人教A版（2019）高中数学必修第二册 6.4.1_平面几何中的向量方法_导学案（2）（含答案）

6.4.1 平面几何中的向量方法
1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐
标法；
2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的
积极主动的探究意识，培养创新精神.
1.逻辑推理：从直观入手，从具体开始，逐步抽象，得出结论；
2.数学运算：坐标运算证明几何问题；
3.数据分析：根据已知信息选取合适方法证明或求解；
4.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决，体现了事物之间是可以相互转化的.
重点：体会向量在解决平面几何问题中的作用；
难点：如何将几何问题化归为向量问题.
预习导入
阅读课本38-39页，填写。
1.向量在几何中的应用
(1)平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由____________________________表示出来．
(2)用向量解决平面几何问题的“三部曲”
①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面____________________________；
②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
③把运算结果“翻译”成几何关系．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若△ABC是直角三角形，则有·＝0.(　　)
(2)若∥，则直线AB与CD平行．(　　)
(3)向量，的夹角就是直线AB，CD的夹角．(　　)
2、在四边形ABCD中，·＝0，＝，则四边形ABCD是(　　)
A．直角梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
3．已知|a|＝2，|b|＝2，向量a，b的夹角为30°，则以向量a，b为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为(　　)
A．10 B．
C．2 D．22
4．平面上有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)(x≠0)，若⊥，则满足条件的x，y的关系式是____________．
题型 向量在几何中的应用
例1 证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．
已知：平行四边形ABCD．
求证：．
例2　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
跟踪训练
1．如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝.
求证：点E，O，F在同一直线上．
2、在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝AB，求证：AC⊥BC.
1．已知△ABC，＝a，＝b，且a·b<0，则△ABC的形状为(　　)
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
2．在四边形ABCD中，那么四边形ABCD为(　　)
A．平行四边形 B．菱形
C．长方形 D．正方形
3．设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于(　　)
A．以a，b为邻边的平行四边形的面积
B．以b，c为两边的三角形的面积
C．以a，b为两边的三角形的面积
D．以b，c为邻边的平行四边形的面积
4．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________.
5.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点．求证：AF⊥DE(利用向量证明)．
答案
小试牛刀
1. (1)× (2) ×
2．C.
3．C.
4. y2＝8x(x≠0).
自主探究
例1 【答案】见解析．
【解析】证明：不妨设a，b，则
a+b，a-b，|a|2，|b|2．
得 ( a+b)·( a+b)
= a·a+ a·b+b·a+b·b= |a|2+2a·b+|b|2． ①
同理　　　|a|2-2a·b+|b|2． ②
①+②得 2(|a|2+|b|2)=2()．
所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．
例2　【答案】见解析．
【解析】证明　法一：设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，
又＝＋＝－a＋b，＝＋＝b＋a，
所以·＝·＝－a2－a·b＋b2＝－|a|2＋|b|2＝0.
故⊥，即AF⊥DE.
法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，＝(2,1)，＝(1，－2)．
因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以⊥，即AF⊥DE.
跟踪训练
1．【答案】见解析．
【解析】证明：设＝m，＝n，
由＝＝，知E，F分别是CD，AB的三等分点，
∴＝＋＝＋＝－m＋(m＋n)＝m＋n，
＝＋＝＋＝(m＋n)－m＝m＋n.
∴＝.
又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上．
2、【答案】见解析．
【解析】证法一：∵∠CDA＝∠DAB＝90°，AB∥CD，CD＝DA＝AB，
故可设＝e1，＝e2，|e1|＝|e2|，则＝2e2.∴＝＋＝e1＋e2，
＝－＝(e1＋e2)－2e2＝e1－e2.
而·＝(e1＋e2)·(e1－e2)＝e－e＝|e1|2－|e2|2＝0，∴⊥，即AC⊥BC.
证法二：如图，建立直角坐标系，
设CD＝1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．
∴＝(－1,1)，＝(1,1)．∴·＝(－1,1)·(1,1)＝－1＋1＝0.∴AC⊥BC.
当堂检测
1-3.ABA 4. .
5. 【答案】见解析．
【解析】
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