人教A版（2019）高中数学必修第二册 《平面向量的应用课时2》教学设计

《平面向量的应用》教学设计
课时2 向量在物理中的应用举例
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.平面几何中的向量方法 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象直观想象逻辑推理 【考查内容】 利用向量方法解决简单的平面几何问题;通过对向量的垂直、平行、模长等的内容的应用转化为三角函数的求值、化简或者解决函数的综合问题 【考查题型】 选择题、填空题、解答题
2.向量在物理中的应用举例 直观想象数学运算逻辑推理 数学建模
3.余弦定理、正弦定理 数学抽象直观想象数学运算 逻辑推理 数学建模
4.余弦定理、正弦定理应用举例 数学抽象直观想象数学运算 逻辑推理 数学建模
一、本节内容分析
本节内容是本章的最后一节,教材选取例题说明向量作为工具在数学、物理中的广泛应用性.
在本节教学内容中,教材介绍用向量方法解决一些简单的平面几何问题和物理问题,为了更好地体现向量的价值,教材在本节介绍了余弦定理和正弦定理,并借助向量的运算,探索三角形边长与角度之间的关系.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.平面几何中的向量方法 2.向量在物理中的应用举例 3.余弦定理、正弦定理 4.余弦定理、正弦定理应用举例 直观想象 数学抽象 逻辑推理 数学运算 数学建模 核心素养
二、学情整体分析
在前面的学习当中,学生已较好地理解了向量的概念,比较熟练地掌握了向量的运算和性质,并能进行简单应用,有“数形结合”的应用意识,善于思考和发现,有较高的认知水平.因此,有可能也有必要引导他们进行问题探究.本节课以“向量在代数中的应用”为载体,进一步让学生体验“数形结合”“转化”的思想应用为目标,以培养学生的探究精神为归宿,促进学生思维能力的提高.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.平面几何中的向量方法
2.向量在物理中的应用举例
3.余弦定理、正弦定理
4.余弦定理、正弦定理应用举例
【教学目标设计】
1.会用向量方法解决简单的几何问题.
2.用向量的方法解决物理中的关于力学、运动学的相关问题.
3.运用余弦定理、正弦定理解三角形.
【教学策略设计】
本课是在学生已经学习“向量在平面几何中的应用”基础上,学习“向量在代数中的应用”,围绕以上向量的概念和运算性质的应用问题,引导学生观察、分析表达式的特征,联想向量知识,通过构造向量将已知条件或结论转化为向量表达、进行向量运算或向量性质的应用将所得的结果转化为所求结论的过程,学生会对数学思想方法中的“数形结合”“转化”等有更深刻的理解,通过变式教学、特殊与一般的研究,感受数学发现的乐趣,通过错误辨析、一题多解、一题多变的探究,夯实学生基础,达到深刻理解向量的概念,熟练掌握向量的运算和性质的目的.
【教学方法建议】
情境教学法、探究教学法,还有__________________________________________
【教学重点难点】
重点 1.学习用向量法解决平面几何问题.
2.运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析计算.
3.余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.
4.正弦定理的内容、证明及应用.
难点 1.运用向量法将几何问题转化为平面向量问题.
2.会将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.
3.利用向量的数量积推导余弦定理的思想方法及利用余弦定理求解三角形的思路.
4.正弦定理的探索及证明,已知两边和一对角解三角形时三角形解的个数.
5.利用正弦、余弦定理解决实际应用问题.
【教学材料准备】
1.常规材料:直尺、多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:你能掌握物理中的哪些矢量
生:力、速度、加速度
师:向量加法的三角形法则与四边形法则是什么
生:向量加法的三角形法则:
注意:各向量“首尾相连”,和向量由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点行四边形法则:
注意:起点相同,共线向量不适用.
【设情境 巧激趣】
通过复习向量的加法法则,引入本节新课,为学生用向量方法解决物理以及生活中的问题奠定理论与方法的基础.通过建立知识间的联系,提高学生概括、类比推理的能力
教学精讲
探究1 向量的加、减法在力的分解与合成中的应用
师:物理学家很早就在自己的研究中使用向量概念,并早已发现这些量之间可以进行某种运算.数学家在物理学家使用向量的基础上,对向量又进行了深入的研究,使向量成为研究数学和其他科学的有力工具,本节将举例说明向量在解决物理问题中的应用.
【典型例题】
用向量法解决物理受力问题
例1 在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,两个拉力夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗
师:这个日常生活问题可以抽象为如图所示的数学模型,我们先来看共提旅行包的情况.请同学画出该模型的受力示意图
【学生独立作图,分组讨论,教师点拨】
生:如图,设作用在旅行包上的两个拉力分别为,为方便起见,我们不妨设.另设的夹角为,旅行包所受的重力为.
师:请大家分析清楚三者之间的关系(其中为的合力),请寻找拉力大小与夹角6之间的函数关系式,并根据关系式分析拉力大小随变化的情况.
【情境学习】
例1的关键是作出简单的受力分析图,启发学生将物理现象转化成数学模型,从数学角度进行解释,引导学生用向量的平行四边形法则解决问题.在问题情境中掌握将物理现象数学化
【猜想探究能力】
例1让学生了解用向量方法解释日常生活中的现象,这也是向量工具优越性的具体体现.引发学生独立思考与讨论,培养了学生独立自主学习的精神,激发学生的求知欲,提升了猜想探究能力
生:由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识,可以知道.
师:什么情况下,这两个人提起这个物体最省力 即当为何值时,最小 最小值是多小
生:因为为定值.分析上面的式子,我们发现,当由0逐渐变大到时,由0逐渐变大到的值由大逐渐变小,此时由小逐渐变大;反之,当由逐渐变小到0时,由逐渐变小到的值由小逐渐变大,此时由大逐渐变小.这就是说,之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力.同理,在单杆上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.所以,要使最小,只需最大,此时,即的最小值为.
师:能等于吗 为什么
生:要使=，只需,即.
师:你能总结出用向量解决物理问题的一般步骤吗
【意义学习】
学生通过力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究数学问题,这样物理中力的现象就转化为数学中的向量问题,进而提升学生数学建模、逻辑推理、直观想象的核心素养
【归纳总结】
用向量法解决物理问题的一般步骤
1.问题的转化:把物理问题转化为数学问题.
2.模型的建立:建立以向量为主体的数学模型.
3.参数的获得:求出数学模型的有关解—一理论参数值.
4.问题的答案:回到问题的初始状态,解决相关物理现象.
【概括理解能力】
通过例1的分析,提升学生用向量解决物理问题的归纳和总结能力,有效地建立知识框架,对解题方法和过程进行整理，提升概括理解能力
师:根据上面问题的探究,我们具体练习一下.
【巩固练习】
用向量法解决物理受力问题
如图,在重600N的物体上有两根绳子,绳子与铅垂线的夹角分别为30°,60°,物体平衡时,求两根绳子拉力的大小.
师:根据例题的条件抽象出具体数学图形.
【学生独立作图,独立完成,教师请一位学生讲解】
生解:作,使.在中,
,
所以,两根绳子拉力的大小分别为.
【整体学习】
通过用向量方法解决物理受力问题的学习，学生掌握用向量方法解决物理问题的一般步骤，通过巩固练习加强学生对知识和方法的理解和运用
探究2 向量在速度的分解与合成的应用
师:向量不光可以解决物理中的力学问题,还可以解决速度、位移等问题我们一起来探究下面的问题.
【先学后教】
从力的相关实例过渡到与速度有关的应用,培养和考查学生关于知识迁移的意识和能力.学生独立完成,培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神
【典型例题】
用向量法解决物理中的速度、位移问题
例2 如图,一条河的两岸平行,河的宽度m,一艘船从河岸边的地出发,向河对岸航行已知船的速度的大小为=10km/h,水流速度的大小为=2km/h,那么当航程最短时,这艘船行驶完全程需要多长时间(精确到0.1min)
师:如果水是静止的,那么船只要取垂直于河岸的方向行驶,就能使航程最短,此时所用时间也是最短的,目前考虑到水的流速,要使航程最短,应该满足什么条件
生:船的速度与水流速度的合速度必须垂直于河岸.
师:根据题中条件分析,我们抽象出具体的图形.
【学生独立作图,独立完成,教师请一位学生讲解】
生解:设点是河对岸一点,与河岸垂直,那么当这艘船实际沿着方向行驶时,船的航程最短.
如图,设,则,
此时,般的航行时间.
所以,当航程最短时,这艘船行驶完全程需要3.lmin.
师:向量在速度上的应用,本质是通过向量的线性运算解决向量的问题,最后获得物理结果.
下面我们总结用向量法解决物理问题的方法.
【概括理解能力】
通过对具体问题的探究解决,总结用向量法解决物理问题的方法,进一步培养学生的数学应用意识,提高应用数学的能力,体会数学在现实生活中的重要作用,养成善于发现生活中的数学,善于发现物理及其他科目中的数学,思考领悟各学科之间的内在联系,提升概括理解能力
【归纳总结】
用向量法解决物理问题的方法
用向量法解决物理问题的时候,一般要先作出相应的几何图形,再建立数学模型,如求力的合成与分解、力做的功等,实际上是把物理问题转化为向量问题,再利用向量运算解决向量问题,最后获得结果,解释物理现象
师:我们根据上面的探究独立研究下面的练习题.
【巩固练习】
用向量法解决物理中的速度、位移问题
若渡船在静水中的速度大小为5m/s,河宽为300m,水流的速度大小为4m/s,则
(1)此船渡过该河所用时间的最小值是多少
(2)此船渡过该河的位移最小时,需要多长时间才能从此岸到达彼岸
【学生独立做题,教师巡视,并做个别指导】
生解:(1)当船头方向与河岸垂直时,渡河时间最短,最短时间.
(2)当合速度的方向垂直于河岸时,此船渡过该河的位移最小,如图所示,水流的速度为,则,船的速度为,则,合速度为,合速度的大小为,则,.
设船速与合速度的夹角为,则,
此时.
渡河时间为.
所以,此船渡过该河所用时间的最小值是;此船渡过该河的位移最小时,需要才能从此岸到达彼岸.
师:本节课同学们有哪些收获呢
【以学定教】
通过学生练习巩固本节所学知识,解决用向量方法解决物理问题的能力,感悟其中蕴含的数学思想,增强学生的应用意识,体现了以学定教的教学策略
【简单问题解决能力】
通过学生解决物理中的速度、位移问题，使学生明确利用向量法解决实际问题的简便作用，有利于数学建模核心素养和简单问题解决能力的提升
【课堂小结】
向量在物理中的应用举例
1.用向量法解决物理问题的一般步骤
(1)问题的转化:把物理问题转化为数学问题.
(2)模型的建立:建立以向量为主体的数学模型.
(3)参数的获得:求出数学模型的有关解——理论参数值.
(4)问题的答案:回到问题的初始状态,解决相关物理现象.
2.用向量法解决物理问题的方法
【设计意图】
通过学习本节内容,帮助学生理解用向量知识研究物理问题的基本思路和方法,引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较,得出抽象的数学建模.注重向量模型的运用,引导解决现实中的一些物理和几何问题.这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用,培养学生对知识整体的认识和把握
【课后作业】教材P41练习题第1~3题
教学评价
学完本节课,我们应该理解用向量解决平面几何问题的方法,进一步加深对向量工具性的理解,以及用向量知识硏究物理问题的基本思路和方法;掌握余弦定理、正弦定理的综合应用,它们也是解决实际生活中许多测量问题的工具.在应用向量知识的同时注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系.通过向量运算的学习理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想,增强数学的应用意识.
【设计意图】
本部分知识能够使学生理解到向量在刻画现实问题、物理问题以及数学问题中的作用,使学生建立起理解和使用向量概念的背景支持.通过辨析计算和归纳概括使问题简单化.提高学生利用数学运算、数学抽象、逻辑推理、数学建模的思想解决问题的能力,让学生体会从同类事物抽象出共同本质的研究过程.
应用所学知识,完成下面各题:
1.如图,在平行四边形中,已知,则的值是__________.
解析:本题考查平面向量在几何中的应用,首先利用向量的运算法则表示向量和,根据平面向量的数量积公式进行运算,推导出的值.
由,得
.因为,所以,即.又因为,所以.
答案:22
【分析计算能力】
通过练习巩固本节所学知识,提高向量运算的实际应用能力,感悟其中蕴含的数学思想,增强学生的应用意识和分析计算能力
2.在中,内角的对边分别为,已知,则_______.
解析:先用边表示边、边,桹据余弦定理的推论求.
由,
可得,
所以.
答案:
3.在中,,则________.
解析:先根据正弦定理求,再由三角形内角和定理求角.从而根据正弦定理表示.
由,得.
又,所以.所以.
答案:1
【简单问题解决能力】
使学生理解向量在解决物理当中相关问题的工具性特点,用向量的方法解决物理当中的关于力学、运动学等的相关问题.同时回顾了学生已有的相关知识和方法,链接了本章的重点和难点,符合学生学习上的认知规律,提升简单问题解决能力
4.一艘船从南岸出发,向北岸横渡.根据测量,这一天水流速度为3 km/h,方向正东,风的方向为北偏西,受风力影响,静水中船的漂行速度为3 km/h,若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以 km/h的速度横渡,求船本身的速度大小及方向.
解析:本题考查向量在物理中的应用,根据题中条件画出数学几何图形,先确定的方向和大小,根据向量的运算法则数形结合求的方向和大小.
解:如图,设水的速度为,风的速度为,
易求得的方向是北偏东,的大小是3km/h.设船的实际航行速度为,方向由南向北,大小为 km/h船本身的速度为,则,即,由数形结合知,的方向是北偏西,大小是 km/h.
【分析计算能力】
利用正弦定理、余弦定理解三角形,加深公式记忆,让学生进一步巩固定理的运用能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理的核心素养
5.已知是底部不可到达的建筑物,是建筑物的最高点,为测量建筑物的高度,先把高度为1.5米的测角仪放置在位置,测得的仰角为,再把测角仪放置在位置,测得的仰角为,已知米,在同一水平线上,求建筑物的高度.
解析:首先根据正弦定理求,然后根据两角和的正弦公式求的值,从而求出的长度,确定建筑物的高度.
解:中,由正弦定理得,
在Rt中,,
所以
即建筑物的高度为米.
【意义学习】
通过题5的练习使学生体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,提升学生简单问题解决能力和数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养
【综合问题解决能力】
解综合题使学生成为学习的主体,由被动的接受变成主动的获取,提升综合问题解决能力
【以学定教】
向量来源于物理,并且兼具“数”和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用,本节内容要注重数形结合思想,提升学生直观想象、数学建模的核心素养
教学反思
本节的教学中学生存在的问题是在运用正弦定理和余弦定理解三角形的时候不能将实际问题转化成数学问题,构造模型的能力有待提高.另外学生计算能力不够熟练,对知识运用不能得心应手,需要教师适当点拨.对于难度较大问题的探究过程,可以把一个大问题分解成几个小问题来引导,学生探究起来会更容易一些,并且从中都是以学生为主开展的,体现了以学生为主体,教师为主导的教学理念.在教学中,适时地对学生学习过程给予评价,适当地评价可以培养学生的自信心,合作交流的意识,更进一步地激发了学生的学习兴趣,让他们体验成功的喜悦.
【以学论教】
本节主要介绍平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例以及能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.通过这些实例使学生了解向量的物理背景、几何背景,引导学生理解向量作为描述现实问题的数学模型的作用.同时还要通过解决一些实际问题或几何问题,使学生学会用向量这个数学模型处理问题的基本方法
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