概念形成
四、实数指数幂
（1）当a>0，且指数t为任意实数时， 都是一个确定的实数，及时数指数幂 都有意义。
（2）实数指数幂包括整数指数幂、分数指数幂和无理数指数幂，且运算法则仍然成立。
a
t
a
t
整数指数幂 分数指数幂 无理数指数幂 实数指数幂
典例解析
例2：计算下列各式的值
（1）
（2）
例3：化简下列各式
（1）
（2）
典例解析
8
尝试与发现
课堂小结：
1.本节课了解整数指数幂 分数指数幂 无理数指数幂 实数指数幂的拓展，感受到了数学的发展和应用价值。
2.重点：根式的性质，根式与分数指数幂的转化，分数指数幂的概念和运算分数指数幂的理解。
难点：根式的性质和指数运算法则的求值化简。
3.提升了我们的类比归纳，数学抽象和逻辑推理的学科素养。
8
尝试与发现
课后作业：
1.小组合作探讨作业：课本例1 温馨提示，反例法
2.课后习题A组，B组1和2。
谢谢大家