《平面向量的应用》链接高考
一、选择题
1.(2020·全国卷III)在中,3,则
A.
B.
C.
D.
2.(2017·全国卷II)在矩形中,,动点在以点为圆心且与相切的圆上.若,则的最大值为( )
A.3
B.
C.
D.2
二、填空题
3.(2020·江苏卷)在中,在边上,延长到,使得,若为常数,则的长度是______.
4.如图,在平面四边形中,,若点为边上的动点,则的最小值为_______.
三、解答题
5.(2020·北京卷)在中,,再从条件(1)、条件(2)这两个条件中选择一个作为已知,求:
(1)的值;
(2)和的面积.
条件①:;
条件②:.
注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.
6.(2020·江苏卷)在中,角的对边分别为,已知.
(1)求的值;
(2)在边上取一点,使得,求的值.
答案解析
一、选择题
1.解析:在中,.根据余弦定理得,,
可得,即.
由,
故.
答案:A
2.解析:如图所示,建立平面直角坐标系.
设,易得圆的半径,即圆的方程是,
,若满足,
即解得,,
所以.
设,即,点在圆上,
所以圆心到直线的距离,即,解得,
所以的最大值是3,即的最大值是3.
答案:
二、填空题
3.解析:∵三点共线,
∴可设.
∵,
∴,
即.
若且,则三点共线,
∴,即.
∵.
∵,
∴.
设,则.
∴根据余弦定理可得,,.
∴,解得,
∴的长度为.
当时,重合,此时的长度为0;
当时,重合,此时,不合题意,舍去.
答案:或0
4.解析:连接,可知为等腰三角形,而,,所以为等边三角形,.设
则
所以当时,上式取最大值.
答案:
三、解答题
5.解析:选择条件①:(1),
(2)∵,
∴.
由正弦定理得,
选择条件②:(1)
由正弦定理,得
6.解析:(1)由余弦定理得,
所以由正弦定理得,
(2)由于所以由于所以
所以
所以
由于所以
所以
2 / 2《平面向量的应用》预习检测
一、选择题
1.(2020·四川成都一中高二适应性考试)已知两个力的夹角为,它们的合力大小为,合力与的夹角为,那么的大小为( )
A.
B.
C.
D.
2.如图所示,在正方形中,为的中点,为的中点,则( )
A.
B.
C.
D.
3.一条河的宽度为只船从处出发到河的正对岸处,航速为,水速为,则船行到处时,行驶速度的大小为( )
A.
B.
C.
D.
4.(2020·湖北黄冈高一期末)在中,内角的对边分别为,已知,则( )
A.
B.
C.
D.
5.(2020·黑龙江大庆四中高一末)在中,分别是角的对边,如果的面积是,则( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
6.已知三角形内角的对边分别为且满足,则_______.
7.(2018·浙江学考)在中,若,则______.
三、解答题
8.已知的三个内角的对边分别为,且满足.
(1)求角的大小;
(2)若,求的长.
答案解析
一、选择题
1.解析:对应向量如图,由于,则的大小为.
答案:
2.解析:根据题意,得,又,所以.
答案:D
3.解析:如图所示,由平行四边形法则和解直角三角形的知识,可得船行驶的速度大小为.
答案:D
4.解析:因为,所以为钝角,为锐角.
由,得,所以.
答案:B
5.解析:由已知,得,所以,解得.
答案:
二、填空题
6.答案:
解析:由,得.
由余弦定理,得,∴.
又为三角形的内角,∴.
7.答案:
解析:中,∵,
又即
三、解答题
8.解析:(1)因为,所以由正弦定理可得,即.
因为,所以.
因为,所以.
(2)由已知得,
所以所以
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2 / 2《平面向量的应用》学科素养
师:余弦定理的内容是什么
生:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍,即
师:回答正确.下面我们来介绍一下多种余弦定理的证明方法,来增强我们对余弦定理的理解.
【多媒体展示】
余弦定理的证明
例 已知,利用多种方法证明余弦定理.
【教师引导后,学生独立思考,分组讨论,分小组进行汇报探究结果,师生共同总结证明过程】
生:法一(平面几何):在中,已知,及角,求.
过作于,得,.
在Rt中,.
师:上面的两种证明方法我们都能证明出来,下面我们分别用解析几何、相交弦定理进行证明.
【师生互动,教师板书】
师:法三(解析几何)如图,把顶点置于原点,落在轴的正半轴上,由于中,则点的坐标分别为,.
,
即.
法四(用相交弦定理证明余弦定理)：
如图,在三角形中,.现在以为圆心,以长边为半径作圆,这里要用长边的道理在于这样能保证点在圆内.的延长线交圆于点和.这样以来,.因为,所以.
根据相交弦定理有
,代入以后得
,
化简得.也就是我们的余弦定理.
师：余弦定理的证明还有其他方法,我们可以利用课后的时间互相探讨.本节课的证明体现了前面所学知识的生动运用.
【设计意图】
余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理,直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题,若对余弦定理加以变形便可适当移于其他知识.以上例题拓展性强,综合解题能力要求较高,对于学有余力的学生可以参考学习一下,通过问题的不同变式,激发学生学习的兴趣,不断地培养和训练学生的逻辑思维能力,体现数学的应用意识.
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