2022-2023学年冀教版数学八上期末复习专题9 直角三角形全等的判定和反证法
一、单选题
1．（2022八上·上思月考）如图，在△ABC中，，D是上一点，于点E，，连接，若，则等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴=8.
故答案为：C.
【分析】先证出，得出，即可得出=8.
2．（2022八上·宿豫开学考）如图，，且，则判定≌的最好理由是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：，
，
在和中，，
和．
故答案为：D.
【分析】根据垂直的概念可得∠ADB=∠ADC=90°，由已知条件可知AB=AC，由图形可得AD=AD，然后根据全等三角形的判定定理进行解答.
3．（2022八上·金华开学考）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝∠C，D、E在BC上，BD＝CE，AF⊥BC于F，则图中全等三角形的对数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠B=∠C，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，
∵AF⊥BC，
∴∠AFD＝∠AFE＝90°，
又∵AF=AF，
∴Rt△ADF≌Rt△AEF（HL），Rt△ABF≌Rt△ACF（HL），
∴全等的三角形有3对.
故答案为：C.
【分析】由SAS定理可证△ABD≌△ACE，再由HL定理可证Rt△ADF≌Rt△AEF，Rt△ABF≌Rt△ACF，即可确定全等三角形的对数．
4．（2021八上·诸暨期末）要说明命题“若a2＞b2，则a＞b”是假命题，能举的一个反例是（ ）
A．a＝3，b＝2 B．a﹣3，b＝2
C．a﹣＝3，b＝﹣1 D．a＝﹣1，b＝3
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：A、32＞22，且3＞2，不能作为反例，故A不符合题意；
B、（-3）2＞22，但-3＜2，能作为反例，故B符合题意；
C、32＞（-1）2，且3＞-1，不能作为反例，故C不符合题意；
D、（-1）2＜32，不能作为反例，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】 作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判断即可．
5．（2022八上·岑溪期末）如图，在ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，则下列结论，一定成立的是（ ）
A．BD＝AD B．∠B＝∠C
C．AD＝CD D．∠BAD＝∠ACD
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
在
与
中，
，
∴，
∴，
，
，
故答案为：B.
【分析】根据HL证明
，利用全等三角形的性质进行判断即可.
6．（2021八上·浦东期末）如图，在等腰中，，，BD平分，交AC于点D，，若cm，则的周长为（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，∠A=90°，
∴，
在Rt△ABD和Rt△EBD中，
∵，
，
∴AB=BE，
∴△DEC的周长=DE+CD+CE
=AD+CD+CE，
=AC+CE，
=AB+CE，
=BE+CE，
=BC，
∵BC=10cm，
∴△DEC的周长是10cm．
故答案为：B．
【分析】先利用“HL”证明，可得AB=BE，再利用三角形的周长公式可得△DEC的周长=DE+CD+CE=BC，再结合BC=10，即可得到答案。
7．（2021八上·千山期中）如图， ， ，垂足分别为D、E，且 ，则直接判定 与 全等的理由是（ ）
A．SAS B．AAS C．SSS D．HL
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解： ， ，
，
在 和 中 ，
，
故答案为：D．
【分析】根据题意可得：，再结合PD=PE，AP=AP，可利用“HL”证明全等。
8．（2021八上·西峰期末）如图，点E是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④.其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③④ C．②③④ D．①③
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，过E作EF⊥AD于F，
∴BE=EF，AE=AE，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)
∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以③错误；
∵EC＝EF，ED=ED，
∴Rt△EFD≌Rt△ECD(HL)，
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；
∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，所以④正确；
∴∠AED＝∠AEF＋∠FED＝∠BEC＝90°，所以①正确，
综上：①②④正确，
故答案为：A
【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得BE=EF，AE=AE，利用HL证明Rt△AEF≌Rt△AEB，利用全等三角形的对应边和对应角相等，可证得AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；由线段中点的定义可证得EC＝EF＝BE，可对③作出判断；利用HL证明Rt△EFD≌Rt△ECD，利用全等三角形的性质可得到DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，可对②作出判断；同时可推出AD＝AB＋DC，可对④作出判断；然后求出∠AED的度数，可对①作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
9．（2020八上·翼城期末）用反证法证明：在 中， 中不能有两个角是钝角时，假设 中有两个角是钝角，令 ，则所得结论与下列四个选项相矛盾的是（ ）
A．已知 B．三角形内角和等于
C．钝角三角形的定义 D．以上结论都不对
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： ，
＞
这与 互相矛盾，
故答案为：
【分析】由 ， 可得∠A+∠B+∠C>180°，从而与三角形的内角和定理相矛盾，于是可得答案。
10．（2021八上·汇川期末）如图 是 的角平分线， 于E，点F，G分别是 ， 上的点，且 ， 与 的面积分别是10和3，则 的面积是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥AC
∴DE=DH，
在Rt△DEF和Rt△DHG中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DHG（HL），
∴S△EDF=S△GDH=3，
同理Rt△ADE≌Rt△ADH，
∴S△ADE=S△ADH=
∴S△ADF= ，
故答案为：A.
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DH，然后利用“HL”证明Rt△DEF≌Rt△DHG全等，根据全等三角形的面积相等可得S△EDF=S△GDH，然后根据S△ADE=S△ADH列出方程求解即可.
二、填空题
11．已知△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°，用反证法证明：第一步是：假设
【答案】∠B≥90°
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明：第一步是：假设∠B≥90°．
故答案是：∠B≥90°．
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．
12．（2022八上·上城期中）如图，中，，点D在上，且于点E，，若，则 .
【答案】2.5
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为： .
【分析】根据HL证明Rt△ACD≌Rt△AED，可得DE=CD=1.5，利用BD=BC-CD即可求解.
13．（2021八上·高安期中）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C、D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则你添加的条件是 .（写一种即可）
【答案】AC=BD或AD=BC(答案不唯一)
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】AC=BD或AD=BC都可以.
【分析】根据“HL”的证明方法求解即可。
14．（2021八上·平原月考）如图，点D在边BC上，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、D，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝140°，则∠EDF＝ ．
【答案】50°
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：根据∠AFD=140°可得：∠DFC=180°-140°=40°，根据BD=CF，BE=CD可以利用HL定理得出Rt△BED和Rt△CDF全等，则∠EDB=∠DFC=40°，则根据平角的性质可得：∠EDF=180°-90°-40°=50°.
【分析】由∠AFD=140°可知∠DFC=40°，根据“AAS”证明Rt△BED≌Rt△CDF，再利用全等的性质可以得到∠BDE=∠CFD=40°，从而由∠EDF=180°-∠FDC-∠BDE可得答案。
15．（2020八上·襄汾期中）如图， ， ， 于点 ， 于点 ， ， ，则 的长是 ．
【答案】6
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，
∴∠AEC＝∠D＝90°，
在Rt△AEC与Rt△CDB中 ，
∴Rt△AEC≌Rt△CDB（HL），
∴CE＝BD＝4，CD＝AE＝10，
∴DE＝CD CE＝10 4＝6，
故答案为：6．
【分析】先求出∠AEC＝∠D＝90°，再证明Rt△AEC≌Rt△CDB，即可求解。
16．（2020八上·兰山期末）在 中， ， ， ， 于 ， ， 两点分别在边 和射线 上移动．当 ， 时， 和 全等．
【答案】8或15
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：①当P运动到AP=BC时，如图1所示：
在Rt△ABC和Rt△QPA中， ，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），
即AP=BC=8cm；
②当P运动到与C点重合时，如图2所示：
在Rt△ABC和Rt△PQA中， ，
∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL），
即AP=AC=15cm．
综上所述，AP的长度是8cm或15cm．
故答案为：8或15．
【分析】分情况讨论：①当P运动到AP=BC时，②当P运动到与C点重合时，再利用全等三角形的性质求解即可。
三、解答题
17．（2021八上·舒兰期末）如图，，E是上的一点，且，．
求证：≌
【答案】证明：∵∠1=∠2
∴DE=CE
∵∠A=∠B=90°，AD=BE
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】利用“HL”证明Rt△ADE≌Rt△BEC即可。
18．（2021八上·庐阳期末）如图，、相交于点，，于点，于点，且．
求证：．
【答案】解：∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴∠AEC=∠BFD=90°，
∵和中，
，
∴，
∴∠C=∠D，
∴AC∥BD．
【知识点】平行线的判定；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】利用“HL”证明，根据全等三角形的性质可得∠C=∠D，即可得到AC//BD。
19．（2020八上·滦南期末）阅读下列文字，回答问题.
题目：在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A≠45°，所以AC≠BC．
证明：假设AC=BC，∵∠A≠45°，∠C=90°，∴∠A≠∠B，∴AC≠BC．这与假设矛盾，所以AC≠BC．
上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正.
【答案】解：有错误. 改正：
假设AC=BC，则∠A=∠B，又∠C=90°，所以∠B=∠A=45°，这与∠A≠45°矛盾，
所以AC=BC不成立，
所以AC≠BC.
【知识点】反证法
【解析】【分析】反证法的步骤：①假设结论成立，②从假设出发推出矛盾，③假设不成立，则结论成立，据此判断即可.
20．（2018八上·番禺月考）已知：如图，AD、BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°．
求证：AO=BO，CO=DO．
【答案】证明：∵∠C=∠D=90°，
∴△ACB和△ADB为直角三角形，
在Rt△ACB和Rt△ADB中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△ADB，
∴∠ABC=∠BAD，
∴OA=OB，
∵AD=BC，
∴AD﹣OA=BC﹣OB，
即OD=OC．
【知识点】等式的性质；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定
【解析】【分析】其中直角三角形全等的判定，已知条件很明显，这一步比较简单。困难的是利用三角形全等的性质得出对应角相等，然后再利用等腰三角形的判定方法“等角对等边”，得出线段相等；最后利用线段的和差关系求解。
21．判断下列命题的真假，并给出证明（若是真命题给出证明，若是假命题举出反例）：
（1）若，则a=3；
（2）如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，且BE=CF．则AD是△ABC的中线．
【答案】（1）解：是假命题，
当a=﹣3时，，但a≠3，所以命题（1）是假命题；
（2）是真命题，
证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠DFC=∠DEB=90°，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS）
∴BD=CD，
∴AD是△ABC的中线，
∴所以命题（2）是真命题．
【知识点】反证法
【解析】【分析】（1）利用a=﹣3时，，但a≠3，得出命题错误；
（2）利用已知得出△BED≌△CFD，进而求出BD=CD，得出AD是△ABC的中线．
1 / 12022-2023学年冀教版数学八上期末复习专题9 直角三角形全等的判定和反证法
一、单选题
1．（2022八上·上思月考）如图，在△ABC中，，D是上一点，于点E，，连接，若，则等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（2022八上·宿豫开学考）如图，，且，则判定≌的最好理由是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022八上·金华开学考）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝∠C，D、E在BC上，BD＝CE，AF⊥BC于F，则图中全等三角形的对数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2021八上·诸暨期末）要说明命题“若a2＞b2，则a＞b”是假命题，能举的一个反例是（ ）
A．a＝3，b＝2 B．a﹣3，b＝2
C．a﹣＝3，b＝﹣1 D．a＝﹣1，b＝3
5．（2022八上·岑溪期末）如图，在ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，则下列结论，一定成立的是（ ）
A．BD＝AD B．∠B＝∠C
C．AD＝CD D．∠BAD＝∠ACD
6．（2021八上·浦东期末）如图，在等腰中，，，BD平分，交AC于点D，，若cm，则的周长为（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
7．（2021八上·千山期中）如图， ， ，垂足分别为D、E，且 ，则直接判定 与 全等的理由是（ ）
A．SAS B．AAS C．SSS D．HL
8．（2021八上·西峰期末）如图，点E是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④.其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③④ C．②③④ D．①③
9．（2020八上·翼城期末）用反证法证明：在 中， 中不能有两个角是钝角时，假设 中有两个角是钝角，令 ，则所得结论与下列四个选项相矛盾的是（ ）
A．已知 B．三角形内角和等于
C．钝角三角形的定义 D．以上结论都不对
10．（2021八上·汇川期末）如图 是 的角平分线， 于E，点F，G分别是 ， 上的点，且 ， 与 的面积分别是10和3，则 的面积是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题
11．已知△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°，用反证法证明：第一步是：假设
12．（2022八上·上城期中）如图，中，，点D在上，且于点E，，若，则 .
13．（2021八上·高安期中）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C、D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则你添加的条件是 .（写一种即可）
14．（2021八上·平原月考）如图，点D在边BC上，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、D，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝140°，则∠EDF＝ ．
15．（2020八上·襄汾期中）如图， ， ， 于点 ， 于点 ， ， ，则 的长是 ．
16．（2020八上·兰山期末）在 中， ， ， ， 于 ， ， 两点分别在边 和射线 上移动．当 ， 时， 和 全等．
三、解答题
17．（2021八上·舒兰期末）如图，，E是上的一点，且，．
求证：≌
18．（2021八上·庐阳期末）如图，、相交于点，，于点，于点，且．
求证：．
19．（2020八上·滦南期末）阅读下列文字，回答问题.
题目：在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A≠45°，所以AC≠BC．
证明：假设AC=BC，∵∠A≠45°，∠C=90°，∴∠A≠∠B，∴AC≠BC．这与假设矛盾，所以AC≠BC．
上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正.
20．（2018八上·番禺月考）已知：如图，AD、BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°．
求证：AO=BO，CO=DO．
21．判断下列命题的真假，并给出证明（若是真命题给出证明，若是假命题举出反例）：
（1）若，则a=3；
（2）如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，且BE=CF．则AD是△ABC的中线．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴=8.
故答案为：C.
【分析】先证出，得出，即可得出=8.
2．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：，
，
在和中，，
和．
故答案为：D.
【分析】根据垂直的概念可得∠ADB=∠ADC=90°，由已知条件可知AB=AC，由图形可得AD=AD，然后根据全等三角形的判定定理进行解答.
3．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠B=∠C，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，
∵AF⊥BC，
∴∠AFD＝∠AFE＝90°，
又∵AF=AF，
∴Rt△ADF≌Rt△AEF（HL），Rt△ABF≌Rt△ACF（HL），
∴全等的三角形有3对.
故答案为：C.
【分析】由SAS定理可证△ABD≌△ACE，再由HL定理可证Rt△ADF≌Rt△AEF，Rt△ABF≌Rt△ACF，即可确定全等三角形的对数．
4．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：A、32＞22，且3＞2，不能作为反例，故A不符合题意；
B、（-3）2＞22，但-3＜2，能作为反例，故B符合题意；
C、32＞（-1）2，且3＞-1，不能作为反例，故C不符合题意；
D、（-1）2＜32，不能作为反例，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】 作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判断即可．
5．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
在
与
中，
，
∴，
∴，
，
，
故答案为：B.
【分析】根据HL证明
，利用全等三角形的性质进行判断即可.
6．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，∠A=90°，
∴，
在Rt△ABD和Rt△EBD中，
∵，
，
∴AB=BE，
∴△DEC的周长=DE+CD+CE
=AD+CD+CE，
=AC+CE，
=AB+CE，
=BE+CE，
=BC，
∵BC=10cm，
∴△DEC的周长是10cm．
故答案为：B．
【分析】先利用“HL”证明，可得AB=BE，再利用三角形的周长公式可得△DEC的周长=DE+CD+CE=BC，再结合BC=10，即可得到答案。
7．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解： ， ，
，
在 和 中 ，
，
故答案为：D．
【分析】根据题意可得：，再结合PD=PE，AP=AP，可利用“HL”证明全等。
8．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，过E作EF⊥AD于F，
∴BE=EF，AE=AE，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)
∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以③错误；
∵EC＝EF，ED=ED，
∴Rt△EFD≌Rt△ECD(HL)，
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；
∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，所以④正确；
∴∠AED＝∠AEF＋∠FED＝∠BEC＝90°，所以①正确，
综上：①②④正确，
故答案为：A
【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得BE=EF，AE=AE，利用HL证明Rt△AEF≌Rt△AEB，利用全等三角形的对应边和对应角相等，可证得AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；由线段中点的定义可证得EC＝EF＝BE，可对③作出判断；利用HL证明Rt△EFD≌Rt△ECD，利用全等三角形的性质可得到DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，可对②作出判断；同时可推出AD＝AB＋DC，可对④作出判断；然后求出∠AED的度数，可对①作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
9．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： ，
＞
这与 互相矛盾，
故答案为：
【分析】由 ， 可得∠A+∠B+∠C>180°，从而与三角形的内角和定理相矛盾，于是可得答案。
10．【答案】A
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥AC
∴DE=DH，
在Rt△DEF和Rt△DHG中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DHG（HL），
∴S△EDF=S△GDH=3，
同理Rt△ADE≌Rt△ADH，
∴S△ADE=S△ADH=
∴S△ADF= ，
故答案为：A.
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DH，然后利用“HL”证明Rt△DEF≌Rt△DHG全等，根据全等三角形的面积相等可得S△EDF=S△GDH，然后根据S△ADE=S△ADH列出方程求解即可.
11．【答案】∠B≥90°
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明：第一步是：假设∠B≥90°．
故答案是：∠B≥90°．
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．
12．【答案】2.5
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为： .
【分析】根据HL证明Rt△ACD≌Rt△AED，可得DE=CD=1.5，利用BD=BC-CD即可求解.
13．【答案】AC=BD或AD=BC(答案不唯一)
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】AC=BD或AD=BC都可以.
【分析】根据“HL”的证明方法求解即可。
14．【答案】50°
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：根据∠AFD=140°可得：∠DFC=180°-140°=40°，根据BD=CF，BE=CD可以利用HL定理得出Rt△BED和Rt△CDF全等，则∠EDB=∠DFC=40°，则根据平角的性质可得：∠EDF=180°-90°-40°=50°.
【分析】由∠AFD=140°可知∠DFC=40°，根据“AAS”证明Rt△BED≌Rt△CDF，再利用全等的性质可以得到∠BDE=∠CFD=40°，从而由∠EDF=180°-∠FDC-∠BDE可得答案。
15．【答案】6
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，
∴∠AEC＝∠D＝90°，
在Rt△AEC与Rt△CDB中 ，
∴Rt△AEC≌Rt△CDB（HL），
∴CE＝BD＝4，CD＝AE＝10，
∴DE＝CD CE＝10 4＝6，
故答案为：6．
【分析】先求出∠AEC＝∠D＝90°，再证明Rt△AEC≌Rt△CDB，即可求解。
16．【答案】8或15
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：①当P运动到AP=BC时，如图1所示：
在Rt△ABC和Rt△QPA中， ，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），
即AP=BC=8cm；
②当P运动到与C点重合时，如图2所示：
在Rt△ABC和Rt△PQA中， ，
∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL），
即AP=AC=15cm．
综上所述，AP的长度是8cm或15cm．
故答案为：8或15．
【分析】分情况讨论：①当P运动到AP=BC时，②当P运动到与C点重合时，再利用全等三角形的性质求解即可。
17．【答案】证明：∵∠1=∠2
∴DE=CE
∵∠A=∠B=90°，AD=BE
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】利用“HL”证明Rt△ADE≌Rt△BEC即可。
18．【答案】解：∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴∠AEC=∠BFD=90°，
∵和中，
，
∴，
∴∠C=∠D，
∴AC∥BD．
【知识点】平行线的判定；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】利用“HL”证明，根据全等三角形的性质可得∠C=∠D，即可得到AC//BD。
19．【答案】解：有错误. 改正：
假设AC=BC，则∠A=∠B，又∠C=90°，所以∠B=∠A=45°，这与∠A≠45°矛盾，
所以AC=BC不成立，
所以AC≠BC.
【知识点】反证法
【解析】【分析】反证法的步骤：①假设结论成立，②从假设出发推出矛盾，③假设不成立，则结论成立，据此判断即可.
20．【答案】证明：∵∠C=∠D=90°，
∴△ACB和△ADB为直角三角形，
在Rt△ACB和Rt△ADB中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△ADB，
∴∠ABC=∠BAD，
∴OA=OB，
∵AD=BC，
∴AD﹣OA=BC﹣OB，
即OD=OC．
【知识点】等式的性质；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定
【解析】【分析】其中直角三角形全等的判定，已知条件很明显，这一步比较简单。困难的是利用三角形全等的性质得出对应角相等，然后再利用等腰三角形的判定方法“等角对等边”，得出线段相等；最后利用线段的和差关系求解。
21．【答案】（1）解：是假命题，
当a=﹣3时，，但a≠3，所以命题（1）是假命题；
（2）是真命题，
证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠DFC=∠DEB=90°，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS）
∴BD=CD，
∴AD是△ABC的中线，
∴所以命题（2）是真命题．
【知识点】反证法
【解析】【分析】（1）利用a=﹣3时，，但a≠3，得出命题错误；
（2）利用已知得出△BED≌△CFD，进而求出BD=CD，得出AD是△ABC的中线．
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