2022-2023学年冀教版数学八上期末复习专题7 等腰三角形
一、单选题（1-10题每题3分，11-12题每题4分，共38分）
1．（2022八上·覃塘期中）若等腰三角形的周长为26cm，一边为6cm，则腰长为（ ）
A．6cm B．10cm C．10cm或6cm D．以上都不对
2．（2022八上·洞头期中）若等腰三角形有一个角是40°，则它的底角为（ ）
A．40° B．70°
C．40°或70 D．40°或100°
3．（2022八上·余杭期中）如图，AD是等腰△ABC底边BC边上的中线，BE 平分∠ABC，交AD于点E，AC=12，DE=3，则△ABE 的面积是（ ）
A．16 B．18 C．32 D．36
4．（2022八上·镇原县期中）如图，已知，若，，，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022八上·镇原县期中）如图，为AB的垂直平分线，则＝（ ）
A．55° B．60° C．70° D．80°
6．（2022八上·拱墅月考）若一个等腰三角形的一条边是另一条边的k倍，我们把这样的等腰三角形叫做“k倍边等腰三角形”．如果一个等腰三角形是“4倍边等腰三角形”，且周长为18cm，则该等腰三角形底边长为（ ）
A．12cm B．12cm或2cm C．2cm D．4cm或12cm
7．（2021八上·海曙期末）如图，CD是等腰三角形 △ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝8，DE＝2，则 △ BCE的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
8．（2022八上·柯桥月考）如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
9．（2021八上·嵩县期末）如图， 中， ， ， 的垂直平分线分别交 于点E，F，与 ， 分别交于点D，G，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021八上·克东期末）如图，直线a，b相交形成的夹角中，锐角为52°，交点为O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2021八上·盐湖期中）有一题目：“如图，∠ABC=40°，BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，求∠DFB的度数．”小贤的解答：以D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F，连接DF，则DE=DF，由图形的对称性可得∠DFB=∠DEB．结合平行线的性质可求得∠DFB=140°．而小军说：“小贤考虑的不周全，∠DFB还应有另一个不同的值”．下列判断正确的是（ ）
A．小军说的对，且∠DFB的另一个值是40°
B．小军说的不对，∠DFB只有140°一个值
C．小贤求的结果不对，∠DFB应该是20°
D．两人都不对，∠DFB应有3个不同值
12．（2021八上·营山期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
二、解答题（共4题，共45分）
13．（2022八上·上城期中）如图，在△ABC中，AB=AC，BD= CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F，求证：DE=DF.
14．（2021八上·岳阳期末）如图， △ABC中， AB=AC ，D、E分别是AB、AC上的点，且 ∠ABE=∠ACD ，BE、CD交于点O，求证： △OBC是等腰三角形.
15．（2021八上·营口期末）如图，在等腰△ABC和等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE且C、E、D三点共线，作AM⊥CD于M．若BD＝5，DE＝4，求CM．
16．（2021八上·平凉期中）探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连结DE.
（1）当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC （点B、C除外）
上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系.
三、填空题（13-15题每题3分，16-17题每题4分，共17分）
17．（2022八上·海曙期中）等腰三角形一腰的中垂线与另一腰所在直线夹角为40°，该等腰三角形的底角的度数是 .
18．（2022八上·义乌月考）如果等腰三角形的周长是27cm，一腰上的中线把三角形分成两个三角形，其周长之差是3cm，则这个等腰三角形的底边长为 cm。
19．（2022八上·乐清期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，点E、F、G是线段AD上的三个点，若BC＝4cm，AD＝6cm，则图中阴影部分的面积为 cm2．
20．（2021八上·营山月考）已知：如图，△ABC中，E在BC上，D在BA上，过E作EF⊥AB于F，∠B＝∠1+∠2，AE＝CD，BF 则AD的长为 .
21．（2020八上·建华期中）如图，在第一个△ABA1中，∠B＝30°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，按此做法依次进行下去，第2021个三角形中以A2021为顶点的内角的度数为 ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当6cm为腰长时，则腰长为6cm，底边=26-6-6=14cm，因为14＞6+6，所以不能构成三角形；
②当6cm为底边时，则腰长=（26-6）÷2=10cm，因为6-6＜10＜6+6，所以能构成三角形；
故腰长为10cm．
故答案为：B．
【分析】此题需要分类讨论：①当6cm为腰长时，②当6cm为底边时，分别根据等腰三角形的两腰相等结合周长计算出其它两边长，再根据三角形三边关系进行判断，即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当这个等腰三角形的底角为40°时；
当这个等腰三角形的顶角为40°时，底角为（180°-40°）=×140°=70°，
∴这个等腰三角形的底角为40°或70°.
故答案为：C
【分析】分情况讨论：当这个等腰三角形的底角为40°时；当这个等腰三角形的顶角为40°时，利用三角形的内角和定理求出它的底角的度数.
3．【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥AD于点F，
∵AD是等腰△ABC底边BC边上的中线，
∴EF⊥AB，
∵BE 平分∠ABC，
∴EF=ED=3，
∴.
故答案为：B
【分析】过点E作EF⊥AD于点F，利用等腰三角形的性质可证得EF⊥AB，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出EF；然后利用三角形的面积公式求出△ABE的面积.
4．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△OAB≌△OCD，
∴OA=OC=4，故C不符合；
BO=DO，∠AOB+∠BOC=∠BOC+∠COD，即∠AOC=∠BOD，
∴∠OCA=∠OAC=62°，
∴∠AOC=∠BOD=180°-2×62°=56°，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=56°-35°=21°，故B不符合；
∴∠BDO=∠DBO=（180°-∠BOD）=62°，故A不符合；
由于缺少条件求出∠OCD，故无法得出∠OCD和∠AOC的关系，
故无法判断CD和OA是否平行，故D符合.
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的性质可得OA=OC=4，BO=DO，∠AOB=∠COD，结合角的和差关系可得∠AOC=∠BOD，由等腰三角形的性质可得∠OCA=∠OAC=62°，结合内角和定理可得∠AOC=∠BOD=56°，由∠BOC=∠AOC-∠AOB可得∠BOC的度数，由∠BDO=∠DBO=(180°-∠BOD)可得∠BDO的度数，据此判断.
5．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵CD为AB的垂直平分线，
∴
∴
∴
故答案为：C.
【分析】根据垂直平分线的性质可得BC=AC，由等腰三角形的性质可得∠A=∠B=35°，根据外角的性质可得∠ACE=∠A+∠B，据此计算.
6．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设该等腰三角形的较短边长为xcm（x＞0），则较长边长为4xcm．
①当xcm为腰时，
∵x+x＜4x，
∴x，x，4x不能组成三角形；
②当4xcm为腰时，4x，4x，x能够组成三角形，
∵4x+4x+x＝18，
∴x＝2，
∴该等腰三角形底边长为2cm.
故答案为：C.
【分析】设该等腰三角形的较短边长为xcm（x＞0），则较长边长为4xcm，分xcm为腰、4xcm为腰，根据等腰三角形的性质以及三角形的三边关系就可确定出三角形的三边长，结合周长为18cm就可求出x的值，进而可得等腰三角形的底边长.
7．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥BC于F，
∵AC＝BC＝8，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，
∴CD⊥AB，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF＝DE＝2，
∴△BCE的面积＝×BC×EF＝×8×2=8.
故答案为：C.
【分析】过点E作EF⊥BC于F，利用等腰三角形的性质可证得CD⊥AB，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出EF的长；再利用三角形的面积公式可求出△BCE的面积.
8．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，
则∠AOA1＝∠OA1A，∠A1OA2＝∠A1A2A，…，
∵∠BOC＝9°，
∴∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°的度数，∠A4A3C＝45°，…，
∴9°n＜90°，
解得n＜10．
由于n为整数，故n＝9.
故答案为：B.
【分析】由题意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，根据等腰三角形的性质以及外角的性质可得∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°，∠A4A3C＝45°，…，令9°n＜90°，求出n的范围，结合n为整数可得n的最大值.
9．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，
∴EB=EA，FA=FC，
∴∠BAE=∠B，∠FAC=∠C，
∵△ABC中，∠BAC=130°，
∴∠B+∠C=50°，
∴∠BAE+∠FAC=50°，
∴∠EAF=∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）=80°.
故答案为：A.
【分析】利用垂直平分线的性质可知EA=EB，FA=FC，利用等边对等角得∠BAE=∠B，∠FAC=∠C；再利用三角形的内角和定理可求出∠B+∠C的度数；然后可用∠EAF=∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）计算可求解.
10．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，
①当时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b在O点两侧各有一个交点，此时B点有2个；
②当时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b有另外一个交点，此时B点有1个；
③当时，作OA的垂直平分线，与直线b有一个交点，此时B点有1个，
综上，B点总共有4个，
故答案为：D．
【分析】分三种情况：①当时，②当时③当时。据此分别求解即可.
11．【答案】A
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：
如图，以点D为圆心， 长为半径画圆交 于点F， ，连接 ， ，则 ，
，
平分 ，
由图形的对称性可知： ，
， ，
，
，
当点F位于点 处时，
，
．
故答案为：A．
【分析】以点D为圆心， 长为半径画圆交 于点F， ，连接 ， ，则 ，由图形的对称性可知 ，结合平行线的性质求∠DFB=140°，当点F位于点 处时，由DF=DF'可求出∠DF'B的度数.
12．【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵BE是AC边的中线，
∴AE＝CE，
∵△ABE的面积＝，△BCE的面积＝，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①正确；
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠FAG+∠DAC＝90°，
∴∠FAG＝∠ACB，
∵CF是∠ACB的角平分线，
∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB，
∴∠FAG＝2∠FCB，故②错误；
∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB，
∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB，
∴∠AFG＝∠AGF，
∴AF＝AG，故③正确；
根据已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④错误；
即正确的为①③，
故答案为：D．
【分析】由BE是AC边的中线可得AE＝CE，根据等底同高可得△ABE的面积＝△BCE的面积，故①正确；根据余角的性质可得∠FAG＝∠ACB，由角平分线的定义可得∠ACB=2∠ACF＝2∠FCB，即得∠FAG＝2∠FCB，据此判断②；利用三角形内角和可推出∠AFG＝∠AGF，利用等角对等边可得AF=AG，据此判断③；根据等腰三角形的判定即可判断④.
13．【答案】证明： ，
，
DE⊥AB，DF⊥AC，
，
在 与 中，
，
【知识点】垂线；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】由等腰三角形的性质可得∠B=∠C，由垂直的定义可得∠DEB=∠DFC=90°，根据AAS证明△BDE≌△CDF，可得DE=DF.
14．【答案】证明：方法一：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ABE=∠ACD，
∴∠ABC-∠ABE=∠ACB-∠ACD，即∠EBC=∠DCB，
∴OB=OC，
∴△OBC是等腰三角形；
方法二：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴AD=AE，
∵AB=AC，
∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE，
在△OBD和△OCE中，
，
∴OBD≌△OCE（AAS），
∴OB=OC，
∴△OBC是等腰三角形.
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】 方法一 ：由等边对等角可得∠ABC=∠ACB， 由等量减等量差相等得∠EBC=∠DCB，根据等腰三角形的判定定理即证；
方法二 ：利用ASA证明△ABE≌△ACD，可得AD=AE，再永AAS证明OBD≌△OCE，可得OB=OC，根据等腰三角形的判定定理即证.
15．【答案】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△AEC和△ADB中，
，
∴△AEC≌△ADB（SAS），
又∵BD＝5，
∴CE＝BD＝5，
∵AD＝AE，AM⊥CD，DE＝4，
∴，
∴CM＝CE+EM＝5+2＝7．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据SAS证出△AEC≌△ADB，再根据BD＝5，AD＝AE，AM⊥CD，DE＝4，代入计算即可。
16．【答案】（1）解：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠BAD=60°，
∴∠DAE=30°，
∵AD=AE，
∴∠AED=75°，
∴∠CDE=∠AED-∠C=30°；
（2）设∠BAD=x，
∴∠CAD=90°﹣x，
∵AE=AD，
∴∠AED=45°+ ，
∴∠CDE= ；
∠CDE= ∠BAD
（3）设∠BAD=x，∠C=y，
∵AB=AC，∠C=y，
∴∠BAC=180°﹣2y，
∵∠BAD=x，
∴∠DAE=y+ ，
∴ .
∠CDE= ∠BAD
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得 ∠B=∠C=45°，根据角的和差得 ∠DAE=30°， 根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得 ∠AED=75°， 最后根据三角形外角的性质，由 ∠CDE=∠AED-∠C 即可求解；
（2）设∠BAD＝x，于是得到∠CAD＝90° x，根据等腰三角形的性质得 ∠AED=45°+ ， 进而根据三角形外角的性质由 ∠CDE=∠AED-∠C 即可求解；
（3）设∠BAD＝x，∠C＝y，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理及三角形外角性质可求解．
17．【答案】65°或25°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当△ABC为锐角三角形时，AB=AC，DE是AB边的中垂线
∴∠B=∠C，
∵DE是AB边的中垂线，∠ADE=40°，
∴∠AED=90°，
∴∠A=90°-40°=50°，
∴∠B=（180°-50°）=65°；
当△ABC时钝角三角形时，AB=AC，GH垂直平分AB，∠M=40°，
∴∠AGM=90°，
∴∠MAB=90°-∠M=90°-40°=50°，
∵∠MAB=∠B+∠C，
∴2∠B=50°，
解之：∠B=25°.
∴该等腰三角形的底角的度数是65°或25°.
故答案为：65°或25°
【分析】分情况讨论：当△ABC为锐角三角形时，AB=AC，DE是AB边的中垂线，利用等边对等角可知∠B=∠C，利用垂直的定义可证得∠AED=90°；再利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠A的度数；然后利用三角形的内角和定理可求出∠B的度数；当△ABC时钝角三角形时，AB=AC，GH垂直平分AB，∠M=40°，可证得∠AGM=90°，利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠MAB的度数；然后利用三角形的外角的性质求出∠B的度数，从而可得到该等腰三角形的底角的度数.
18．【答案】11或7
【知识点】等腰三角形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设等腰三角形的腰长为2xcm，则底边长为（27-4x）cm，
由题意得2x-(27-4x)=3或(27-4x)-2x=3，
解得x=5或x=4，
x=5时，27-4x=7，
x=4时，27-4x=11，
∴底边长为11cm或7cm.
故答案为：11或7.
【分析】设等腰三角形的腰长为2xcm，底边长为（27-4x）cm，再根据题意得出2x-(27-4x)=3或(27-4x)-2x=3，解方程求出x的值，即可得出答案.
19．【答案】6
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：∵D是BC中点，
∴BD＝CD，
又∵AB=AC，AD为公共边，
∴△ADC≌△ADB（SSS），
∴S△ADC＝S△ADB，
∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC，即AD垂直平分BC，
∴EB＝EC，FB＝FC，BG＝CG，
∵EF＝EF，
∴△BEF≌△CEF（SSS），
∴S△BEF＝S△CEF，
同理：S△BDG＝S△CDG，
∴S阴影＝S△ADB＝S△ABC，
∵BC=4cm，AD=6cm。
∴S△ABC＝BC AD＝×4×6＝12cm2，
∴S阴影＝6cm2.
故答案为：6．
【分析】先利用“SSS”定理证明△ADC≌△ADB，可得S△ADC＝S△ADB，再由垂直平分线性质可得EB＝EC，FB＝FC，BG＝CG，进而证得△BEF≌△CEF，可得S△BEF＝S△CEF，同理可知S△BDG＝S△CDG，从而推出S阴影＝S△ABC，再利用三角形的面积公式求得△ABC面积，即可求出阴影部分面积.
20．【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：在FA上取一点T，使得FT=BF，连接ET，在CB上取一点K，使得CK=ET，连接DK.
∵EB=ET，
∴∠B=∠ETB，
∵∠ETB=∠1+∠AET，∠B=∠1+∠2，
∴∠AET=∠2，
∵AE=CD，ET=CK，
∴△AET≌△DCK（SAS），
∴DK=AT，∠ATE=∠DKC，
∴∠ETB=∠DKB，
∴∠B=∠DKB，
∴DB=DK，
∴BD=AT，
∴AD=BT，
∵BT=2BF=8，
∴AD=8，
故答案为：8.
【分析】在FA上取一点T，使得FT=BF，连接ET，在CB上取一点K，使得CK=ET，连接DK，利用等边对等角可证得∠B=∠ETB，由此可推出∠AET=∠2，利用SAS证明△AET≌△DCK，利用全等三角形的性质得DK=AT，∠ATE=∠DKC；再证明∠B=∠DKB，利用等角对等边可证得DB=DK=AT，AD=BT，然后根据BT=2BF，即可求出AD的长.
21．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABA1中，∠B＝30°，AB＝A1B，
∴∠BA1A＝ ＝75°，
∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠CA2A1＝ ＝ ＝37.5°；
同理可得∠DA3A2＝ 18.75°，∠EA4A3＝9.375°，
∴∠An＝ ，
∴∠A2021＝ ．
故答案为： ．
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2，∠EA4A3的度数，根据结果得出∠An＝ ，然后求出n=2021时，∠A2021的度数即可.
1 / 12022-2023学年冀教版数学八上期末复习专题7 等腰三角形
一、单选题（1-10题每题3分，11-12题每题4分，共38分）
1．（2022八上·覃塘期中）若等腰三角形的周长为26cm，一边为6cm，则腰长为（ ）
A．6cm B．10cm C．10cm或6cm D．以上都不对
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当6cm为腰长时，则腰长为6cm，底边=26-6-6=14cm，因为14＞6+6，所以不能构成三角形；
②当6cm为底边时，则腰长=（26-6）÷2=10cm，因为6-6＜10＜6+6，所以能构成三角形；
故腰长为10cm．
故答案为：B．
【分析】此题需要分类讨论：①当6cm为腰长时，②当6cm为底边时，分别根据等腰三角形的两腰相等结合周长计算出其它两边长，再根据三角形三边关系进行判断，即可得出答案.
2．（2022八上·洞头期中）若等腰三角形有一个角是40°，则它的底角为（ ）
A．40° B．70°
C．40°或70 D．40°或100°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当这个等腰三角形的底角为40°时；
当这个等腰三角形的顶角为40°时，底角为（180°-40°）=×140°=70°，
∴这个等腰三角形的底角为40°或70°.
故答案为：C
【分析】分情况讨论：当这个等腰三角形的底角为40°时；当这个等腰三角形的顶角为40°时，利用三角形的内角和定理求出它的底角的度数.
3．（2022八上·余杭期中）如图，AD是等腰△ABC底边BC边上的中线，BE 平分∠ABC，交AD于点E，AC=12，DE=3，则△ABE 的面积是（ ）
A．16 B．18 C．32 D．36
【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥AD于点F，
∵AD是等腰△ABC底边BC边上的中线，
∴EF⊥AB，
∵BE 平分∠ABC，
∴EF=ED=3，
∴.
故答案为：B
【分析】过点E作EF⊥AD于点F，利用等腰三角形的性质可证得EF⊥AB，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出EF；然后利用三角形的面积公式求出△ABE的面积.
4．（2022八上·镇原县期中）如图，已知，若，，，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△OAB≌△OCD，
∴OA=OC=4，故C不符合；
BO=DO，∠AOB+∠BOC=∠BOC+∠COD，即∠AOC=∠BOD，
∴∠OCA=∠OAC=62°，
∴∠AOC=∠BOD=180°-2×62°=56°，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=56°-35°=21°，故B不符合；
∴∠BDO=∠DBO=（180°-∠BOD）=62°，故A不符合；
由于缺少条件求出∠OCD，故无法得出∠OCD和∠AOC的关系，
故无法判断CD和OA是否平行，故D符合.
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的性质可得OA=OC=4，BO=DO，∠AOB=∠COD，结合角的和差关系可得∠AOC=∠BOD，由等腰三角形的性质可得∠OCA=∠OAC=62°，结合内角和定理可得∠AOC=∠BOD=56°，由∠BOC=∠AOC-∠AOB可得∠BOC的度数，由∠BDO=∠DBO=(180°-∠BOD)可得∠BDO的度数，据此判断.
5．（2022八上·镇原县期中）如图，为AB的垂直平分线，则＝（ ）
A．55° B．60° C．70° D．80°
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵CD为AB的垂直平分线，
∴
∴
∴
故答案为：C.
【分析】根据垂直平分线的性质可得BC=AC，由等腰三角形的性质可得∠A=∠B=35°，根据外角的性质可得∠ACE=∠A+∠B，据此计算.
6．（2022八上·拱墅月考）若一个等腰三角形的一条边是另一条边的k倍，我们把这样的等腰三角形叫做“k倍边等腰三角形”．如果一个等腰三角形是“4倍边等腰三角形”，且周长为18cm，则该等腰三角形底边长为（ ）
A．12cm B．12cm或2cm C．2cm D．4cm或12cm
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设该等腰三角形的较短边长为xcm（x＞0），则较长边长为4xcm．
①当xcm为腰时，
∵x+x＜4x，
∴x，x，4x不能组成三角形；
②当4xcm为腰时，4x，4x，x能够组成三角形，
∵4x+4x+x＝18，
∴x＝2，
∴该等腰三角形底边长为2cm.
故答案为：C.
【分析】设该等腰三角形的较短边长为xcm（x＞0），则较长边长为4xcm，分xcm为腰、4xcm为腰，根据等腰三角形的性质以及三角形的三边关系就可确定出三角形的三边长，结合周长为18cm就可求出x的值，进而可得等腰三角形的底边长.
7．（2021八上·海曙期末）如图，CD是等腰三角形 △ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝8，DE＝2，则 △ BCE的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥BC于F，
∵AC＝BC＝8，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，
∴CD⊥AB，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF＝DE＝2，
∴△BCE的面积＝×BC×EF＝×8×2=8.
故答案为：C.
【分析】过点E作EF⊥BC于F，利用等腰三角形的性质可证得CD⊥AB，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出EF的长；再利用三角形的面积公式可求出△BCE的面积.
8．（2022八上·柯桥月考）如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，
则∠AOA1＝∠OA1A，∠A1OA2＝∠A1A2A，…，
∵∠BOC＝9°，
∴∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°的度数，∠A4A3C＝45°，…，
∴9°n＜90°，
解得n＜10．
由于n为整数，故n＝9.
故答案为：B.
【分析】由题意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，根据等腰三角形的性质以及外角的性质可得∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°，∠A4A3C＝45°，…，令9°n＜90°，求出n的范围，结合n为整数可得n的最大值.
9．（2021八上·嵩县期末）如图， 中， ， ， 的垂直平分线分别交 于点E，F，与 ， 分别交于点D，G，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，
∴EB=EA，FA=FC，
∴∠BAE=∠B，∠FAC=∠C，
∵△ABC中，∠BAC=130°，
∴∠B+∠C=50°，
∴∠BAE+∠FAC=50°，
∴∠EAF=∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）=80°.
故答案为：A.
【分析】利用垂直平分线的性质可知EA=EB，FA=FC，利用等边对等角得∠BAE=∠B，∠FAC=∠C；再利用三角形的内角和定理可求出∠B+∠C的度数；然后可用∠EAF=∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）计算可求解.
10．（2021八上·克东期末）如图，直线a，b相交形成的夹角中，锐角为52°，交点为O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，
①当时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b在O点两侧各有一个交点，此时B点有2个；
②当时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b有另外一个交点，此时B点有1个；
③当时，作OA的垂直平分线，与直线b有一个交点，此时B点有1个，
综上，B点总共有4个，
故答案为：D．
【分析】分三种情况：①当时，②当时③当时。据此分别求解即可.
11．（2021八上·盐湖期中）有一题目：“如图，∠ABC=40°，BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，求∠DFB的度数．”小贤的解答：以D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F，连接DF，则DE=DF，由图形的对称性可得∠DFB=∠DEB．结合平行线的性质可求得∠DFB=140°．而小军说：“小贤考虑的不周全，∠DFB还应有另一个不同的值”．下列判断正确的是（ ）
A．小军说的对，且∠DFB的另一个值是40°
B．小军说的不对，∠DFB只有140°一个值
C．小贤求的结果不对，∠DFB应该是20°
D．两人都不对，∠DFB应有3个不同值
【答案】A
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：
如图，以点D为圆心， 长为半径画圆交 于点F， ，连接 ， ，则 ，
，
平分 ，
由图形的对称性可知： ，
， ，
，
，
当点F位于点 处时，
，
．
故答案为：A．
【分析】以点D为圆心， 长为半径画圆交 于点F， ，连接 ， ，则 ，由图形的对称性可知 ，结合平行线的性质求∠DFB=140°，当点F位于点 处时，由DF=DF'可求出∠DF'B的度数.
12．（2021八上·营山期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵BE是AC边的中线，
∴AE＝CE，
∵△ABE的面积＝，△BCE的面积＝，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①正确；
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠FAG+∠DAC＝90°，
∴∠FAG＝∠ACB，
∵CF是∠ACB的角平分线，
∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB，
∴∠FAG＝2∠FCB，故②错误；
∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB，
∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB，
∴∠AFG＝∠AGF，
∴AF＝AG，故③正确；
根据已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④错误；
即正确的为①③，
故答案为：D．
【分析】由BE是AC边的中线可得AE＝CE，根据等底同高可得△ABE的面积＝△BCE的面积，故①正确；根据余角的性质可得∠FAG＝∠ACB，由角平分线的定义可得∠ACB=2∠ACF＝2∠FCB，即得∠FAG＝2∠FCB，据此判断②；利用三角形内角和可推出∠AFG＝∠AGF，利用等角对等边可得AF=AG，据此判断③；根据等腰三角形的判定即可判断④.
二、解答题（共4题，共45分）
13．（2022八上·上城期中）如图，在△ABC中，AB=AC，BD= CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F，求证：DE=DF.
【答案】证明： ，
，
DE⊥AB，DF⊥AC，
，
在 与 中，
，
【知识点】垂线；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】由等腰三角形的性质可得∠B=∠C，由垂直的定义可得∠DEB=∠DFC=90°，根据AAS证明△BDE≌△CDF，可得DE=DF.
14．（2021八上·岳阳期末）如图， △ABC中， AB=AC ，D、E分别是AB、AC上的点，且 ∠ABE=∠ACD ，BE、CD交于点O，求证： △OBC是等腰三角形.
【答案】证明：方法一：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ABE=∠ACD，
∴∠ABC-∠ABE=∠ACB-∠ACD，即∠EBC=∠DCB，
∴OB=OC，
∴△OBC是等腰三角形；
方法二：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴AD=AE，
∵AB=AC，
∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE，
在△OBD和△OCE中，
，
∴OBD≌△OCE（AAS），
∴OB=OC，
∴△OBC是等腰三角形.
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】 方法一 ：由等边对等角可得∠ABC=∠ACB， 由等量减等量差相等得∠EBC=∠DCB，根据等腰三角形的判定定理即证；
方法二 ：利用ASA证明△ABE≌△ACD，可得AD=AE，再永AAS证明OBD≌△OCE，可得OB=OC，根据等腰三角形的判定定理即证.
15．（2021八上·营口期末）如图，在等腰△ABC和等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE且C、E、D三点共线，作AM⊥CD于M．若BD＝5，DE＝4，求CM．
【答案】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△AEC和△ADB中，
，
∴△AEC≌△ADB（SAS），
又∵BD＝5，
∴CE＝BD＝5，
∵AD＝AE，AM⊥CD，DE＝4，
∴，
∴CM＝CE+EM＝5+2＝7．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据SAS证出△AEC≌△ADB，再根据BD＝5，AD＝AE，AM⊥CD，DE＝4，代入计算即可。
16．（2021八上·平凉期中）探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连结DE.
（1）当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC （点B、C除外）
上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系.
【答案】（1）解：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠BAD=60°，
∴∠DAE=30°，
∵AD=AE，
∴∠AED=75°，
∴∠CDE=∠AED-∠C=30°；
（2）设∠BAD=x，
∴∠CAD=90°﹣x，
∵AE=AD，
∴∠AED=45°+ ，
∴∠CDE= ；
∠CDE= ∠BAD
（3）设∠BAD=x，∠C=y，
∵AB=AC，∠C=y，
∴∠BAC=180°﹣2y，
∵∠BAD=x，
∴∠DAE=y+ ，
∴ .
∠CDE= ∠BAD
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得 ∠B=∠C=45°，根据角的和差得 ∠DAE=30°， 根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得 ∠AED=75°， 最后根据三角形外角的性质，由 ∠CDE=∠AED-∠C 即可求解；
（2）设∠BAD＝x，于是得到∠CAD＝90° x，根据等腰三角形的性质得 ∠AED=45°+ ， 进而根据三角形外角的性质由 ∠CDE=∠AED-∠C 即可求解；
（3）设∠BAD＝x，∠C＝y，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理及三角形外角性质可求解．
三、填空题（13-15题每题3分，16-17题每题4分，共17分）
17．（2022八上·海曙期中）等腰三角形一腰的中垂线与另一腰所在直线夹角为40°，该等腰三角形的底角的度数是 .
【答案】65°或25°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当△ABC为锐角三角形时，AB=AC，DE是AB边的中垂线
∴∠B=∠C，
∵DE是AB边的中垂线，∠ADE=40°，
∴∠AED=90°，
∴∠A=90°-40°=50°，
∴∠B=（180°-50°）=65°；
当△ABC时钝角三角形时，AB=AC，GH垂直平分AB，∠M=40°，
∴∠AGM=90°，
∴∠MAB=90°-∠M=90°-40°=50°，
∵∠MAB=∠B+∠C，
∴2∠B=50°，
解之：∠B=25°.
∴该等腰三角形的底角的度数是65°或25°.
故答案为：65°或25°
【分析】分情况讨论：当△ABC为锐角三角形时，AB=AC，DE是AB边的中垂线，利用等边对等角可知∠B=∠C，利用垂直的定义可证得∠AED=90°；再利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠A的度数；然后利用三角形的内角和定理可求出∠B的度数；当△ABC时钝角三角形时，AB=AC，GH垂直平分AB，∠M=40°，可证得∠AGM=90°，利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠MAB的度数；然后利用三角形的外角的性质求出∠B的度数，从而可得到该等腰三角形的底角的度数.
18．（2022八上·义乌月考）如果等腰三角形的周长是27cm，一腰上的中线把三角形分成两个三角形，其周长之差是3cm，则这个等腰三角形的底边长为 cm。
【答案】11或7
【知识点】等腰三角形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设等腰三角形的腰长为2xcm，则底边长为（27-4x）cm，
由题意得2x-(27-4x)=3或(27-4x)-2x=3，
解得x=5或x=4，
x=5时，27-4x=7，
x=4时，27-4x=11，
∴底边长为11cm或7cm.
故答案为：11或7.
【分析】设等腰三角形的腰长为2xcm，底边长为（27-4x）cm，再根据题意得出2x-(27-4x)=3或(27-4x)-2x=3，解方程求出x的值，即可得出答案.
19．（2022八上·乐清期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，点E、F、G是线段AD上的三个点，若BC＝4cm，AD＝6cm，则图中阴影部分的面积为 cm2．
【答案】6
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：∵D是BC中点，
∴BD＝CD，
又∵AB=AC，AD为公共边，
∴△ADC≌△ADB（SSS），
∴S△ADC＝S△ADB，
∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC，即AD垂直平分BC，
∴EB＝EC，FB＝FC，BG＝CG，
∵EF＝EF，
∴△BEF≌△CEF（SSS），
∴S△BEF＝S△CEF，
同理：S△BDG＝S△CDG，
∴S阴影＝S△ADB＝S△ABC，
∵BC=4cm，AD=6cm。
∴S△ABC＝BC AD＝×4×6＝12cm2，
∴S阴影＝6cm2.
故答案为：6．
【分析】先利用“SSS”定理证明△ADC≌△ADB，可得S△ADC＝S△ADB，再由垂直平分线性质可得EB＝EC，FB＝FC，BG＝CG，进而证得△BEF≌△CEF，可得S△BEF＝S△CEF，同理可知S△BDG＝S△CDG，从而推出S阴影＝S△ABC，再利用三角形的面积公式求得△ABC面积，即可求出阴影部分面积.
20．（2021八上·营山月考）已知：如图，△ABC中，E在BC上，D在BA上，过E作EF⊥AB于F，∠B＝∠1+∠2，AE＝CD，BF 则AD的长为 .
【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：在FA上取一点T，使得FT=BF，连接ET，在CB上取一点K，使得CK=ET，连接DK.
∵EB=ET，
∴∠B=∠ETB，
∵∠ETB=∠1+∠AET，∠B=∠1+∠2，
∴∠AET=∠2，
∵AE=CD，ET=CK，
∴△AET≌△DCK（SAS），
∴DK=AT，∠ATE=∠DKC，
∴∠ETB=∠DKB，
∴∠B=∠DKB，
∴DB=DK，
∴BD=AT，
∴AD=BT，
∵BT=2BF=8，
∴AD=8，
故答案为：8.
【分析】在FA上取一点T，使得FT=BF，连接ET，在CB上取一点K，使得CK=ET，连接DK，利用等边对等角可证得∠B=∠ETB，由此可推出∠AET=∠2，利用SAS证明△AET≌△DCK，利用全等三角形的性质得DK=AT，∠ATE=∠DKC；再证明∠B=∠DKB，利用等角对等边可证得DB=DK=AT，AD=BT，然后根据BT=2BF，即可求出AD的长.
21．（2020八上·建华期中）如图，在第一个△ABA1中，∠B＝30°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，按此做法依次进行下去，第2021个三角形中以A2021为顶点的内角的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABA1中，∠B＝30°，AB＝A1B，
∴∠BA1A＝ ＝75°，
∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠CA2A1＝ ＝ ＝37.5°；
同理可得∠DA3A2＝ 18.75°，∠EA4A3＝9.375°，
∴∠An＝ ，
∴∠A2021＝ ．
故答案为： ．
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2，∠EA4A3的度数，根据结果得出∠An＝ ，然后求出n=2021时，∠A2021的度数即可.
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