人教A版（2019）高中数学必修第二册 6.4.3　第2课时　正弦定理巩固提升(含答案)

第2课时　正弦定理
课后篇巩固提升
基础巩固
1.在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b等于 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.4 B.4 C.4 D.
2.在△ABC中,若a=3,b=,A=,则角C的大小为 (　　)
A. B. C. D.
3.在△ABC中,AB=2,BC=5,△ABC的面积为4,则cos∠ABC等于(　　)
A. B.± C.- D.±
4.在△ABC中,角A,C的对边分别为a,c,C=2A,cos A=,则的值为(　　)
A.2 B. C. D.1
5.
某市在“旧城改造”工程中计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境.已知这种草皮的价格为a元/m2,则购买这种草皮需要(　　)
A.450a元 B.225a元
C.150a元 D.300a元
6.在△ABC中,若b=2asin B,则A等于(　　)
A.30°或60° B.45°或60°
C.120°或60° D.30°或150°
7.已知△ABC外接圆的半径为1,则sin A∶BC= (　　)
A.1∶1 B.2∶1
C.1∶2 D.无法确定
8.在△ABC中,a=bsin A,则△ABC一定是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
9.在△ABC中,,则的值为　　　.
10.在△ABC中,B=45°,C =60°,c=1,则最短边的长等于　　　.
11.在△ABC中,ab=60,S△ABC=15,△ABC的外接圆半径为,则边c的长为　　　　.
12.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acos C+c=b.
(1)求角A的大小;
(2)若a=1,b=,求c的值.
13.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=60°,c=a.
(1)求sin C的值;
(2)当a=7时,求△ABC的面积.
能力提升
1.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3acos C=4csin A,若△ABC的面积S=10,b=4,则a的值为(　　)
A. B. C. D.
2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,b=2,sin B+cos B=,则角A的大小为　　　　　.
3.在△ABC中,已知a2tan B=b2tan A,试判断△ABC的形状.
A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B.所以2A=2B或2A+2B=180°,所以A=B或A+B=90°,即△ABC是等腰三角形或直角三角形.
4.已知△ABC的外接圆半径为R,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2R(sin2A-sin2C)=(a-b)·sin B,求△ABC面积的最大值.
第2课时　正弦定理
课后篇巩固提升答案
基础巩固
1.在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b等于 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.4 B.4 C.4 D.
答案A
解析∵A+B+C=180°,又B=60°,C=75°,
∴A=180°-B-C=45°.
由正弦定理,得b==4.故选A.
2.在△ABC中,若a=3,b=,A=,则角C的大小为 (　　)
A. B. C. D.
答案D
解析由正弦定理,得sin B=.因为a>b,所以A>B,所以B=,所以C=π-.
3.在△ABC中,AB=2,BC=5,△ABC的面积为4,则cos∠ABC等于(　　)
A. B.± C.- D.±
答案B
解析由S=AB·BC·sin∠ABC,得4=×2×5sin∠ABC,解得sin∠ABC=,从而cos∠ABC=±.
4.在△ABC中,角A,C的对边分别为a,c,C=2A,cos A=,则的值为(　　)
A.2 B. C. D.1
答案C
解析由正弦定理,得=2cos A=2×.
5.
某市在“旧城改造”工程中计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境.已知这种草皮的价格为a元/m2,则购买这种草皮需要(　　)
A.450a元 B.225a元
C.150a元 D.300a元
答案C
解析由已知可求得草皮的面积为S=×20×30sin 150°=150(m2),则购买草皮的费用为150a元.
6.在△ABC中,若b=2asin B,则A等于(　　)
A.30°或60° B.45°或60°
C.120°或60° D.30°或150°
答案D
解析由正弦定理,得.
∵b=2asin B,∴sin B=2sin Asin B.
∵sin B≠0,∴sin A=.∴A=30°或150°.
7.已知△ABC外接圆的半径为1,则sin A∶BC= (　　)
A.1∶1 B.2∶1
C.1∶2 D.无法确定
答案C
解析由正弦定理,得=2R=2,
所以sin A∶BC=1∶2.
8.在△ABC中,a=bsin A,则△ABC一定是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
答案B
解析由已知,得=b=,所以sin B=1,所以B=90°,故△ABC一定是直角三角形.
9.在△ABC中,,则的值为　　　.
答案
解析由正弦定理,得+1=+1=+1=.
10.在△ABC中,B=45°,C =60°,c=1,则最短边的长等于　　　.
答案
解析由三角形内角和定理,得A=75°.由三角形的边角关系,得B所对的边b为最短边.由正弦定理,得b=.
11.在△ABC中,ab=60,S△ABC=15,△ABC的外接圆半径为,则边c的长为　　　　.
答案3
解析∵S△ABC=absin C=15,ab=60,∴sin C=.由正弦定理,得=2R,则c=2Rsin C=3.
12.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acos C+c=b.
(1)求角A的大小;
(2)若a=1,b=,求c的值.
解(1)由acos C+c=b和正弦定理,得sin Acos C+sin C=sin B.
∵sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,
∴sin C=cos Asin C.∵sin C≠0,∴cos A=.
∵0(2)由正弦定理,得sin B=.
∴B=.
①当B=时,由A=,得C=,∴c=2.
②当B=时,由A=,得C=,∴c=a=1.
综上可得,c=1或c=2.
13.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=60°,c=a.
(1)求sin C的值;
(2)当a=7时,求△ABC的面积.
解(1)在△ABC中,因为A=60°,c=a,所以由正弦定理,得sin C=.
(2)因为a=7,所以c=×7=3.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得72=b2+32-2b×3×,解得b=8或b=-5(舍).所以△ABC的面积S=bcsin A=×8×3×=6.
能力提升
1.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3acos C=4csin A,若△ABC的面积S=10,b=4,则a的值为(　　)
A. B. C. D.
答案B
解析由3acos C=4csin A,得.又由正弦定理,得,∴tan C=,∴sin C=.又S=bcsin A=10,b=4,∴csin A=5.根据正弦定理,得a=,故选B.
2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,b=2,sin B+cos B=,则角A的大小为　　　　　.
答案30°
解析由sin B+cos B=,得1+sin 2B=2,所以sin 2B=1,所以B=45°.由正弦定理,得sin A=.又a3.在△ABC中,已知a2tan B=b2tan A,试判断△ABC的形状.
分析先将tan B,tan A化为弦函数,再根据正弦定理的变形将边化为角,最后通过三角恒等变换进行判断.
解由已知,得a2·=b2·.又由正弦定理,得sin2 A·=sin2 B·,即,所以sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B.所以2A=2B或2A+2B=180°,所以A=B或A+B=90°,即△ABC是等腰三角形或直角三角形.
4.已知△ABC的外接圆半径为R,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2R(sin2A-sin2C)=(a-b)·sin B,求△ABC面积的最大值.
解由正弦定理,得a2-c2=(a-b)b,
即a2+b2-c2=ab.
由余弦定理,得cos C=.
∵C∈(0,π),∴C=.
∴S=absin C=×2Rsin A·2Rsin B·
=R2sin Asin B=R2sinA
=R2(sin Acos A+sin2A)
=R2
=R2.
∵A∈.∴2A-,
∴sin,∴S∈,
∴△ABC面积的最大值为R2.