人教A版（2019）高中数学必修第二册 6.4.1_平面几何中的向量方法_同步练习（2）（含解析）

6.4.1 平面几何中的向量方法
基础巩固
1．已知是坐标平面上的三点，其坐标分别为，则的形状为（ ）
A．直角（非等腰）三角形 B．等腰（非等边）三角形
C．等腰直角三角形 D．以上均不正确
2．在△ABC中，若，则的形状为（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．不确定
3．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，则（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
4．若,且,则四边形是( )
A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形
5．在平行四边形中，，，为的中点，若，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．
6．设点O是三角形ABC所在平面上一点，若，则点O是三角形ABC的________心．
7．设是△ABC内部一点，且，则△AOB与的面积之比为________________.
8．求证：以为顶点的四边形是一个矩形.
能力提升
9．平行四边形中，, 点P在边CD上，则的取值范围是（ ）
A．[-1,8] B． C．[0,8] D．[-1,0]
10．已知为△的外心，若+ =0，则=_____．
11．如图，在梯形ABCD中，，，，，E是边BC上一动点，求的最小值.
素养达成
12．已知三个顶点的坐标分别为.
(1)若是边上的高,求向量的坐标;
(2)若点E在x轴上,使为钝角三角形,且为钝角,求点E的横坐标的取值范围.
6.4.1 平面几何中的向量方法
基础巩固答案
1．已知是坐标平面上的三点，其坐标分别为，则的形状为（ ）
A．直角（非等腰）三角形 B．等腰（非等边）三角形
C．等腰直角三角形 D．以上均不正确
【答案】C
【解析】∵，且，∴为等腰直角三角形.答案选C
2．在△ABC中，若，则的形状为（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．不确定
【答案】B
【解析】由题意可得，
即，整理可得，则向量与的夹角为钝角，即，据此可知△ABC的形状为钝角三角形.
3．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，则（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
【答案】C
【解析】因为，所以.
又因为，
所以,又因为是的中点，所以,故选C.
4．若,且,则四边形是( )
A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形
【答案】C
【解析】∵，∴，，
∵，∴四边形是等腰梯形，故选：C．
5．在平行四边形中，，，为的中点，若，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】如图．
．
∴，即．故选：D．
6．设点O是三角形ABC所在平面上一点，若，则点O是三角形ABC的________心．
【答案】外心
【解析】由可得点到三角形各顶点的距离相等，所以点是三角形的外心,故答案为外心.
7．设是△ABC内部一点，且，则△AOB与的面积之比为________________.
【答案】
【解析】设为的中点，如图所示，连接，则.又，所以，即为的中点，且，即△AOB与的面积之比为.
8．求证：以为顶点的四边形是一个矩形.
【答案】证明见解析
【解析】因为，
，不为零向量，且不与平行，所以以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形.
，所以以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形.
能力提升
9．平行四边形中，, 点P在边CD上，则的取值范围是（ ）
A．[-1,8] B． C．[0,8] D．[-1,0]
【答案】A
【解析】∵,，∴，∴，A=60°，
以A为原点，以AB所在的直线为轴，以AB的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，
∴A(0,0),B(4,0),.设，∴，
∴，
设，∴在上单调递减,在上单调递增，
结合二次函数的性质可知：函数的最小值为：，函数的最大值为，
则的取值范围是[ 1,8]，本题选择A选项.
10．已知为△的外心，若+ =0，则=_____．
【答案】
【解析】∵+ =0，∴，∴，
∵在圆上，∴，∴ =0.所以.
11．如图，在梯形ABCD中，，，，，E是边BC上一动点，求的最小值.
【答案】
【解析】过点作，垂足为，
因为，，，所以，，.
又因为，所以四边形为矩形.以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，，.
设，所以，
因为，所以，所以.
因为，，
所以
，
当时，取得最小值.
素养达成
12．已知三个顶点的坐标分别为.
(1)若是边上的高,求向量的坐标;
(2)若点E在x轴上,使为钝角三角形,且为钝角,求点E的横坐标的取值范围.
【答案】(1).(2).
【解析】（1）设,则,,
由题意知,则,又,
则有,即,①
由,得,
即,②
联立①②解得.则.
（2）设,则,
由为钝角,得,解得,
由与不能共线,得,解得.
故点E的横坐标的取值范围是.
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