人教A版（2019）高中数学必修第二册 《平面几何中的向量方法》名师课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
2.向量的长度(模) ||=
1.向量数量积的坐标表示
设a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)
复习引入
人教A版同步教材名师课件
平面几何中的向量方法
学习目标
学 习 目 标 核心素养
体会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、物理中的问题及其他一些实际问题的过程. 数学抽象
体会向量是一种处理几何问题、物理问题的工具,提高运算能力和解决实际问题的能力. 数学建模
掌握用向量方法解决实际问题的基本方法. 逻辑推理
向量的特点和作用
向量具有“数”与“形”双重身份,加之向量的工具性作用,向量经常与数列、三角、平面几何、解析几何、立体几何等知识相结合,综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题,本课讲授如何处理有关长度、夹角、垂直与平行等平面几何问题典型问题等。
探究新知
常见方法
1.坐标法
2.基向量法
探究新知
1.坐标法
典例讲解
例1、如图,正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,PECF是矩形,用向量证明：（1）AP=FE；（2）AP⊥FE.
A
B
C
D
P
E
F
∴ .
典例讲解
证明
∴AP=FE
(1)建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为1
例1、如图,正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,PECF是矩形,用向量证明：（1）AP=FE；（2）AP⊥FE.
A
B
C
D
P
E
F
典例讲解
证明
(2)由(1)知
方法归纳
一是利用图形特点选择恰当的基底,向向量的数量积转化,用公式求解；
二是建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式求解
用向量法解决平面几何中的长度问题的方法
变式训练
1.如图,平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.
解析
设,则,
,
,
,即.
典例讲解
例2、已知等腰△ABC中,,是两腰的中线,且⊥,求∠BAC的余弦值.
解析
设则,.
分别为边上的中线,,.
以底边所在直线为轴,边的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,
又即
.
方法归纳
利用向量法求角的大小时,一般将这个角视作两个向量的夹角,再利用向量的夹角公式求解.
变式训练
2. 如图所示,在中,,点在线段上,且
求：(1) 的长； (2)的大小.
解析
（1）设.
.
（2）设,则向量与的夹角为.
,,即
2.基向量法
典例讲解
A
B
C
O
例3、证明:直径所对的圆周角是直角.
如图所以，设
则
,
典例讲解
证明
即直径所对的圆周角是直角
所以,平行四边形两条对角线的平方和等于相邻两边的平方和的两倍.
例4、求证：平行四边形两条对角线的平方和等于相邻两边的平方和的两倍.
典例讲解
证明
典例讲解
例5、如图所示,若四边形为平行四边形,与相交于点与相交于点.求证:.
解析
,
,
.
方法归纳
(1)基底法:选取适当的基底(尽量用已知模或夹角的向量作为基底),将题中涉及的向量用基底表示,利用向量的运算法则、运算律或性质计算;
(2)坐标法:建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.
一般地,存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法.
用向量法解决平面几何问题的两种方法
变式训练
3.如图,已知是的三条高,且交于点于于.求证：
解析
因为,所以.
设.
同理
因为,
所以.
典例讲解
例6、如图,在中, 为的中点,是上一点,且求证: .
解析
,
典例讲解
例6、如图,在中, 为的中点,是上一点,且求证: .
解析
证法二：以直角顶点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
方法归纳
对于线段的垂直问题,常转化为两个向量垂直的条件(向量的数量积为0)来解决.
用向量法解决线段垂直问题的一般思路
变式训练
4.如图, 是的外心,为三角形内一点,满足,求证:.
解析
,
当堂练习
1.若O是△ABC所在平面内一点，且满足，则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
2.已知点，设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有，其中等于( )
A.2 B. C. 3 D.
B
C
3.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,E是BO的中点,AE的延长线交BC于F点,则 .
当堂练习
∵
A
B
C
D
E
O
F
∴
∴
4.设O是所在平面内一点,动点P满足, , 则P点的轨迹一定通过的（ ）
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
A
P
C
B
∵
∴
即
从而
D
当堂练习
归纳小结
向量解决平面几何问题的一般步骤:
(1)问题的转化：把平面几何问题转化为向量问题；
(2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；
(3)参数的获得：求出数学模型的有关解——理论参数值；
(4)问题的答案：回到问题的初始状态, 解决相关平面几何问题.
作 业
课本39页练习：2、3