人教A版（2019）高中数学必修第二册 课件 6.4.3　第1课时　余弦定理(共26张PPT)

(共26张PPT)
第1课时　余弦定理
一
二
　一、余弦定理
1.思考
在△ABC中,三个角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设
,已知两条边长a,b和它们的夹角C.
(1)从向量角度考虑,边c的长度可以看作什么
一
二
2.填空
(1)文字语言:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
(2)符号语言:在△ABC中,a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,
c2=a2+b2-2abcos C.
3.做一做
(1)在△ABC中,若AB=1,AC=3,A=60°,则BC=　　　;
(2)已知△ABC是等腰三角形,且a=c=5,B =120°,则b=　　　.
一
二
二、余弦定理的推论
1.思考
(1)在△ABC中,三个角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知a,b和角C,如何求边c
提示c2=a2+b2-2abcos C.
(2)在c2=a2+b2-2abcos C中,如果已知三条边a,b,c,能否求出cos C
2.填空
(2)一般地,三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
一
二
3.做一做
一
二
(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
①在△ABC中,若a2+b2②在△ABC中,若△ABC是钝角三角形,则必有a2+b2③在△ABC中,若△ABC是锐角三角形,则必有a2+b2>c2.(　　)
答案:①√　②×　③√
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
已知两边及一角解三角形
分析(1)已知两边及其夹角,可直接利用余弦定理求出第三条边;(2)已知两边及一边的对角,可利用余弦定理求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
反思感悟 已知三角形的两边及一角解三角形的方法
已知三角形的两边及一角解三角形,必须先判断该角是给出两边中一边的对角,还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角,可以由余弦定理求第三边;若是给出两边中一边的对角,可以利用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三边.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
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已知三边解三角形
例2(1)在△ABC中,若a2+b2+ab=c2,则角C=　　　;
分析(1)根据已知条件结合余弦定理的变形求解;(2)先由三边的比值设出三边的长度,再利用余弦定理的变形求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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探究一
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反思感悟 已知三角形的三边解三角形的方法
1.先利用余弦定理求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用余弦定理或由求得的第一个角,利用正弦定理求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角;
2.利用余弦定理求出三个角的余弦,进而求出三个角.
探究一
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利用余弦定理判断三角形形状
例3(1)在△ABC中,(a+b+c)(a+b-c)=3ab且2cos Asin B=sin C,试判断三角形的形状;
(2)在△ABC中,若acos B+acos C=b+c,试判断该三角形的形状.
分析(1)利用余弦定理及已知求出角C,再由三角恒等变换确定角A与角B的关系,进而判断三角形形状;(2)利用余弦定理将角转化为边,通过代数变形判断三角形的形状.
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解:(1)∵A+B+C=180°,∴sin C=sin(A+B).
∵2cos Asin B=sin C,
∴2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B,
∴sin Acos B-cos Asin B=0,∴sin(A-B)=0.
∵0°∴-180°又(a+b+c)(a+b-c)=3ab,
∴a2+b2-c2=ab,∴cos C= .
∵0°(2)由acos B+acos C=b+c结合余弦定理,得
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反思感悟 1.利用三角形的边角关系判断三角形的形状时,需要从“统一”入手,即使用转化思想解决问题.一般有两条思考路线:(1)先化边为角,再进行三角恒等变换,求出三角之间的数量关系.(2)先化角为边,再进行代数恒等变换,求出三边之间的数量关系.
2.判断三角形的形状时,经常用到以下结论:
(1)△ABC为直角三角形 a2=b2+c2或c2=a2+b2或b2=a2+c2.
(2)△ABC为锐角三角形 a2+b2>c2,且b2+c2>a2,且c2+a2>b2.
(3)△ABC为钝角三角形 a2+b2(4)若sin 2A=sin 2B,则A=B或A+B= .
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变式训练2在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c2=bccos A+cacos B+abcos C,则△ABC是　　　三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)
答案:直角
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余弦定理的另外两种证法
方法一(几何法)
按照三角形的分类,分三种情形证明.
(1)在Rt△ABC中,如图(1),满足勾股定理:c2=a2+b2,因为cos C=0,
所以c2=a2+b2-2abcos C;
图(1)
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(2)在锐角△ABC中,如图(2),作CD⊥AB于点D,有CD=asin B,BD=acos B,AD=AB-BD=c-acos B,b2=CD2+AD2=(asin B)2+(c-acos B)2=a2+c2-2acos B;
同理可证:c2=a2+b2-2abcos C,a2=b2+c2-2bccos A.
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(3)在钝角△ABC中,如图(3),作CD⊥AB,交AB的延长线于点D,则CD=asin∠CBD=asin∠ABC,
BD=acos∠CBD=-acos∠ABC,
AD=AB+BD=c-acos∠ABC,
b2=CD2+AD2
=(asin∠ABC)2+(c-acos∠ABC)2
=a2+c2-2accos∠ABC.
同理可证:c2=a2+b2-2abcos∠ACB,a2=b2+c2-2bccos A.
综上所述,在任意的三角形中,余弦定理总是成立.
图(3)
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方法二(解析法)
对于任意一个△ABC,建立直角坐标系如图(4)所示,
则A(bcos∠ACB,bsin∠ACB),B(a,0).
根据两点间的距离公式,有:c2=|AB|2=(bcos∠ACB-a)2+(bsin∠ACB)2=a2+b2-2abcos∠ACB,即c2=a2+b2-2abcos∠ACB,同理可证:a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos∠ABC.
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答案:A
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2.在△ABC中,a=1,b= ,c=2,则B等于(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.120°
答案:C
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3.已知△ABC,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则以下为钝角三角形的是(　　)
A.a=3,b=3,c=4 B.a=4,b=5,c=6
C.a=4,b=6,c=7 D.a=3,b=3,c=5
答案:D
∴C为钝角,∴△ABC为钝角三角形.同理可得选项A为锐角三角形;选项B为锐角三角形;选项C为锐角三角形.故选D.
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4.在△ABC中,若(a+b)2-c2=4,且C=60°,则ab的值等于　　　.
5.在△ABC中,已知a=2,b=2,C=15°,解三角形.