人教A版（2019）高中数学必修第二册 《正弦定理》名师课件(共43张PPT)

(共43张PPT)
望天门山
李 白
天门中断楚江开
碧水东流至此回
两岸青山相对出
孤帆一片日边来
引课：古诗欣赏
复习引入
若天门山隔江相距120米,即BC=120米,且在天门山两岸山脚B、C看孤舟A,测得 则孤舟A距C多远？
复习引入
人教A版同步教材名师课件
正弦定理
学习目标
学 习 目 标 核心素养
掌握正弦定理并能应用它解三角形 数学抽象
会判断三角形的形状 逻辑推理
能根据正弦定理确定三角形的解的个数 数学运算
A
B
C
在直角三角形中：
□
探究新知
猜想
以上等式对于锐角、钝角三角形是否成立？
个例验证
30°
60°
60°
30°
发现成立
2
1
A
B
C
探究新知
A
B
C
锐角三角形ABC
C
A
B
钝角三角形ABC
探究新知
向量的数量积运算中出现了角的余弦,而我们需要的是角的正弦.如何实现转化？
思考
探究新知
由诱导公式可知,我们可以通过构造角之间的互余关系,把边与角的余弦关系转化为正弦关系.
探究新知
如图,在锐角△ABC中,过点A作与垂直的单位向量,则与的夹角为 与的夹角为.
即
也即,
所以,.
同理,过点C作与垂直的单位向量,可得
因此
因为+ ,所以.
由分配律,得
探究新知
当△ABC是钝角三角形时,不妨设A为钝角过点A作与垂直的单位向量,则则与的夹角为 与的夹角为.仿照上述方法,同样可得
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即
探究新知
正弦定理
思考1：利用正弦定理解三角形,至少已知几个元素？
思考2：正弦定理可以解决哪类解三角问题？
1.已知三角形的任意两个角与一边;
2.已知三角形的任意两边与其中一边的对角;
探究新知
在△ABC中,由正弦定理得则,由此可得正弦定理的下列变形：
正弦定理的常见变形
探究新知
在△ABC中,由正弦定理得则,由此可得正弦定理的下列变形：
正弦定理的常见变形
(是△ABC外接圆半径)
典例讲解
例1、设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且求角B的大小.
解析
由及正弦定理,得
.
方法归纳
当条件式中有边也有角时,往往要借助正弦定理化角为边或化边为角,统一后便于变形整理.
变式训练
解析
1.在△ABC中,角所对的边分别为,b,c,且满足
(1)求角的大小；
(2)求的最大值,并求取得最大值时角的大小.
（1）由正弦定理及已知条件,得
变式训练
解析
1.在△ABC中,角所对的边分别为,b,c,且满足
(1)求角的大小；
(2)求的最大值,并求取得最大值时角的大小.
综上所述,的最大值为
典例讲解
例2、在△ABC中,已知,则△ABC的形状是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
解析
由正弦定理,得
,
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
D
方法归纳
通过边角转化判断三角形形状的方法
①化边为角.利用正弦定理化边为角,再根据角函数的有关知识得到三个内角的关系,进而确定角形的形状；
②化角为边.利用正弦定理化角为边,再根据代数恒等变换得到边的关系（如）,进而确定三角形的形状.
③在△ABC中,；
④注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.
变式训练
解析
2.已知分别是△ABC的内角所对的边,满足则△ABC的形状是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
解法一：由正弦定理及已知条件,得
C
变式训练
解析
2.已知分别是△ABC的内角所对的边,满足则△ABC的形状是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
C
解法二：（R为△ABC外接圆的半径）, ,
即△ABC为等边三角形.
典例讲解
例3、在△ABC中,求证：
证明
外接圆的半径）,
同理,,
=右边.
所以原等式成立.
方法归纳
若恒等式的一边较复杂,一边较简单,则由复杂的一边入手,证明它等于另一边；若两边都比较复杂,往往使用归一法证明.三角恒等式的证明实质上就是消除等式左右两边的差异.
变式训练
证明
3.在△ABC中,求证：
等式成立.
典例讲解
例4、在△ABC中,,则________.
解析
设角的对边分别为,
,
则.
方法归纳
正、余弦定理的本质是任意三角形的边与角满足的方程,它能实现边角关系的转化：
（1）角的正弦齐次方程与边的齐次方程可互相转化；
（2）角的余弦可转化为边的二次齐次分式
变式训练
解析
4.设△ABC的内角所对的边分别为若三边的长为连续的三个正整数,且, 为（ ）
A.4 3 2 B.5 6 7 C. D.6 5 4
因为三边长为连续的三个正整数,且,所以
.
,
.
又由正弦定理可得,
D
典例讲解
例5、在△ABC中,角所对的边分别为
求证：
证明
（1）左边.
典例讲解
例5、在△ABC中,角所对的边分别为
求证：
证明
,
.
方法归纳
在三角形中的证明问题,若待证式中有边也有角,则证明时一般先借助正、余弦定理化角为边或化边为角,再通过代数变形或三角恒等变换使问题得到证明.
变式训练
证明
5.在△ABC中,
,
,
.
.
记R为△ABC外接圆的半径,
.
变式训练
解析
6.△ABC的内角所对的边分别为
（1）若满足；
（2）若满足.
,
.
典例讲解
例6、在△ABC中,角所对的边分别为,且满足(-)
（1）求角；
（2）若,求的取值范围.
解析
.
.
典例讲解
例6、在△ABC中,角所对的边分别为,且满足(-)
（1）求角；
（2）若,求的取值范围.
解析
.
,
方法归纳
求三角形中有关最值与范围问题的方法
（1）解三角形中有关最值问题的关键：利用正弦定理或余弦定理、三角恒等变换将有关问题转化为关于某一个角的三角函数,或某一边的函数,进而求出其最值.
（2）对于求角的范围这种类型的问题,在解答时,先求出该角的某一三角函数值的取值范围,再根据该函数的单调性求出其取值范围.
变式训练
解析
7.在△ABC中,,则角A的取值范围是__________.
由正弦定理,
典例讲解
例7、如图,在,点D在BC边上,且
（1）求；（2）求BD,AC的长.
（1）因为.
（2）在△ABD中,由正弦定理得
在△ABC中,根据余弦定理,得.
解析
方法归纳
在几何图形中求解问题时,应注意寻找相应的三角形,并在三角形中运用正、余弦定理,特别是涉及公共边时,要利用公共边来进行过渡.
当题目中出现多个三角形时,要弄清楚各三角形中的边角关系,分析已知和未知的关系,合理选择正弦定理与余弦定理来求解.
变式训练
解析
8.如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD.
（1）求cos∠CAD的值；
（2）若的长.
（1）在△ADC中,由余弦定理的推论,得
变式训练
解析
8.如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD.
（1）求cos∠CAD的值；
（2）若的长.
（2）因为∠ 为四边形ABCD的内角,
,.
.
.
当堂练习
1.在△ABC中,角的对边为,若,,则A=（ ）
A.45° B.45°或135 C.135° D.60°或120
2.在△ABC中,则角C的取值范围是（ ）
3.△ABC中,最大边与最小边之比为,则最大角为（ ）
A.45° B.60° C.75° D.90°
A
A
归纳小结
正弦定理
已知两边和其中一边的对角,求其他的边和角
形式
边角互化—判断三角形的形状
（为△ABC外接圆的半径）
应用—解三角形
已知两角和一边,求其他的边和角
作 业
课本48页 练习：1、2、3