数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.1.1数列的概念及通项公式（共40张ppt）

(共40张PPT)
高中数学（选择性必修） 第二册
第一课时 数列的概念及通项公式
4.1 数列的概念
1
第四章 数列
教学目标
通过对数列概念的探究，培养学生严谨求实的学习作风和锲而不舍的学习精神，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好学习习惯.
知识与技能：
过程与方法：
通过对数列概念的探究，培养学生观察、归纳、 类比、猜想、推理等发现规律的一般方法。通过阶梯性练习，提高学生的分析问题和解决问题的能力.
情感态度与价值观：
1.理解数列的概念及数列的通项公式；
2.了解数列的一般记法；
3.熟练写出简单数列的通项公式.
2
探究1：
请大家看看什么是三角形数？什么是正方形数？
它们的共同特点是什么？
三角形数：
正方形数：
1， 3， 6， 10, …
1， 4， 9， 16, … ，
这些数能用三角形点阵表示，称为三角形数.
这些数能够表示成正方形，称为正方形数.
问题引入
探究 2：
请大家取一张纸对折，假设纸的厚度为1个长度单位，面积是1个面积单位，那么随着依次对折的次数的增加，它的厚度和每层纸的面积是多少？
厚度依次为：
面积依次为：
1，2，4，8，…
问题引入
4
第四章 数 列
如果用正整数表示事物发展过程的先后顺序，并且把这样的正整数看作自变量的取值，把事物的对应值看作相应的函数值，那么数列就是定义在正整数集(或正整数集的有限子集)上的一类离散函数，数列无论在理论研究还是在实际应用中都非常重要.
对数列的研究源于现实生产、生活的需要 . 例如，一棵树在某一时刻的高度是2m，如果在每年的同一时刻都记录下这棵树的高度, 并按先后顺序排列起来, 就得到一列数. 人们常用这样的一列数有序地表达一类事物，或者记录一个过程 . 像这样按照确定的顺序排列的一列数称为数列 .
5
在现实生活和数学学习中, 我们经常需要根据问题的意义, 通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象. 例如：
1.王芳从1岁到17岁, 每年生日那天测量身高,
将这些身高数据(单位：cm)依次排成一列数：
75 , 87 , 96 , 103 , 110 , 116 , 120 , 128 , 138 ,
145 , 153 , 158 , 160 , 162 , 163 , 165 , 168 . ①
记王芳第i岁时的身高为hi , 那么h1=75, h2=87, ┉, h17=168. 我们发现，hi中的i反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置，即h1=75是排在第1位的数， h2=87是排在第2位的数, ┉, h17=168是排在第17位的数，它们之间不能交换位置.
所以, ①是具有确定顺序的一列数.
情景导入
2. 在两河流域发掘的一块泥版(编号 K90，约产生于公元前 7 世纪)上, 有一列依次表示一个月中从第 1 天到第 15 天每天月亮可见部分的数：
5，10，20，40，80，96，112，128，
144，160，176，192，208，224，240． ②
记第i天月亮可见部分的数为si , 那么s1=5, s2=10…, s15=240. 反映了月亮可见部分的数按日期从1到15的顺序排列时的确定位置, 即s1=5是排在第1位的数, s2=10是排在第2位的数, …, s15=240是排在第15位的数. 它们之间不能交换位置.
所以，②也是具有确定顺序的一列数.
7
情景导入
思考:你能仿照上面的叙述, 说明③也是具有确定顺序的一列数吗？
所以，③也是具有确定顺序的一列数.
8
情景导入
75 , 87 , 96 , 103 , 110 , 116 , 120 , 128 , 138 ,
145 , 153 , 158 , 160 , 162 , 163 , 165 , 168 . ①
5，10，20，40，80，96，112，128，
144，160，176，192，208，224，240． ②
归纳:上 面几个例子的共同特征是什么？
具有确定顺序的一列数
1，2，4，8，… ④
9
新课讲授：一、数列及其有关概念
新课讲授：一、数列及其有关概念
1. 数列的概念:
我们把按照确定顺序排列着的一列数称为数列.
2. 数列的项:
数列中的每一个数叫做这个数列的项.
数列中的每一项都和它的序号相关，
排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，
排在第二位的数称为这个数列的第2项……
排在第n位的数成为这个数列的第n项.
a1 ，a2，a3， a4， … an …
10
序号 1 2 3 … n …
…
…
11
新课讲授：一、数列及其有关概念
数列从第一项开始，按顺序与正整数 n 对应．
所以数列的一般形式可以写成： a1，a2，a3，…，an，…
其中，an 是数列的第 n 项，整个数列可记 {an}．
an叫做数列的通项或一般项， n 叫做 an 的 序号．
注意：{ an }与an 区别与联系
{an} 表示整个数列 a1，a2，a3，…，an，… ；
an 只是表示数列 { an }中的第 n 项，
新课讲授：一、数列及其有关概念
3.数列的一般形式
数列 a1 , a2 , a3 , a4 , … , an, …
简记为 {an}.
12
⒈由无穷多个3所组成的一列数是数列吗？
3，3，3，3，3, …
⒉ 以下两个数列是同一数列吗？
54, 60, 55, 58, 64, 55, 58, 60, 57, 54.
54, 60, 55, 58, 55, 64, 58, 60, 57, 54.
若数列中被排列的数相同，但次序不同，则不是同一数列
数列中的数可以重复
3.由2，3，a，5，b，6，这几个元素能构成数列吗？
数列的项是一个确定的数值
是
不是
一、数列及其有关概念
思考：
13
2、辨析 数列的概念:
“ 1, 2, 3, 4, 5 ”与“5, 4, 3, 2, 1”是同一个数列吗？
与“1, 3, 2, 4, 5”呢？
(2) 数列中的数可以重复吗？
(3) 数列与集合有什么区别？
不是 —数列的有序性
集合的元素：无序性、互异性、确定性，
数列的项：有序性、可重复性、确定性.
可以
思考：
14
一、数列及其有关概念
典型例题：
例1、假设数列{an}为 “ -7，-4，-1，2，5，8，11，… ”，
指出数列中a2 ，a5 各是什么？
解：a2 =-4 ，a5 = 5
分析： 1、an 是数列的第 n 项；
2、数列中排在第 n 位的数是这个数列的第n项
15
数列：1，2，4，8，16，…
1
2
3
4
5
6
7
8
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
O
●
●
●
●
●
递增数列
通过图象观察性质
新课讲授：一、数列及其有关概念
1
2
3
4
5
6
7
8
9
O
数列：
●
●
●
●
●
●
●
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
递减数列
17
新课讲授：一、数列及其有关概念
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
O
数列：4，4，4，4，4，4，4，…
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
常数列
18
新课讲授：一、数列及其有关概念
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
O
1
2
3
4
5
6
7
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
数列：1，-1，1，-1，1，-1，1，
摆动数列
-1
19
新课讲授：一、数列及其有关概念
与函数类似，我们可以定义数列的单调性.
从第二项起, 每一项都大于它的前一项的数列叫递增数列;
从第二项起, 每一项都小于它的前一项的数列叫递减数列;
各项都相等的数列叫做常数列.
新课讲授：一、数列及其有关概念
20
数列的单调性
（1）按项数多少分：
（2）按项的大小分：
项数有限的数列叫 ________ _；
项数无限的数列叫________ ；
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫 _______ ；
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫 _______ ；
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫___________；
各项相等的数列叫__________.
有穷数列
无穷数列
递增数列
递减数列
摆动数列
常数列
4、数列的分类
新课讲授：一、数列及其有关概念
21
中央电视台开心辞典节目中曾经出现过这样的一道题：观察以下几个数的特点，按照其中的规律说出括号里的数是几？
2，5，10，17，（ ）,37,…
26
第二关：325是否满足这些数的规律？
问题引入
22
大家看看三角形数、正方形数的第100个数是什么？
三角形数：
正方形数：
1， 3， 6， 10, …
1， 4， 9， 16, … ，
问题引入
思考：
23
下列数列的每一项与这一项的序号是否一一对应？
1 2 3 4 5 …
序号
数列中每个数都对应着一个序号；
反过来，每个序号也都对应着一个数。
项
观察
类似于我们学习的函数问题
新课讲授：二、数列的通项公式
24
如何寻找第n项an与序号n之间的关系
序号 n
1 2 3 4 … 10
项
1、数列的通项公式
an =？
an = n2
数列 {an} 的第 n 项 an 与序号 n 之间的关系 式叫数列的通项公式
a1
a2
a3
a4
？
a10
{an}
{n2}
分析：①由各项的特点，找出各项共同的构成规律。
②通过观察、猜想归纳出数列中的项an 与序号n之间的关系。
42
新课讲授：二、数列的通项公式
第1项
第3项
第n项
？
？
？
？
③ 1， 1， 1， 1，… …
① 1， 3， 5， 7，… …
第2项
第4项
{2n-1}
2n-1
an = 2n-1
2n-1
an = 2n-1
an =1
{2n-1}
分析： ①由各项的特点，找出各项共同的构成规律。
②通过观察、猜想归纳出数列中的项an 与序号n之间的关系。
21， 22， 32， … …
新课讲授：二、数列的通项公式
数列是一种特殊函数！
a1
a2
a3
a4
a5
1
2
3
4
5
n
an
an的取值是函数值
在数列中，谁是自变量？谁是函数值？解析式是什么？
数列与函数之间的关系：
定义域是 N*
（或它的有限子集
{1，2，…，n}）
n 是自变量，
n 的所有取值即定义域
an是数列的通项，an 的表达式即解析式
an=f(n)
思考：
新课讲授：二、数列的通项公式
1、数列的通项公式
说明： 求通项公式就是找出an与n之间的函数关系式；
通项公式即相应的函数解析式an=f (n).
2、求数列通项公式的一般方法：
①由各项的特点，找出各项共同的构成规律。
②通过观察、猜想归纳出数列中的项an与序号n之间的关系，写出一个满足条件的最简捷的公式。
新课讲授：二、数列的通项公式
数列 {an} 的第 n 项 an 与序号 n 之间的关系 式叫数列的通项公式
二、数列的通项公式
如果数列{an}的第 n 项an与与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式 。
数列③的通项公式为：
显然 , 通项公式就是数列的函数解析式 ,
根据通项公式可以写出数列的各项．
新课讲授：二、数列的通项公式
29
例1 根据下列数列{an}的通项公式 , 写出前5项 , 并画出它们的图象：
解:(1)当通项公式中的n=1 , 2 , 3 , 4 , 5时 ,
数列{an}的前5项依次为1 , 3 , 6 , 10 , 15.
图象如图所示.
典型例题 p4：
解:(2)当通项公式中的n=1 , 2 , 3 , 4 , 5时 ,
数列{an}的前5项依次为
1 , 0 , -1 , 0 , 1.
图象如图所示.
例1 根据下列数列{an}的通项公式 , 写出前5项 , 并画出它们的图象：
典型例题 p4：
例2. 根据下列各无穷数列的前4项，写出数列的一个通项公式
(1) 1，2，3，4，… ；
(2) 5，10，15，20，… ；
(3) -1，1，-1，1，… ；
(4) 1，-1，1，-1，… .
求通项公式的一般方法：
①由各项的特点，找出各项共同的构成规律。
②通过观察、猜想、归纳得出数列中的项an与序号n之间的关系，写出一个满足条件的最简捷的公式。
解：(1) an = n
(2)an = 5n
(3)an = (-1)n
(4) an = (-1)n-1
或an = (-1)n+1
典型例题：数列的通项公式
1.根据下列各无穷数列的前4项，写出数列的一个通项公式
(1) 2，6，12，20，… ；
(2) 3，15，35，63，… .
解：(1) a n = n(n+1)
(2)an = (2n-1)(2n+1)
分析：由各项的特点，找出各项共同的构成规律
(1) 2， 6， 12， 20, … an
1×2， 2×3， 3×4， 4×5 ， … n(n+1)
(2) 3， 15， 35， 63， … an
1×3， 3×5， 5×7， 7×9， … (2n-1)(2n+1)
找数列通项公式的关键是探求第n项an与序号n的关系。
课堂练习 ：1
1、数列的通项公式：
注意
①一些数列的通项公式不是唯一的；
②不是每一个数列都能写出它的通项公式.
数列 {an} 的第n项 an 与序号 n 之间的关系式叫数列的通项公式
2、求数列通项公式的一般方法：
①由各项的特点，找出各项共同的构成规律。
②通过观察、猜想归纳出数列中的项an与序号n之间的关系，写出一个满足条件的最简捷的公式。
小结：
35
例3 根据下列数列的前4项, 写出数列的一个通项公式.
典型例题 p5：
分析：
①由各项的特点，找出各项
共同的构成规律。
②通过观察、猜想归纳出数列
中的项 an 与序号 n 之间的关系。
课堂练习 p5 ：2
4.观察下列数列的特点,用适当的数填空,
并写出数列的一个通项公式.
(4)看分母 2， 6， （ ），20， 30，（ ） … an
1×2， 2×3， 4×5， 5×6， … n(n+1)
3×4
36
课堂练习 p5 ：2
4.根据下列数列的前 5 项, 写出数列的一个通项公式.
37
课堂小结
数列
概念
表示方法
数列是一种特殊的函数
表格
图象
通项公式
不渴望能够一跃千里，只希望每天能够前进一步。
课后作业
39
再见!
40