人教A版（2019）高中数学必修第二册 6.4.1_平面几何中的向量方法_导学案（1）（含答案）

6.4.1 平面几何中的向量方法
1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的”三步曲”；
2.明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示；
3.让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性.
1.教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”；
2.教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题.
向量的三角形法则
。
2.向量的平行四边形法则
。
3.向量减法的三角形法则
。
3.向量的模
。
一、探索新知
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题．
例1.如图6.4-1，DE是的中位线，用向量方法证明：.
思考：运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？
(1)建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将下面几何问题转化为向量问题。
（2）通过向量计算，研究几何元素之间的关系，如距离.夹角等问题.
(3)把运算结果“翻译”成几何关系。
例2.如图，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？
1．已知在△ABC中，若＝a，＝b，且a·b<0，则△ABC的形状为(　　)
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
2．在直角三角形ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足＝＋(＋)，则||等于(　　)
A．2 B．1 C. D.4
3.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．
4．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．
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参考答案：
例1.
思考：“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
例2.
达标检测
1.答案　A
2.答案　B
解析　∵＝＋(＋)，
∴－＝(＋)，＝(＋)，
∴AP为Rt△ABC斜边BC的中线．∴||＝1.
3.答案　22
解析　由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以·＝2，即2－·－2＝2.又因为2＝25，2＝64，所以·＝22.
4.答案　2
解析　∵O是BC的中点，
∴＝(＋)．
又∵＝m，＝n，
∴＝＋.
又∵M，O，N三点共线，
∴＋＝1，则m＋n＝2.
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