人教A版（2019）高中数学必修第二册 课件6.4.3　第2课时　正弦定理(共33张PPT)

(共33张PPT)
第2课时　正弦定理
一
二
三
　一、正弦定理
1.思考
一
二
三
一
二
三
一
二
三
(2)在正弦定理中,三角形的各边与其所对角的正弦的比都相等,那么这个比值等于多少 与该三角形外接圆的直径有什么关系
一
二
三
2.填空
一
二
三
答案:(1)4　(2)45°
一
二
三
二、正弦定理的变形
1.思考
正弦定理揭示了三角形中边与角的数量关系,那么根据正弦定理,怎样由边转化为角 怎样由角转化为边
2.填空
正弦定理的变形(R为△ABC外接圆的半径)
(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;
(3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.
一
二
三
3.做一做
(1)在△ABC中,若asin A+bsin B=csin C,则角C=　　　;
(2)在△ABC中,若2asin C= c,则角A=　　　.
答案:(1)90°　(2)45°或135°
一
二
三
三、三角形的面积公式
1.思考
(1)常用的三角形面积公式是什么
(2)在三角形中如何用三角形的边和角表示某一条边上的高
提示ha=bsin C=csin B,hb=asin C=csin A,hc=bsin A=asin B.
(3)能否用三角形的边和角表示三角形的面积
一
二
三
一
二
三
3.做一做
(1)在△ABC中,若AB=3,BC=4,B=120°,则△ABC的面积等于　　　　　;
(2)在△ABC中,若a=2,b=8,S△ABC=4,则C=　　　　.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
随堂演练
已知两角和一边解三角形
例1在△ABC中,已知B=30°,C=105°,b=4,解三角形.
分析由三角形的内角和定理可求A的度数.根据正弦定理可求a,c.
解:因为B=30°,C=105°,所以A=180°-(B+C)=180°-(30°+105°)=45°.
反思感悟 已知两角及一边解三角形的解题方法
1.若所给边是已知角的对边,可先由正弦定理求另一边,再由三角形的内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边.
2.若所给边不是已知角的对边,则先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
随堂演练
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
随堂演练
已知两边和其中一边的对角解三角形
例2在△ABC中,已知下列条件,解三角形:
分析先利用正弦定理求角B,再根据三角形的内角和定理求角C,最后利用正弦定理求边c.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
随堂演练
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
随堂演练
反思感悟 已知三角形的两边和其中一边的对角时解三角形的方法
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.
(2)当已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一.
(3)当已知的角为小边所对的角时,不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求得两个角,要分类讨论.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
随堂演练
延伸探究 本例中,将条件改为“a=5,b=2,B=120°”,解三角形.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
随堂演练
判断三角形的形状
例3在△ABC中,若(a-ccos B)sin B=(b-ccos A)sin A,判断△ABC的形状.
分析
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
随堂演练
探究一
探究二
探究三
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思维辨析
随堂演练
反思感悟 判断三角形的形状,就是根据题目条件,分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判断三角形形状的方法如下:
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
随堂演练
延伸探究本例中,将条件改为“在△ABC中,若(a-acos B)·sin B=(b-ccos C)sin A”,判断△ABC的形状.
解:因为(a-acos B)sin B=(b-ccos C)sin A,所以asin B-acos Bsin B=bsin A-ccos Csin A,而由正弦定理可知asin B=bsin A,
所以acos Bsin B=ccos Csin A,
即sin Acos Bsin B=sin Ccos Csin A,
所以cos Bsin B=sin Ccos C,即sin 2B=sin 2C,
所以2B=2C或2B+2C=180°,即B=C或B+C=90°,故△ABC是等腰三角形或直角三角形.
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三角形面积公式的应用
例4计算下列各三角形的面积.
(1)在△ABC中,a=5,c=3,B=150°;
(2)在△ABC中,a=8,b=8 ,A=30°;
(3)在△ABC中,a=2,b=3,c=4.
分析(1)可直接套用面积公式求解;(2)先利用正弦定理求出角C,再利用S= absin C计算面积;(3)先利用余弦定理求出任意一角的余弦值,再求得该角的正弦值,最后套用面积公式计算.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟 三角形面积的求解思路
1.求三角形面积时,由于三角形面积公式有不同形式,因此实际使用时要结合题目的条件灵活运用,必须在两边及其夹角都已知或能求出的前提下才能使用.
2.计算三角形面积时,若选择公式后有未知的边或角,应先利用正、余弦定理求出需要的边或角,再套用公式计算.
探究一
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对三角形解的个数的探究
已知三角形的两角和任意一边,求其他的边和角,此时有唯一解,即当三角形的两角和任意一边确定时,三角形被唯一确定.
已知三角形的两边和其中一边的对角,求其他的边和角,此时可能出现一解、两解或无解的情况,三角形不能被唯一确定.
因此“已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角”时,需要分析三角形解的情况,下面以已知a,b和角A解三角形为例进行说明.
由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得
在△ABC中,已知a,b和角A时,解的情况如下:
探究一
探究二
探究三
探究四
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发散探讨三角形解的个数也可由三角形中“大边对大角”来判定.设A为锐角,若a≥b,则A≥B,从而B为锐角,有一解.若a1,即a事实上,判断三角形解的个数,就是根据“大边对大角”、三角形内角和定理、正弦函数的有界性等进行判断.
探究一
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典例下列对三角形解的个数的判断中正确的是(　　)
A.a=7,b=14,∠A=30°,有两解
B.a=30,b=25,∠A=150°,有一解
C.a=6,b=9,∠A=45°,有两解
答案:B
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答案:B
2.已知△ABC中,AB=6,A=30°,B=120°,则△ABC的面积为(　　)
答案:C
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3.在△ABC中,若A∶B∶C=2∶3∶7,则a∶b等于 (　　)
答案:C
答案:75°或15°
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答案:2
6.在△ABC中,已知2a=b+c,sin2A=sin Bsin C,试判断△ABC的形状.