《第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例》基础训练
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.第6题为多选题，选对得5分，选错得0分，部分选对得2分）
1.在△ABC中，已知，则△ABC的面积等于（ ）
A.3
B.6
C.
D.
2.已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则△ABC的面积为（ ）
A.
B.1
C.
D.2
3.如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端点A，B到点C的距离，且，则A，B两点间的距离为（ ）
A.km
B.km
C.1.5km
D.2km
4.已知△ABC的面积为，且，则A的大小为（ ）
A.60°或120°
B.60°
C.120°
D.30°或150°
5.《数书九章》中已知三角形三边长求三角形的面积的方法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国在古代就已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.已知△ABC中，，且，根据以上给出的公式求得△ABC的面积为（ ）
A.2
B.
C.4
D.
6.（多选）一艘客船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°，之后它以每小时32 n mile的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得客船与灯塔S相距 n mile，则灯塔S可能在B处的（ ）
A.北偏东75°
B.南偏东15°
C.东北方向
D.东南方向
二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
7.在△ABC中，，△ABC的面积为，则_________.
8.一角槽的断面如图所示，四边形ADEB是矩形，若，则DE的长度为_________mm.
三、解答题（本大题共2小题，每小题15分，共30分）
9.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求；
（2）若，求△ABC的面积.
10.如图，都在同一个与水平面垂直的平面内，为两岛上的两座灯塔的塔顶船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，km.试探究图中B、D间距离与哪两点间距离相等，并求出B、D间的距离（计算结果精确到001km，参考数据：）.
参考答案
一、选择题
1.
答案：C
解析：△ABC的面积为.
2.
答案：C
解析：，
.
又△ABC的面积为.
3.
答案：A
解析：在△ABC中，易得，由，得.
4.
答案：A
解析：由得，
所以，
因为，所以或，故选A.
5.
答案：A
解析：由正弦定理，得，又，
，故选A.
6.
答案：AB
解析：画出示意图如图，客船半小时航行的路程为，
.
又，
，
或.
当船在B处时，，
当船在B处时，.综上，灯塔S在B处的北偏东75°或南偏东15°，故选AB.
二、填空题
7.
答案：4
解析：由△ABC的面积，得.
由余弦定理，得.
.
8.
答案：210
解析：连接AB，则，
，
.
三、解答题
9.
答案：见解析
解析：在△ABC中，由及正弦定理，得.
，
，则，
3.
（2）.
，
由正弦定理得，
，
.
10.
答案：见解析
解析：在△ADC中，，
，
所以.
又，
故CB垂直平分△CAD的底边AD，所以.
在△ABC中，，
即，
所以.
故B、D间的距离约为0.33km.
3 / 7《第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例》提升训练
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分第6题为多选题，选对得5分选错得0分，部分选对得2分）
1.钝角三角形ABC的面积是，则（ ）
A.5
B.
C.2
D.1
2.如图所示，D，C，B三点在地面同一直线上，，从C，D两点测得A点的仰角分别是，则A点离地面的高AB等于（ ）
A.
B.
C.
D.
3.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边.如果，△ABC的面积为，那么b等于（ ）
A.
B.
C.
D.
4.海上有A，B两岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°角的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离为（ ）
A.10海里
B.5海里
C.海里
D.海里
5.已知锐角△ABC中，，△ABC的面积为，则的值为（ ）
A.2
B.
C.4
D.
6.（多选）如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若米，山坡对于地面的坡角为，则（ ）
A.米
B.米
C.
D.
二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则△ABC的面积是________.
8.若△ABC的面积为，且C为钝角，则________，的取值范围是________.
三、解答题（本大题共2小题，每小题15分，共30分）
9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，已知.
（1）求证：；
（2）若，△ABC的面积为，求b.
10.如图，在某海滨城市附近海面有一台风.据监测，当前台风中心位于城市O的南偏东方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向北偏西45方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
参考答案
一、选择题
1.
答案：B
解析：由三角形面积公式，得.
又或.
二由余弦定理，得.
当时，得，这时不符合钝角三角形的要求，故舍去；
当时，得.故选B.
2.
答案：A
解析：设，则.
因为，所以，
所以，
所以.
3.
答案：B
解析：由，得.
由余弦定理，得，
所以.
4.
答案：C
解析：由题意知，在△ABC中，海里，
（海里），故B，C间的距离为海里.
5.
答案：A
解析：由，得，
又△ABC为锐角三角形，，
.
6.
答案：AC
解析：在△ABC中，由正弦定理可知，米.
在△BCD中，
，
，
所以.
二、填空题
7.
答案：
解析：因为在△ABC中，，所以，所以.
又A为△ABC的内角，所以.
又，所以，得.
因此△ABC的面积.
8.
答案：
解析：依题意有，
则，
，
.
为钝角，
，
又，
，
故.
故的取值范围为.
三、解答题
9.
答案：见解析
解析：（1）证明：，
由正弦定理可得，
即，
.
（2）△ABC的面积.
由余弦定理可得.
，解得.
10.
答案：见解析
解析：如图所示，设th后台风中心为Q，此时台风的半径为km.
若th后城市O受到台风的侵袭，则.
由余弦定理，知，由于km，km，
且，
故，
因此，
即，解得.
故12h后该城市开始受到台风的侵袭.
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