人教A版（2019）高中数学必修第二册 6.4.3_正弦定理_教学设计（2）

6.4.3 余弦定理、正弦定理 教学设计
第2课时 正弦定理
教材开门见山地提出“三角形的边与角之间有什么数量关系呢？”运用由特殊到一般的归纳思想方法，从直角三角形出发，得到，并以等边三角形加以验证，进而提出“对其他三角形是否成立呢？”这样设置符合学生的认知。教材中对正弦定理的证明采用了构造向量投影相等的思路。同时设置了两个例题说明正弦定理的应用.
课程目标
1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理，并能解决一些简单的问题；
2、通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思想方法发现数学规律；
3、通过参与、思考、交流，体验正弦定理的发现过程，逐步培养探索精神和创新意识；通过对正弦函数的学习体会数学的对称美，和谐美.
数学学科素养
1.数学抽象：正弦定理及其变形、三角形面积公式；
2.逻辑推理：用正弦定理及其变形解决相关问题；
3.数学运算：解三角形；
4.数学建模：通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，使学生学会运用由特殊到一般的思想方法发现数学规律.
重点：正弦定理的内容，对正弦定理的证明及基本运用；
难点：正弦定理的探索及证明.
教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
情景导入
提问：角与边之间是否存在定量关系？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本45-48页，思考并完成以下问题
1、直角三角形中的边角关系是怎样的？
2、什么是正弦定理？
3、正弦定理可进行怎样的变形？
4、已知三角形的两边及内角怎样求其面积？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
1.正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，即＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．
2．正弦定理的变形
(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(2)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A.
(5)＝＝＝.
3．正弦定理应用解三角形
(1) 已知三角形的两角及任一边，求其他两边和一角；
(2)已知三角形的两边和其中一边对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)．
4、三角形的面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)．
(2)S＝absin C＝bcsin A＝acsin B.
四、典例分析、举一反三
题型一 已知两角及一边解三角形
例1　在△ABC中，A＝30°，C＝105°，a＝10，求b，c，B.
【答案】B＝45°.b＝10，c＝5＋5.
【解析】因为A＝30°，C＝105°，所以B＝45°.
因为＝＝，
所以b＝＝＝10，
c＝＝＝5＋5.
解题技巧（已知两角及一边解三角形问题的基本方法）
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边；
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．　
跟踪训练一
1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝105°，C＝45°，c＝，则b＝ (　　)
A．1　　　B. C. D．2
2．在△ABC中，若tan A＝，C＝150°，BC＝1，则AB＝________.　
【答案】1、A. 2、．
【解析】1、在△ABC中，∵A＝105°，C＝45°，∴B＝180°－
A－C＝180°－105°－45°＝30°.
由正弦定理＝，得＝，解得b＝1.
故选A.
2、因为tan A＝，所以sin A＝.由正弦定理知AB＝·sin C＝sin 150°＝.
题型二 已知两边及一边的对角解三角形
例2　在△ABC中，A＝45°，c＝，a＝2，求b，B，C.
【答案】　　b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°.
【解析】　∵＝，∴sin C＝＝＝，
∴C＝60°或120°.当C＝60°时，B＝75°，
b＝＝＝＋1.
当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1.
∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°.
解题技巧： (已知两边及一边的对角解三角形的方法)
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．
(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．
跟踪训练二
1．△ABC中，B＝45°，b＝，a＝1，则角A＝________.
2．在△ABC中，a＝1，b＝，A＝30°，求边c的长．
【答案】1、30°. 2、1或2.
【解析】1、由正弦定理得，＝，解得sin A＝，所以A＝30°或A＝150°.又因b>a，所以B>A，则A＝30°.
2、由＝，得sin B＝＝.
∵aA＝30°，∴B为60°或120°.
①当B＝60°时，C＝180°－60°－30°＝90°.
此时，c＝ ＝＝2.
②当B＝120°时，C＝180°－120°－30°＝30°.
此时，c＝a＝1.
综上知c＝1或2.
题型三 正弦定理在边角互化中的应用
例3 在△ABC中，已知b＋c＝1，C＝45°，B＝30°，则b＝________.
【答案】－1.
【解析】　由正弦定理知＝，
所以，＝，b＝·sin B＝＝－1.
例4 在△ABC中，＝＝，试判断△ABC的形状；
【答案】等边三角形.
【解析】　 (化边为角)根据正弦定理，得到＝＝，整理为＝＝.
∵A，B，C∈(0，π)，∴A＝B＝C，
∴△ABC为等边三角形．
解题技巧（正弦定理应用技巧）
利用正弦定理将边化为角或者将角化为边处理，这是正弦定理的一种重要作用，也是处理三角形问题的重要手段．正弦定理的变形有多种形式，要根据题目选择合适的变形进行使用．再判断三角形形状时(1)化角为边．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sin A＝，sin B＝，sin C＝.(2)化边为角．将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C．
跟踪训练三
1、在△ABC中，若acos A＝bsin B，则sin Acos A＋cos2B等于(　　)
A．1 B.
C．－1 D．－
2．在△ABC中，acos ＝bcos，判断△ABC的形状．
【答案】1、A. 2、等腰三角形.
【解析】1、由正弦定理，可得sin Acos A＝sin2B，即sin Acos A＝1－cos2B，所以sin Acos A＋cos2B＝1.
2、法一：(化角为边)∵acos＝bcos，
∴asin A＝bsin B．由正弦定理可得：a·＝b·.
∴a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形．
法二：(化边为角)∵acos＝bcos，
∴asin A＝bsin B.
由正弦定理可得：2Rsin2A＝2Rsin2B，即sin A＝sin B，
∴A＝B(A＋B＝π不合题意舍去)，
故△ABC为等腰三角形.
题型四 与三角形面积有关问题
例5　在△ABC中，已知B＝30°，AB＝2，AC＝2，求△ABC的面积．
【答案】2或.
【解析】　由正弦定理，得sin C＝＝，
又AB·sinB∴当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝AB·AC＝2；
当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝AB·AC·sin A＝.
∴△ABC的面积为2或.
解题技巧（三角形面积公式应用技巧）
(1)求三角形面积时，应先根据题目给出的已知条件选择最简便、最快捷的计算方法，这样不仅能减少一些不必要的计算，还能使计算结果更加接近真实值．
(2)事实上，在众多公式中，最常用的公式是S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B，即给出三角形的两边和夹角(其中某边或角需求解)求三角形面积，反过来，给出三角形的面积利用上述公式也可求得相应的边或角，应熟练应用此公式．　
跟踪训练四
1．已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则A的大小为(　　)
A．60°或120°　　　　 B．60°
C．120° D．30°或150°
2．在钝角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，A＝30°，c＝，则△ABC的面积为________．
【答案】1、A. 2、.
【解析】1、由S△ABC＝bcsin A得＝×2××sin A，
所以sin A＝，
故A＝60°或120°，故选A.
2、在钝角△ABC中，由a＝1，A＝30°，c＝，利用正弦定理可知C＝120°，得到B＝30°，利用面积公式得S△ABC＝×1××＝.
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
七、作业
课本48页练习，52页习题6.4的7、10题.
通过本节课的学习，从学生的情况来看，效果较好，学生能够根据以前学过的相关知识，在老师的指引下证明出正弦定理，能掌握正弦定理的计算方法，能够理解够理解公式中不同量的意义，但是在运用过程中我们发现，学生往往容易忽略解的情况问题，很多学生的出来两个解，但是没用通过以前学的知识“大边对大角”来舍去不符合题意的情况。
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