人教A版（2019）高中数学必修第二册 6.4.3_余弦定理、正弦定理应用举例_同步练习（2）（解析版）

6.4.3 余弦定理、正弦定理
第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例
基础巩固
1．若点在点的北偏东方向上，则点在点的（ ）
A．东偏北方向上 B．北偏东方向上
C．南偏西方向上 D．西偏南方向上
2．若点在点的北偏东方向上，点在点的南偏东方向上，且，则点在点的（ ）
A．北偏东方向上 B．北偏西方向上
C．北偏东方向上 D．北偏西方向上
3．如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为，山顶C的仰角为，，则两山顶A，C之间的距离为　　
A．
B．
C．
D．
4．一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)
A．10海里 B．10海里 C．20海里 D．20海里
5．如图，为测塔的高度，某人在与塔底同一水平线上的点测得，再沿方向前行米到达点，测得，则塔高为（ ）
A．米 B．米 C．40米 D．20米
6．已知甲船位于小岛的南偏西的处，乙船位于小岛处，千米，甲船沿的方向以每小时6千米的速度行驶，同时乙船以每小时8千米的速度沿正东方向匀速行驶，当甲、乙两船相距最近时，他们行驶的时间为_____小时．
7．如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与，现测得，，米，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高______米
8．已知海岛在海岛北偏东，，相距海里，物体甲从海岛以海里/小时的速度沿直线向海岛移动，同时物体乙从海岛沿着海岛北偏西方向以海里/小时的速度移动．
（1）问经过多长时间，物体甲在物体乙的正东方向；
（2）求甲从海岛到达海岛的过程中，甲、乙两物体的最短距离．
能力提升
9．如图所示，隔河可以看到对岸两目标A，B，但不能到达，现在岸边取相距4km的C，D两点，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，则两目标A，B间的距离为( )km.
A． B． C． D．2
10．如图，为了测量河对岸、两点之间的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点、；找到一个点，从点可以观察到点、；找到一个点，从点可以观察到点、；并测量得到一些数据：，，，，，，，则、两点之间的距离为__________．（其中取近似值）
11．如图，已知在东西走向上有两座发射塔，且，，一辆测量车在塔底的正南方向的点处测得发射塔顶的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了后到达点，在点处测得发射塔顶的仰角为，且，经计算，，求两发射塔顶之间的距离.
素养达成
12．国家边防安全条例规定：当外轮与我国海岸线的距离小于或等于海里时，就会被警告.如图，设，是海岸线上距离海里的两个观察站，满足，一艘外轮在点满足，.
（1），满足什么关系时，就该向外轮发出警告令其退出我国海域？
（2）当时，间处于什么范围内可以避免使外轮进入被警告区域？
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例答案
基础巩固
1．若点在点的北偏东方向上，则点在点的（ ）
A．东偏北方向上 B．北偏东方向上
C．南偏西方向上 D．西偏南方向上
【答案】C
【解析】如图所示,点在点的南偏西方向上.
故选：C
2．若点在点的北偏东方向上，点在点的南偏东方向上，且，则点在点的（ ）
A．北偏东方向上 B．北偏西方向上
C．北偏东方向上 D．北偏西方向上
【答案】B
【解析】如图所示,.又∵,∴.
∵,∴.∴点在点的北偏西方向上.
故选：B
3．如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为，山顶C的仰角为，，则两山顶A，C之间的距离为　　
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】，，，，，，；△ACE中，由余弦定理得
，
；即两山顶A，C之间的距离为．故选A．
4．一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)
A．10海里 B．10海里 C．20海里 D．20海里
【答案】B
【解析】根据已知条件可知△ABC中，AB＝20，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，所以∠C＝45°，
由正弦定理，有，所以10.故选B.
5．如图，为测塔的高度，某人在与塔底同一水平线上的点测得，再沿方向前行米到达点，测得，则塔高为（ ）
A．米 B．米 C．40米 D．20米
【答案】D
【解析】Rt△ABC中,设,则由可知,在中,
,所以,解得.则塔高为20米.故选：D.
6．已知甲船位于小岛的南偏西的处，乙船位于小岛处，千米，甲船沿的方向以每小时6千米的速度行驶，同时乙船以每小时8千米的速度沿正东方向匀速行驶，当甲、乙两船相距最近时，他们行驶的时间为_____小时．
【答案】
【解析】如图，当甲、乙两船相距最近时，他们行驶的时间为 小时，
此时甲船位于处，乙船位于处，则，，
由余弦定理可得：=，故当时取最小值，故答案为．
7．如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与，现测得，，米，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高______米
【答案】
【解析】因为，，
所以，
在△BCD中，根据正弦定理可知，
即，解得，
在直角△ABC中，，
，
所以塔高米．故答案为.
8．已知海岛在海岛北偏东，，相距海里，物体甲从海岛以海里/小时的速度沿直线向海岛移动，同时物体乙从海岛沿着海岛北偏西方向以海里/小时的速度移动．
（1）问经过多长时间，物体甲在物体乙的正东方向；
（2）求甲从海岛到达海岛的过程中，甲、乙两物体的最短距离．
【答案】（1）小时；（2）海里．
【解析】
（1）设经过小时，物体甲在物体乙的正东方向．如图所示，物体甲与海岛的距离为海里，物体乙与海岛距离为海里，，
中，由正弦定理得：，即，
则．
（2）由（1）题设，，，
由余弦定理得：
∵，
∴当时，海里．
能力提升
9．如图所示，隔河可以看到对岸两目标A，B，但不能到达，现在岸边取相距4km的C，D两点，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，则两目标A，B间的距离为( )km.
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】由已知，中，，，
由正弦定理，，
所以，
在中，，
由正弦定理，，
所以，
在中，由余弦定理，，解得：．
所以与的距离.
故选B
10．如图，为了测量河对岸、两点之间的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点、；找到一个点，从点可以观察到点、；找到一个点，从点可以观察到点、；并测量得到一些数据：，，，，，，，则、两点之间的距离为__________．（其中取近似值）
【答案】
【解析】由题意知,在△ACD中,.
由正弦定理得.
在△BCE中,,由正弦定理得
在△ABC中,由余弦定理得，∴
11．如图，已知在东西走向上有两座发射塔，且，，一辆测量车在塔底的正南方向的点处测得发射塔顶的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了后到达点，在点处测得发射塔顶的仰角为，且，经计算，，求两发射塔顶之间的距离.
【答案】.
【解析】在Rt△AMP中，，，∴，
连接，
在△PQM中，，
又，∴△PQM为等边三角形，∴，
在Rt△AMQ中，由，得，
在Rt△BNQ中，∵，，
∴，，，
在△BQA中，由余弦定理得，
∴，
∴两发射塔顶之间的距离是．
素养达成
12．国家边防安全条例规定：当外轮与我国海岸线的距离小于或等于海里时，就会被警告.如图，设，是海岸线上距离海里的两个观察站，满足，一艘外轮在点满足，.
（1），满足什么关系时，就该向外轮发出警告令其退出我国海域？
（2）当时，间处于什么范围内可以避免使外轮进入被警告区域？
【答案】（1）（2）
【解析】（1）设外轮到我国海岸线的距离为海里，
在中，，
由正弦定理得，所以，
在中，，
当，即时，就该向外轮发出警告，令其退出我国海域.
（2）当时，
，
要使不被警告，则，即，
解得，所以 ，
即 ，又因为，所以.
当时可以避免使外轮进入被警告区域.
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