人教A版（2019）高中数学必修第二册 《余弦定理》名师课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
复习引入
一个三角形含有各种各样的几何量,例如三边边长、三个内角的度数、面积等,它们之间存在着确定的关系.例如,在初中,我们得到过勾股定理、锐角三角函数,这是直角三角形中的边、角定量关系.对于一般三角形,我们已经定性地研究过三角形的边、角关系,得到了SSS,SAS,ASA,AAS等判定三角形全等的方法,这些判定方法表明,给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素,这个三角形就是唯一确定的,那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系？
人教A版同步教材名师课件
余弦定理
学习目标
学 习 目 标 核心素养
掌握余弦定理及其证明,并能运用定理解三角形. 数学运算
能借助余弦定理判断三角形的形状. 数学运算
马鞍山路高架—包河大道
裕溪路高架—合马路
A
B
C
南一环
16km
18km
60o
？
探究新知
数学模型：
在△ABC中,已知AC=16km,BC=18km,C=60o,求AB.
能否直接求出AB？
探究新知
B
A
C
18km

16km
60o
B
A
C
18cm

16km
60o
D
B
A
C
a
c=
b
D
即:c2=a2+b2-2abcosC
探究新知
过点作于点
在中,
在中
+ 2=292
在,已知边,角(锐角),求边长c.
在中;
在中,
b
c=
a
A
B
C
D
B
A
C
a
c=
b
D
即:c2=a2+b2-2abcosC
在,已知边,角(锐角),求边长c.
在中;
在中,
在,已知边,角(钝角),求边长c.
在中;
在中,
即:c2=a2+b2-2abcosC
探究新知
如图,设,那么.
探究新知
在,已知边,角,求边长.
由数量积运算得：
.
同理可得：
a2=b2+c2-2bccosA
b2=a2+c2-2accosB
c2=a2+b2-2abcosC
所以：
余弦定理
c2=a2+b2-2abcosC
a2=b2+c2-2bccosA
b2=a2+c2-2accosB
探究新知
三角形中任何一边的平方,等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即
推论
由余弦定理
探究新知
角
边
一般地,把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
探究新知
例1、已知在中,,求角.
典例讲解
由余弦定理的推论,得
解析
,
.
,
,
.
方法归纳
求第一个角：先利用余弦定理的推论求一个角的余弦值,再判定此角的取值,求得第一个角(一般先求最小角)
求第二个角：继续用余弦定理求另一个角
求第三个角：最后用三角形内角和定理求出第三个角
已知三角形的三边求角的基本步骤
变式训练
1.(1)在中,已知,则最大角为 度
(2)在中,已知,则最大角与最小角的和为( )
A.90° B.120° C.135 ° D.150 °
(1)在中,为最大角,由余弦定理的推论,得.又,.
(2)在中,,∴最大角为,最小角为.
,,则
中的最大角与最小角的和为.
解析
B
例2、在△ABC中, ,则,sin A
典例讲解
解析
根据余弦定理,得,解得.由及余弦定理的推论,得
.
因为所以
方法归纳
已知三角形的两边及其夹角解三角形,可以先利用余弦定理直接求第三边,再利用余弦定理的推论及三角形内角和定理求其余两角.
变式训练
2.在中,已知,则( )
A.4 B. C.3 D.
由三角形内角和定理可知, .
又由余弦定理,得
.
解析
D
典例讲解
例3、在中,(分别为角所对的边),判断三角形的形状.
解析
因为,
由余弦定理的推论
所以△ABC是直角三角形.
方法归纳
1、转化为三角形的边来判断
(1)△ABC为直角三角形
(2)△ABC为锐角三角形
(3)△ABC为钝角三角形
(4)按等腰或等边三角形的定义判断
判断三角形形状的思路
方法归纳
2、转化为角的三角函数(值)来判断
(1)为直角三角形；
(2)为钝角三角形；
(3)为锐角三角形；
(4)若△ABC为等腰三角形;
(5)若△ABC为等腰三角形或直角三角形.
变式训练
解析
3.在中,内角所对的边分别为,若,则△ABC是________三角形.
,所以是直角三角形.
直角
典例讲解
例4、已知锐角三角形的边长分别为2,4,,则的取值范围是( )
解析
由题意可知三个内角的余弦值都大于0,从而
解得
D
方法归纳
不是任意的三个正数都能构成三角形,构成三角形的三边需要满足三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
变式训练
解析
4.已知钝角三角形的三边(分别为角所对的边),求实数的取值范围.
∵,且为钝角三角形,∴C为钝角.
由余弦定理的推论,得
由两边之和大于第三边,得+( +2)> +4,
综上所述,实数的取值范围为2< <6.
当堂练习
1.在中,内角的对边分别为,若,则的最小角为( )
2.在中,若,则B等于 ( )
A.60 B.45°或135° C.120° D.30°
3.在中,已知则边的值是 ( )
A.8 D.28
4.在中,已知且,则的值为 ( )
A.4 B.8 C.4或8 D.无解
A
C
C
归纳小结
余弦定理
已知三角形的两边和它们的夹角，求其他边和角
余弦定理：求边
已知三角形的三边，求三角形的三个内角
余弦定理的推论：求角
（或角的余弦值）
应用
作 业
课本44页 练习：1、2、3