人教A版（2019）高中数学必修第二册 6.4.3　第1课时　余弦定理巩固提升训练（含答案）

6.4.3　余弦定理、正弦定理
第1课时　余弦定理
课后篇巩固提升
基础巩固
1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,b=3,A=60°,则c=(　　)
　　 　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.2 C.4 D.6
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2-c2+b2=ab,则sin C的值为(　　)
A. B. C. D.
3.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,则下列等式正确的是(　　)
A.a=bcos C+ccos B B.a=bcos C-ccos B
C.a=bsin C+csin B D.a=bsin C-csin B
4.如果将直角三角形的三边增加同样的长度,那么新三角形的形状是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.由增加的长度确定
5.在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则边AC上的高为(　　)
A. B. C. D.3
6.在△ABC中,a=3,b=5,c=7,则其最大内角为　　　　　.
7.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=C,2b=a,则cos A=　　　.
8.在△ABC中,已知a-b=4,a+c=2b,且最大内角为120°,则该三角形的周长为　　　;最小角的余弦值为　　　　　.
9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的度数为　　　.
10.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边长,若(a+b+c)(sin A+sin B-sin C)=3asin B, 求角C的大小.
能力提升
1.在△ABC中,BD为∠ABC的平分线,AB=3,BC=2,AC=,则sin∠ABD=　　　.
2.如图,在△ABC中,已知点D在边BC上,AD⊥AC于点A,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为　　　.
3.若2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边长,求实数a的取值范围.
6.4.3　余弦定理、正弦定理
第1课时　余弦定理
课后篇巩固提升
基础巩固答案
1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,b=3,A=60°,则c=(　　)
　　 　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.2 C.4 D.6
答案C
解析由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,即13=9+c2-3c,即c2-3c-4=0,解得c=4(负值舍去).
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2-c2+b2=ab,则sin C的值为(　　)
A. B. C. D.
答案C
解析由余弦定理,得cos C=.因为C∈(0,π),所以C=,sin C=.故选C.
3.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,则下列等式正确的是(　　)
A.a=bcos C+ccos B B.a=bcos C-ccos B
C.a=bsin C+csin B D.a=bsin C-csin B
答案A
解析bcos C+ccos B=b·+c·=a.
4.如果将直角三角形的三边增加同样的长度,那么新三角形的形状是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.由增加的长度确定
答案A
解析设直角三角形的三条边长分别为a,b,c,且a2+b2=c2,三条边均增加同样的长度m,三边长度变为a+m,b+m,c+m,此时最长边为c+m,设该边所对角为θ,则由余弦定理,得cos θ=.因为m2>0,a+b-c>0,所以cos θ>0,所以θ为锐角,其他各角必为锐角,故新三角形是锐角三角形.
5.在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则边AC上的高为(　　)
A. B. C. D.3
答案B
解析在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,由余弦定理,得cos A=,
∴A=60°.∴边AC上的高h=AB·sin A=3sin 60°=.故选B.
6.在△ABC中,a=3,b=5,c=7,则其最大内角为　　　　　.
答案
解析由题意,得c>b>a,则角C最大.∵cos C==-,且07.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=C,2b=a,则cos A=　　　.
答案
解析由B=C,得b=c=a.由余弦定理,得cos A=.
8.在△ABC中,已知a-b=4,a+c=2b,且最大内角为120°,则该三角形的周长为　　　;最小角的余弦值为　　　　　.
答案30　
解析由a-b=4,a+c=2b,得b=a-4,c=a-8,所以a>b,a>c,即a是最长边,所以角A最大.由余弦定理,得cos 120°=,解得a=14(a=4舍去),所以b=10,c=6,故△ABC的周长为30.最小内角为C,cos C=.
9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的度数为　　　.
答案60°或120°
解析由余弦定理,得2accos B·tan B=ac,整理,得sin B=,所以B=60°或120°.
10.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边长,若(a+b+c)(sin A+sin B-sin C)=3asin B, 求角C的大小.
解由题意,得(a+b+c)(a+b-c)=3ab,整理,得a2+2ab+b2-c2=3ab,即,所以cos C=,所以C=60°.
能力提升
1.在△ABC中,BD为∠ABC的平分线,AB=3,BC=2,AC=,则sin∠ABD=　　　.
答案
解析因为BD为∠ABC的平分线,所以∠ABD=∠ABC.由余弦定理,得cos∠ABC=,所以cos∠ABC=1-2sin2∠ABD=,所以sin∠ABD=.
2.如图,在△ABC中,已知点D在边BC上,AD⊥AC于点A,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为　　　.
答案
解析因为sin∠BAC=,且AD⊥AC,所以sin,所以cos∠BAD=.
在△BAD中,由余弦定理,得
BD=
=.
3.若2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边长,求实数a的取值范围.
解因为2a+1,a,2a-1是三角形的三边长,
所以解得a>,此时2a+1最大.要使2a+1,a,2a-1是三角形的三边长,还需a+2a-1>2a+1,解得a>2.设最长边2a+1所对的角为θ,则θ>90°,所以cos θ=<0,解得综上可知实数a的取值范围是(2,8).