人教A版（2019）高中数学必修第二册 6.4.3_余弦定理_导学案（1）（含答案）

6.4.3 余弦定理、正弦定理
第一课时 余弦定理
1.掌握余弦定理的证明方法，牢记公式；
2.掌握余弦定理公式的变式，会灵活应用余弦定理解决两类解三角形问题；
3.掌握给出三边判断三角形的形状问题；
4.培养学生的数形结合的能力。
1.教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
2.教学难点：利用向量的数量积推导余弦定理的思想方法及利用余弦定理求解三角形的思路。
余弦定理
文字表述 三角形中任何一边的平方，等于 减去这两边与它们 的两倍
公式表达 a2＝ ， b2＝ ， c2＝ 。
变形 cos A＝ ； cos B＝ ； cos C＝ 。
一、探索新知
探究1.在三角形ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？
余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即
应用：已知两边和一个夹角，求第三边．
思考1：余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢？
思考2：勾股定理指出了直角三角形中的三条边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中一个角之间的关系，你能说说这两个定理之间的关系吗？
探究2：当角C为直角时，有，当角C为锐角时，这三者的关系是什么？钝角呢？
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形。
例1.在中，已知b=60cm，c=34cm， ，解这个三角形（角度精准到 ，边长精确到1cm.）
例2.在中，已知a=7，b=8，锐角C满足，求B。（ 精准到 )
1．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
2．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋，则角A等于(　　)
A．60° B．45° C．120° D．30°
3．在△ABC中，若a＝2bcos C，则△ABC的形状为________．
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C,2b＝a，则cos A＝________.
5．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边c的长．
这节课你的收获是什么？
参考答案：
探究1.，
所以。
同理可证：
余弦定理：
思考1.由余弦定理变形得
， ，
思考2.
探究2.【结论】当角C为锐角时，；
当角C为钝角时，；
当角C为直角时，。
例1.解：由余弦定理，得
所以，
由余弦定理的推论，得
，利用计算器，可得
所以，
例2.
达标检测
1.【答案】B　
【解析】由三角形边角关系可知，角C为△ABC的最小角，则cos C＝＝＝，所以C＝，故选B.
2.【答案】C　
【解析】由cos A＝＝－，∴A＝120°.故选C。
3.【答案】等腰三角形　
【解析】∵a＝2bcos C＝2b·＝，∴a2＝a2＋b2－c2，即b2＝c2，b＝c，∴△ABC为等腰三角形．
4.【答案】　
【解析】由B＝C,2b＝a，可得b＝c＝a，所以cos A＝＝＝.
5.【解析】　5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)·(x＋2)＝0，∴x1＝，x2＝－2(舍去)，∴cos C＝.
根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcos C＝52＋32－2×5×3×＝16，∴c＝4，即第三边长为4.
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