人教A版（2019）高中数学必修第二册 6.4.3_余弦定理_导学案（2）（含答案）

6.4.3 余弦定理、正弦定理
第1课时 余弦定理
1．掌握余弦定理的表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题；
2．培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一.
1.数学抽象：余弦定理及其推论；
2.逻辑推理：余弦定理在边角互化中的应用；
3.数学运算：解三角形；
4.数学建模：通过将三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间联系起来，体现了知识之间的辩证统
重点：余弦定理的发现和证明过程及基本运用；
难点：余弦定理的探索及证明.
预习导入
阅读课本42-44页，填写。
1、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即
推论：
2、解三角形
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
3、应用
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
已知三角形的三条边就可以求出其它角。
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)余弦定理只适用锐角三角形. (　　)
(2)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形. (　　)
(3)在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一. (　　)
2．已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于 (　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D．5
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋ac，则角B的大小是 (　　)
A．45° B．60°
C．90° D．135°
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2a，b＝4，cos B＝.则边c的长度为________．
题型一 已知三边解三角形
例1　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝7，b＝5，c＝3，求△ABC的内角中最大的角．　
跟踪训练一
1. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，c＝，则B＝________.
2．在△ABC中，已知a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，则 A＝________.
题型二 已知两边及一角解三角形
例2　在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，解此三角形．　
跟踪训练二
1．在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝（ ）
A．4　　　　　　　B. C. D．2
题型三 余弦定理在边角转化中的应用
例3（1）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcos C＋ccos B＝2b，则＝________.
（2）在△ABC中，若lg(a＋c)＋lg(a－c)＝lg b－lg，则 A＝________.
跟踪训练三
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2，则角C为(　　)
A. B. C. D.
2．在△ABC中，sin2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形状为(　　)
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
1．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=（ ）
A． B． C．2 D．3
2．在中，角，，的对边分别为，，，若，则( )
A． B． C． D．或
3．在中，内角的对边分别为.若，则角等于（ ）
A． B． C． D．
4．在中，若，，，则_____．
5．在中，已知，，，则边上的中线长为________．
6．在△ABC中，分别根据下列条件求c.
（1）a=4，b=2，A=60°；（2）a=4，b=3，A=45°.
答案
小试牛刀
1. (1)×(2) √(3)× 2．A. 3．A. 4. 4.
自主探究
例1　【答案】120°.
【解析】∵a>b>c，∴A最大．cos A＝＝＝－.又∵0°跟踪训练一
【答案】1、150°. 2、45°.
【解析】1、由余弦定理得cos B＝＝＝－.又∵0°2、∵a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，令a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k>0)．
由余弦定理的变形得，cos A＝＝＝. ∴A＝45°.
例2　【答案】　c＝，A＝60°，C＝75°或c＝，A＝120°，C＝15°.
【解析】　由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accos B.∴2＝3＋c2－2·c.即c2－c＋1＝0.
解得c＝或c＝，当c＝时，由余弦定理得
cos A＝＝＝.
∵0°当c＝时，由余弦定理得cos A＝＝＝－.
∵0°故c＝，A＝60°，C＝75°或c＝，A＝120°，C＝15°.
跟踪训练二
1．【答案】A.
【解析】∵cos＝，∴cos C＝2cos2－1＝2×2－1＝－.
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，
∴AB＝4.
例3【答案】（1）2，（2）120°.
【解析】　（1）由余弦定理得bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＝a，
所以a＝2b，即＝2.
（2）由题意可知lg(a＋c)(a－c)＝lg b(b＋c)，所以(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)．即b2＋c2－a2＝－bc.
所以cos A＝＝－. 又0°跟踪训练三
【答案】1、B. 2、B.
【解析】1、　∵a2＋b2＋ab＝c2，∴a2＋b2－c2＝－ab，cosC＝＝＝－，∵C∈(0，π)，∴C＝.
2、∵sin2＝＝，∴cosA＝＝ a2＋b2＝c2，符合勾股定理．
故△ABC为直角三角形．
当堂检测
1-3. DCA 4. 1. 5. 7.
6．【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由余弦定理，得，∴，即，∴或（舍去）.∴.
（2）由余弦定理，得，∴，即，∴或（舍去）.
∴.
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