2022-2023学年冀教版数学八上期末复习专题8 直角三角形和勾股定理
一、单选题（每题3分，共36分）
1．（2022八上·新昌期中）已知的两条高线交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
2．（2022八上·洞头期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，点D为 BC 的中点，则AD 的长为（ ）
A．4.8 B．5 C．6 D．8
3．（2021八上·淳安期末）已知等边△ABC的边长为12， D是边AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时，AD的长是（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
4．（2021八上·澄海期末）如图，某社会实践学习小组为测量学校A与河对岸江景房B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得，，AC=300米．由此可求得学校与江景房之间的距离等于
A．150米 B．600米 C．800米 D．1200米
5．（2021八上·香洲期末）我们称网格线的交点为格点．如图，在4×4的长方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2022八上·余杭期中）直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（ ）
A．6 B．8 C．13 D．
7．（2022八上·乐清期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，分别以AC，BC，AB为一边在△ABC外面做三个正方形，记三个正方形的面积依次为，，．已知，则为（ ）
A．18 B．27 C．36 D．45
8．（2021八上·玉林期末）已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE.以下四个结论：
①BD=CE；②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC=180°.
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2022八上·秦都月考）△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A． B．∠A＝∠B+∠C
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a＝6，b＝8，c＝10
10．（2022八上·钦州月考）如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形一只蚂蚁从顶点开始爬向顶点，那么它爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
11．（2021八上·凤县期末）如图，以 的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形.若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B． C． D．
12．（2020八上·运城期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用 、 表示直角三角形的两直角边 ，下列四个说法：① ，② ，③ ，④ ．其中说法正确的是（ ）
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（每题3分，共18分）
13．（2021八上·宁波期末）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸水上乐园B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝1km.据此，可求得学校与水上乐园之间的距离AB等于 km.
14．（2021八上·蜀山期末）如图，在中，∠ACB=90°，∠B=15°，点D为AB中点，DE⊥AB交BC于点E，BE=8cm，则AC= cm．
15．（2021八上·临沭月考）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝4cm，则阴影部分的面积是 cm2．
16．（2022八上·绵阳月考）如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放，点D在边AC上，点E在边BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，则∠DEC的度数为 ．
17．（2022八上·鄞州月考）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，∠C＝90°．现将△ABC按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则DE的长为 ．
18．（2020八上·三明月考）如图在直线上一次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋2S2＋2S3＋S4= ．
三、解答题（共4题，共46分）
19．（2021八上·广州期中）如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC边的中点，DE⊥AC．求证：CE=3AE．
20．（2021八上·灌云期中）已知：如图，在 中， ， ，D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC上，且 .求证： .
21．（2021八上·东明期中）如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）
22．（2022八上·萧山期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于 G，．
（1）求证：；
（2）已知， 求面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：①如图1，
∵，
，
，∴，
∴，
∴，
∴.
∴是等腰直角三角形
∴；
如图2时，
.
，
∴①，
∵，
∴②，
∵③，
∴由①②③可得，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠AHE=∠BHD，由同角的余角相等可得∠C=∠AHE，推出∠C=∠BHD，证明△HBD≌△CAD，得到AD=BD，推出△ADB是等腰直角三角形，进而可得∠ABC的度数；由对顶角的性质可得∠HBD=∠EBC，由等角的余角相等可得∠C=∠H，证明△HBD≌△CAD，得到AD=BD，据此求解.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，
∴，
∵点D是BC的中点，
∴AD是△ABC的中线，
∴AD=BC=×10=5.
故答案为：B
【分析】利用勾股定理求出BC的长；再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出AD的长.
3．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，设BD=x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵DE⊥AC，EF⊥BC，FG⊥AB，
∴∠AED=∠CFE=∠FDB=90°，
∴∠BFD=∠CEF=∠ADE=90°-60°=30°，
∴BF=2BD=2x，
∴CF=12-2x，
∴CE=2（12-2x）=24-4x，
∴AE=AC-CE=12-（24-4x）=4x-12，
∴AD=2AE=2（4x-12）=8x-24，
∵AD=12-x
∴8x-24=12-x
解之：x=4.
∴AD=12-4=8.
故答案为：C.
【分析】设BD=x，利用等边三角形的性质可证得∠A=∠B=∠C=60°，利用垂直的定义和三角形的内角和定理可证得∠BFD=∠CEF=∠ADE=30°，利用30° 角所对的直角边等于斜边的一半，可表示出BF，CF的长；利用同样的方法表示出AD的长；然后根据AD的长建立关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出AD的长.
4．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解： ，，
而AC=300米，
（米），
故答案为：B
【分析】利用含30度角的直角三角形的性质可得。
5．【答案】A
【知识点】等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图：分情况讨论：
①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的格点C点有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的格点C点有3个．
故共有3个点，
故答案为：A．
【分析】分两种情况：①AB为等腰直角△ABC底边时，②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，分类讨论即可。
6．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，
∴，
∵
∴12×5=13CD，
解之：.
故答案为：D
【分析】利用勾股定理求出AB的长，利用直角三角形的两个面积公式可求出CD的长.
7．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵S1＝AC2＝9，
∴AC＝3，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝6，
∴S3＝AB2＝36.
故答案为：C．
【分析】根据正方形的面积公式求得AC，再由直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半求得AB的值，进而求得S3．
8．【答案】D
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，本选项正确；
②∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；
③∵∠ABD+∠DBC=45°，
∴∠ACE+∠DBC=45°，
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，
则BD⊥CE，本选项正确；
④∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAE+∠DAC=360°-90°-90°=180°，故此选项正确，
综上，四个选项都是正确的，
故答案为：D.
【分析】由∠BAC=∠DAE=90°可求出∠BAD=∠CAE，根据SAS可证△BAD≌△CAE得∠ABD=∠ACE，据此判断①；由△ABC等腰直角三角形得∠ABC=∠ACB=45°，从而得出∠ABD+∠DBC=45°，继而得出∠ACE+∠DBC=45°，∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，据此判断②③；根据周角的定义求出∠BAE+∠DAC=180°，据此判断④.
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A.∵，
∴，
∴，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠B+∠C，
∴∠A=90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C.设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴3x+4x+5x=180°，解得x=15°，
∴∠C=5×15°=75°，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
D.∵，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据选项A中的式子可得c2+b2=a2，据此判断A；根据∠A=∠B+∠C结合内角和定理可得∠A=90°，据此判断B；设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x，结合内角和定理可得∠C=75°，据此判断C；由勾股定理逆定理可判断D.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：①如图，将长方体的正面和上面展开在同一平面内，则AD=6dm，BD=6+9=15dm，
；
②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内，AC=6+6=12dm，BC=9dm，
；
③将长方体的上面和左面展开在同一平面内，则DE=6dm，BE=6+9=15dm，
；
∵，
所以蚂蚁爬行的最短路程为15dm．
故答案为：C．
【分析】将立体图形按照三个不同的方向展开，连接AB，用勾股定理求出AB的长，比较大小找出最短的距离即可．
11．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵ Rt△ABC
∴AC2+BC2=AB2=3
∴S阴影= AC2+ BC2+ AB2= （AC2+BC2）+ AB2= AB2+ AB2=AB2=3.
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理求出AC2+BC2=AB2=3，再利用三角形的面积公式求出阴影部分的面积.
12．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】如图所示，
∵△ABC是直角三角形，
∴根据勾股定理： ，故①符合题意；
由图可知 ，故②不符合题意；
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为 ，
即 ，故③符合题意；
由 可得 ，
又∵ ，
两式相加得： ，
整理得： ，
，故④不符合题意；
故正确的是①③．
故答案选A．
【分析】根据直角三角形三边关系及正方形的性质，通过图形找他们之间的关系，逐项判定即可。
13．【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠A=60°，∠C=90°，AC=1km，
∴∠B=30°，
∴AB=2AC=2（km）.
故答案为：2.
【分析】根据30 °角所对的直角边等于斜边的一半进行解答即可.
14．【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】∵点D为AB中点，DE⊥AB交BC于点E，
∴DE垂直平分AB，
∴AE=BE=8，
∴，
∵，
∴∠AEC＝30°，
∵∠ACB＝90°，AE=8，
∴AC=4，
故答案为：4．
【分析】先求出∠AEC＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得AC=4。
15．【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝4cm，
∴AC＝2cm，
∵∠AED=∠ACB＝90°，
∴BC∥ED，
∴∠AFC＝∠ADE＝45°，
∴AC＝CF＝2cm．
故S△ACF＝×2×2＝2（cm2）．
故答案为2．
【分析】先求出AC＝2cm，再求出AC＝CF＝2cm，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
16．【答案】64°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：作FH垂直于FE，交AC于点H，
∵
又∵，
∴
∵，FA=CF
∴
∴FH=FE
∵
∵
∴
又∵DF=DF
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：64°.
【分析】作FH垂直于FE，交AC于点H，根据同角的余角相等可得∠AFH=∠CFE=13°，证明△FAH≌△FCE，得到FH=FE，根据角的和差关系可得∠DFE=∠DFC+∠EFC=45°，∠DFH=∠HFE-∠DFE=45°，则∠DFE=∠DFH，证明△HDF≌△EDF，得到∠DHF=∠DEF，由外角的性质可得∠DHF=∠A+∠HFA=58°，利用内角和定理求出∠CEF的度数，然后根据∠DEC=∠CEF-∠DEF进行计算.
17．【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝ ＝10，
∵将△ABC按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，
∴BE＝AE，AD＝BD＝5，DE⊥AB，
在Rt△BEC中，BE2＝BC2+CE2，
∴BE2＝36+（8-BE）2，
∴BE＝ ，
在Rt△BDE中，DE＝ ＝ ，
故答案为： ．
【分析】首先根据勾股定理算出AB的长，根据折叠的性质得BE＝AE，AD＝BD＝5，DE⊥AB，然后在Rt△BEC与Rt△BDE中分别根据勾股定理算出BE及DE即可.
18．【答案】6
【知识点】勾股定理的应用；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，∵图中的四边形为正方形，
∴∠ABD=90°，AB=DB，
∴∠ABC+∠DBE=90°，
∵∠ABC+∠CAB=90°，
∴∠CAB=∠DBE，
∵在△ABC和△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴AC=BE，
∵DE2+BE2=BD2，
∴DE2+AC2=BD2，
∵S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，
∴S1+S2=1，
同理可得S2+S3=2，S3+S4=3，
∴S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6．
故答案为：6．
【分析】先根据正方形的性质得到∠ABD=90°，AB=DB，再根据等角的余角相等得到∠CAB=∠DBE，则可根据“AAS”判断△ABC≌△BDE，于是有AC=BE，然后利用勾股定理得到DE2+BE2=BD2，代换后有DE2+AC2=BD2，根据正方形的面积公式得到S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，所以S1+S2=1，利用同样方法可得到S2+S3=2，S3+S4=3，通过计算可得到S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6．
19．【答案】证明：如图，连接AD，
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠C= （180°-120°）=30°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE+∠DAC =∠C+∠DAC =90°，
∴∠ADE=∠C=30°，
在Rt△ADE中，AD=2AE，
在Rt△ACD中，AC=2AD=4AE，
∴CE=AC-AE=4AE-AE=3AE，即CE=3AE．
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】连接AD，根据AB=AC，D是BC的中点，得出AD⊥BC，根据∠BAC=120°，AB=AC，得出∠C的度数，在Rt△ADE中，AD=2AE，在Rt△ACD中，AC=2AD=4AE，由此得出答案 。
20．【答案】证明：∵BC=AC，∠BCA=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵D为AB中点，
∴AD=BD=CD，CD平分∠BCA，CD⊥AB.
∴∠A=∠FCD=45°，
在△ADE和△CFD中， ，
∴△ADE≌△CFD（SAS），
∴DE=DF.
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】易得△ABC是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边上中线的性质可得AD=BD=CD，CD平分∠BCA，CD⊥AB，则∠A=∠FCD=45°，然后利用“SAS”证明△ADE≌△CFD，据此可得结论.
21．【答案】解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB=90°，BC=13米，AC=5米，
∴ （米），
∵此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，
∴CD=13-0.5×10=8（米），
∴ （米），
∴BD=AB-AD=12- （米），
答：船向岸边移动了（12- ）米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB的长，再根据题意得出CD的长，再利用勾股定理计算出AD的长，再利用AB=AD即可得出BD的长。
22．【答案】（1）证明：连接，如图所示，
，
，
是边上的中线，
点E是中点，
，
，
，
，
．
（2）解：是边上的中线，
，
，
，
，，
是边上的中线，
，
是边上的中线，
，
，
又，
．
故面积为5．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）连接DE，由CE是AB边上的中线可得点E为AB的中点，由直角三角形斜边上中线的性质可得DE=AE=BE，由已知条件可知CD=AE，则DE=CD，据此证明；
（2）根据中线的概念可得AE=BE，利用勾股定理可得AD，根据三角形的面积公式可得S△ABC、S△ABD，由中线的概念可得S△BEC=S△ABC、S△BDE=S△ABD，然后根据面积间的和差关系求出S△EDC，由CG=EG可得S△CDG=S△EDC，据此计算.
1 / 12022-2023学年冀教版数学八上期末复习专题8 直角三角形和勾股定理
一、单选题（每题3分，共36分）
1．（2022八上·新昌期中）已知的两条高线交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：①如图1，
∵，
，
，∴，
∴，
∴，
∴.
∴是等腰直角三角形
∴；
如图2时，
.
，
∴①，
∵，
∴②，
∵③，
∴由①②③可得，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠AHE=∠BHD，由同角的余角相等可得∠C=∠AHE，推出∠C=∠BHD，证明△HBD≌△CAD，得到AD=BD，推出△ADB是等腰直角三角形，进而可得∠ABC的度数；由对顶角的性质可得∠HBD=∠EBC，由等角的余角相等可得∠C=∠H，证明△HBD≌△CAD，得到AD=BD，据此求解.
2．（2022八上·洞头期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，点D为 BC 的中点，则AD 的长为（ ）
A．4.8 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，
∴，
∵点D是BC的中点，
∴AD是△ABC的中线，
∴AD=BC=×10=5.
故答案为：B
【分析】利用勾股定理求出BC的长；再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出AD的长.
3．（2021八上·淳安期末）已知等边△ABC的边长为12， D是边AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时，AD的长是（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，设BD=x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵DE⊥AC，EF⊥BC，FG⊥AB，
∴∠AED=∠CFE=∠FDB=90°，
∴∠BFD=∠CEF=∠ADE=90°-60°=30°，
∴BF=2BD=2x，
∴CF=12-2x，
∴CE=2（12-2x）=24-4x，
∴AE=AC-CE=12-（24-4x）=4x-12，
∴AD=2AE=2（4x-12）=8x-24，
∵AD=12-x
∴8x-24=12-x
解之：x=4.
∴AD=12-4=8.
故答案为：C.
【分析】设BD=x，利用等边三角形的性质可证得∠A=∠B=∠C=60°，利用垂直的定义和三角形的内角和定理可证得∠BFD=∠CEF=∠ADE=30°，利用30° 角所对的直角边等于斜边的一半，可表示出BF，CF的长；利用同样的方法表示出AD的长；然后根据AD的长建立关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出AD的长.
4．（2021八上·澄海期末）如图，某社会实践学习小组为测量学校A与河对岸江景房B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得，，AC=300米．由此可求得学校与江景房之间的距离等于
A．150米 B．600米 C．800米 D．1200米
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解： ，，
而AC=300米，
（米），
故答案为：B
【分析】利用含30度角的直角三角形的性质可得。
5．（2021八上·香洲期末）我们称网格线的交点为格点．如图，在4×4的长方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图：分情况讨论：
①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的格点C点有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的格点C点有3个．
故共有3个点，
故答案为：A．
【分析】分两种情况：①AB为等腰直角△ABC底边时，②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，分类讨论即可。
6．（2022八上·余杭期中）直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（ ）
A．6 B．8 C．13 D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，
∴，
∵
∴12×5=13CD，
解之：.
故答案为：D
【分析】利用勾股定理求出AB的长，利用直角三角形的两个面积公式可求出CD的长.
7．（2022八上·乐清期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，分别以AC，BC，AB为一边在△ABC外面做三个正方形，记三个正方形的面积依次为，，．已知，则为（ ）
A．18 B．27 C．36 D．45
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵S1＝AC2＝9，
∴AC＝3，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝6，
∴S3＝AB2＝36.
故答案为：C．
【分析】根据正方形的面积公式求得AC，再由直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半求得AB的值，进而求得S3．
8．（2021八上·玉林期末）已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE.以下四个结论：
①BD=CE；②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC=180°.
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，本选项正确；
②∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；
③∵∠ABD+∠DBC=45°，
∴∠ACE+∠DBC=45°，
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，
则BD⊥CE，本选项正确；
④∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAE+∠DAC=360°-90°-90°=180°，故此选项正确，
综上，四个选项都是正确的，
故答案为：D.
【分析】由∠BAC=∠DAE=90°可求出∠BAD=∠CAE，根据SAS可证△BAD≌△CAE得∠ABD=∠ACE，据此判断①；由△ABC等腰直角三角形得∠ABC=∠ACB=45°，从而得出∠ABD+∠DBC=45°，继而得出∠ACE+∠DBC=45°，∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，据此判断②③；根据周角的定义求出∠BAE+∠DAC=180°，据此判断④.
9．（2022八上·秦都月考）△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A． B．∠A＝∠B+∠C
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a＝6，b＝8，c＝10
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A.∵，
∴，
∴，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠B+∠C，
∴∠A=90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C.设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴3x+4x+5x=180°，解得x=15°，
∴∠C=5×15°=75°，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
D.∵，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据选项A中的式子可得c2+b2=a2，据此判断A；根据∠A=∠B+∠C结合内角和定理可得∠A=90°，据此判断B；设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x，结合内角和定理可得∠C=75°，据此判断C；由勾股定理逆定理可判断D.
10．（2022八上·钦州月考）如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形一只蚂蚁从顶点开始爬向顶点，那么它爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：①如图，将长方体的正面和上面展开在同一平面内，则AD=6dm，BD=6+9=15dm，
；
②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内，AC=6+6=12dm，BC=9dm，
；
③将长方体的上面和左面展开在同一平面内，则DE=6dm，BE=6+9=15dm，
；
∵，
所以蚂蚁爬行的最短路程为15dm．
故答案为：C．
【分析】将立体图形按照三个不同的方向展开，连接AB，用勾股定理求出AB的长，比较大小找出最短的距离即可．
11．（2021八上·凤县期末）如图，以 的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形.若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵ Rt△ABC
∴AC2+BC2=AB2=3
∴S阴影= AC2+ BC2+ AB2= （AC2+BC2）+ AB2= AB2+ AB2=AB2=3.
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理求出AC2+BC2=AB2=3，再利用三角形的面积公式求出阴影部分的面积.
12．（2020八上·运城期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用 、 表示直角三角形的两直角边 ，下列四个说法：① ，② ，③ ，④ ．其中说法正确的是（ ）
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】如图所示，
∵△ABC是直角三角形，
∴根据勾股定理： ，故①符合题意；
由图可知 ，故②不符合题意；
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为 ，
即 ，故③符合题意；
由 可得 ，
又∵ ，
两式相加得： ，
整理得： ，
，故④不符合题意；
故正确的是①③．
故答案选A．
【分析】根据直角三角形三边关系及正方形的性质，通过图形找他们之间的关系，逐项判定即可。
二、填空题（每题3分，共18分）
13．（2021八上·宁波期末）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸水上乐园B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝1km.据此，可求得学校与水上乐园之间的距离AB等于 km.
【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠A=60°，∠C=90°，AC=1km，
∴∠B=30°，
∴AB=2AC=2（km）.
故答案为：2.
【分析】根据30 °角所对的直角边等于斜边的一半进行解答即可.
14．（2021八上·蜀山期末）如图，在中，∠ACB=90°，∠B=15°，点D为AB中点，DE⊥AB交BC于点E，BE=8cm，则AC= cm．
【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】∵点D为AB中点，DE⊥AB交BC于点E，
∴DE垂直平分AB，
∴AE=BE=8，
∴，
∵，
∴∠AEC＝30°，
∵∠ACB＝90°，AE=8，
∴AC=4，
故答案为：4．
【分析】先求出∠AEC＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得AC=4。
15．（2021八上·临沭月考）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝4cm，则阴影部分的面积是 cm2．
【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝4cm，
∴AC＝2cm，
∵∠AED=∠ACB＝90°，
∴BC∥ED，
∴∠AFC＝∠ADE＝45°，
∴AC＝CF＝2cm．
故S△ACF＝×2×2＝2（cm2）．
故答案为2．
【分析】先求出AC＝2cm，再求出AC＝CF＝2cm，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
16．（2022八上·绵阳月考）如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放，点D在边AC上，点E在边BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，则∠DEC的度数为 ．
【答案】64°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：作FH垂直于FE，交AC于点H，
∵
又∵，
∴
∵，FA=CF
∴
∴FH=FE
∵
∵
∴
又∵DF=DF
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：64°.
【分析】作FH垂直于FE，交AC于点H，根据同角的余角相等可得∠AFH=∠CFE=13°，证明△FAH≌△FCE，得到FH=FE，根据角的和差关系可得∠DFE=∠DFC+∠EFC=45°，∠DFH=∠HFE-∠DFE=45°，则∠DFE=∠DFH，证明△HDF≌△EDF，得到∠DHF=∠DEF，由外角的性质可得∠DHF=∠A+∠HFA=58°，利用内角和定理求出∠CEF的度数，然后根据∠DEC=∠CEF-∠DEF进行计算.
17．（2022八上·鄞州月考）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，∠C＝90°．现将△ABC按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则DE的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝ ＝10，
∵将△ABC按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，
∴BE＝AE，AD＝BD＝5，DE⊥AB，
在Rt△BEC中，BE2＝BC2+CE2，
∴BE2＝36+（8-BE）2，
∴BE＝ ，
在Rt△BDE中，DE＝ ＝ ，
故答案为： ．
【分析】首先根据勾股定理算出AB的长，根据折叠的性质得BE＝AE，AD＝BD＝5，DE⊥AB，然后在Rt△BEC与Rt△BDE中分别根据勾股定理算出BE及DE即可.
18．（2020八上·三明月考）如图在直线上一次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋2S2＋2S3＋S4= ．
【答案】6
【知识点】勾股定理的应用；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，∵图中的四边形为正方形，
∴∠ABD=90°，AB=DB，
∴∠ABC+∠DBE=90°，
∵∠ABC+∠CAB=90°，
∴∠CAB=∠DBE，
∵在△ABC和△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴AC=BE，
∵DE2+BE2=BD2，
∴DE2+AC2=BD2，
∵S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，
∴S1+S2=1，
同理可得S2+S3=2，S3+S4=3，
∴S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6．
故答案为：6．
【分析】先根据正方形的性质得到∠ABD=90°，AB=DB，再根据等角的余角相等得到∠CAB=∠DBE，则可根据“AAS”判断△ABC≌△BDE，于是有AC=BE，然后利用勾股定理得到DE2+BE2=BD2，代换后有DE2+AC2=BD2，根据正方形的面积公式得到S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，所以S1+S2=1，利用同样方法可得到S2+S3=2，S3+S4=3，通过计算可得到S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6．
三、解答题（共4题，共46分）
19．（2021八上·广州期中）如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC边的中点，DE⊥AC．求证：CE=3AE．
【答案】证明：如图，连接AD，
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠C= （180°-120°）=30°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE+∠DAC =∠C+∠DAC =90°，
∴∠ADE=∠C=30°，
在Rt△ADE中，AD=2AE，
在Rt△ACD中，AC=2AD=4AE，
∴CE=AC-AE=4AE-AE=3AE，即CE=3AE．
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】连接AD，根据AB=AC，D是BC的中点，得出AD⊥BC，根据∠BAC=120°，AB=AC，得出∠C的度数，在Rt△ADE中，AD=2AE，在Rt△ACD中，AC=2AD=4AE，由此得出答案 。
20．（2021八上·灌云期中）已知：如图，在 中， ， ，D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC上，且 .求证： .
【答案】证明：∵BC=AC，∠BCA=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵D为AB中点，
∴AD=BD=CD，CD平分∠BCA，CD⊥AB.
∴∠A=∠FCD=45°，
在△ADE和△CFD中， ，
∴△ADE≌△CFD（SAS），
∴DE=DF.
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】易得△ABC是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边上中线的性质可得AD=BD=CD，CD平分∠BCA，CD⊥AB，则∠A=∠FCD=45°，然后利用“SAS”证明△ADE≌△CFD，据此可得结论.
21．（2021八上·东明期中）如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）
【答案】解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB=90°，BC=13米，AC=5米，
∴ （米），
∵此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，
∴CD=13-0.5×10=8（米），
∴ （米），
∴BD=AB-AD=12- （米），
答：船向岸边移动了（12- ）米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB的长，再根据题意得出CD的长，再利用勾股定理计算出AD的长，再利用AB=AD即可得出BD的长。
22．（2022八上·萧山期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于 G，．
（1）求证：；
（2）已知， 求面积．
【答案】（1）证明：连接，如图所示，
，
，
是边上的中线，
点E是中点，
，
，
，
，
．
（2）解：是边上的中线，
，
，
，
，，
是边上的中线，
，
是边上的中线，
，
，
又，
．
故面积为5．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）连接DE，由CE是AB边上的中线可得点E为AB的中点，由直角三角形斜边上中线的性质可得DE=AE=BE，由已知条件可知CD=AE，则DE=CD，据此证明；
（2）根据中线的概念可得AE=BE，利用勾股定理可得AD，根据三角形的面积公式可得S△ABC、S△ABD，由中线的概念可得S△BEC=S△ABC、S△BDE=S△ABD，然后根据面积间的和差关系求出S△EDC，由CG=EG可得S△CDG=S△EDC，据此计算.
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