人教A版（2019）高中数学必修第二册 6.4.3_正弦定理_导学案（1）

6.4.3 余弦定理、正弦定理
第2课时 正弦定理
1.理解并掌握正弦定理的证明；
2.运用正弦定理解三角形；
3.探索正弦定理的证明过程，并能掌握多种证明方法。
1.教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及应用；
2.教学难点：正弦定理的探索及证明，已知两边和一对角解三角形时三角形解的个数。
正弦定理： ，
语言叙述：
一、探索新知
探究：余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角，已知三边直接解三角形的公式。如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？在直角三角形中，能得到三边、三角之间的什么关系式？
思考1：对于一般的三角形，仍然成立吗？
1.正弦定理：在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,
即
变形：（1）；
（2）
思考2：利用正弦定理可以解决一些怎么样的解三角形问题呢？
例1.在中，已知解这个三角形。
例2.在中，已知，解这个三角形。
1．判断正误
(1)正弦定理不适用直角三角形．(　　)
(2)在△ABC中，b＝a总成立．(　　)
(3)在一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值．(　　)
2．在△ABC中，若sin A>sin B，则有(　　)
A．aB．a≥b
C．a>b
D．a，b的大小无法判定
3．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝，B＝60°，那么A等于(　　)
A．135°　　　B．90°　　　C．45°　　　D．30°
4.在△ABC中，A＝，a＝c，则＝ .
5．已知在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，解这个三角形．
这节课你的收获是什么？
参考答案：
探究： 在直角三角形ABC中，由锐角三角函数， 再根据正弦函数的定义，可得
，所以，因为，所以
思考1.分锐角三角形、钝角三角形证明。
（1）在锐角三角形中 。
过点A 作单位向量垂直于。
由，两边同乘以单位向量得，，则，
所以
整理得
同理，过点C作与垂直的单位向量，可得
所以。
（2）在钝角三角形中，不妨设A为钝角，如图。
过点A作与垂直的单位向量。
同理可得。
思考2.正弦定理可用于两类：
（1）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边与另一角；
（2）已知三角形的任意两边与其中一边的对角，计算其他的角与边.
例1.由三角形内角和定理，得
由正弦定理，得
例2.解：由正弦定理，得，因为
，所以。
于是。
当时，
此时
当时，。
此时
。
达标检测
1.【答案】　(1)×　(2)√　(3)√
2.【答案】C　
【解析】因为＝，所以＝.
3.【答案】C　
【解析】由＝得sin A＝＝＝，
∴A＝45°或135°.
又∵a4.【答案】1　
【解析】由＝得sin C＝＝×＝，
又05.【解析】　由正弦定理及已知条件有＝，得sin A＝.
∵a>b，∴A>B＝45°.∴A＝60°或120°.
当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，
c＝＝＝；
当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，
c＝＝＝.
综上，可知A＝60°，C＝75°，c＝或A＝120°，C＝15°，c＝.
1 / 7