2022-2023学年冀教版数学八上期末复习专题6 线段垂直平分线与角平分线
一、单选题（每题3分，共36分）
1．（2022八上·新昌期中）如图，DE是△ABC的边BC的垂直平分线，分别交边AB，BC于点D，E，且AB＝9，AC＝6，则△ACD的周长是（ ）
A．10.5 B．15 C．12 D．18
2．（2021八上·嵩县期末）已知点P在 ABC的边BC上，且满足PA＝PC，则下列确定点P位置的尺规作图，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021八上·淳安期末）已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．（2022八上·义乌月考）如图，在Rt△ABC中，观察作图痕迹，若BF＝2，则CF的长为（ ）
A． B．3 C．2 D．
5．（2022八上·如皋月考）近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地．但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（ ）
A．AB，BC两边垂直平分线的交点处
B．AB，BC两边高线的交点处
C．AB，BC两边中线的交点处
D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处
6．（2021八上·丰台期末）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．下列关于筝形的结论正确的是（ ）
A．对角线AC，BD互相垂直平分
B．对角线BD平分∠ABC，∠ADC
C．直线AC，BD是筝形的两条对称轴
D．筝形的面积等于对角线AC与BD的乘积
7．（2022八上·柳城期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD＝4cm，则点D到AB的距离DE是（ ）
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
8．（2022八上·上思月考）如图，AD是的角平分线，，若，则的面积为（ ）
A．3 B．2 C． D．1
9．（2021八上·虎林期末）如图，点O在内，且到三边的距离相等，∠A＝64°，则∠BOC的度数为（ ）
A．58° B．64° C．122° D．124°
10．（2022八上·沙坪坝开学考）如图，在△ABC中，若分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且∠DAB＝∠CAE＝α，AD＝AB，AC＝AE，DC、BE交于点P，连接AP，则∠APC的度数为（ ）
A．90°﹣α B．90°+α C．90°﹣α D．90°+α
11．（2021八上·南宁期末）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：①∠AOB＝90°+ ∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB； ③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab.其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
12．（2021八上·兰溪月考）如图，在△ABE中，∠A＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB+BC＝BE，则∠B的度数是（ ）
A．45° B．60° C．50° D．55°
二、填空题（每题3分，共18分）
13．（2021八上·如皋期中）如图，在 中，直线 垂直平分 ，垂足为 ，交 于点 ，若 的周长为 ， ，则 的长为 .
14．（2018八上·孝感月考）如图，△ABC中，线段BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC=84°，则∠BDC= °．
15．（2021八上·怀宁期末）如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，AB＝7，BC＝8．若，则DE＝ ．
16．（2022八上·金华月考）如图，AD是Rt△ABC的角平分线，AB＝12，AC＝8，则△ABD的面积与△ACD的面积之比是 ．
17．（2021八上·昭阳期末）如图，在△ABC中，DH是AC的垂直平分线，且与AC、BC分别交于点H、D；MN是AB的垂直平分线，且与AB、BC分别交于点M、N，连接AD、AN，已知∠BAC=74°，则∠DAN= ．
18．（2019八上·广丰月考）在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CDE＝55°．如图，则∠EAB的度数为
三、作图题
19．（2021八上·潮南期末）如图，在中，
（ 1 ）尺规作图：作的平分线；
（ 2 ）尺规作图：作线段的垂直平分线；（不写作法，保留作图痕迹）
（ 3 ）若与交于点，∠ACP=24°，求的度数.
四、解答题
20．（2021八上·五华期末）如图所示，在中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=2AC．求证：点D在线段AB的垂直平分线上．
21．（2021八上·汉滨期中）如图，AD与BC相交于点O， ， ， ，试探索OE与BD的位置关系，并说明理由.
22．（2021八上·红桥期末）如图，在中，是的中点，，，垂足分别是，．
（Ⅰ）若，求证：是的角平分线；
（Ⅱ）若是的角平分线，求证：．
五、综合题
23．（2020八上·兴县期中）已知 是 的平分线，点 是射线 上一点，点C、D分别在射线 、 上，连接PC、PD．
（1）发现问题
如图①，当 ， 时，则PC与PD的数量关系是 ．
（2）探究问题
如图②，点C、D在射线OA、OB上滑动，且∠AOB=90°，∠OCP＋∠ODP=180°，当 时，PC与PD在（1）中的数量关系还成立吗？说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的边BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∵△ACD的周长为AD+CD+AC=AD+BD+AC=AB+AC=9+6=15.
故答案为：B
【分析】利用线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可证得BD=CD；再证明△ACD的周长为AB+AC，代入计算可求解.
2．【答案】B
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：满足PA＝PC，则点P在线段AC的垂直平分线上
A、由作图痕迹可得，P在线段BC的垂直平分线上，不符合题意；
B、由作图痕迹可得，P在线段AC的垂直平分线上，符合题意；
C、由作图痕迹可得，P在∠BAC的角平分线上，不符合题意；
D、由作图痕迹可得，AP⊥BC，不在线段AC的垂直平分线上，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】要使PA=PC，则点P在线段AC的垂直平分线上，观察各选项中的作图，可得答案.
3．【答案】A
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知：作图正确的是①②.
故答案为：A.
【分析】利用作一个角等于已知角的方法，作线段垂直平分线的方法，可得答案.
4．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由图可得，直线DE为线段BC的垂直平分线，
∴BF＝CF，
∵BF＝2，
∴CF＝2．
故答案为：C．
【分析】由图可得，直线DE为线段BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得CF=BF，据此即可得出答案.
5．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：因为决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，所以高铁站应建在AB，BC两边垂直平分线的交点处，
理由是线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
故答案为：A.
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等进行判断.
6．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解： 四边形中，，，
是的垂直平分线，
而不一定是的垂直平分线，故A不符合题意；
，，
对角线BD平分∠ABC，∠ADC，故B符合题意；
直线BD是筝形的两条对称轴，故C不符合题意；
如图，记对角线的交点为
筝形的面积等于对角线AC与BD的乘积的一半，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】由线段垂直平分线的判定可判断A选项；通过证明得出 可判断B选项；根据轴对称性质可判断C选项；利用三角形的面积可判断D选项。
7．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，
∴DE＝CD，
∵CD＝4cm，
∴点D到AB的距离DE是4cm．
故答案为：B.
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝CD，据此解答.
8．【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥AB于点N，
∵AD是的角平分线，
∴DM=DN，
∵S△ACD=AC·DM=4，
∴AC·DM=8，
∵AC=2AB，
∴AB·DM=4，
∴S△ABD=AB·DN=AB·DM=2，
故答案为：B.
【分析】过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥AB于点N，根据角平分线的性质得出DM=DN，再根据三角形的面积公式得出AC·DM=8，从而得出AB·DM=4，即可得出S△ABD=AB·DN=AB·DM=2.
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：点在内，且到三边的距离相等，
即点到和的距离相等，点到和的距离相等，
平分，平分，
，，
，
，
，
．
故答案为：C．
【分析】先利用三角形的内角和可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，再根据三角形角平分线的定义可得，，所以，再将数据代入计算即可。
10．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，作AF⊥CD于点F，AG⊥BE于点G，则∠AFC＝∠AGE＝90°，
∵∠DAB＝∠CAE＝α，
∴∠DAC＝∠BAE＝α+∠BAC，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠ACF＝∠AEG，
在△ACF和△AEG中
，
∴△ACF≌△AEG（AAS），
∴AF＝AG，
∴点A在∠DPE的平分线上，
∴∠APE＝∠APD＝∠DPE，
∵∠CPE+∠ACF＝∠CAE+∠AEG＝∠AHP，
∴∠CPE＝∠CAE＝α，
∴∠APE＝∠DPE＝（180°﹣∠CPE）＝90°﹣α，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝90°﹣α+α＝90°+α，
∴∠APC的度数为90°+α.
故答案为：D.
【分析】作AF⊥CD于点F，AG⊥BE于点G，则∠DAC＝∠BAE＝α+∠BAC，证明△DAC≌△BAE，得到∠ACF＝∠AEG，进而证明△ACF≌△AEG，得到AF＝AG，根据角平分线的概念可得∠APE＝∠APD＝∠DPE，则∠CPE＝∠CAE＝α，∠APE＝∠DPE＝(180°-∠CPE)＝90°-α，然后根据角的和差，由∠APC=∠APE+∠CPE进行解答.
11．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝ ∠CBA，∠OAB＝ ∠CAB，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣ ∠CBA﹣ ∠CAB＝180°﹣ （180°﹣∠C）＝90°+ ∠C，①正确；
∵∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝ （∠BAC+∠ABC）＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中， ，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AOH＝∠AOF，
在△HBO和△EBO中， ，
∴△HBO≌△EBO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②正确；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB+AC+BC＝2b
∴S△ABC＝ ×AB×OM+ ×AC×OH+ ×BC×OD＝ （AB+AC+BC） a＝ab，④正确.
故答案为：C.
【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB上取一点H，使BH＝BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，再证得△HBO≌△EBO，得到AF＝AH，进而判定②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得③正确.
12．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接AC，
∵CM是AE的垂直平分线，
∴AC=CE，
∵AB+BC=BE=BC+CE=AC+BC，
∴AB=AC，
设∠E=x，
∴∠ACE=∠CAE+∠E=2x，
∴∠B=∠ACE=2x，
∴∠BAC+∠B+∠E=105°+2x+x=180°，
解得x=25°，
∴∠B=50°.
故答案为：C.
【分析】连接AC，根据垂直平分线的性质得出AC=CE，结合AB+BC＝BE，推出AB=AC，然后设∠E=x，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质把∠B表示出来，最后在△ABC中，根据三角形内角和定理建立方程求解即可.
13．【答案】7
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵直线 垂直平分 ，
，
∵△ABD的周长为 ，
，
，
解得： .
故答案为：7.
【分析】由垂直平分线的性质可得BD=CD，根据△ABD的周长结合AB的值就可求出AC.
14．【答案】96
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】如图，做DM⊥AB延长线于M，做DN⊥AC于N
∵AD平分∠BAC，
∴DM=DN
∵DP垂直平分BC
∴BD=DC
∴Rt△BDM≌Rt△CDN
∴∠MDB=∠CDN
∠MDN=∠BDC
又∠DMA=∠DNA=90°，∠BAC=84°
∴∠MDN=96°；
∠BDC=96°
【分析】做DM⊥AB延长线于M，做DN⊥AC于N，易由角平分线性质和线段垂直平分线性质得Rt△BDM≌Rt△CDN，从而得∠MDN=∠BDC，再利用四边形内角和为180°可得∠MDN=96°，因此∠BDC=96°
15．【答案】4
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF，
∵AB=7，BC=8，，
，
解得
故答案为：4
【分析】根据角平分线的性质可得DE=DF，再利用三角形的面积公式可得，再将AB=7，BC=8代入计算即可。
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵ AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，
∴DE=CD，
∴.
故答案为：.
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质得出DE=CD，再根据三角形的面积公式得出，即可得出答案.
17．【答案】32°
【知识点】角的运算；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，MN、DH分别是AB、AC的垂直平分线，
∴NA＝NB，DA＝DC，
∴∠NAB＝∠B，∠DAC＝∠C，
∵∠BAC＝74°，
∴∠B＋∠C＝180° ∠BAC＝106°，
∴∠NAB+∠DAC＝106°，
∴∠DAN＝∠NAB+∠DAC ∠BAC＝106° 74°＝32°．
故答案为：32°．
【分析】先求出NA＝NB，DA＝DC，再求出∠NAB+∠DAC＝106°，最后计算求解即可。
18．【答案】35°
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】过点E作EF⊥AD于F．
∵DE平分∠ADC，∴CE=EF．
∵E是BC的中点，∴CE=BE，∴BE=EF，∴AE是∠BAD的平分线，∴∠EAB=∠FAE．
∵∠B=∠C=90°，∴∠CDA+∠DAB=180°，∴2∠CDE+2∠EAB=180°，∴∠CDE+∠EAB=90°，∴∠EAB=90°－∠CDE=90°－55°=35°．
故答案为：35°．
【分析】过点E作EF⊥AD于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上可得AE是∠BAD的平分线，然后求出∠AEB，再根据直角三角形两锐角互余求解即可．
19．【答案】解：⑴如图，l1为所作；
⑵如图，l2为所作；
⑶设∠ABP的度数为x
∵平分
∴=x
又∵垂直平分
∴
∴
∴=x
又∵
又∵，
∴
即
【知识点】三角形内角和定理；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据要求作出角平分线即可；
（2）根据要求作出线段的垂直平分线即可；
（3）设∠ABP的度数为x，先求出，，再利用角的运算可得。
20．【答案】证明：作DH⊥AB于H，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠C=∠AHD=90°，AD=AD，
∴△ACD≌△AHD（AAS），
∴AC=AH，
∵AB=2AC，
∴AB=2AH，
∴DH垂直平分AB，
∴点D在AB的垂直平分线上．
【知识点】线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】作DH⊥AB于H，利用“AAS”证明△ACD≌△AHD，可得AC=AH，再结合AB=2AC，可得AB=2AH，证出DH垂直平分AB，即可得到答案。
21．【答案】解：在△AOB与△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB=OD，
∴点O在线段BD的垂直平分线上，
∵BE=DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分BD.
【知识点】线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】易证△AOB≌△COD，得到OB=OD，则点O在线段BD的垂直平分线上，由BE=DE可知：点E在线段BD的垂直平分线上，据此解答.
22．【答案】解：（Ⅰ）证明：∵是的中点，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴≌（HL)．
∴．
∴ 点在的平分线上．
∴是的角平分线．
（Ⅱ）∵是的角平分线，，，
∴，．
∵是的中点，
∴．
∴≌（HL)．
∴．
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（Ⅰ）先利用“HL”证明≌，可得DE=DF，再利用角平分线的判定证明即可；
（Ⅱ）根据“HL”证明≌，即可得到BE=CF。
23．【答案】（1）PC=PD
（2）解：PC=PD仍然成立．理由如下：
过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，
∴∠CFP=∠DEP=90°，
∵OM是∠AOB的平分线，∴PE=PF．
∵∠OCP＋∠ODP=180°，又∠ODP+∠PDE=180°，
∴∠OCP=∠PDE，即∠FCP=∠PDE，
在△CFP和△DEP中，
，
∴△CFP≌△DEP（AAS），
∴PC=PD．
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）∵OM是∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD，
故答案为：PC=PD；
【分析】（1）根据角平分线的性质求出PC=PD，进行作答即可；
（2）先求出PE=PF，再证明∠FCP=∠PDE，最后利用AAS证明△CFP≌△DEP ，即可求解。
1 / 12022-2023学年冀教版数学八上期末复习专题6 线段垂直平分线与角平分线
一、单选题（每题3分，共36分）
1．（2022八上·新昌期中）如图，DE是△ABC的边BC的垂直平分线，分别交边AB，BC于点D，E，且AB＝9，AC＝6，则△ACD的周长是（ ）
A．10.5 B．15 C．12 D．18
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的边BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∵△ACD的周长为AD+CD+AC=AD+BD+AC=AB+AC=9+6=15.
故答案为：B
【分析】利用线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可证得BD=CD；再证明△ACD的周长为AB+AC，代入计算可求解.
2．（2021八上·嵩县期末）已知点P在 ABC的边BC上，且满足PA＝PC，则下列确定点P位置的尺规作图，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：满足PA＝PC，则点P在线段AC的垂直平分线上
A、由作图痕迹可得，P在线段BC的垂直平分线上，不符合题意；
B、由作图痕迹可得，P在线段AC的垂直平分线上，符合题意；
C、由作图痕迹可得，P在∠BAC的角平分线上，不符合题意；
D、由作图痕迹可得，AP⊥BC，不在线段AC的垂直平分线上，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】要使PA=PC，则点P在线段AC的垂直平分线上，观察各选项中的作图，可得答案.
3．（2021八上·淳安期末）已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知：作图正确的是①②.
故答案为：A.
【分析】利用作一个角等于已知角的方法，作线段垂直平分线的方法，可得答案.
4．（2022八上·义乌月考）如图，在Rt△ABC中，观察作图痕迹，若BF＝2，则CF的长为（ ）
A． B．3 C．2 D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由图可得，直线DE为线段BC的垂直平分线，
∴BF＝CF，
∵BF＝2，
∴CF＝2．
故答案为：C．
【分析】由图可得，直线DE为线段BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得CF=BF，据此即可得出答案.
5．（2022八上·如皋月考）近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地．但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（ ）
A．AB，BC两边垂直平分线的交点处
B．AB，BC两边高线的交点处
C．AB，BC两边中线的交点处
D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：因为决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，所以高铁站应建在AB，BC两边垂直平分线的交点处，
理由是线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
故答案为：A.
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等进行判断.
6．（2021八上·丰台期末）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．下列关于筝形的结论正确的是（ ）
A．对角线AC，BD互相垂直平分
B．对角线BD平分∠ABC，∠ADC
C．直线AC，BD是筝形的两条对称轴
D．筝形的面积等于对角线AC与BD的乘积
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解： 四边形中，，，
是的垂直平分线，
而不一定是的垂直平分线，故A不符合题意；
，，
对角线BD平分∠ABC，∠ADC，故B符合题意；
直线BD是筝形的两条对称轴，故C不符合题意；
如图，记对角线的交点为
筝形的面积等于对角线AC与BD的乘积的一半，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】由线段垂直平分线的判定可判断A选项；通过证明得出 可判断B选项；根据轴对称性质可判断C选项；利用三角形的面积可判断D选项。
7．（2022八上·柳城期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD＝4cm，则点D到AB的距离DE是（ ）
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，
∴DE＝CD，
∵CD＝4cm，
∴点D到AB的距离DE是4cm．
故答案为：B.
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝CD，据此解答.
8．（2022八上·上思月考）如图，AD是的角平分线，，若，则的面积为（ ）
A．3 B．2 C． D．1
【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥AB于点N，
∵AD是的角平分线，
∴DM=DN，
∵S△ACD=AC·DM=4，
∴AC·DM=8，
∵AC=2AB，
∴AB·DM=4，
∴S△ABD=AB·DN=AB·DM=2，
故答案为：B.
【分析】过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥AB于点N，根据角平分线的性质得出DM=DN，再根据三角形的面积公式得出AC·DM=8，从而得出AB·DM=4，即可得出S△ABD=AB·DN=AB·DM=2.
9．（2021八上·虎林期末）如图，点O在内，且到三边的距离相等，∠A＝64°，则∠BOC的度数为（ ）
A．58° B．64° C．122° D．124°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：点在内，且到三边的距离相等，
即点到和的距离相等，点到和的距离相等，
平分，平分，
，，
，
，
，
．
故答案为：C．
【分析】先利用三角形的内角和可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，再根据三角形角平分线的定义可得，，所以，再将数据代入计算即可。
10．（2022八上·沙坪坝开学考）如图，在△ABC中，若分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且∠DAB＝∠CAE＝α，AD＝AB，AC＝AE，DC、BE交于点P，连接AP，则∠APC的度数为（ ）
A．90°﹣α B．90°+α C．90°﹣α D．90°+α
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，作AF⊥CD于点F，AG⊥BE于点G，则∠AFC＝∠AGE＝90°，
∵∠DAB＝∠CAE＝α，
∴∠DAC＝∠BAE＝α+∠BAC，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠ACF＝∠AEG，
在△ACF和△AEG中
，
∴△ACF≌△AEG（AAS），
∴AF＝AG，
∴点A在∠DPE的平分线上，
∴∠APE＝∠APD＝∠DPE，
∵∠CPE+∠ACF＝∠CAE+∠AEG＝∠AHP，
∴∠CPE＝∠CAE＝α，
∴∠APE＝∠DPE＝（180°﹣∠CPE）＝90°﹣α，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝90°﹣α+α＝90°+α，
∴∠APC的度数为90°+α.
故答案为：D.
【分析】作AF⊥CD于点F，AG⊥BE于点G，则∠DAC＝∠BAE＝α+∠BAC，证明△DAC≌△BAE，得到∠ACF＝∠AEG，进而证明△ACF≌△AEG，得到AF＝AG，根据角平分线的概念可得∠APE＝∠APD＝∠DPE，则∠CPE＝∠CAE＝α，∠APE＝∠DPE＝(180°-∠CPE)＝90°-α，然后根据角的和差，由∠APC=∠APE+∠CPE进行解答.
11．（2021八上·南宁期末）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：①∠AOB＝90°+ ∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB； ③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab.其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝ ∠CBA，∠OAB＝ ∠CAB，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣ ∠CBA﹣ ∠CAB＝180°﹣ （180°﹣∠C）＝90°+ ∠C，①正确；
∵∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝ （∠BAC+∠ABC）＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中， ，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AOH＝∠AOF，
在△HBO和△EBO中， ，
∴△HBO≌△EBO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②正确；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB+AC+BC＝2b
∴S△ABC＝ ×AB×OM+ ×AC×OH+ ×BC×OD＝ （AB+AC+BC） a＝ab，④正确.
故答案为：C.
【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB上取一点H，使BH＝BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，再证得△HBO≌△EBO，得到AF＝AH，进而判定②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得③正确.
12．（2021八上·兰溪月考）如图，在△ABE中，∠A＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB+BC＝BE，则∠B的度数是（ ）
A．45° B．60° C．50° D．55°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接AC，
∵CM是AE的垂直平分线，
∴AC=CE，
∵AB+BC=BE=BC+CE=AC+BC，
∴AB=AC，
设∠E=x，
∴∠ACE=∠CAE+∠E=2x，
∴∠B=∠ACE=2x，
∴∠BAC+∠B+∠E=105°+2x+x=180°，
解得x=25°，
∴∠B=50°.
故答案为：C.
【分析】连接AC，根据垂直平分线的性质得出AC=CE，结合AB+BC＝BE，推出AB=AC，然后设∠E=x，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质把∠B表示出来，最后在△ABC中，根据三角形内角和定理建立方程求解即可.
二、填空题（每题3分，共18分）
13．（2021八上·如皋期中）如图，在 中，直线 垂直平分 ，垂足为 ，交 于点 ，若 的周长为 ， ，则 的长为 .
【答案】7
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵直线 垂直平分 ，
，
∵△ABD的周长为 ，
，
，
解得： .
故答案为：7.
【分析】由垂直平分线的性质可得BD=CD，根据△ABD的周长结合AB的值就可求出AC.
14．（2018八上·孝感月考）如图，△ABC中，线段BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC=84°，则∠BDC= °．
【答案】96
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】如图，做DM⊥AB延长线于M，做DN⊥AC于N
∵AD平分∠BAC，
∴DM=DN
∵DP垂直平分BC
∴BD=DC
∴Rt△BDM≌Rt△CDN
∴∠MDB=∠CDN
∠MDN=∠BDC
又∠DMA=∠DNA=90°，∠BAC=84°
∴∠MDN=96°；
∠BDC=96°
【分析】做DM⊥AB延长线于M，做DN⊥AC于N，易由角平分线性质和线段垂直平分线性质得Rt△BDM≌Rt△CDN，从而得∠MDN=∠BDC，再利用四边形内角和为180°可得∠MDN=96°，因此∠BDC=96°
15．（2021八上·怀宁期末）如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，AB＝7，BC＝8．若，则DE＝ ．
【答案】4
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF，
∵AB=7，BC=8，，
，
解得
故答案为：4
【分析】根据角平分线的性质可得DE=DF，再利用三角形的面积公式可得，再将AB=7，BC=8代入计算即可。
16．（2022八上·金华月考）如图，AD是Rt△ABC的角平分线，AB＝12，AC＝8，则△ABD的面积与△ACD的面积之比是 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵ AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，
∴DE=CD，
∴.
故答案为：.
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质得出DE=CD，再根据三角形的面积公式得出，即可得出答案.
17．（2021八上·昭阳期末）如图，在△ABC中，DH是AC的垂直平分线，且与AC、BC分别交于点H、D；MN是AB的垂直平分线，且与AB、BC分别交于点M、N，连接AD、AN，已知∠BAC=74°，则∠DAN= ．
【答案】32°
【知识点】角的运算；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，MN、DH分别是AB、AC的垂直平分线，
∴NA＝NB，DA＝DC，
∴∠NAB＝∠B，∠DAC＝∠C，
∵∠BAC＝74°，
∴∠B＋∠C＝180° ∠BAC＝106°，
∴∠NAB+∠DAC＝106°，
∴∠DAN＝∠NAB+∠DAC ∠BAC＝106° 74°＝32°．
故答案为：32°．
【分析】先求出NA＝NB，DA＝DC，再求出∠NAB+∠DAC＝106°，最后计算求解即可。
18．（2019八上·广丰月考）在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CDE＝55°．如图，则∠EAB的度数为
【答案】35°
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】过点E作EF⊥AD于F．
∵DE平分∠ADC，∴CE=EF．
∵E是BC的中点，∴CE=BE，∴BE=EF，∴AE是∠BAD的平分线，∴∠EAB=∠FAE．
∵∠B=∠C=90°，∴∠CDA+∠DAB=180°，∴2∠CDE+2∠EAB=180°，∴∠CDE+∠EAB=90°，∴∠EAB=90°－∠CDE=90°－55°=35°．
故答案为：35°．
【分析】过点E作EF⊥AD于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上可得AE是∠BAD的平分线，然后求出∠AEB，再根据直角三角形两锐角互余求解即可．
三、作图题
19．（2021八上·潮南期末）如图，在中，
（ 1 ）尺规作图：作的平分线；
（ 2 ）尺规作图：作线段的垂直平分线；（不写作法，保留作图痕迹）
（ 3 ）若与交于点，∠ACP=24°，求的度数.
【答案】解：⑴如图，l1为所作；
⑵如图，l2为所作；
⑶设∠ABP的度数为x
∵平分
∴=x
又∵垂直平分
∴
∴
∴=x
又∵
又∵，
∴
即
【知识点】三角形内角和定理；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据要求作出角平分线即可；
（2）根据要求作出线段的垂直平分线即可；
（3）设∠ABP的度数为x，先求出，，再利用角的运算可得。
四、解答题
20．（2021八上·五华期末）如图所示，在中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=2AC．求证：点D在线段AB的垂直平分线上．
【答案】证明：作DH⊥AB于H，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠C=∠AHD=90°，AD=AD，
∴△ACD≌△AHD（AAS），
∴AC=AH，
∵AB=2AC，
∴AB=2AH，
∴DH垂直平分AB，
∴点D在AB的垂直平分线上．
【知识点】线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】作DH⊥AB于H，利用“AAS”证明△ACD≌△AHD，可得AC=AH，再结合AB=2AC，可得AB=2AH，证出DH垂直平分AB，即可得到答案。
21．（2021八上·汉滨期中）如图，AD与BC相交于点O， ， ， ，试探索OE与BD的位置关系，并说明理由.
【答案】解：在△AOB与△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB=OD，
∴点O在线段BD的垂直平分线上，
∵BE=DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分BD.
【知识点】线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】易证△AOB≌△COD，得到OB=OD，则点O在线段BD的垂直平分线上，由BE=DE可知：点E在线段BD的垂直平分线上，据此解答.
22．（2021八上·红桥期末）如图，在中，是的中点，，，垂足分别是，．
（Ⅰ）若，求证：是的角平分线；
（Ⅱ）若是的角平分线，求证：．
【答案】解：（Ⅰ）证明：∵是的中点，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴≌（HL)．
∴．
∴ 点在的平分线上．
∴是的角平分线．
（Ⅱ）∵是的角平分线，，，
∴，．
∵是的中点，
∴．
∴≌（HL)．
∴．
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（Ⅰ）先利用“HL”证明≌，可得DE=DF，再利用角平分线的判定证明即可；
（Ⅱ）根据“HL”证明≌，即可得到BE=CF。
五、综合题
23．（2020八上·兴县期中）已知 是 的平分线，点 是射线 上一点，点C、D分别在射线 、 上，连接PC、PD．
（1）发现问题
如图①，当 ， 时，则PC与PD的数量关系是 ．
（2）探究问题
如图②，点C、D在射线OA、OB上滑动，且∠AOB=90°，∠OCP＋∠ODP=180°，当 时，PC与PD在（1）中的数量关系还成立吗？说明理由．
【答案】（1）PC=PD
（2）解：PC=PD仍然成立．理由如下：
过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，
∴∠CFP=∠DEP=90°，
∵OM是∠AOB的平分线，∴PE=PF．
∵∠OCP＋∠ODP=180°，又∠ODP+∠PDE=180°，
∴∠OCP=∠PDE，即∠FCP=∠PDE，
在△CFP和△DEP中，
，
∴△CFP≌△DEP（AAS），
∴PC=PD．
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）∵OM是∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD，
故答案为：PC=PD；
【分析】（1）根据角平分线的性质求出PC=PD，进行作答即可；
（2）先求出PE=PF，再证明∠FCP=∠PDE，最后利用AAS证明△CFP≌△DEP ，即可求解。
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