人教A版（2019）高中数学必修第二册 6.4.3_第一课时 余弦定理_教学设计

6.4.3 余弦定理、正弦定理教学设计
第1课时 余弦定理
本节首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理，然后利用其初步解三角形.
课程目标
1．掌握余弦定理的表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题；
2．培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一.
数学学科素养
1.数学抽象：余弦定理及其推论；
2.逻辑推理：余弦定理在边角互化中的应用；
3.数学运算：解三角形；
4.数学建模：通过将三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间联系起来，体现了知识之间的辩证统
重点：余弦定理的发现和证明过程及基本运用；
难点：余弦定理的探索及证明.
教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
情景导入
问题:在三角形中,已知两边及其夹角,怎么求出此角的对边 已知三条边,怎么求出它的三个角呢
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本42-44页，思考并完成以下问题
1、什么是余弦定理？
2、余弦定理有哪些变形？
3、什么是解三角形？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
1、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即
推论：
2、解三角形
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
3、应用
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
已知三角形的三条边就可以求出其它角。
四、典例分析、举一反三
题型一 已知三边解三角形
例1　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝7，b＝5，c＝3，求△ABC的内角中最大的角．
【答案】120°.
【解析】∵a>b>c，∴A最大．cos A＝＝＝－.又∵0°解题技巧（已知三边解三角形的思路）
(1)已知三角形三边求角，直接利用余弦定理，求解时要注意“大边对大角、大角对大边”．
(2)若已知三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求角．　
跟踪训练一
1. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，c＝，则B＝________.
2．在△ABC中，已知a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，则 A＝________.
【答案】1、150°. 2、45°.
【解析】1、由余弦定理得cos B＝＝＝－.又∵0°2、∵a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，令a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k>0)．
由余弦定理的变形得，cos A＝＝＝.∴A＝45°.
题型二 已知两边及一角解三角形
例2　在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，解此三角形．
【答案】　c＝，A＝60°，C＝75°或c＝，A＝120°，C＝15°.
【解析】　由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accos B.∴2＝3＋c2－2·c.即c2－c＋1＝0.
解得c＝或c＝，当c＝时，由余弦定理得
cos A＝＝＝.
∵0°当c＝时，由余弦定理得cos A＝＝＝－.
∵0°解题技巧： (已知两边及一角解三角形的方法及注意事项)
(1)解三角形时往往同时用到正弦定理与余弦定理，此时要根据题目条件优先选择使用哪个定理．
(2)一般地，使用正、余弦定理求边，使用余弦定理求角．若使用正弦定理求角，有时要讨论解的个数问题．　　
跟踪训练二
1．在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝（ ）
A．4　　　B.　　　C. 　　　D．2
【答案】A.
【解析】∵cos＝，∴cos C＝2cos2－1＝2×2－1＝－.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，∴AB＝4.
题型三 余弦定理在边角转化中的应用
例3（1）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcos C＋ccos B＝2b，则＝________.
（2）在△ABC中，若lg(a＋c)＋lg(a－c)＝lg b－lg，则 A＝________.
【答案】（1）2，（2）120°.
【解析】　（1）由余弦定理得bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＝a，所以a＝2b，即＝2.
（2）由题意可知lg(a＋c)(a－c)＝lg b(b＋c)，所以(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)．即b2＋c2－a2＝－bc.
所以cos A＝＝－.又0°解题技巧（余弦定理在边角转化中的作用）
余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，一般是利用余弦定理的变形式进行边、角互化．
跟踪训练三
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2，则角C为(　　)
A. B. C. D.
2．在△ABC中，sin2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形状为(　　)
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
【答案】1、B.2、B.
【解析】1、　∵a2＋b2＋ab＝c2，∴a2＋b2－c2＝－ab，cosC＝＝＝－，∵C∈(0，π)，∴C＝.
2、∵sin2＝＝，∴cosA＝＝ a2＋b2＝c2，符合勾股定理．故△ABC为直角三角形．
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
七、作业
课本44页练习，52页习题6.4的6题.
本节课主要考察学生对于公式的理解与应用的能力，在如何正确应用余弦定理公式的问题上。
通过本节课的学习，从学生的情况来看，效果较好，学生能够根据以前学过的相关知识，在老师的指引下通过向量法证明出余弦定理，能掌握余弦定理的计算方法，能够理解够理解公式中不同量的意义，但是在运用过程中我们发现，学生根据公式解决问题的时候，往往容易忽略多解得问题,很多学生不能掌握余弦定理使用的条件：
1.知道三角形的三条边求三个角的问题，
2.知道两边及夹角求其他两个角及另一边的问题。
在练习时还发现学生不能将用大写字母表示的与小写字母表示的联系起来，导致做题速度较慢.