人教A版（2019）高中数学必修第二册 《余弦定理、正弦定理应用举例》教学设计

《余弦定理、正弦定理应用举例》教学设计
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
情境引入 中国有一个传统节日—中秋节.中秋节的夜晚一般明月高悬，我们仰望夜空，会有无限遐想同学们想到了什么呢？有同学想到了月饼，有同学想到了嫦娥很好嫦娥奔月的神话故事想必大家都耳熟能详了.嫦娥偷吃丈夫后羿从西王母那里讨来的不死药之后，飘飘然就飞起来了，因想念后羿就停在了离地球最近的月宫这里有个问题：那遥不可及的月宫离地球究竟有多远呢？ 早在1671年，两个法国天文学家就测出了地球与月亮之间的距离大约为385400km.他们是怎样测出两者之间的距离呢？带着这一系列的问题，我们进入今天的数学学习. 教师用生动的语言引导同学思考学生听讲思考. 利用嫦娥和科学家的故事引入这节课所讲内容，并对学生提出问题.
（ 测量 距 离 ） 例 题 讲 解 例1如图，A，B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A，B两点间距离的方法，并求出A，B间的距离. 解：在A，B两点的对岸选定两点C，D，测得 , 并且在C，D两点分别测得 . 在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得 于是在△ABC中，由余弦定理，可得A，B两间点的距离 在测量过程中，我们根据测量的需要而确定的线段叫做基线如例1中的CD基线选择要适当般来说，基线越长，测量精度越高两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离，利用几乎位于同一经线上的柏林（点A）和好望角（点B）为基点，测量计算出的大小和两地之间的距离AB的长，从而计算出地球与月球之间的距离约为385400km. 教师提出问题，让学生进行思考、讨论. 教师给出分析：若测量者在A，B两点的对岸取定点C（称作测量基点），则在点C处只能测出∠ACB的大小，因而无法解决问题为此，可以再取一点D，测出线段CD的长，以及∠ACD、∠CDB，∠BDA，这样就可借助正弦定理和余弦定理算出距离了，学生完成本题的解答让学生掌握基线的概念. 师：通过上面例题的讲解，同学们对正弦定理、余弦定理的应用有了一定的认识了吗？那让我们返回去想想我们上课时提出的问题. 让学生说出他们是如何测量地球和月球之间的距离的. 师：当然，随着科学技术的发展，还有一些更为先进和准确的测量距离的方法，感兴趣的同学可以利用课余时间进行研究 通过实际问题，让学生体会正弦定理、余弦定理在实际生活中测量距离的应用. 体现新课标“教师引导，学生主体”的新理念，让学生自主去发现、推导定理.
（ 测 量 高度 ） 例 题 讲 解 例2 AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度. 解：如图，选择一条水平基线HG，使H，G，B三点在同一条直线上，在G，H两点用测角仪器测得A的仰角分别是CD=a，测角仪器的高是h，那么，在△ACD中, 由正弦定理，得 所以，这座建筑物的高度为 例2讲解之前教师提出问题：初中我们学过仰角和俯角，它们是怎么定义的？ 教师提出问题，让学生进行思考、讨论、回答，教师给予总结：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图） 教师给出例2，学生讨论、思考. 教师给出分析：选择基线HG，使H，G，B三点共线，欲求AB，先求AE，在△ACE中，可测得角，只需求出AC就可得到AE.在△ACD中，可测得角、线段DC，又有，故可求得AC. 学生进行计算，求解. 通过实际问题，让学生体会正弦定理、余弦定理在实际生活中测量不可到达的高度的应用，同时复习回顾了仰角和俯角的知识.
（ 测 量 角度 ） 例题讲解 例3 位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20nmle的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30°，且与甲船相距7 n mile的C处的乙船那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到1°）？需要航行的距离是多少海里（精确到1 n mile）？ 解：根据题意，画出示意图（下图）.由余弦定理，得 于是 由正弦定理，得 于是 因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东46°+30°=76°，大约需要航行24 n mile. 教师在讲解例3前先提出问题：在航海中方位角与方向角是船员必须掌握的基本知识，那么你知道这两个名词的含义吗？ 学生思考、讨论，查找资料，给出答案生：方位角：从某点的指北方向线依顺时针方向至目标方向线间的水平夹角，如B点的方位角为a（如图①）. 方向角：从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角. （1）北偏东，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向（如图②）. （2）北偏西，即由指北方向逆时针旋转到达目标方向. （3）南偏西等其他方向角类似. 教师出示例3，学生讨论思考，教师给出简单分析，学生完成问题师：首先应根据“正东方向”“南偏西30°”“目标方向线”等信息，画出示意图，这是解题的先决条件. 通过实际问题让学生体会正弦定理、余弦定理在实际生活中测量角度的应用，同时强调了正确作出示意图在解决问题中的重要作用.
归纳总结 余弦定理、正弦定理的实际应用： 1.测量距离. 2.测量高度：俯角、仰角. 3测量角度：方向角与方位角. 师生共同总结本节课收获. 引导学生学会自己总结，让学生进一步（回顾）体会知识的形成、发展、完善的过程.
课后作业 教材第51～52页练习第1～3题. 学生课后独立完成. 巩固新知，提升能力.
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第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例 一、情境引入 测量距离 例1 在测量过程中，我们根据测量的需要而确定的线段叫做基线 三、测量高度 例2 仰角、俯角 四、测量角度 例3 方位角、方向角 五、归纳总结 六、课后作业
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本课是一节应用课，教学内容主要是例题的讲解，在例题讲解之前，先通过问题的形式，将例题所需要的知识点呈现给学生，能够让学生更妤地突破障碍，顺利解决问题，本节由于例题需要作图，需要大量分析讨论，没有设置跟踪练习，如果教学进程较快，可以适当地添加习题.
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